2020届北京101中学2017级高三下学期统练(四)数学试卷及答案
2020届北京101中学2017级高三下学期统练（四）
数学试卷
★祝考试顺利★
一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x|x>-1},集合B={x|x(x+2)<0},那么A ∪B 等于( )
(A){x|x>-2} (B){x|-1<x<0} (C){x|x> -1} (D){x|-1 <x< 2}
2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()
()A y x = (B) f(x)= xsinx 2()()||C f x x x =+ (D)y=|x+ 1|
3.如果b<a<0,那么下列不等式成立的是( )
22()log ||log ||A b a <
11()()()22b a B < 33()C b a > 2()D ab b <
4.双曲线2
21(0)x y m m
-=>的一条渐进线方程为x+ 2y= 0,那么它的离心率为() ()3A ()5B 6()C 5()D 5.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）
(A) 1 (B)2 (C) 3 (D) 0
6.设直线l 过点A(0,-1),且与圆C:2220x y y +-=相切于点B,那么AB AC ⋅=u u u r u u u r ()
(A) ±3
(B) 3 (3C (D) 1
7.设点A, B,C 不共线,则“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“||||AB AC =u u u r u u u r ”的( ) (A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件
(D)既不充分又不必要条件
8.将函数f(x)= cos2x 图像上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数g(x)的图像,如果g(x)在区间[0,a]上单调递减,那么实数a 的最大值为()
()8A π
()4B π
()2C π
3()4
D π 9.有一改形塔几何体由若千个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的棱长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
(A)8 (B) 7 (C)6 (D)4
10. 全集U={(x,y)|x ∈Z ,y ∈Z },非空集合,S U ⊆且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y= x 均对称.下列命题:
①若(-1,-3)∈S,则(1,3)∈S;
②若(0,2)∈S,则S 中至少有8个元素;
③若(0,0)∉S,则S 中元素的个数一定为偶数;
④若集合{(x,y)|x=0,y ∈Z }⊆S,则集合{(x,y)|x ∈Z ,y=0}⊆S.
其中正确命题的个数是()
(A)0 (B) 1 （C) 2 (D) 3
二、填空题共6小题。
11.如果复数z 满足i ·z=1+i,那么|z|=____. (i 为虚数单位).
12.已知4(),25
sin πα+=-那么tanα·sin α=_____ 13. 设常数a ∈R ,如果25()a x x
+的二项展开式中x 项的系数为-80,那么a=_____ 14.如果抛物线22y px =上一点A(4, m)到准线的距离是6,那么m=____
15.某公园划船收费标准如下:。
精选2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(北京卷,含答案)
绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞ （2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市101中学2017届高三上学期统考二_数学试卷(理科)(含答案)word版
北京市101中学2017届上学期高三年级统考二数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{}xy x M 2|==，(){}22lg |x x y x N -==，则N M ⋂为A. （0，2）B. （2，∞+）C. （0，∞+）D. ()()∞+⋃∞-,20, 2. 在△ABC 中，“B A >”是“B A sin sin >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知等比数列{}n a 中，11=a ，公比≠||q 1，若54321a a a a a a m =，则=m A. 9B. 10C. 11D. 124. 已知p ：存在01,2≤+∈mx R x ；q ：对任意R x ∈，>++12mx x 0，若q p 或为假，则实数m 的取值范围为A. 2-≤mB. 2≥mC. 22-≤≥m m 或D. 22≤≤-m5. 函数()cos 2=x f 12sin 2-+x x ，给出下列四个命题： ①函数在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,8ππ上是减函数； ②直线8π=x 是函数图象的一条对称轴；③函数()x f 的图象可由函数x y 2sin 2=的图象向左平移4π而得到； ④若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则()x f 的值域是[0，2]。
其中正确命题的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知数列{}n a 的通项公式()*1log 2N n n na n ∈+=，设其前n 项和为n S ，则使4-<n S 成立的自然数n 有 A. 最大值15B. 最小值15C. 最大值16D. 最小值167. E ，F 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF=A.2716 B.32 C.43D. 338. 已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，()()x f x f -=+4，在[]2,0上()x f 是增函数，则下列结论：①若210x x <<<4且421=+x x ，则()()021>+x f x f ；②若5,402121=+<<<x x x x 且，则()()21x f x f >；③若方程()[]8,8-=在m x f 内恰有四个不同的解4321,,,x x x x ，则84321±=+++x x x x 。
2018届北京市北京101中学3月份高三理零模试卷(解析版)
北京一零一中2017-2018学年度第二学期统考四高三数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 已知集合,,那么A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以，=，选B.2. 若满足则的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.设得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大. 由，解得，即，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故选C.3. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为则输出的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】初始值k=1,S=0第一次循环：S=2,k=2第二次循环：S=2+4=6,k=3,第三次循环：S=2+4+6=12,k=4,……第十次循环：S=2+4+6+…+20=220,k=11,11>10,退出循环，输出S=220.选B.4. 设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．5. 若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的图像向左平移个单位长度得所以，选B.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.6. 如图,正方体的棱长为2,动点在棱上,动点分别在棱上,若大于零则四面体的体积A. 与都有关B. 与有关,与无关C. 与有关,与无关D. 与有关,与无关【答案】D【解析】如图：在棱上，在棱上，，所以的高为定值，又为定值，所以的面积为定值，四面体的体积与点到平面的距离有关，即与的大小有关，故选．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．7. 已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.8. 定义“规范数列”如下:共有项,其中项为0,项为且对任意中的个数不少于的个数,若则不同的“规范01数列”共有A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】枚举找规律，新加的两个数0,1必须是0在1前，所以把前面数排列，插到01排列中，共三种2个数时只有0,14个数时，把0,1，插入到01中，共三种，有一个重复，所以减1，共2种，0011，01016个数时，把前面0011，0101插入到01，共6种，1种重复，所以共5种。
北京一零一中学2020届高三10月月考数学试题含答案
北京101中学2020届高三年级上学期10月月考数学试卷一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设集合A={－1，l ，2}，B={a +1，22-a }，若A I B={－1，2}，则a 的值为（ ）A. －2或－1B. 0或1C. －2或1D. 0或－22. 已知向量a =（1，－2），b =（m ，4），且a ∥b ，那么2a －b 等于（ ） A. （4，－8）B. （4，0）C. （0，4）D. （－4，8）3. 已知∈α（23,2ππ），且tan α=2，那么sin α=（ ）A. 36B. 33C.33-D.36-4. 在数列{na }中，若11=a ，321+=+n n a a （n ∈N*），则101a =（ ）A. 2100－3B. 2101－3C. 2102－lD. 2102－35. 若定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意1x ，2x ∈R 有)(21x x f +=)()(21x f x f ++1，则下列说法一定正确的是（ ）A. )(x f 为奇函数B. )(x f +l 为奇函数C. )(x f 为偶函数D. )(x f +1为偶函数6. 在△ABC 中，“cosA<cosB ”是“sinA>sinB ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设1x ，2x ，3x 均为实数，且)1(log )31(121+=x x ，23log )31(2x x =，32log )31(3x x =，则（ ）A. 1x <3x<2xB.3x <2x <1x C. 3x<1x <2x D. 2x <1x <3x8. 设函数)(x f =sin （5πω+x ）（ω>0），已知)(x f 在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①)(x f 在（0，2π）有且仅有3个极大值点； ②)(x f 在（0，2π）有且仅有2个极小值点；③)(x f 在（0，10π）单调递增；④ω的取值范围是[512，1029）。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(北京卷,含答案)
绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞ （2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020北京101中学高三(下)统练(一)数学含答案
2020北京101中学高三（下）统练（一）数学一、选择题.共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知a＝，b＝，c＝，则（ ）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b2．（3分）已知x，y为正实数，则（ ）A．2lgx+lgy＝2lgx+2lgy B．2lg（x+y）＝2lgx•2lgyC．2lgx•lgy＝2lgx+2lgy D．2lg（xy）＝2lgx•2lgy3．（3分）设，是向量，则“||＝||”是“|+|＝|﹣|”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（3分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（ ）A．18个B．16个C．14个D．12个6．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A．18+36B．54+18C．90 D．817．（3分）函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z8．（3分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（ ）A．2 B．4 C．6 D．89．（3分）已知F1，F2是双曲线E：﹣＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．210．（3分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y＝与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）＝（ ）A．0 B．m C．2m D．4m二、填空题共6小题．11．（3分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答案）12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．13．（3分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是 （填序号）14．（3分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是 ．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是 ．15．（3分）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是 ．16．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为 ．三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tan A+tan B）＝+．（Ⅰ）证明：a+b＝2c；（Ⅱ）求cos C的最小值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．19．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C 的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P 的坐标．21．已知函数f（x）＝e x+x2﹣x，g（x）＝x2+ax+b，a，b∈R．（1）当a＝1时，求函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）若曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线l与曲线y＝g（x）切于点（1，c），求a，b，c的值；（3）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．22．记U＝{1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T＝∅，定义S T＝0；若T＝{t1，t2，…，t}，定义S T＝++…+．例如：T＝{1，3，66}时，S T＝a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，S T＝30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．2020北京101中学高三（下）统练（一）数学参考答案一、选择题.共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】a＝＝，b＝，c＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝（22）＝＜＜a，c＝＝＞＝＝a，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．2．【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．【解答】解：因为a s+t＝a s•a t，lg（xy）＝lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）＝2lgx+lgy＝2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选：D．【点评】本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查．3．【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：若“||＝||”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；若“|+|＝|﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；故“||＝||”是“|+|＝|﹣|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“||＝||”与“|+|＝|﹣|”表示的几何意义，是解答的关键．4．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m＝4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．6．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个斜四棱柱，如图所示：其上底面和下底面面积为：3×3×2＝18，侧面的面积为：（3×6+3×）×2＝18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18＝54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．7．【分析】由图象可得函数正确，进一步求出离y轴最近的两对称轴的横坐标，数形结合可得f（x）的单调递减区间．【解答】解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．【点评】本题考查由y＝A sin（ωx+φ）型的部分图象求函数解析式，考查三角函数的性质，是基础题．8．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2＝2px，如图：|AB|＝4，|AM|＝2，|DE|＝2，|DN|＝，|ON|＝，x A＝＝，|OD|＝|OA|，＝+5，解得：p＝4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．9．【分析】由条件MF1⊥MF2，sin∠MF2F1＝，列出关系式，从而可求离心率．【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则|MF1|＝，|MF2|＝，∴sin∠MF2F1＝，∴＝，可得：2b4＝a2c2，即b2＝ac，又c2＝a2+b2，可得e2﹣e﹣＝0，e＞1，解得e＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．10．【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）＝2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y＝，即y＝1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y＝，即y＝1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有（x i+y i）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）＝[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）]＝m．故选：B．【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题共6小题．11．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1＝＝25﹣r，令5﹣＝3，解得r＝4∴x3的系数2＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d＝＝≤，∴m＝1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝2．故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．13．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．14．【分析】（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i＝A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案．（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1＝A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2＝A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3＝A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．15．【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a，b的关系，再使用基本不等式得出答案．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y﹣1＝0与直线x+by﹣1＝0平行，∴﹣a＝﹣，且．即a＝且b≠1．∵a＞0，b＞0．∴a+b＝b+＞2．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题．16．【分析】对任意n∈N*，S n∈{2，3}，列举出n＝1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n＝1时，a1＝S1＝2或3；若n＝2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n＝3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n＝4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，带入并整理可得2（sin A cos B+cos A sin B）＝sin A+cos B，这样根据两角和的正弦公式即可得到sin A+sin B＝2sin C，从而根据正弦定理便可得出a+b＝2c；（Ⅱ）根据a+b＝2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab＝4c2，从而得出a2+b2＝4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab 得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cos C的范围，进而便可得出cos C的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cos A cos B得，2（sin A cos B+cos A sin B）＝sin A+sin B；∴2sin（A+B）＝sin A+sin B；即sin A+sin B＝2sin C（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b＝2c；（Ⅱ）a+b＝2c；∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝4c2；∴a2+b2＝4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a＝b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，＝；∴cos C的最小值为．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．18．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD＝AC＝，∴CO⊥AD，又∵PA＝PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则＝；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．19．【分析】（1）求出f（p）＝，则＝，利用导数性质能求出f（p）的最大值点p0＝0.1．（2）（i）由p＝0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），再由X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，能求出E（X）．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）＝490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），则f（p）＝，∴＝，令f′（p）＝0，得p＝0.1，当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，∴f（p）的最大值点p0＝0.1．（2）（i）由（1）知p＝0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E（X）＝490＞400，∴应该对余下的产品进行检验．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x＝x0，可得y＝﹣．进而得到定直线；（ii）由直线l的方程为y＝x0x﹣y0，令x＝0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1＝|FG|•|x0|＝x0•（+y0），S2＝|PM|•|x0﹣|，化简整理，再1+2x02＝t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．【解答】解：（I）由题意可得e＝＝，抛物线E：x2＝2y的焦点F为（0，），即有b＝，a2﹣c2＝，解得a＝1，c＝，可得椭圆的方程为x2+4y2＝1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02＝2y0，由y＝x2的导数为y′＝x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0＝x0（x﹣x0），可化为y＝x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1＝0，△＝64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y＝﹣x，可令x＝x0，可得y＝﹣．即有点M在定直线y＝﹣上；（ii）直线l的方程为y＝x0x﹣y0，令x＝0，可得G（0，﹣y0），则S1＝|FG|•|x0|＝x0•（+y0）＝x0（1+x02）；S2＝|PM|•|x0﹣|＝（y0+）•＝x0•，则＝，令1+2x02＝t（t≥1），则＝＝＝＝2+﹣＝﹣（﹣）2+，则当t＝2，即x0＝时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．21．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据切线方程求出a，b，c的值即可；（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），求出函数的导数，通过讨论a的范围，问题转化为b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1），得到a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1，令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1，x＞0，根据函数的单调性求出a+b的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）＝e x﹣2x﹣b，则F'（x）＝e x﹣2．令F'（x）＝e x﹣2＞0，得x＞ln2，所以F（x）在（ln2，+∞）上单调递增．令F'（x）＝e x﹣2＜0，得x＜ln2，所以F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减．…（4分）（Ⅱ）因为f'（x）＝e x+2x﹣1，所以f'（0）＝0，所以l的方程为y＝1．依题意，，c＝1．于是l与抛物线g（x）＝x2﹣2x+b切于点（1，1），由12﹣2+b＝1得b＝2．所以a＝﹣2，b＝2，c＝1．…（8分）（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，则h（x）≥0恒成立．易得h'（x）＝e x﹣（a+1）．（1）当a+1≤0时，因为h'（x）＞0，所以此时h（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．①若a+1＝0，则当b≤0时满足条件，此时a+b≤﹣1；②若a+1＜0，取x0＜0且，此时，所以h（x）≥0不恒成立．不满足条件；（2）当a+1＞0时，令h'（x）＝0，得x＝ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．所以h（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．要使得“h（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立”，必须有：“当x＝ln（a+1）时，h（x）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0”成立．所以b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．则a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1．令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1，x＞0，则G'（x）＝1﹣lnx．令G'（x）＝0，得x＝e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，当x＝e时，G（x）max＝e﹣1．从而，当a＝e﹣1，b＝0时，a+b的最大值为e﹣1．综上，a+b的最大值为e﹣1．…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T＝a2+a4＝a2+9a2＝30，计算可得a2＝3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k＝1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A＝∁C（C∩D），B＝∁D（C∩D），则A∩B＝∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B＝∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）等比数列{a n}中是公比为3的等比数列，则a4＝3a3＝9a2，当T＝{2，4}时，S T＝a2+a4＝a2+9a2＝30，因此a2＝3，从而a1＝＝1，故a n＝3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k＝1+3+32+…+3k﹣1＝＜3k＝a k+1，（3）设A＝∁C（C∩D），B＝∁D（C∩D），则A∩B＝∅，分析可得S C＝S A+S C∩D，S D＝S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D＝S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S A≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B＝∅，则S B＝0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a1+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B＝∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m＝1+3+32+…+3m﹣1＝≤＝，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．word下载。
北京一零一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析
北京一零一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a，侧棱长为2a，其体积为，若它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )A. 4B.C. 8D.参考答案：B2. 如图，在三棱锥中，面，，，，，则（）A．B．C．D．参考答案：D根据题意可得，设，则，，在中，，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故选D．3. 若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B4. 设复数满足，则（）A．B．C．D．参考答案：A5. 已知向量，若，则实数（）A. 2B. －2C.D.参考答案：D【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．【详解】向量（2，﹣1），（1，λ），则（4，﹣1+2λ），（3，﹣2﹣λ），又（）∥（），所以4（﹣2﹣λ）﹣3（﹣1+2λ）＝0，解得λ．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．6. 设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e 是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3参考答案：C【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．7. 若展开式各项系数和为256，设为虚数单位，复数的运算结果为（）A．4 B．-4 C．2 D．-2参考答案：B8. 已知，，若，那么与在同一坐标系内的图像可能是（）参考答案：C略9. 过椭圆+=1（0<b<a）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是（）A．ab B．ac C．bc D．b2参考答案：C略10. 已知则A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调减区间为 .参考答案：（-1,11）12. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足，则______参考答案：【分析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.【详解】解：，可得时，，时，，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.13. 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0.则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________．参考答案：2略14. 某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第（）项能力特征用表示，若学生的十二项能力特征分别记为，，则两名学生的不同能力特征项数为（用表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有名学生两两综合能力差异较大，则这名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为．参考答案：22设第三个学生为则不同能力特征项数总和恰为22 ，所以最小值为22 ．15. 下面有六个命题：①函数在第一象限是增函数.②终边在坐标轴上的角的集合是③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点.④函数⑤的图象中一条对称轴是⑥函数的最小正周期是。
2019-2020学年北京市101中学高三(下)统练数学试卷(四)(含答案)
2019-2020学年北京市101中学高三（下）统练数学试卷（四）一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，集合B＝{x|x（x+2）＜0}，那么A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|x＞﹣1}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝B．f（x）＝x sin x C．f（x）＝x2+|x|D．y＝|x+1|3．（3分）如果b＜a＜0，那么下列不等式成立的是（）A．log2|b|＜log2|a|B．C．b3＞a3D．ab＜b24．（3分）双曲线）的一条渐近线方程为x+2y＝0，那么它的离心率为（）A．B．C．D．5．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．06．（3分）设直线l过点A（0，﹣1），且与圆C：x2+y2﹣2y＝0相切于点B，那么＝（）A．±3B．3C．D．17．（3分）设点A，B，C不共线，则“，”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8．（3分）将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数a的最大值为（）A．B．C．D．9．（3分）有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8B．7C．6D．410．（3分）全集U＝{（x，y）|x∈Z，y∈Z}，非空集合S⊆U，且S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x轴、y轴和直线y＝x均对称．下列命题：①若（1，3）∈S，则（﹣1，﹣3）∈S②若（0，4）∈S，则S中至少有8个元素；③若（0，0）∉S，则S中元素的个数一定为偶数；④若{（x，y）|x+y＝4，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）||x|+|y|＝4，x∈Z，y∈Z}⊆S其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题共6小题．11．（3分）如果复数z满足i•z＝1+i，那么|z|＝（i为虚数单位）．12．（3分）已知，那么tanα•sinα＝13．（3分）设常数a∈R，如果的二项展开式中x项的系数为﹣80，那么a＝．14．（3分）如果抛物线y2＝2px上一点A（4，m）到准线的距离是6，那么m＝．15．（3分）某公园划船收费标准如表：船型两人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）每船租金（元/小时）90100130某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为元，租船的总费用共有种可能．16．（3分）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是数列{a n}的前n项和．（1）如果a1＝＝﹣4，那么q＝；（2）如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，在下列关于{a n}的三组量中，一定能成为数列{a n}的“基本量”的是．（写出所有符合要求的组号）①S1与a3；②S2与S3；③q与S3；三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（13分）在△ABC中，∠B＝，_______，求BC边上的高．从①sin A＝，②sin A＝3sin C，③a﹣c＝2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18．（13分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表．[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）时间人数学生类别性别男69101094女51213868学段初中x81111107高中（Ⅰ）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的概率：（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25，30）的学生中抽取3人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；（Ⅲ）当x＝5时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直接写出结果）19．（13分）如图，在三棱柱ADF﹣BCE中，平面ABCD⊥平面ABEF，侧面ABCD为平行四边形，侧面ABEF为正方形，AC⊥AB，AC＝2AB＝4，M为FD的中点．（Ⅰ）求证：FB∥平面ACM；（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣F的大小．20．（13分）已知椭圆C：0）的两个焦点是F1，F2，在椭圆C上，且|MF1|+|MF2|＝4，O为坐标原点，直线l与直线OM平行，且与椭圆交于A，B两点．连接MA、MB与x轴交于点D，E．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：为定值．21．（14分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．（1）讨论f（x）的单调性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．22．（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列{a n}构成：①；②存在实数M，使a n≤M．（n为正整数）（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a n}、{b n}中，其中a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝1，b2＝4，b3＝5，b4＝4，b5＝1，试判断数列{a n}、{b n}是否为集合W中的元素；（Ⅱ）设{c n}是等差数列，S n是其前n项和，c3＝4，S3＝18，证明数列{S n}∈W；并写出M的取值范围；（Ⅲ）设数列{d n}∈W，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使d k＝M．求证：d k+1＞d k+2＞d k+3．。
2020届北京一零一中学高三第二学期统练(二)数学试题(解析版)
2020届北京一零一中学高三第二学期统练（二）数学试题一、单选题 1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】通过韦恩图，可知所求集合为，求解出集合，利用集合运算知识求解即可。
【详解】 由，即图中阴影部分表示的集合为：又本题正确选项： 【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题。
2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <【答案】D【解析】∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D3．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【解析】对于A ，利用空间中面面的位置关系即可判定A 错误，对于B ，利用线面垂直的性质即可判定B 正确，对于C ，利用面面垂直的判定即可得到C 错误，对于D ，利用线面的位置关系即可判定故D 错误. 【详解】若//l α，l β//，则平面,αβ可能相交，也可能平行，故A 错误. 若l α⊥，l β⊥，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B 正确. 若l α⊥，l β//，则存在直线m α⊂，使//l m ，则m α⊥，故此时αβ⊥， 故C 错误.若αβ⊥，//l α，则l 与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D 错误. 故选：B . 【点睛】本题主要考查空间中面面的位置关系和线面的位置关系，同时考查了线面垂直的性质，属于简单题.4． 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即45+47=462，众数是45，极差为68-12=56.所以选A.点评：此题主要考察样本数据特征的概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体.5．“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先求出关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为：240p =-<V ，即22p -<<，再由“2p <”与“22p -<<”的关系得解．【详解】解：关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为：240p =-<V ， 即22p -<<，又“2p <”不能推出“22p -<<”， “22p -<<”能推出“2p <”，即“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的必要不充分条件，故选B ． 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题 6．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】通过正弦定理可得的范围即为的范围，通过整理可求得，再利用的范围求得的取值范围，得到最终结果。
北京市一零一中学高三下学期统考四数学试题(解析版)
一、单项选择题1．集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，那么图中阴影局部表示的集合是〔 〕A ．[]1,3B ．(]1,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【答案】C【分析】根据所给图形结合补集的韦恩图表示得出所求的集合表示式，由此得解. 【详解】依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影局部表示的集合是BA ，因集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，那么有{1,2,3}BA =-，所以图中阴影局部表示的集合是{}1,2,3-. 应选：C 2．复数1iiz在复平面内对应的点位于〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】化简复数21(1)=(1)1i ii i iz i i ++==--=-，再判断对应点所在象限. 【详解】21(1)=(1)1i ii i iz i i ++==--=- 所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限， 应选：D【点睛】此题考查复数的除法运算，复数在复平面上对应的点的坐标,属于根底题. 3．0a >，0b >，1a b +=，那么11a b+的最小值是〔 〕 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据根本不等式“1〞的用法求解即可. 【详解】因为0a >，0b >，1a b +=， 所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭, 当且仅当12a b ==时等号成立, 应选:B【点睛】易错点睛：利用根本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 〔1〕“一正二定三相等〞“一正〞就是各项必须为正数；〔2〕“二定〞就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，那么必须把构成积的因式的和转化成定值；〔3〕“三相等〞是利用根本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，假设不能取等号那么这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 4．2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，那么a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log e >1a =，()21ln 20,1log ==∈b e ，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 此题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，假设底数不同，那么首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5．设,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出以下三个结论：①假设,m n αα⊥⊥，那么//m n ；②假设,m m αβ⊥⊥，那么//αβ；③假设αγ⊥，βγ⊥，那么//αβ．其中，正确结论的个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】【详解】,m n αα⊥⊥，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得//m n ，即①正确；,m m αβ⊥⊥，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得//αβ，即②正确；αγ⊥，βγ⊥，如墙角处的三个平面两两垂直，可判定,αβ相交，即//αβ不成立，③不正确，故给定的三个结论只有①和②两个正确. 应选：C6．设,m n 为非零向量，那么“0m n ⋅>〞是“存在整数λ，使得λ=m n 〞的〔 〕 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】考查由“0m n ⋅>〞与“存在整数λ，使得λ=m n 【详解】因,m n 为非零向量，设,m n 的夹角为θ，那么cos ||||m nm n θ⋅=⋅，假设0m n ⋅>，那么cos 0θ>，θ是0或锐角，而θ是锐角时，λ=m n 不成立，即“0m n ⋅>〞“存在整数λ，使得λ=m n 〞；假设有“存在整数λ，使得λ=m n 〞，取,0Z λλ∈≤并且λ=m n ，那么20m n n n n λλ⋅=⋅=≤，即0m n ⋅>不成立，“存在整数λ，使得λ=m n 〞“0m n ⋅>〞，综上得“0m n ⋅>〞是“存在整数λ，使得λ=m n 〞的既不充分也不必要条件. 应选：D7．以下函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是 A ．ln(1)y x =- B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【答案】B【详解】分析：确定函数y lnx =过定点〔1，0〕关于x=1对称点，代入选项验证即可． 详解：函数y lnx =过定点〔1，0〕，〔1，0〕关于x=1对称的点还是〔1，0〕，只有()y ln 2x =-过此点．应选项B 正确点睛：此题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．8．某三棱锥的三视图如下列图，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么设三棱锥的棱长组成的集合为S ，那么S =〔 〕A ．{}2,22B ．{}2,5,22C ．{}1522，， D ．{}1,2,5,22【答案】C【分析】把给定三视图复原成几何体，经计算即可得解.【详解】如图，棱长为2的正方体AA '中，点D 为CQ 中点，连接AB ，AC ，AD ，BD ，BC 而成的三棱锥A -BCD 满足条件，1,5,22CD AD BD AB AC BC ======所以三棱锥的棱长组成的集合S ={}522，，. 应选：C9．点(0,0)A ,(2,0)B .假设椭圆22:12x yW m+=上存在点C ,使得ABC 为等边三角形,那么椭圆W 的离心率是 A ．12B 2C 6D 3【答案】C【分析】过点C 做x 轴垂线，垂足为D ，根据正三角形性质可知D 为A ，B 的中点，C 点的坐标代入椭圆方程即可求得m ．然后求解椭圆的离心率． 【详解】过点C 做x 轴垂线，垂足为D ，根据正三角形性质可知D 为A ，B 的中点，C 坐标为〔1， C 点的坐标代入椭圆方程得1312m+=， 解得m ＝6，=． 应选C ．【点睛】此题主要考查了椭圆方程求解，解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出C 点的坐标．10．定义曲线22221a b x y +=为椭圆22221x y a b +=的“倒椭圆〞，椭圆221:14x C y +=，它的倒椭圆为22241:1C x y +=，过2C 上任意一点P 做直线PA 垂直x 轴于点A ，作直线PB 垂直y 轴于点B ，那么直线AB 与椭圆1C 的公共点个数为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．与点P 的位置关系【答案】B【分析】设点()(),,0,0P m n m n ≠≠，进而得直线AB 的方程为1x ym n+=，再与椭圆221:14x C y +=联立方程判断判别式即可得答案.【详解】设点()(),,0,0P m n m n ≠≠,那么(),0A m ,()0,B n ,22411m n +=， 所以直线AB 的方程为1x ym n+=，进而与椭圆221:14x C y +=联立方程得：()()22222248410n m x mn x m n +-+-=，所以()()24222224222641641641640m n m n mnm n m n n ∆=-+-=-⨯⨯=，所以方程有且只有一个实数根，故直线AB 与椭圆1C 的公共点个数为1个.应选：B【点睛】()(),,0,0P m n m n ≠≠,根据设而不求的方法求解.二、填空题11．函数()2cos 2f x x =的最小正周期是__________．【答案】2π 【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解 【详解】由得：()1cos(22)11cos 4222x f x x +⋅==+，其最小正周期为242T ππ==.故答案为：2π12．二项式61)x的展开式的常数项是_______.〔用数字作答〕 【答案】240【分析】直接根据二项展开式的通项公式求解即可．【详解】解：∵61)x的展开式的通项公式(6161rrr r T C x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()3362621r r r r C x --=⋅⋅-⋅，令3302r -=，得2r ，那么()2243621240T C =⋅⋅-=， 故答案为：240．【点睛】此题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于根底题． 13．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭． 答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭14．等比数列{n a }的各项均为实数，其前n 项为n S ，3S =74，6S =634，那么8a =_____．【答案】32【详解】由题意可得1q ≠，所以3136167(1)1463(1)14a S q q a S q q ⎧=-=⎪-⎪⎨⎪=-=⎪-⎩两式相除得63319,8,2,1q q q q-===-代入得751811,()223244a a ==⨯==，填32． 15．函数()1,0,x D x x ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩QQ R 〔其中Q 为有理数集〕被称为狄利克雷函数，关于函数()D x①()()0D D x =； ②函数()D x 是偶函数；③任何非有理数都有函数()D x 的周期；④存在三个点()()11,A x D x ，()()22,B x D x ，()()33,C x D x ，使得ABC 为等边三角形， ________． 【答案】②③④【分析】对于①：直接利用狄利克雷函数的定义验证； 对于②：直接利用偶函数的定义验证； 对于③：直接利用周期函数的定义验证；对于④：取三个特殊点(),0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,进行验证. 【详解】对于①：()D x 等0或1，均为有理数，所以()()1D D x =成立；故①不正确. 对于②：假设x 为有理数，那么-x 为有理数，所以()()=D x D x -， 假设x 为无理数，那么-x 为无理数，所以()()=D x D x -； 即函数()D x 是偶函数；故②正确.对于③：任意非有理数0x ，即0x 为无理数，那么取一个非零有理数T ，所以0x T +为无理数，所以()()00=D x D x T +,即T 为函数()D x 的一个周期；故③正确.对于④：取123,0,33xx x =-==可得：()()()123=0=1=0D x D x D x ，，，所以当(),0,0,1,,0A B C ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时,ABC 恰好为等边三角形；故④正确. 故答案为：②③④【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.三、解答题16．在ABC中，sin ,30B C A ==︒，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为，求： 〔1〕c 的值； 〔2〕ABC 的面积．条件①：=ab 条件②：sin 6a B =．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①，〔1〕c =〔2〕2ABCS =；选择条件②，〔1〕c =〔2〕ABCS=【分析】选择条件①，由正弦定理可得b =，2a c=，再由余弦定理可得出c =进而可求面积.选择条件②，由正弦定理可得12b =，进而可得c =. 【详解】选择条件①=ab 〔1〕由正弦定理可得b =，2ab a a c==⇒=由余弦定理可得：22222243cos302c c b c a bc︒+-+-==c =〔2〕由〔1〕可得b a =，所以111sin 222ABCSbc A ==选择条件②sin 6a B = 〔1〕6sin 6sin a B B a=⇒=由正弦定理可得：22126sin 30sin sin 66a b b b ab ba b B B a︒=⇒===⇒=⇒= 12sin 3sin 3433B C b c c =⇒=⇒==〔2〕111sin 1243=123222ABCSbc A ==⨯⨯⨯ 17．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．〔1〕证明：平面AMD ⊥平面BMC ；〔2〕当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．【答案】〔1〕见解析 〔225 【分析】〔1〕先证BC ⊥平面CMD,得BC CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． 〔2〕先建立空间直角坐标系，然后判断出M 的位置，求出平面MAB 和平面MCD 的法向量，进而求得平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值．【详解】解：〔1〕由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BC CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .〔2〕以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如下列图的空间直角坐标系D −xyz .当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,那么0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取()1,0,2n =.DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5n DA n DA n DA ⋅==25sin ,5n DA =所以面MAB 与面MCD 25. 【点睛】此题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．18．某公司方案购置2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件缺乏再购置，那么每个500元，现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内其需更换的易损零价数，n 表示购置2台机器的同时购置的易损零件数．〔1〕从这100台机器中随机抽取1台，求该台机器二年内更换的易损零件数为8的概率；〔2〕求X 的分布列；〔3〕以购置易损零件所需费用的期望值为决策依据，在18n =与19n =之中选其一，应选用哪个？ 【答案】(1)310；(2)分布列见解析；(3)应选用18n =. 【分析】(1)由易损零件数为8的频率代替1台机器更换的易损零件数为8发生的概率即可得解；(2)X 的所有可能值为16，17，18，19，20，分别求出它们对应的概率即可得解； (3)分别求出买18个和19个易损零件所需费用的期望，比较大小即得.【详解】(1)从100台机器中随机抽取1台，更换的易损零件数为8的有30台，那么其概率30310010P ==； (2)每台机器更换的易损零件数为8，9，10，记事件i A 为第一台机器3年内换掉i +7(i =1,2,3)个零件，记事件i B 为第二台机器3年内换掉i +7个零件(i =1,2,3)，由题意知1313()()()()0.3P A P A P B P B ====，22()()0.4P A P B ==，2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，那么X 的可能取值为16，17，18，19，20，11(16)()()0.30.30.09P X P A P B ===⨯=，1221(17)()()()()0.30.40.40.30.24P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=，132231(18)()()()()()()0.30.30.40.40.30.30.34P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=，2332(19)()()()()0.40.30.30.40.24P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=， 33(20)()()0.30.30.09P X P A P B ===⨯=，X 的分布列为：(3)购置零件所需费用含两局部，一局部为购置机器时购置零件的费用，另一局部为备件缺乏时额外购置的费用：当n =18时，费用的期望为182005000.2410000.093810⨯+⨯+⨯=(元)， 当n =19时，费用的期望为192005000.093845⨯+⨯=(元)， 因3845>3810，那么应选用n =18.【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.19．椭圆2222:1x y E a b +=〔0a b >>〕的离心率是2，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD ⋅=-．〔1〕求椭圆E 的方程；〔2〕设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由【答案】〔1〕22142x y +=；〔2〕见解析. 【详解】〔1〕由，点C ，D 的坐标分别为〔0，－b 〕，〔0，b 〕 又点P 的坐标为〔0，1〕，且PC PD ⋅＝－1于是222211{2b c a a b c -=-=-=，解得a ＝2，b 所以椭圆E 方程为22142x y +=.〔2〕当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1 A ，B 的坐标分别为〔x 1，y 1〕，〔x 2，y 2〕联立221{421x y y kx +==+，得〔2k 2＋1〕x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝〔4k 〕2＋8〔2k 2＋1〕＞0 所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋〔y 1－1〕〔y 2－1〕] ＝〔1＋λ〕〔1＋k 2〕x 1x 2＋k 〔x 1＋x 2〕＋1＝22(24)(21)21k k λλ--+--+ ＝－所以，当λ＝1时，－＝－3，此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.【解析】此题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.20．函数f 〔x 〕＝2ln x －x ＋1x． 〔1〕求f 〔x 〕的单调区间；〔2〕假设a >0，b >0，且a ≠b ab <ln ln 2a b a ba b -+<-．【答案】〔1〕单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；〔2〕证明见解析． 【分析】〔1〕求出导函数，根据导数符号可得结果；〔2ln ln a b a b-<-转化为2ln 0<，再根据f 〔x 〕是(0，＋∞)上的减函数，所以(1)0f f <=，即0<；将ln ln 2a b a b a b -+<-转化为2(1)ln 1a a b a b b->+，再构造函数g 〔x 〕＝ln x －2(1)4ln 211x x x x -=-+++，利用导数可证.【详解】〔1〕由题意得，函数f 〔x 〕的定义域为(0，＋∞)，()'f x 222222121(1)10x x x x x x x-+---=--==≤． 所以函数f 〔x 〕的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间．〔2〕设a >b >0ln ln a ba b --ln ln a b ⇔-<ln ab⇔<2ln⇔<． 由〔1〕知，f 〔x 〕是(0，＋∞)1>，所以(1)0f f <=，即0f =<ln ln a b a b-<-． 又ln ln 2a b a ba b -+<-2()ln ln a b a b a b -⇔->+2(1)ln 1a a b a b b-⇔>+．令g 〔x 〕＝ln x －2(1)4ln 211x x x x -=-+++，那么()'g x 214(1)x x =-+＝22(1)(1)x x x -+，当x ∈(0，＋∞)时，()'g x ≥0，即g 〔x 〕是(0，＋∞)上的增函数．因为a b >1，所以(1)0a g g b ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以2(1)ln 1aa b a b b->+，从而ln ln 2a b a b a b -+<-．综上所述，当a >0，b >0，且a ≠b 时，ab <ln ln 2a b a ba b -+<-．【点睛】此题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了等价转化思想，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.21．如图，将数字1,2,3，…，2n 〔3n ≥〕全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为1a ，2a ，…，n a ，第二行填入的数字依次为1b ，2b ，…，n b ．记1nn i i i S a b ==-∑1122n n a b a b a b =-+-+⋯+-．〔Ⅰ〕当3n =时，假设11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值； 〔Ⅱ〕给定正整数n ．试给出1a ，2a ，…，n a 的一组取值，使得无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；〔Ⅲ〕求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同. 【答案】〔Ⅰ〕3,5,7,9．〔Ⅱ〕2n S n =〔Ⅲ〕奇偶性相同． 【详解】试题分析：〔Ⅰ〕根据题意，易知3S 的所有可能的取值为3,5,7,9．〔Ⅱ〕令i a i =〔1i =，2，…，n 〕，那么无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，〔1i =，2，…，n 〕，∵i i a b <〔1i =，2，…，n 〕，所以21nn i ii S a bn ==-=∑．〔Ⅲ〕显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，那么1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（），因为()2121ni A B i n n =+==+∑，所以A B +与n 具有相同的奇偶性，又因为n S A B =-与n的奇偶性相同，所以n S 的所有可能取值的奇偶性相同． 试题解析：〔Ⅰ〕3S 的所有可能的取值为3,5,7,9．〔Ⅱ〕令i a i =〔1i =，2，…，n 〕，那么无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，〔1i =，2，…，n 〕， ∵i i a b <〔1i =，2，…，n 〕， 所以()22111111)n n n n n nn iiiiiii i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑．〔Ⅲ〕显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变． 不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，那么1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（）， 因为()()21221212ni n n A B i n n =++===+∑，所以A B +与n 具有相同的奇偶性， 又因为n S A B =-与n 的奇偶性相同， 所以n S 的所有可能取值的奇偶性相同．。