山东交通学院期末考试 线性代数 课程试卷答案和评分标准 (3)
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末试卷A答案及评分标准
线性代数期末试卷A答案及评分标准IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4.本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+等于【0】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【2】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【1】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【1】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【-8】.二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1.设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【A 】.(A)2-；(B)21-；(C)1-；(D)2. 2.矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【A 】．(A)210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(B)210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C)110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(D)110110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【A 】． (A)||0A =；(B)||1A =；(C)A 可逆；(D)A 满秩.4.设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A)4；(B)8；(C)0；(D)1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【B 】．(A)2=a ；(B)1=a ；(C)3=a ；(D)以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1.若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k =分2.设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得0=+B E A又02=122010012=+≠--E A ----------2分因此0=B因此可得5=-a .----------7分3.设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为-1,t ,3，因此A 的特征值也为-1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3ta t a ++=-++⎧⎨-=-⎩----------5分 解得12a t ==,.----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪⎪⎝⎭,把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2.问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -，----------6分而114300000A E a -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a .----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解；----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ， 正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ，----------12分 令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=.----------14分 七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1.“设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由.解：该结论成立。
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__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯⋯⋯诚信应考 , 考试作弊将带来严重后果！⋯线性代数期末考试试卷及答案⋯⋯⋯号⋯注意事： 1.考前将密封内填写清楚；位⋯ 2.所有答案直接答在卷上( 或答上 ) ；座⋯3．考形式：开（）卷；⋯4.本卷共五大，分100 分，考 120分。
题号一二三四五总分⋯⋯得分⋯评卷人⋯⋯⋯⋯一、（每小 2 分，共 40 分）。
⋯业⋯专⋯1．矩A为2 2矩阵, B为23矩阵 ,C为32矩阵，下列矩运算无意的是⋯⋯【】⋯⋯)⋯封A B.ABCC. BCAD.CAB⋯. BAC2答⋯＋ E =0 ，其中 E是 n 位矩，必有【】2. n 方 A 足 A院不⋯A.矩 A 不是矩B. A=-EC. A=ED. det(A)=1⋯学内⋯⋯封⋯3. A n 方，且行列式det(A)= 1 ,det(-2A)=【】密⋯(⋯A. －2－2 n－2n⋯ B. C. D. 1⋯⋯4. A 3 方，且行列式det(A)=0，在 A的行向量中【】⋯⋯ A. 必存在一个行向量零向量⋯⋯ B. 必存在两个行向量，其分量成比例⋯C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的性合号⋯密D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的性合学⋯⋯5．向量a1, a2,a3性无关，下列向量中性无关的是【】⋯⋯A．a1a2 , a2a3 , a3a1 B.a1, a2 ,2a13a2⋯C. a2,2a3,2a2a3a1－ a3, a2 , a1⋯ D.⋯⋯名⋯6. 向量 (I):a1 ,, a m (m3)性无关的充分必要条件是【】姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1 个向量线性表出B.(I)中存在一个向量, 它不能由其余m-1 个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D. 存在不全为零的常数k1,, k m ,使 k1 a1k m a m 07．设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】A．A的行向量组线性相关B. A 的列向量组线性相关C. A的行向量组线性无关D. A 的列向量组线性无关a1 x1a2 x2a3 x30 8. 设a i、b i均为非零常数（i =1， 2， 3），且齐次线性方程组b2 x2b3 x30b1 x1的基础解系含 2 个解向量，则必有【】a1a20 B.a1a20a1a2a3 D.a1 a3A.b3b1b2C.b2b3b1 b2b2b19. 方程组2 x1x2x31有解的充分必要的条件是【】x12x2x313 x13x22x3a1A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110.设η1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B.与η 1，η2，η3 等秩的向量组C. η1－η2，η2－η3，η3－η1D.η1，η1-η3，η1-η2-η311.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A.方程组有无穷多解B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解12.n阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有n 个【】A. 互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C. 线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间n的子空间的是【】RA. {( a1, a2,, a n ) | a1a20}B.12n n i,) |a0}{( a ,a, aC. {( a1, a2,, a n ) | a i z, i 1,2,,n}D.i n1{( a1 ,a2 ,, a n ) |a i1}i 114. 若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B12 ,E 为 2 阶单位矩阵 , 则方阵 E – A 必相似于矩阵- 3【 】1 0 -10 0 - 1A.4B. - 4C.4D.11 - 2- 2 - 41 015. 若矩阵 A02a 正定 , 则实数 a 的取值范围是 【】0 a8A ． a < 8B. a ＞ 4C ． a ＜ -4D． -4 ＜ a ＜ 4二、填空题 （每小题 2 分，共 20 分）。
山东交通学院线性代数期末
+ 3 A 有一个特征值等于
1 . 4
（ ）
1 ， 2
（B）
2 ，
（C） 7 ， （D）
三、计算（8 分）
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
设
1．设 A 、 B 均为 n 阶矩阵，满足 AB = 0 ，则必有 ，
−1
理工科 07 级、专升本 08 级 、路专 07 级等
封 … … … … … … … … 线 … … … … … … … …
x1 + x2 = − a1 x +x =a 2 3 2 4．若线性方程组 有解，则常数 a1 、 a2 、 a3 、 a4 应满足条件 x3 + x4 = − a3 x4 + x1 = a4
山东交通学院期末考试008——2009 学年第 一 学期 08——20
得分 阅卷人
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五、证明（10 分）
学号
设 α1 , α 2 , L , α n 是一组 n 维向量， 已知 n 维单位坐标向量 e1 , e2 , L , en 能由它们线性表示，
（ ） （D） − m + n ； （ ）
得分 阅卷人
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
（A） m + n ， （B） −( m + n) ， （C） m − n ，
1．三阶行列式 D 中含有因子 a12 a21 的项是
1 2．设 A 为 3 阶矩阵，且 A ＝ ，则 (2 A) −1 − 5 A* = ， 2
T
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ ααα，，， 中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
山东交通学院线代作业纸及答案
第一章 行列式一、填空1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列3421的逆序数为 5 ，32514的逆序数 为 5 .2.四阶行列式中含有因子a a 2311的项44322311a a a a -，42342311a a a a .3.按定义，四阶行列式有!4项，其中有12项带正号，有12项带负号.4.在函数xx x xxx f 21112)(---=中，3x 的系数是2-. 5. =cbac ba222111))()((b c a c a b ---.6.设210132113---=D ，A ij 为元素a ij 的代数余子式)3,2,1,(=j i ，则=-+33231342A A A 37.二、选择1. 四阶行列式a b a b b a b a 4433221100000000的值等于（ D ） （A ） b b b b a a a a 43214321- （B ） b b b b a a a a 43214321+（C ） ))((43432121b b a a b b a a -- （D ） ))((41413232b b a a b b a a --2.设1211123111211)(xxxx x f -=，则x 3的系数为 （ C ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 3.在五阶行列式)det(a ij 中，下列各项中不是)det(a ij 的项为 （ A ） （A ）a a a a a 5552214331 （B ）a a a a a 5412452331- （C ）a a a a a 5145342312 （D ）a a a a a 33522514414.行列式1111111111111111--+---+---x x x x 的值为 （ D ）（A ）0 （B ）22)1()1(-+x x （C ）2x （D ）4x三、计算 1.2605232112131412- 21r r +=====26052321260514120=（因有两行相同）2.ef cfbfde cd bdaeacab--- 123r ar d r f÷=====÷÷ec b e c b e c b adf ---123c bc c c e ÷=====÷÷111111111---abcdef 2131r r r r +=====+abcdef abcdef 4020200111=- 3.dcb a10110011001--- 12r ar +=====d c b a ab 1011011010---+1c =====dc a ab 10111--+32 c dc +=====010111-+-+cd c ad a ab 3r =====cdad ab +-+111ad cd ab +++=)1)(1( 四、证明1.322)(11122b a b b a ab ab a -=+证 1112222b b a a b aba +1323c c c c -=====-1002)(22222b b a b a b b ab b a ----122c c -=====120)(222b b a b b ab b a --- 3)(b a -=2.0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a证=++++++++++++2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(d d d d c c c c b b b b a a a a 433221c c c c c c -=====--5232125232125232125232122222++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a4332c c c c -=====-022122212221222122222=++++d d c cb b a a （因有两列相同）3.01111210100000100001a x a x a x a a a a a a xx x n n n n nn ++++=------证： 递推法，按第一列展开，建立递推公式1011)1(021-*---+=++x xa xD D n n n =0022)1(a xD a xD n n n +=-++又 n a D =1，于是=+1n D 0a xD n +011)(a a xD x n ++=+0112a x a D x n ++=-= =01111a x a x a D x n n n++++-- .0111a x a xa x a n n n n ++++=--五、计算1.x a a a x a aa x D n=解x a a a x aa a x D n =121[(1)] n r r r r x n a +++=====÷+-])1([a n x ++xa a ax a11112,,i c ac i n -======])1([a n x ++a x ax --111].)1([)(1a n x a x n -+-=-2.1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+，提示：利用范德蒙德行列式的结果 解 ：将行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将行列式左右翻转，由于上下翻转与左右翻转交换次数相等，故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变.于是，利用范德蒙德行列式的结果，可得nnnn a n a n a a n a n a D)1()(11111+--+--=+∏+≤<≤-=11).(n i j j i3.nnnnn d c d c b a b a D11112=，其中未写出的元素都是0解： n D 22222n nr r c c ↔=====↔)1(20-n n nn nD d c b a )1(2)(--=n n n n n D c b d a即有递推公式n D 2)1(2)(--=n n n n n D c b d a又111111112c b d a d c b a D -==，利用这些结果递推得n D 2 )(n n n n c b d a -=.)()(11111∏=-=-nk k k k k c b d a c b d a4.nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a解 12212332311000010001000100011n n n n na a a c c a a D c c a a a a -----=====---+111213121111121100010000010*******0011()(1)nn ni i nn i ia a a a a a a a a a a a ------===+=+∑∑5.问λ，μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213.21321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解： 方程组的系数行列式必须为01211111μμλ=D 32r r -=====)1(01111--=λμμμλ故只有当0=μ或1=λ时，方程组才可能有非零解.当0=μ，原方程组成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0031321x x x x x λ 显然1,1,1321-=-==x x x λ是它的一个非零解. 当1=λ，原方程组成为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213.21321x x x x x x x x x μμ 显然1,0,1321==-=x x x 是它的一个非零解. 因此，当0=μ或1=λ时，方程组有非零解.第一章 练习题1.381141102---解： 利用对角线法则3108)1(2)1()4(1811)1()1(03)4(2⨯⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯=D4-=2.yxyx x y x y y x y x+++解： 利用对角线法则)(2)()()()(33333y x y x y x yx y x y x yx y y x x D +-=--+-+++++=3.7110251020214214解： 12r r D ↔=====-711002510421420212131410r r r r -=====--711020215042702021---- 42r r ↔=====42702021507110221----3242157r r r r +=====+0459008517007110221= 4.4321532154215431543254321 解： 从最后一行开始，后行减去前行1114111411141114111154321----=D 12,,5i c c i -======0510050105015000143211----=D 51215i i c c =+=====∑050005000505000043213----1875)5(34=-⨯=5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a++++++++33332222解： D 414()r r r a b c d +=====÷+++1111)(33332222dcba d cb a dc b ad c b a +++把行列式的最后一行依次与前面的行交换，共交换三次得333322221111)(d c b a d c b a d c b a d c b a D +++-=))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-=6.证明na a a 10011121)1(2132∑=-=ni in a a a a a ，其中 021≠n a a a 证： 化行列式为下三角形行列式D112,i inr r a i n -======n a a b * 0002n a a ba 32= 其中，∑=-=ni ia ab 211，于是).1(2132∑=-=n i i n a a a a a D7.=n D )det(a ij ，其中j i a ij -=解： 032131221011210------=n n n n n n D n 11221n n n n r rr r r r ----=====--1111111111111210--------n n12n n c c c c +=====+.2)1()1(112001220132121----=---------n n n n n n n8.求满足下列方程的实数z y x ,,：11000100011=zy x z y x解： 将D 按第一行展开得，,0222=++z y x 解得.0===z y x9. 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(3213.21321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解： 方程组的系数行列式必须为0λλλ----=111132421D 13r r ↔=====421132111-----λλλ 21312(1)r r r r λ-=====--2)1(4301210111λλλλλ--+-----2)1(43121λλλλ--+----=21c c +=====2331λλλλλ----)3)(2(---=λλλ 故32,0或=λ，并且当0=λ时，21-=x ，12=x ，13=x ；当2=λ时，21-=x ，32=x ，13=x ；当3=λ时，11-=x ，52=x ，23=x ；均是原方程组的非零解. 因此，当32,0或=λ时，方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算 （一）一．填空1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a A ，()123B b b b = ，则AB =11121212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；BA = 112233()a b a b a b ++；()T AB =112131122232132333a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；T T A B =()T BA ；T T B A = ()T AB . 2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121x A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，若BA AB =，则=x 1 ；=y 2 . 3. 设A 为3阶方阵，且2-=A ，则2A = 4 ；=-T A 2 16 ；*A = 4 .4. 设101A λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则kA =101k λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.5. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而2n ≥为正整数，则12n n A A --= 0 （零矩阵） . 6. 已知3A E =，则1A -=2A .二．选择1. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（ D ）. （A ） ACB E = （B ）CBA E = (C) BAC E = （D ）BCA E =2. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足0AB =，则必有 （ C ） （A ） 0A =或0B = （B ）0BA = (C) 0A =或0B = （D ）0A B +=3. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列命题中正确的是 （ D ） （A ）若0≠A 且0≠B ，则0≠AB . （B ）若A 、B 都是对称阵，则AB 是对称阵. (C)若AB 不可逆，则A 、B 都不可逆. （D ）若AB 可逆，则A 、B 都可逆.三．计算与证明1. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭, 123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求32AB A -及T A B . 解：32AB A -1111233111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1112111111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭21322217204292-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭111123111124111051T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭058056290⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭2. 13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭3. ()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1111212313121222323131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⎛⎫⎪=++++++ ⎪⎪⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++4. 设,A B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称阵. 证明：已知：TA A =则 ()()TTTTTTTTB AB B B A B A B B AB === 从而 T B AB 也是对称阵.第二章 矩阵及其运算 （二）一．填空1. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B O O A C ，则 =C -1 .2. 设1200n a a A a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（120n a a a ≠）. 则1A -=1210101n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 设A 为三阶可逆矩阵，且1123012001A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则A *=123012001---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，则=-*1)(A 10A ；=*-)(1A 10A .5.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且a A =，b B =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O B A O C ，则=C (1)mnab -. 6．设A 为3阶矩阵，且A ＝12，则1*(2)5A A --=16- . 二．选择题1. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则必有（ A ） （A ） 1-*=n AA （B ） A A =* （C ） nA A =*（D ） 1-*=A A2. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列等式中正确的是 （ D ） （A ）BA AB = （B ）TTTB A AB =)( （C ）111)(---=B A AB （D ）BA AB =3. 已知A 为n 阶方阵，且满足关系式0432=++E A A ，则()=+-1E A ( C )（A ）1A E -+ （B ）12E A +（C ） 12E A -- （D ）4A E +三．计算与证明1. 求下列方阵的逆阵（1） 5200210000120011⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭解：115221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，221211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122121113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. （2） 121342541-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭解：2A =, 故1A -存在 . 11A A A -*=2101313221671-⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭. 2. 解下列矩阵方程 (1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：125461321X --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭解：1211113210432111X --⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭22182533-⎛⎫ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭.(3) 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：11010143100100201001001120010X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭210134102-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭(4) 设,AX B X +=其中01011111,20,10153A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦求.X 解：由,AX B X +=得 ()E A X B -=故 1().X E A B -=- 而 21331213311330()10E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭所以 2133213311330113112020.05311X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3. 设1P AP -=Λ, 其中1411P --⎛⎫=⎪⎝⎭, 1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭, 求11A . 解：1P AP -=Λ故1A P P -=Λ所以11111A P P-=Λ3P = 1411P *⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 1141113P -⎛⎫= ⎪-⎝⎭而 11111110100202--⎛⎫⎛⎫Λ== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故11111414103311021133A ⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭. 4. 设A 为n 阶方阵，并且满足Θ=--E A A 22,证明：A 及E A 2+都可逆，并求1-A 及1)2(-+E A . 解：由已知得：E E A A =-⋅)(21，故A 可逆，且)(211E A A -=- 又E E A E A 4)3)(2(-=-+, 故E A 2+可逆，且)3(41)2(1E A E A --=+-.5. 设0kA =(k 为正整数),证明121()k E A E A A A ---=++++证明: 由 0kA =有 21()()k E A A A E A -++++-2121k k k E A A A A A A A --=++++----E =因此 121()k E A E A A A ---=++++第二章 练习题1.设A 为4阶方阵，1,3A =求134A A *--. 解：111,3A A A A *--==11111343433A A A A A *----∴-=⋅-=-41311(3)81A =-=⋅243.= 2. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=130210005A ，求1-A .解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2211A O O A A51111-=-A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==*-132********122A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-71737271 ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---717307271000511221111A OO A A 3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121011322A ，解矩阵方程E AXA =*（其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵）. 解：计算得1-=A ，并且A 可逆 因为E E A AA -==*，故由已知E AXA =*得A EA A AXA ==*所以A AX =-解得E X -=解：A BA BA A 61=-- A BA E A6)(1=--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=--123)(611E AB 4. 设三阶矩阵A ，B 满足关系式BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131A ，求B .5. 设A 为n 阶方阵，并且满足Θ=-+E A A 2, 证明：A 及E A -都可逆，并求1-A 及1)(--E A .解：由已知得：E E A A =+⋅)(，故A 可逆，且E A A +=-1 又E E A E A -=+-)2)((, 故E A -可逆，且)2()(1E A E A +-=-- .6．设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A 及4A . 解： 34432022O A O ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则12A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭故8182A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭8182A O OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭8888816121210A A A A A ===444414426450052022O A O A OA O ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭. 7．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭．解 ： 将1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭分块为1234C C CC ⎛⎫⎪⎝⎭其中 1C 为s n ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵,4C 为n s ⨯矩阵则n n s s O A B O ⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭E ==ns E O O E ⎛⎫⎪⎝⎭由此得到1334411122n s AC E C A AC O C OBC O C O BC E C B --⎧=⇒=⎪=⇒=⎪⎨=⇒=⎪⎪=⇒=⎩（A 、B 均可逆）故 111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（一）一、填空1. 设A 为n 阶方阵，若有n 阶初等方阵s P P P ,,21，使 ),(),(21B E E A P P P s = ,则=-1As P P P 21 .2. 设A 是34⨯矩阵，且A 的秩)(A R =2，而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301020201B ,则=)(AB R 2 .8. 设x 为n 维列向量，1=x x T ，令Txx E H 2-=，证明H 是对称阵，且THH E =. 证明：因为 H xx E xx E xx E H T T T T T T=-=-=-=2)(2)2(，所以H 是对称阵.又 ==2H HHT4)2)(2()2(2+=--=-E xx E xx E xx E T T T T T T xx xx xx 4))((-+=-+=E xx x x x x E T T T 4)(4E xx xx T T =-443. 设四阶方阵A 的秩)(A R =2，则其伴随矩阵*A 的秩为)(*A R = 0 .二．选择1.从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则A 、B 的秩的关系为（ A ）(A) 1)()()(-≥≥A R B R A R (B) 1)()()(->≥A R B R A R (C) 1)()()(->>A R B R A R (D) 1)()()(-≥>A R B R A R 2.在秩是r 的矩阵中（ C ） (A) 没有等于0的1-r 阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式(C) 等于0的1-r 阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有1-r 阶子式等于0三．计算与证明1.把矩阵化为行最简形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---8701111121324321 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000031100313010317001 2.用初等变换求解矩阵方程B AX =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=520321,102123111B A 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-13122018971B A X 3.试利用矩阵的初等变换，求方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323513123A 的逆阵1-A .解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-210212112332671A4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A 的秩.解：秩为25.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，求k 为何值时可使)(A R 等于：（1） 1 ；（2） 2 ；（3） 3 .解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----)2)(1(300)1(3)1(20321~k k k k k A （1） 当1=k 时，R(A)=1 （2） 当2-=k 时，R(A)=2（3） 当1≠k 且2-≠k 时，R(A)=3第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（二）1.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x 的解.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-134334C2.求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x 的解.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021112C3.设有⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x ，问λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷解？并在有无穷解时求其解. 解：)10()1(2λλ--=A（1）1≠λ且10≠λ时，有唯一解；（2）10=λ时，无解；（3）1=λ时，无穷解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00110201221C C第三章 练习题1.求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量是（1,0,1，0,0）和（1，-1,0,0,0）解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010000010000011001012.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013解：秩为2，01113≠-（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131213123解：秩为3，087312123≠----3.非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=-+=+-22223212321321x x x x x x x x x λλ，当λ取何值时有解？并求出它的通解.解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---)1)(2(000)1(2330121~λλλλB (1)当2-=λ时， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111C(2)当1=λ时， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111C4.设A 为n m ⨯矩阵，证明：（1）方程m E AX =有解的充分必要条件是m A R =)(； （2）方程n E YA = 有解的充分必要条件是n A R =)(. 解：（1）m E AX =有解),()(E A R A R =⇔（必要性）显然，m A R ≤)(；另一方面，m E A R ≥),(，故m A R =)( （充分性）m E A R A R m ≤≤=),()(（2）方程n E YA =有解⇔方程n TT E Y A =有解⇔n A R T =)(（由1）⇔n A R =)(5. 设A 为n m ⨯矩阵，证明：若AY AX =，且n A R =)(，则Y X = 证明：Θ=-)(Y X A因为n A R =)(，所以方程Θ=-)(Y X A 只有零解，即Θ=-Y X ,即Y X =6.证明1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α及非零行向量T β，使TA βα⋅=. 证明：（充分）1)()(=≤αR A R ,另一方面TA βα⋅=，α和Tβ又都是非零向量，故1)(≥A R ，因此1)(=A R（必要）由于1)(=A R 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΘΘΘ1~A ,所以()TQ P Q P A αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΘΘΘ=0010011 7.已知三阶矩阵0≠B ，且B 的每一个列向量都是以下方程组的解：)(0302022321321321*⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+x x x x x x x x x λ（1） 求λ的值； （2） 证明0=B .解：（1）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11312221λA ，由题设0,0=≠AB B ,知0)1(5=--=λA故1=λ（2）由1=λ，知2)(=A R ,由0=AB ，知3)()(≤+B R A R ,故1)(≤B R又已知1)(≥B R ，因此1)(=B R 从而0=B第四章 向量组的线性相关性（一）一、选择1．若向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则 （ C ） （A ）α必可由δγβ,,线性表示；（B ）β必可由δγα,,线性表示； (C) δ必可由γβα,,线性表示； (D) β必不可由δγα,,线性表示。
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准
《线性代数》期末试卷A答案及评分标准A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。
说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ??= ? ?-??，A 为34?矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】. 4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，????? ??-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001??的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-?? ?- ? ；(B) 210110001?? ? ? ???； (C) 110120001-??- ? ?；110110001??.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B==- ? ?--1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-????? ??=A ，--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=12201012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -==- ? ? ? ?????，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++??-=-?----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来. 解：令()123410311301,,,217242140A αααα?? ?--== ?, 把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ??== ? ?----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ??= ? ???共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -?? ?-= ? ???，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=??++=+??++=+?λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101 412261423B ?? ?=+ ? ?+??λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101 012320001B λλλ?? ?→--+ ? ?-+??，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ??→-- ? ?，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+??=-?，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -=+-∈ ? ? ?. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为----=442442221A ,122~000,000A -??故二次型f的秩为----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：??=11-211ξ，单位化：?=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：=????? ??=102-，01232ξξ，正交化：[][]==?==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：?===3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。
线性代数期末考试试卷+答案合集-大一期末线性代数试卷
线性代数期末考试试卷+答案合集-大一期末线性代数试卷×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。
3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。
4．矩阵=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3. 向量组m a a a ，，，21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（）4. ?=010*********0010A ，则A A =-1。
（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关③ 任意1+n 个n 维向量线性相关④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
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阅卷人
五、（10分）设 问 为何值可使
解
--------------（7分）
当 时，
当 时，
当 且 时， --------------（3分）
得分
阅卷人
六、（10分）设 ,求一个 矩阵 ,使 ,且
解显然 的两个列向量应是方程组 的两个线性无关的解因为
----------（5分）
的基础解系为
， .
因此所求矩阵为 --------------（5分）
得分
阅卷人
七、（10分）设矩阵 可相似对角化求 .
解由
得 的特征值为 --------------（3分）
因为 可相似对角化，对应于 齐次线性方程组 有一个线性无关的解，所以对应于 ，齐次线性方程组 有两个线性无关的解因此 .由
得分
阅卷人
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．在函数 中， 的系数等于（B）
(A) 1(B) -1(C) 2(D) -2
2．设 均为 阶非零矩阵，且 ，则 和 的秩( D )
(A)必有一个等于零(B)都等于
(C)一个小于 ，一个等于 (D)都小于
3． 阶矩阵 可逆的充分必要条件是( D )
(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量
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得分
阅卷人
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．四阶行列式中带正号且含有因子 的项为 .
2．设 为 阶矩阵， 为 的伴随矩阵， 则 = .
3.设 则
4.设 为 的伴随矩阵，则 .
5．二次型 的矩阵是
(C) 有解(D) 仅有零解
4．设 为 的两个不相同的特征值， 和 为 的分别属于 与 的特征向量，则 和 （A）
(A)线性无关(B)线性相关(C)对应分量成比例(D)可能有零向量
5.已知 阶矩阵 的特征值为 则 等于（C）
(A) (B) (C) (D)
得分
阅卷人
三、（10分）计算行列式（ 为 阶行列式， 为整数） ,其中主对角线上元素都是 未写出的元素都是0.
解： (按第n行展开)
----------（5分）
.---------（5分）
山东交通学院期末考试线性代数课程试卷答案和评分标准（A）卷2010 - 2011学年第一学期第2页共3页
得分
阅卷人
四、（10分）设 ，求 .
解：由 可得 ,又因为
---------（4分）
故
--------------（6分）
-------------------------（4分）
知当 时 即 为所求--------------（3分）
得分
阅卷人
八、（10分）判定二次型 的正定性.
解二次型的矩阵为 --------------（3分）
因为
所以 为负定--------------（7分）
得分
阅卷人
九、（10分）设 是一组线性无关的 维向量,证明：任一 维向量都可由它们线性表示
证明设 为任一n维向量
因为 是 个 维向量所以 是线性相关的。--------------（5分）
又因为 线性无关，
所以 能由 线性表示且表示式是唯一的
--------------（5分）
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