数列考试题型及解题方法指导精品

数列考试题型分析及解题方法指导数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

一、本章知识结构：111111(2)(2)(1)(1)()22()--=≥=←-=≥=+--=+=++=++=+⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式数列等比数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q 1111(1)(1)11(1)()---=≠=--==+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明n n n n m p q a a q a q q S q qna q a a a a m n p q 二、重点知识回顾1．数列的概念与通项公式与递推关系式；等差、等比数列的有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常用三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11()nn n n a a a a ---为同一常数; (2) 通项公式法： ①若1(1)()=+-=+-n m a a n d a n m d ，则{}n a 为等差数列；②若11n n mn m a a q a q --==，则{}n a 为等比数列.(3)中项公式法：验证()212122n n n n n n a a a a a a n N +++++=+=∈都成立 3．掌握数列通项a n 与前n 项和S n 之间的关系；n a =1100n n S S S -≤⎧⎨-≥⎩ 21≥=n n ， n a =∑=--+nk k k a a a 211)(4.在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当1a >0,d<0时，满足10m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m S 取最大值.(2)当1a <0,d>0时，满足10m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得m S 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 5．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列.6．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累乘法、归纳猜想证明法等.7．数列的综合应用：⑴函数与方程思想、转化与化归、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到. ⑵以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.三、复习建议1.基础题要确保，难题要有所为有所不为基础题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和等内容，对基本的计算技能要求不是很高，建议要强化方程思想在解题中的作用，巧用性质、减少运算量”，知道前n 项和与通项的关系.2.关于递推数列问题能熟练地求一些特殊递推数列的通项和前n 项的和, 对于递推数列最关键的是要对递推式进行“恰当的变形”， 这也是递推数列教学的难点。

要突破这个难点学生要用到的是 “观察、归纳、类比、猜想、推理、计算、证明等思想方法的组合运用”.3.重视数列的实际应用这里主要是指递推思想方法在解题中的应用。

数列是一类特殊的函数，其递推思想是解决问题的一种重要的思想和方法，利用递推思想解题能体现深刻独特、简洁明快的特点，而且许多考题均涉及到这一点。

因此，我们在复习过程中要重视这一点，努力培养学生的递推意识.4.数列与其它知识的交汇数列解答题大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.四.方法总结1. 求数列的通项公式通常有三种题型：一是根据所给的一列数，通过归纳与猜想求通项；二是等差、等比数列，三是利用转化思想求通项. 2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，不等式问题新颖多变，综合性强，时常被设置为压轴题，对不等式的证明有比较法、放缩法，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式；数学归纳法；有的还要用到条件不等式.3. 数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{}n ,3,2,1上的特殊函数，可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。

而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向.五、试题类型类型一：考查等差、等比数列的基本问题等差、等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。

等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项的和等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解法灵活多样，技巧性强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上.例1. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =( )A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++解：选A 。

211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1n n a a n -=++-1234ln()()()()2ln 1231n na a n n ⇒=+=+-例2.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =。

(1) 求,n n a b ； (2) 求证1211134n S S S +++<。

解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=，依题意有1363(1)22642(6)64n n nda d n d ab q q b q S b d q +++-⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一，解①得2,8d q ==，故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=。

(2)35(21)(2)n S n n n =++++=+,∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+11113(1)22124n n =+--<++。

点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n 项和的解法，要抓住它的结特征.类型二：考查递推数列的通项公式问题对于由递推式所确定的数列的通项公式问题，通常可对递推式进行变形，从而转化为等差、等比数列问题来解决，这类问题一直是高考经久不衰的题型。

例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21nn n ba b S -=-。

第(2)问：求{}n a 的通项公式。

解：当2b =时，由（Ⅰ）知，1122n n n a n ---⋅=，即1(1)2n n a n -=+⋅；当2b ≠时，由①：112n n n a ba --=+，两边同时除以2n 得1112222n n n n a a b --=⋅+。

可设11()222n n n n a a b λλ--+=⋅+⇒1111()22222n n n n a a b b b --+=⋅+--，∴1{}22n n a b +-是等比数列，公比为2b ，首项为11122b b b -+=--。

∴111()2222n n n a b b b b --+=⋅⇒--111()2222n n n a b b b b --=⋅---， ∴11112(1)22()2222n n nn n b b b b a b b b -----⎡⎤=⋅-=⎢⎥---⎣⎦例4图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则f （５）= ＿＿＿ ；()(1)f n f n --=＿＿＿＿解：第1个图个数：1第2个图个数：1+3+1第3个图个数：1+3+5+3+1第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41，f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６ ()(1)f n f n --=4(1)n -点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。

类型三：考查数列与不等式的综合问题数列与不等式都是高中数学重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现．以两者的交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位。

例5．已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，． (1) 求{}n a 的通项公式；(2) 证明：对任意的0x >，21121(1)3n na x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，； (3) 证明：2121n n a a a n +++>+。

解：（1）1321n n n a a a +=+，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列．∴n n n a 323132111==--，332n n n a ∴=+． (2) 由（1）知3032nn na =>+， 21121(1)3n x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭2112111(1)3nx x x ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭2111(1)1(1)n x x x a ⎡⎤=--+⎢⎥++⎣⎦ ()x x a n +++-=1211122111n n n a a a x ⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭n a ≤。