教学案例等腰三角形中的分类计算问题(习题课)
等腰三角形判定教案(2024)
例题二：已知两角和夹边求第三角
题目描述：已知等腰三角形DEF中，DE = DF，∠D = 90°，∠E = 45°，求∠F的度数。
解题步骤
解题思路：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理 ，可以求出第三角的度数。
1. 根据等腰三角形的性质，得出∠E = ∠F。
2. 利用三角形内角和定理，即∠D + ∠E + ∠F = 180° ，求出∠F的度数。
02
解题思路：综合运用等腰三角形的性质和判定方法，先判 断三角形的形状，再求出其面积。
05
2. 利用等边三角形的面积公式S = (√3/4)a²（其中a为边 长），求出△GHI的面积。
03
解题步骤
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总结：本题综合考察了对等腰三角形性质和判定方法的应 用能力，需要灵活运用所学知识进行判断和计算。
三角形。
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判定定理二：两角相等且夹边相等
01
定理内容
如果一个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的边也相等，那么这
个三角形是等腰三角形。
02
证明方法
可以通过作辅助线，将三角形划分为两个全等的三角形，从而证明两腰
相等。
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03
应用举例
在几何题目中，如果已知一个三角形有两个角相等，并且这两个角所夹
02
3. 如图，在△ABC中，AB = AC ，D是BC的中点，DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F．求证：DE = DF．
24
小组讨论与交流
01
02
分组方式
按座位就近分组，每组4-6人 。
讨论内容
围绕自主练习题目展开讨论， 分享解题思路和方法。
专题14图形中的等腰三角形分类讨论（解析版）
专题14图形中的等腰三⾓形分类讨论（解析版）专题14 图形中的等腰三⾓形分类讨论教学重难点1.理解等腰三⾓形的性质和判定定理；2.能⽤等腰三⾓形的判定定理进⾏相关计算和证明；3.初步体会等腰三⾓形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三⾓形；5.培养学⽣进⾏独⽴思考，提⾼独⽴解决问题的能⼒。
【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学⽣回顾学过的等腰三⾓形的性质，可以在⿊板上举例让学⽣画图；2再根据第2个图引导学⽣总结出题⽬中经常出现的⼀些等腰三⾓形的题型；3.和学⽣⼀起分析⼆次函数背景下等腰三⾓形的基本考点，为后⾯的例题讲解做好铺垫。
建议时间5分钟左右。
等腰三⾓形的性质：等腰三⾓形常见题型分类：函数背景下的等腰三⾓形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进⾏等腰三⾓形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两⼤类；4.根据点的位置和形成的等腰三⾓形⽴等式求解。
【备注】：1.以下每题教法建议，请⽼师根据学⽣实际情况参考；2.在讲解时：不宜采⽤灌输的⽅法，应采⽤启发、诱导的策略，并在读题时引导学⽣发现⼀些题⽬中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学⽣在复杂的背景下⾃⼰发现、领悟题⽬的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学⽣逐步解题，并采⽤讲练结合；注意边讲解边让学⽣计算，加强师⽣之间的互动性，让学⽣参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学⽣分析题⽬，边讲边让学⽣书写，每个问题后⾯有答案提⽰；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类⽐式引导等等；6.部分例题可以先让学⽣⾃⼰试⼀试，之后再结合学⽣做的情况讲评；7.每个题⽬的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间⾜够的情况下讲解。
1.（2019青浦⼆模）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂⾜为点D，C为线段OD上⼀点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三⾓形时，求x的值.整体分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进⽽判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进⽽得出，进⽽得出AE=，再判断出，即可得出结论；（3）分三种情况利⽤勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，∴AC=AM．（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．∵DE∥AB，∴，∴．（）（3）（i）当OA=OC时．∵．在Rt△ODM中，．∵．解得，或（舍）．（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC为等腰三⾓形时，x的值为．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三⾓形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三⾓形的性质，建⽴y关于x 的函数关系式是解答本题的关键．图形背景下等腰三⾓形分类讨论的解题⽅法和策略：1.先寻找题⽬中的条件：相等的⾓、相等的边、相似的三⾓形等；2.根据题⽬中的条件求解相关线段的长度；3.等腰三⾓形讨论中，分三步⾛：分类、画图、计算；4.等腰讨论中，当不能直接利⽤边长相等求解时，⼀般情况下通过“画底边上的⾼”辅助线结合三⾓⽐计算求解；5.注意点的位置取舍答案；6.根据题⽬条件，注意快速、正确画图，⽤好数形结合思想；7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。
等腰三角形 习题课1
《等腰三角形》习题课2【学习目标】：相关习题【重点难点】：等腰三角形判断及性质【学法指导】：小组合作【知识链接】：等腰三角形性质，轴对称【学习过程】：一、填空题1．等腰三角形的判定定理是_________________________________________________．2．ΔABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝______．3．如图6－1，AE∥BC，∠1＝∠2，若AB＝4cm，则AC＝____________．4．如图6－2，∠A＝∠B，∠C＋∠CDE＝180°，若DE＝2cm，则AD＝____________．图6－1 图6－2 图6－3 图6－45．如图6－3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．6．如图6－4，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______．7．ΔABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝______．8．ΔABC中，AB＝AC，BD是角平分线，若∠A＝36°，则图中有______个等腰三角形．9．判断下列命题的真假：（1）有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形．（）（2）平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形．（）（3）有两个内角不等的三角形不是等腰三角形．（）（4）如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等，那么这个三角形是等腰三角形．（）综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图6－5，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．图6－511．已知：如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．求证：AE＝AF.图6－612．已知：如图6－7，ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.求证：CE＝CF．图6－713．如图6－8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．图6－8拓展、探究、思考14．如图6－9，若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C，使ΔABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？并在图6－9中画出C点的位置．图6－915．如图6－10，对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，将ΔABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．图6－10【学习反思】：。
PPT教学课件等腰三角形有关计算问题
②如图，B、D、F在AN上，C、E在AG上，且AB
＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，求
∠FEG的大小。
A
B
DF N
答：100°
C EG
例4：如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，若AE＝ AC，BD＝BC，求：∠ECD的度数。
解：设∠A＝x°， ∵AE＝AC，
∴∠ECA＝
180－x 2
点燃
C+O2==CO2
2.C
高温
C+2CuO==CO2 +2Cu
讨论小结1：
金属单质
金属＋O2/Cl2
氧化物/氯化物
金属＋酸
盐＋H2
1.单质
金属＋盐溶液 新盐＋新的金属
与氧气反应
氧化物
非金属单质 与金属氧化物反应
答案：
3.CO2 CO2+H2O==H2CO3 CO2+2NaOH==Na2CO3+H2O CO2+ CaO == CaCO3
超过2000万种
都够呛， 就别说你
超过3000万种 了
什图 么书 你馆 很里 快有 就许 找许 到多 你多 需的 要书 的籍 书， ？为
沃尔玛超市
?
你超 能市 够里 迅有 速成 挑千 出上 你万 所种 需商 要品 的， 东为 西什
么
这是因为人们在将这些物品陈 列到书架或货架之前，已经事先 对它们进行了分类处理。把大量 事物按照事先设定的“标准”进 行分类，这是人们最熟悉，也是
碱性氧化物＋酸性氧化物 含氧酸盐
可溶性碱
答案：
5. H2SO4
H2SO4 + CaO ==CaSO4+H2O H2SO4 + 2NaOH ==Na2SO4+2H2O
等腰三角形中分类讨论PPT学习教案
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四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
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五、由腰上的中线引起的分类讨论
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六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨 论的问题
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角=180°-150°=30°； ∴顶角=180°-底角2=180°-30°2=120°； 故三角形各个内角的度数为30°，75°，
75°或120°，30°，30°。
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三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论
例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹 角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。
°
°
°
于是三角形的各个内角的度数为：30，30，120。
°
°
°
故三角形各个内角的度数为20，80，80或30，30，120
°
°
°
°
°
°
。
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例3、已知等腰三角形的一个外角等于150度，求 它的各个内角。
解：（1）当顶角的外角等于150°时，则顶 角=180°-150°=30°，
∴每个底角=（180°-顶角）÷2=75°； （2）当底角的外角等于150°时，则每个底
角形； 当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因
此三角形的周长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。
注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角 形的三边关系来验证是否能构成三角形。
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二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨 论
13.3.1 等腰三角形综合运用(等腰三角形性质典型例题)教案 人教版八年级数学上册
13.3.1 等腰三角形综合运用（等腰三角形性质典型例题）教案人教版八年级数学上册教学目标：1.通过典型例题讲解学习，充分掌握运用等腰三角形的性质，灵活运用知识点。
2.掌握了解分类讨论的解题思想，在运用中还要进行适当的检验。
利用三角形内角和180°，三角形三边关系来检验。
3.通过学习激发学生的求知欲，在解决过程中的到成就感，增强学生对数学的学习兴趣。
教学重点：掌握分类讨论的数学解题思想，并学会检验。
教学难点：掌握分类讨论的数学解题思想，并学会检验。
灵活的运用。
教具：多媒体一体机，PPT演示文稿。
教学过程：一、复习引入：等腰三角形的边和角分别分为哪两类？边：腰、底边角：顶角、底角本节课讲解一些典型例题二、PPT 展示例题1例1.等腰三角形的周长为50 cm，一条边长是12 cm，求另两条边长。
问：已知边长是底边还是腰？不确定的话，我们应该怎么做？对已知条件进行分类讨论并且要检验。
问：当等腰三角形腰为12cm时，怎么求另外两边长？当等腰三角形底边为12cm时，怎么求另外两边长？学生思考讨论。
师生一起解题。
解：当腰长为12 cm时，设底边长为xcm，由题意得：x＋2×12＝50x＝26.此时三边分别是12、12、26，不符合三角形三边关系，故舍去。
当底边长为12 cm时，设腰长为ycm，由题意得：2y＋12＝50y＝19∴该三角形另外两边长分别19cm,19cm.三、课堂小结通过这道题学到哪些知识？如果边换成角，又该怎么去分类讨论和检验？四、课后练习1.已知等腰三角形两边分别为4,8，则该等腰三角形的周长为2.已知等腰三角形的一个外角是40°，则该等腰三角形另外两个角的度数为。
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=6,CD=4,则△ABC 的周长是.4.已知等腰三角形周长为40，一边长为10，则该三角形另外两边分别是答案解析：1. 20 2.20°，20° 3.20 4.15，15五：板书设计等腰三角形：边：腰、底边角：顶角、底角分类讨论并检验。
专题2.2 等腰三角形分类讨论问题综合应用(五大类型)(解析版)
专题2.2 等腰三角形分类讨论问题综合应用（五大类型）【题型1 腰和底不明时需分类】【题型2 顶角和底角不明时需讨论】【题型3 涉及中线、高位置的讨论】【题型4 等腰三角形个数的讨论】【题型5 动点引起的分类】【题型1 腰和底不明时需分类】【典例1】等腰三角形周长为15cm，其中一边长为3cm，则该三角形的底边长为（ ）A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm 【答案】A【解答】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，底边为15﹣2×3＝9cm，边长分别为3cm，3cm，9cm，不能构成三角形；（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（15﹣3）÷2＝6cm，∴边长为6cm，6cm，3cm，能构成三角形．故选：A．【变式1-1】已知等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，那么它的周长是（ ）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm 【答案】C【解答】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是2cm，2cm，4cm，2cm+2cm＝4cm不满足三角形的三边关系；当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，2cm，三角形的周长是10cm．故选：C．【变式1-2】已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，那么它的周长为（ ）A．17cm B．13cmC．13cm或者17cm D．以上答案都不对【答案】A【解答】解：（1）当7cm是底边时，3+3＜7，不能构成三角形；（2）当3cm是底边时，可以构成三角形，周长＝7+7+3＝17cm．故选：A．【变式1-3】等腰三角形的两边长分别为3和7，则周长为（ ）A．13B．17C．13或17D．17或11【答案】B【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+3＝17；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故三角形的周长是17．故选：B【题型2 顶角和底角不明时需讨论】【典例2】已知等腰三角形一个内角等于50°，则它的顶角度数为（ ）A．50°B．80°C．50°或80°D．100°【答案】C【解答】解：①顶角为50°；②当底角是50°时，顶角为：180°﹣2×50°＝80°．故选：C．【变式2-1】已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝50°，则△ABC的顶角度数是（ ）A．50°B．50°或80°C．80°D．50°或65°【答案】B【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是50°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×50°＝80°；综上，△ABC的顶角度数是50°或80°．故选：B．【变式2-3】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（ ）A．55°B．70°C．70°或55°D．70°或40°【答案】C【解答】解：当它的顶角为70°时，它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°；当它的底角为70°时，它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°；∴它的底角度数是55°或70°．故选：C．【变式2-4】等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是（ ）A．70°B．70°或40°C．70°或55°D．55°【答案】C【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；若这个角为底角，则另一个底角也为70°，∴其一个底角的度数是55°或70°．故选：C．【变式2-5】若等腰三角形的底角是顶角的2倍，则这个等腰三角形的底角的度数是（ ）A．36°B．72°C．36°或72°D．无法确定的【答案】B【解答】解：设顶角为x度，则底角为2x度，则：x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴2x＝72，故选：B．【题型3 涉及中线、高位置的讨论】【典例3】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则一个底角为 67.5°或22.5° ．【答案】见试题解答内容【解答】解：有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，已知∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G，＝×（180°﹣135°），＝22.5°，∴等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．故答案为：67.5°或22.5°．【变式3-1】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为 60°或120° ．【答案】60°或120°．【解答】解：如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝30°，∴∠A＝60°，即顶角的度数为60°．如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝30°，∴∠BAD＝60°，∴∠BAC＝120°．故答案为：60°或120°．【变式3-2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是46°，则它的底角度数是 68°或22° ．【答案】68°或22°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ABD＝46°，∴∠A＝90°﹣46°＝44°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣44°）＝68°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB＝90°﹣46°＝44°，∴∠BAC＝180°﹣44°＝136°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣136°）＝22°；综上所述：等腰三角形底角的度数为68°或22°．故答案为：68°或22°．【变式3-3】等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，这个三角形的各个内角的度数为 57.5°、57.5°、65°或65°、65°、50°或32.5°、32.5°、115°． ．【答案】57.5°、57.5°、65°或65°、65°、50°或32.5°、32.5°、115°．【解答】解：△ABC为锐角三角形，当高与另一腰的夹角为25°时，如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABD＝25°，∴∠A＝90°﹣25°＝65°，∠ABC＝∠C，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝∠C＝＝57.5°，即三角形的各个内角的度数分别为57.5°、57.5°、65°；当高与另一腰的夹角为25°时，如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝25°，∴∠ABC＝∠C＝90°﹣25°＝65°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣65°﹣65°＝50°，即三角形的各个内角的度数分别为65°、65°、50°；△ABC为钝角三角形，当高与另一腰的夹角为25°时如图，AB＝AC，∠ABD ＝25°，∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝115°，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝∠C＝．即三角形的各个内角的度数分别为32.5°、32.5°、115°．综上，三角形的各个内角的度数分别为57.5°、57.5°、65°或65°、65°、50°或32.5°、32.5°、115°．故答案为：57.5°、57.5°、65°或65°、65°、50°或32.5°、32.5°、115°．【题型4 等腰三角形个数的讨论】【典例4】（2021秋•越秀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B 分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（ ）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解答】解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故选：B．【变式4-1】如图，在3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C是图中的格点，且△ABC是等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．4B．8C．10D．12【答案】B【解答】解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：B．【变式4-2】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）A．4个B．5个C．8个D．9个【答案】D【解答】解：如图所示，使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是9个．故选：D．【变式4-3】如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，并且△ABC是等腰三角形，若点C也在格点上，则点C的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：如图所示：故选：C．【题型5 动点引起的分类】【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M 从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∵AB＝10cm，∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；（2）∵△AMN是以MN为底的等腰三角形，∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，∴当t＝时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形；（3）当MN⊥AC时，MN∥BC．∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°∵MN∥BC，∴∠NMA＝30°∴AN＝AM，∴t＝（10﹣2t），解得t＝，∴当t＝时，MN∥BC，CN＝5﹣×1＝．【变式5-1】如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】D【解答】解：设运动的时间为x秒，在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm 的速度向点B运动，当△CMN是等腰三角形时，CM＝CN，CM＝18﹣2x，CN＝1.6x即18﹣2x＝1.6x，解得x＝5．∴CM＝CN＝8（cm），故选：D．【变式5-2】如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s【答案】D【解答】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故选：D．【变式5-3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB 的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 4或6 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．【答案】见试题解答内容【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，∴BD＝12厘米，∵∠ABC＝∠ACB，∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，解得：x＝1或x＝2，x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；即点Q的运动速度是4或6，故答案为：4或6【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．（1）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．（2）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCE．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°，∴∠BDA+∠EDC＝∠CED+∠EDC＝130°，∴∠BDA＝∠CED，∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），∴AD≠AE，ⅰ）如图所示，当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝50°，∴∠BDA＝∠CED＝50°+50°＝100°；ⅱ）如图所示，当DA＝DE时，∠EAD＝∠AED＝65°，∴∠BDA＝∠CED＝65°+50°＝115°；（2）由（1）可得∠BDA＝∠CED，又∵∠B＝∠C＝50°，AB＝DC＝2，∴在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）．【变式5-5】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP＝2，∵∠C＝90°，∴PB＝＝（cm），∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+＝（7）cm．（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②若P在AB边上时，有三种情况：i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD＝＝＝1.8（cm），所以BP＝2PD＝3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t+2t﹣3＝3，∴t＝2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣4+2t﹣8＝6，∴t＝6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．【变式5-6】如图：（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）AR＝AQ，理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵RP⊥BC，∴∠B+∠BQP＝∠C+∠PRC＝90°，∴∠BQP＝∠PRC．∵∠BQP＝∠AQR，∴∠PRC＝∠AQR，∴AR＝AQ；（2）猜想仍然成立．证明如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵∠ABC＝∠PBQ，∴∠PBQ＝∠C，∵RP⊥BC，∴∠PBQ+∠BQP＝∠C+∠PRC＝90°，∴∠BQP＝∠PRC，∴AR＝AQ．【变式5-7】已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．动点P从点A 出发沿A﹣B﹣C的方向以每秒2个单位的速度运动．设P的运动时间为t （秒）．（1）请直接用含t的代数式表示①当点P在AB上时，BP＝ 10﹣2t ；②当点P在BC上时，BP＝ 2t﹣10 ；（2）求△BPC为等腰三角形的t值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，①当点P在AB上时，BP＝10﹣2t；②当点P在BC上时，BP＝2t﹣10；故答案为：10﹣2t，2t﹣10；（2）①如图1，当BP＝BC时，则10﹣2t＝6，∴t＝2，②如备用图（1），当BP＝PC时，过P作PG⊥BC于G，∴BG＝CG＝3，∴PG＝AC＝4，∴PB＝＝10﹣2t＝5，∴t＝2.5，③如备用图（2），当BC＝PC时，过C作CH⊥AB于H，∴CH＝＝，BH＝PB＝5﹣t，∴BH2＝BC2﹣CH2，即（5﹣t）2＝62﹣（）2，∴t＝1.4，综上所述，△BPC为等腰三角形的t的值为2或2.5或1.4．。
专题03 点击三角形中的分类讨论(试题解析)
专题03 点击三角形中的分类讨论【题型一】等腰三角形中的分类讨论顶（底）角不确定【例1－1】（2020·徐州月考）等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与另一腰的夹角是（）度A．25或10B．40或10C．25或40D．60【答案】B.【解析】解：当顶角为50°时，AB=AC，∠A=50°，BD是AC边上的高，一腰上的高与另一腰的夹角∠ABD=90°-∠A=40°；当底角为50°时，AB=AC，∠ABC=∠C=50°，BD是AC边上的高，∴∠A=180°－∠ABC－∠C=80°一腰上的高与另一腰的夹角∠ABD=90°-∠A=10° 故答案为：B ．【变式1－1】（2020·贵州铜仁市月考）若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（ ）A ．40°、100°B ．70°、70°C ．40°、100°或70°、70°D ．以上都不对【答案】C.【解析】解：①当这个角为顶角时，底角=(180°-40°)÷2=70°；②当这个角是底角时，底角=40°，顶角为180°-2×40°=100°；综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．故答案为：C ．底（腰）不确定【例2－1】（2020·广西柳州市期中）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长等于（ ）A ．12B ．12或15C ．15D ．15或18 【答案】C.【解析】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；②当腰为3时，3+3=6，这样的三角形不存在；∴此等腰三角形的周长是15．故答案为：C ．【例2－2】（2020·湖北恩施月考）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在y 轴和x 轴上，60ABO ∠=︒，在坐标轴上找一点P ，使得PAB ∆是等腰三角形，则符合条件的P 点的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B.【解析】解：作线段AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，P4，此时AP=BP；以A为圆心AB为半径作圆；以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3、P2、P6、P4综上所述：符合条件的点P共有6个．故答案为B．【变式2－1】（2020·平原县月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），使△OAB 是等腰三角形，此时，点B的坐标不可能是（）A．（0，4）B．（2，4）C．（4，4）D．（4，2）【答案】D.【解析】解：将四个选项的点绘制在同一平面直角坐标系内，如图所示，可知点（4，2）符合题意，不可能构成等腰三角形，故答案为：D．【变式2－2】（2020·河南信阳市月考）如图，B是直线l上的一点，线段AB与l的夹角为α（0°＜α＜60°），点C在l上，若以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D.【解析】解：如图所示，满足条件的点共有4个，故答案为：D.【变式2－3】（2019·浙江台州市·八年级期末）如图，已知30AOB ∠=︒，点M ，N 在边OA 上，OM x =，2ON x =+，点P 是边OB 上的点，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好只有一个，则x 的取值范围是______．【答案】x=2或x>4.【解析】解：①当x=2时，OM=MN=2，此时MP=PN=MN=2，符合题意的P 点只有一个.②当x=4时，过M 点作MP ⊥OB 于P 点，∴MP=2=MN ，以P，M，N构成的等腰三角形的点P恰好有2个，故当x＞4时，等腰三角形恰好只有一个，故答案为：x=2或x>4．形状不确定【例3－1】（2020·兴化市月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角的度数为_________．【答案】50°或130°.【解析】解：（1）当三角形是锐角三角形时，根据题意可知∠CBD=40°，∴∠BCD=50°.（2）当三角形是锐角三角形时，同理，得∠ACB=130°故答案为50°或130°.=，BD为AC边上的高，【变式3－1】（2020·哈尔滨市月考）已知在ABC中，AB AC∠________．∠=︒，则ACB=50ABD【答案】20°或70°.【解析】解：①当AC边上的高BD在△ABC外部时，得：∠ADB=90°，∠ABD=50°，∠BAD=40°∴∠ACB=∠ABC=20°.②当AC边上的高BD在△ABC内部时，同理得∠ABC=∠ACB=70°．故答案是：20°或70°.条件不确定【例4－1】（2020·湖北黄冈市月考）在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为__________【答案】7或11.【解析】解：如图所示，设AB=AC=2x，则AD=CD=x，设BC=y①x+2x=15，x+y=12解得：x=5，y=7即底边长为7.②x+2x=12，x+y=15解得：x=4，y=11即底边长为11.经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长等于7或11．故答案为：7或11．【例4－2】（2020·南昌市心远中学八年级期中）很多三角形过它一个顶点的一条直线，可把它分成两个小等腰三角形．由此，请你探究如下几个问题．（1）如图1，在ABC 中，36A ∠=，AB AC =，12∠=∠，直线BD 交AC 于D ，求证：ABD △与DBC △都为等腰三角形；（2）请你在图2、图3中，分别过一个你认为合适的三角形顶点画出一条直线，把它们各自分成两个小等腰三角形，并在图中标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；（3）在（1）、（2）中，都是将一个等腰三角形，分成两个小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成两个小等腰三角形吗？若能，请你设计符合上述条件且6个内角度数均不同的两个三角形，并且分别过一顶点画一直线分成两个小等腰三角形；同时标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；若不能，请说明理由．【答案】见详解．【解析】解：（1）证明：在△ABC 中，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ，∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠A ）=72°， ∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=12∠ABC =36° ∴∠3=∠1+∠A=72°，∴∠1=∠A，∠3=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD与△BDC都是等腰三角形；（2）解：如下图所示：（3）解：如下图所示：【变式4－1】（2020·长春月考）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，DE ∥BC．（1）求证：△BED为等腰三角形；（2）点P为线段BD上一点，如果射线BC上的点Q满足△BPQ为等腰三角形，那么求出∠BQP的度数．【答案】（1）见解析（2）120°或75°或30°.【解析】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=30°∵DE∥BC∴∠EDB=∠DBC=30°∴∠EBD=∠EDB=30°∴BE=DE∴△BED为等腰三角形；（2）①当BQ=PQ时，BPQ1为等腰三角形，∵∠PBQ1=30°，∴∠BQ1P=180°-2∠PBQ1=120°②当BP=BQ时，BPQ2为等腰三角形，∵∠PBQ2=30°，∴∠BQ2P =12(180°-∠PBQ2)=75°③当BP=PQ时，BPQ3为等腰三角形，∵∠PBQ3=30°，∴∠BQ3P =∠PBQ3=30°综上，∠BQP的度数为120°或75°或30°．【题型二】全等三角形中的分类讨论对应边（角）不确定【例5－1】（2020·台州市月考）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D 运动．设运动时间为t（s），当△ACP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度为（）cm/s．A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5【答案】D.【解析】解：设点Q的运动速度是x cm/s，∵∠CAB=∠DBA，△ACP与△BPQ全等，分两种情况讨论：①AP=BP，AC=BQ，则1×t=4-1×t，则3=2x，解得：t=2，x=1.5；②AP=BQ，AC=BP，则1×t=tx，4-1×t=3，解得：t=1，x=1，故答案为：D．【变式5－1】（2020·武穴市期中）如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，Q点在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒．则当△BPD 与△CPQ全等时，v的值为（）A．2 B．3 C．2或3 D．1或5【答案】C.【解析】解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，∴BD=6厘米，分两种情况讨论：（1）若△BPD≌△CPQ，则BD=CQ=6厘米，BP=CP=12BC=12×8=4（厘米），∵点Q的运动速度为3厘米/秒，∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），∴v=4÷2=2（厘米/秒）；（2）若△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，∴863vtvt t-=⎧⎨=⎩，解得：v=3；∴v 的值为：2或3，故答案为：C ．【变式5－2】（2020·重庆月考）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．【答案】2或145． 【解析】解：由题意得，AP ＝3t ，BQ ＝2t ，则CP=8-3t ，CQ=6-2t分两种情况讨论：（1）当△PMC ≌△QNC 时，PC=QC ，则6-2t=8-3t ，解得t=2（2）当点P 已运动至BC 上，且与点Q 相遇时，符合题意，则PC=QC ，6-2t=3t －8，解得t=145故答案为：2或145． 位置不确定 【例6－1】（2020·北京西城区月考）如图，在ABC 中，()0,1A ，()3,1B ，()4,3C ，D是坐标平面上一点，若以A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，则点D 的坐标是________．【答案】（-1，3），（4，-1），（-1，-1）.【解析】解：D 点可为：D 1（-1，3），D 2（4，-1），D 3（-1，-1）.【例6－2】（2020·湖北黄冈市月考）如图，△ABC 中，点A 的坐标为（0，-2），点C 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（3，-1），要使△ACD 与△ACB 全等，那么符合条件的点D 有_______个．【答案】3.【解析】解：如图所示，使△ACD与△ACB全等，符合条件的点D有3个．故答案为：3．【变式6－1】（2020·河南商丘市期中）在平面直角坐标系中，点A（4，0）、B（3，2），点P在坐标平面内，以A、O、P为顶点的三角形与△AOB全等（点P与B不重合），写出符合条件的点P的坐标________________．【答案】（3，-2）或（1，2）或（1，-2）.【解析】解：如图：符合条件的点P有3个，（3，-2）或（1，2）或（1，-2）故答案为：（3，-2）或（1，2）或（1，-2）．，点B的【变式6－2】（2020·孝感市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)坐标为(2,2)-，点C 的坐标为(2,2)，将点A ，B 和原点O 顺次连接，围成三角形ABO ，请以OC 为边长，找出一点D （点D 不与点B 重合），使得以点O ，C ，D 为顶点的三角形全等于三角形ABO ，则点D 的坐标为______．【答案】（4，0）或（0,4）或（2，-2）.【解析】解：满足条件的点D 的坐标为（4，0）（0，4）（2，−2）．故答案为：（4，0）（0，4）或（2，−2）．【题型三】直角三角形中的分类讨论【例6－2】（2020·辽宁葫芦岛市）在ABC 中，AB AC =，点D 是射线AC 上的动点，连接BD ，以BD 为腰作等腰DBE ，使DB DE =，且DE 在DB 上方，CAB EDB ∠=∠，连接CE ：（1）如图1，若90CAB EDB ∠=∠=，过点D 作//DF AB 交BC 于点F ，则BCE ∠=_______度；（2）如图2，若90CAB EDB ∠=∠≠，判断BCE ∠与CAB ∠的大小关系？并说明理由. （3）如图3，若ABC 为等边三角形，4cm AB =，当BCE 是直角三角形时，直接写出CE 的长度．【答案】（1）90；（2）见解析；（3）2cm 或8cm.【解析】解（1）∵AB=AC ，∠ABC=90°∴△ABC 为等腰三角形，同理可证△BDE 为等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠DEB=∠DBE=45°∵DF ∥AB∴∠DFC=∠ABC=45°，∠CDF=∠BAC=90°∴DF=CD∵∠BDE=90°，∴∠BDF=∠CDE∴△CDE ≌△FDB∴∠DCE=∠DFB=∠DCB+∠ECB∵∠DFB=180°－∠CFD=135°∴∠BCE=∠DCE －45°=90°故答案为：90；（2）∠BCE=∠CAB理由是：过点D 作DF ∥AB 交BC 于F ，∴∠CDF=∠CAB ，∠DFC=∠ABC∵∠CAB=∠EDB∴∠CDF=∠EDB∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∴∠DFC=∠ACB又DF=CD ，BD=DE∴△DBF ≌△DEC∴∠DFB=∠DCE∵∠DFB=∠CDF+∠ACB∴∠CDF=∠BCE ，∴∠BCE=∠CAB（3）由（2）得，∠BCE=∠CAB=60°, 根据题意知，BC=AB=4cm ，①若∠CBE=90°时，则∠BEC=30°，∴CE=BC=8cm ；②若∠BEC=90°时，∠CBE=30°，∴CE=12BC=2cm. 【变式6－1】（2020·江西南昌市期中）如图，在△ABC 中，AB AC =，150BAC ∠=，点D 在边BC 上，将ABD △沿 AD 折叠，点B 的对应点为点F ，点G 在边BC 上，将ACG 沿AG 折叠，点C 的对应点也为点F ．（1）DFG ∠的度数为______．（2）设BAD ∠=α，当α为何值时， DFG △为等腰三角形？（3）DFG △能否为直角三角形？若能，请求出相应的α值：若不能，请说明理由． 【答案】（1）30°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵AB=AC ，∠BAC=150°∴∠B=∠C=15°由折叠知∠AFD=∠B=15°，∠AFG=∠C=15°∴∠DFG=∠AFD+∠AFG=30°.（2）当DG=FG 时，∠GDF=∠GFD=30°∠ADG=15°+α，∠DAF=∠BAD=α，①15+α+α+30+15=180，解得α=60②15+α+α+75+15=180，解得α=37.5③15+α+α+120+15=180，解得α=15综上：α的值为60°或37.5°或15°；（3）①当∠GDF=90°时，15+α+α+90+15=180，解得α=30；②当∠DGF=90°时，∵∠DFG=30°，∴∠GDF=60°15+α+α+60+15=180，解得α=45，综上：α的值为30°或45°．。
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教学案例
等腰三角形中的分类计算问题（习题课）
1
摘要等腰三角形是一种特殊的三角形，一些与等腰三角形的腰与底边，顶角与底角等有关的问题，往往因题目中的条件不够明确，需通过分类讨论才能加以解决。
学生遇到等腰三角形中有关分类讨论的问题时，大部分学生因分类不当，甚至不考虑分类而导致漏解或错解。
因此，我围绕“分类讨论”数学思想方法在等腰三角形中的应用而设计了本节习题课，从而提高学生运用数学思想来解决实际问题的能力。
关键词等腰三角形“分类讨论”数学思想习题课
一、指导思想：
《新课程标准》指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
这就要求我们在平时的教学中，不仅要传授数学知识、数学技能，而且还要把数学思维的方法交给学生，学生数学思想方法的灵活运用，可以把数学知识和技能转化为学生分析问题和解决问题的能力。
在义务教育阶段，“分类讨论”是一种重要的数学思想方法，特别是在等腰三角形中开始凸现，为了让学生掌握分类的方法，领会其实质。
我特地设计了这节“等腰三角形中的分类计算问题”的习题课，让学生加深对等腰三角形基础知识的理解，加深学生对“分类讨论”数学思想方法的更进一步认识。
二、教学背景：
1、教材分析: 等腰三角形是一种特殊的三角形，一些与等腰三角
形的腰与底边，顶角与底角等有关的问题，由于题目中的条件
不够明确，往往需要根据不同的情况通过分类讨论才能加以解
决。
2、学情分析: 学生学习了等腰三角形之后，对等腰三角形的特征、
性质及判定方法已有了一定的掌握，但遇到等腰三角形中有关
分类讨论的问题时，大部分学生因分类不当，甚至不考虑分类
而导致错解或漏解。
因此，围绕“分类讨论”的数学思想方法
在等腰三角形中的应用而设计了本节习题课，由此来提高学生
运用数学思想来解决实际问题的能力。
三、设计思路：
首先通过回忆等腰三角形的有关简单计算，让学生认识到分类的必要性，然后，通过三组例题及变式的探究，让学生归纳出等腰三角形中的三种分类情形：1、与角有关的分类（顶角与底角）2、与边有关的分类（腰与底边）3、其他分类：腰上高的位置（形内、形外）; 腰与底边的长短分类; 过直角顶点的直线（形内形外）.最后，通过作业，来反馈学习效果。
从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标分析：
1、知识与技能：让学生从具体的问题情境中探究理解“分类讨论”
的数学思想方法，并用此方法指导解决等腰三角形的计算问题。
2、过程与方法：让学生积极自主地参与课堂自主探究和合作交流，
并在其中运用、体验“分类讨论”的思想方法。
3、情感态度与价值观：使学生感受数学解题的严谨性、条理性，
形成实事求是的态度和独立思考、合作学习的习惯，通过让学
生体验克服困难的经历，让其获得成就感，并树立信心。
五、教学重难点：
1、教学重点：利用“分类讨论”的思想分析解决等腰三角形中的
有关问题。
2、教学难点：根据题意，正确画图，提高学生熟练而准确地解决
问题的能力
六、教学过程设计：
教学反思：
本教学设计是一节习题研讨课，重点是利用“分类讨论”的思想分析解决等腰三角形中的有关问题。
在教学设计中：我首先通过复习旧知，让学生认识到等腰三角形是一种特殊的三角形，一些涉及角、边等有关的问题，由于题目中的条件不够明确，往往有分类讨论的必要。
然后，通过三组典型例题的分析，引导学生归纳等腰三角形分类计算的一般常见题型：1、与角有关的分类（顶角与底角）2、与边有关的分类（腰与底边）3、其他分类：腰上高的位置（形内、形外）；腰与底边的长短分类；过直角顶点的直线（形内形外）等等。
最后，通过拓展练习，反馈学习效果。
本节习题课，我摒弃了平时习题课教学随意性大的不足，教学目标明确，重难点突出，教学思路明晰。
所选例题具有很强的针对性和代表性，特别是与例题相匹配的变式练习，体现灵活性强、一题多变、覆盖面广的特点。
让学生能达到举一反三、触类旁通之效。
本节课，我考虑到它的作用不仅是对《等腰三角形》章节习
题的补充、拓展，而还是对学生进行“分类讨论”数学思想方法的适时渗透，有助于培养学生全面分析问题的能力和品质。
在习题设置时，充分考虑问题的难易梯度和呈现次序，规律性明显，符合学生的认知特点。
作为习题课，我还考虑到该课型的特点主要以练习为主，不利于调动学生好奇心，学生容易疲劳。
于是我在教学中采用了讲授、分组讨论、学生板演、独立思考、作业展示、生生纠错、生生评价等多种方式，来激发学生全方位“参与”课堂的主动性，，提高课堂教学的效率和质量。
但在本节课教学中，也存在较多的不足之处，如巩固练习的第2题，因没有给出图形，学生的思维受阻，应考虑到用几何画板给出动态效果图，有助于帮助学生思维。
假如再能设计一个带有一个实际问题情景的习题，更能体现新课改理念，效果将更佳。
参考文献：1、《新课程标准》
2、少年智力开发报
3、九年级数学综合练习册
4、《2008年全国中考数学考试评价手册》。