几何中的分类讨论题
八年级数学几何题分类讨论
八年级数学几何题分类讨论八年级数学几何题主要涉及以下几个方面的分类讨论：一、点、线、面的性质1.点：讨论点的坐标、距离、中点等问题。
2.直线：讨论直线的斜率、截距、垂直平分线等问题。
3.平面：讨论平面的法向量、点到平面的距离、平面之间的位置关系等问题。
二、直线与角1.直线：讨论直线的位置关系、平行、相交、异面等问题。
2.角：讨论角的大小、角度、三角形的角度和、角的平分线等问题。
三、三角形1.分类：根据边长、角度、形状等特点进行分类讨论。
2.性质：讨论三角形的性质，如稳定性、等腰三角形、等边三角形等的性质。
3.判定方法：讨论判定三角形全等、相似的方法，如SSS、SAS、ASA等。
4.实际问题：利用三角形解决实际问题，如测量、建筑等领域的应用。
四、平行四边形1.性质：讨论平行四边形的性质，如对角线、中点、平行四边形面积等问题。
2.判定方法：讨论判定平行四边形的方法，如矩形、菱形、正方形的判定方法。
3.实际问题：利用平行四边形解决实际问题，如测量、设计等领域的应用。
五、矩形、菱形和正方形1.性质：讨论矩形、菱形和正方形的性质，如对角线、中点、面积、周长等问题。
2.判定方法：讨论判定矩形、菱形和正方形的方法，如对角线相等、菱形对角线垂直等方法。
3.实际问题：利用矩形、菱形和正方形解决实际问题，如测量、设计、建筑等领域的应用。
在解决几何题时，关键是要熟悉各种图形的性质和判定方法，掌握分类讨论的思想，同时要注意将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
(精心整理)相似三角形分类讨论
D C BA DCBA CBACBACB CP《相似三角形中分类讨论思想的运用》一、温故知新：1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？二、新知学习： 题组一:1.例1.如图所示，在ABC ∆中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ∆与ABC ∆相似，则AQ 的长为2.变式一：如图所示，在ABC ∆中，P 是AC 上一点，过P点的直线截ABC ∆交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ∆中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ∆，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条.探究：如果ABC ∆是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？题组二:1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则MCAM=CBCBCB2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= .3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合），2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长．三、课后反思：1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题.ACD ACDDC BAD CBAQPCBA CB ACB AAB C 四、检测反馈:1．已知在Rt ABC ∆中,︒=∠90C ,AB=5,AC=3,点D 是射线BC 上的一点，（不与端点B 重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，则BD= 2．在等腰ABC ∆中，AB=AC ，若一条中线长为6厘米，另一条中线为9厘米，则等腰ABC ∆的底边长为3. AD ∥BC,∠D=90°,DC=6,AD=2,BC=4.若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似，求DP 的长.4.如图,4,3,90==︒=∠=∠AC BC ABD ACB ，当ABC ∆与ADB ∆相似时 ，求AD 的长.5.拓展题：如图：在⊿ABC 中，∠C=90°,BC=6,AC=8. P 、Q 分别为AC 、BA 上的动点，且BQ=2AP,联结PQ,设AP=x.① 在点P 、点Q 移动的过程中，⊿APQ 能否与⊿ABC 相似？若能，请求出AP 的长；若不能，请说明理由。
第3讲 分类讨论思想在解析几何中的应用(原卷版)
第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用在解答某些数学问题时。
有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法。
是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。
分类讨论思想在数学问题具有明显的。
逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。
解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。
也是高考常考查的知识点。
【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用1、直线方程的几种形式2、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).3、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离．Δ＜0 Δ＞0 【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________. ．【思维提升】涉及到直线的方程问题。
若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。
这种问题也是经常考查也是学生最容易丢分的问题。
【变式1.1】（2023·山西·统考一模）经过()2,0A ,()0,2B ,()2,4C 三点的圆与直线240kx y k -+-=的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相交或相切D ．无法确定【变式 1.2】（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）若直线1:480l ax y ++=与直线2:3(1)60l x a y ++-=平行，则a 的值为（ ）A. 4-B. 3C. 3或4-D. 3-或6【变式1.3】 （202江苏扬州中学期中）（多选题）已知圆1O ：()22325x y +-=，圆2O ：()()2261125x y -+-=，下列直线中，与圆1O ，2O 都相切的是（ ） A ．34370x y +-=B ．34320x y ++=C ．43160x y --=D ．43340x y -+=【变式1.4】（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点()2,4P 引圆()()22111x y -+-=的切线，则切线的方程为（ ） A ．2x =-或4340x y +-= B ．4340x y -+= C ．2x =或4340x y -+=D ．4340x y +-=【应用二】分类讨论思想在圆锥曲线定义中的应用1、 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集．2、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 3、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．【例2.1】（四川省双流中学2022年高三上学期期中）设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129PF PF t t+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______.【思维提升】涉及到圆锥曲线的定义问题一定要考虑定义要满足的条件，否则轨迹就不一定是圆锥曲线，如椭圆中忽略条件就有可能轨迹是线段，或者不存在。
分类讨论思想第五篇_解析几何中的分类讨论思想_汪娟娟
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广东教育·高中 2015 年第 2 期
GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG
当 y0 ≠0 时 ， 直 线 l 的 方 程 为 y = 4y0-x0x ， 联 立 方 程 组
准 ， 依 次 进行 ， 不 遗 漏 . 三 、 参数的变化引起分类讨论 例 3. 平面内与两定点 A1（-a, 0 ） ， A2（a, 0 ）（a>0 ） 连线的 斜 率之积等于常数 m （m≠0 ） 的点的轨迹 ， 连同 A1， A2 两点所 形 成的曲线为 C． 求曲线 C 的方程 ， 并说明 C 的形状 . 解析 ： 设动点 m 的坐标为 (x ， y).
a
b
2 a =4 ， b =1． 故曲线 C 的方程为 x +y2=1. 4 2 2 2 (2) 当 y0=0 时 ， 由 x0 +y0 =1 可得 x0=±2. 此 时 直 线 l 的 方 程 4 2
20.
于是 an=a1+ （n-1 ）d=20-2 （n-1 ）=-2n+22.
为 x=0 ， 与曲线 C 有两个交点 （0 ，1 ） ， （0 ，-1 ）．
（21-n ）n ；
n>11 时 ， Sn=S11+2+4+ … +（2n-22）=110+ （n-11）（2+2n-22） = 2 n2-21n+220.
综上 ， Sn=
21-n n n≤11 * n -21n+220. n>11
（ ） ，
2
点评： 本题求和时出现了绝对值符号， 去掉绝对值符号 必 须 分 段 讨 论 . 而 | -2n +22 | 中 项 数 的 值 影 响 -2n +22 的 正 负 ， 以 -2n +22 ≥0 和 -2n +22<0 为 标 准 分 类 讨 论 . 数 列 中 的 分 类 讨 论 在 许 多 情 况 下 并 不 是 自 身 产 生 的 ， 而 是 试 题 载 体 引 起 的.比 如这里的绝对值 带 来的讨论 ， 在 解题 过 程中 要 引起注 意 . （ 作者单位 ： 安徽省太湖中学 ）
线段分类讨论典型题
线段分类讨论典型题
线段分类是几何学中一个重要的概念，我们可以从不同的角度
来讨论线段的分类。
首先，我们可以根据线段的长度来进行分类。
根据长度的不同，线段可以分为短线段、中线段和长线段。
短线段
指长度较短的线段，中线段指长度适中的线段，长线段指长度较长
的线段。
这种分类方法可以帮助我们在实际问题中对线段进行更直
观的理解和应用。
其次，我们还可以根据线段的位置来进行分类。
在平面几何中，线段可以分为水平线段、垂直线段和斜线段。
水平线段指与水平方
向平行的线段，垂直线段指与垂直方向平行的线段，而斜线段则指
与水平和垂直方向都不平行的线段。
这种分类方法有助于我们在坐
标系中描述和定位线段的位置关系。
另外，我们还可以根据线段的夹角来进行分类。
根据夹角的大小，线段可以分为锐角线段、直角线段和钝角线段。
锐角线段指线
段之间的夹角小于90度，直角线段指线段之间的夹角等于90度，
钝角线段指线段之间的夹角大于90度。
这种分类方法可以帮助我们
在几何问题中判断线段之间的夹角关系。
最后，我们还可以根据线段的位置关系来进行分类。
在几何学中，线段可以分为相交线段、平行线段和重合线段。
相交线段指两条线段在某一点相交，平行线段指两条线段永远不会相交，重合线段指两条线段完全重合。
这种分类方法可以帮助我们在研究线段的交点和重合情况时进行分析和讨论。
综上所述，线段的分类可以从长度、位置、夹角和位置关系等多个角度进行讨论，不同的分类方法可以帮助我们更好地理解和运用线段的性质和特点。
分类讨论思想在几何中的应用
分类讨论思想．．．．．．在几何中的应用1.如果两个角的两条边分别垂直，那么这两个角 。
2.如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角 。
3.等腰三角形有一个角为50度，其它各角是 。
4.在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝8，AC ＝5，则BC 的长是 。
5.在同一平面内，过已知直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线 。
6.等腰三角形的一边为8cm ，另一边为11cm ，则这个三角形的周长为 cm 。
7.在△ABC 中，BC ＝6，它的外接圆的半径为2，∠A ＝ 。
8.在⊙O 中，两条弦AB 和CD 互相平行，且AB ＝6，CD ＝8，⊙O 的半径为15，则AB 与CD 之间的距离为 。
9. 在△ABC 中，三边为整数时，且BC 的取值范围是2＜BC ＜12，则AC ＝ ，AB ＝ 。
10.等腰△ABC 中的其中一边为2cm ，且有一个角为30°，则这个△的周长是 cm 。
11.已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过C 点作直线L ∥AB,在直线L 上取一点D ，使AD ＝AB ，求∠BAD 的度数。
12.已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，它的内接矩形EFGH 的面积为35，E 、H 两点分别在AC 、BC 边上，线段FG 落在AB 边上，求AF 和GB 的长。
13. 已知在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，S △ABC＝53，求∠ABC 的度数和AC 的长。
14.知在△ABC 中，cos A ＝54，∠B ＝45°，且其中一边上的高为3，求△ABC 各边长。
15.已知直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DA ⊥AB ，CD ＝2，AB ＝3,AD ＝7，在AD 上取一点P ，使以P 、A 、B 为顶点的和以P 、C 、D 为顶点的两个三角形相似，求PD 的长。
16.如图，直线y ＝kx+b 交x 轴于B ，C 点在线段AB 上，若△AOC 是等腰三角形，求直线OC 解析式。
几何图形中的分类讨论(圆专题)
圆与圆相切的位置关系不确定
已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm， 则这两个圆的圆心距为 。
相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性
通过本节课的学习你有哪些收获？
与圆有关的分类讨论，常根据位置关系不确定进行分类：
1、点与圆的位置关系不确定
2、点在圆上位置不确定
3、两弦与圆心的位置关系不确定 4、圆与圆相切的位置关系不确定 5、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性
• （1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d=11-2t， 当t＞5.5时，函数表达式为d=2t-11； （2）两圆 相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外 切，由题意，可得11-2t=1+1+t，t=3； ②当两 圆第一次内切，由题意，可得11-2t=1+t-1，t= 11/3； ③当两圆第二次内切，由题意，可得2t11=1+t-1，t=11； ④当两圆第二次外切，由题 意，可得2t-11=1+t+1，t=13． 所以，点A出发 后3秒、 11/3秒、11秒、13秒时两圆相切
根据某一标准将数学对象分为不同种 类，然后分别对它们进行讨论，得出各 种情况下相应结论的数学思想方法。
分类讨论是一种重要的数学思想方法也是一种解题的策略！ 在几何图形中，我们常根据位置关系不确定进行分类。 大多数表现为没有图，或题意不明确。
1、若点P是⊙O所在平面内的一点，到 ⊙O上各点最小距离是1，到⊙O的最大距 3 或 4 离是7，该圆的半径为____________
1、相距2cm的两个点A、B在直线l上．它们分别以 2cm/s和1cm/s的速度在直线l上同时向右平移，经过 t（s）后点A，B分别平移到点A1，B1的位置，⊙A1的 半径为1cm，以B为圆心BB1为半径作⊙B ． （2） 问A出发后多少秒， ⊙A1恰好与⊙B相切． （1）试写出点A1B之间的距离d（cm ）与时间t（s） 之间的函数表达式；
分类讨论初一例题
分类讨论初一例题摘要：一、引言二、初一数学分类讨论的重要性三、初一数学分类讨论例题解析1.几何图形分类讨论2.代数分类讨论3.概率分类讨论四、总结与建议正文：【引言】在初中数学的学习过程中，分类讨论是一种基本且重要的思维方法。
本文将针对初一数学中的分类讨论进行例题解析，帮助大家更好地理解和掌握这一方法。
【初一数学分类讨论的重要性】分类讨论是数学中一种常用的思考问题的方法，通过对问题进行合理的分类，可以将复杂的问题转化为简单的子问题，从而更容易找到解决问题的途径。
在初中数学的学习中，分类讨论涉及到几何、代数、概率等多个方面，因此掌握好这一方法对于初一学生来说至关重要。
【初一数学分类讨论例题解析】【几何图形分类讨论】例题1：一个正方体长宽高分别为a、b、c，求这个正方体的对角线长度。
解析：根据正方体的性质，可以将其分为三个相互垂直的面，分别计算对角线长度再相加。
例题2：一个长方体长宽高分别为a、b、c，求这个长方体的对角线长度。
解析：根据长方体的性质，可以将其分为两个相互垂直的面，分别计算对角线长度再相加。
【代数分类讨论】例题3：已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为x1和x2，求a、b、c的关系。
解析：根据一元二次方程的求根公式，可以得到x1和x2的表达式，进一步推导可得到a、b、c的关系。
例题4：已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为x1和x2，求a、b、c与x1、x2的关系。
解析：根据一元二次方程的求根公式，可以得到x1和x2的表达式，进一步推导可得到a、b、c与x1、x2的关系。
【概率分类讨论】例题5：一个袋子里有5个红球和3个绿球，从中任意取出一个球，求取出红球的概率。
解析：根据概率的定义，红球的概率等于红球的个数除以总球数。
【总结与建议】通过以上例题解析，我们可以看出分类讨论在初一数学中的重要性。
因此，初一学生在学习过程中应注重培养分类讨论的思维习惯，这将有助于提高解题能力和数学素养。
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几何中的分类讨论题
1、有一三角铁片ABC，已知最长边BC=12cm，高AD=8cm，要把他加工成一个矩形
铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍。
问：加工成的铁片的面积为多少平方厘米？
2、如图所示，现有一边长为12cm的正方形纸片，E为正方形的边AD上一点，
AE=10cm，现欲从正方形纸片上剪下等腰三角形AEP（要求该等腰三角形的另一顶点P也在正方形的一边上）
3、正在修建的冬奥会的体育馆外有一块边长为6和8的直角三角形空地需要绿化,从三
角形的直角顶点出发作射线,将△ABC分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草,请你帮助画出图案,并计算出每块面积.
4、为了美化校园，决定把两种花栽种到一块等腰三角形的花圃中，要求一腰上的中线把两种花分开，并把三角形的周长分成9m和15m两部分，求花圃的面积。
5、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计）请你计算这块等腰三角形菜地的面积。
6、在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cn，宽为16cm的长方形纸板上剪下一个
腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。
7、红光中学有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测到∠A=30°，AC=40米，
BC=25米，请你求出这块花圃的面积。
8、美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长10米的等腰三角形绿
地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
9、已知四边形ABCD，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相交于O，AD=7，BD=10，∠BOC=120°，画出图形并求四边形面积。
10、一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B，在A的北偏东45度方向还有
一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B、C间的距离是60千米，想到经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P与加油站A的距离（结果可保留根号）。
11、等腰梯形的上底长为2，下底长为3，且梯形的四个顶点都在边长为4的正方形的边上，求这个梯形的面积。