高考数学小题大做之——概率与统计(2)
高考数学小题大做之——概率与统计题型分析题型1 古典概率100% ★★★★★题型2 概率与统计的综合问题80% ★★★★题型3 线性回归方程80% ★★★★题型4 独立性检验60% ★★★重点：“古典概型与几何概型的实际应用”难点：“线性回归方程与独立性检验的判断与应用”热点：“古典概型，几何概型与线性回归方程的判断，计算与应用”1.命题点：古典概型、几何概型、抽样方法、样本的频率分布与数字特征，线性回归分析，独立性检验．2.交汇点：常与排列、组合、平面几何、线性规划、定积分等知识融合，以及概率与统计知识的交汇考查等．3.解题方法：用古典概型、几何概型求概率的方法，样本的频率分布与数字特征的确定方法，利用线性回归分析与独立性检验研究两个变量间关系的方法.[必记公式]1．随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．2．古典概型的概率特点：有限性，等可能性．P(A)＝mn＝A中所含的基本事件数基本事件总数.核心题型重要指数命题概率课堂重难点提示命题全解密3．几何概型的概率 特点：无限性，等可能性．P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验全部结果所构成的区域长度面积或体积.[重要结论]1．直方图的三个有用结论(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.2．统计中的四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．(2)样本平均数x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＝1n ∑ni ＝1x i；(3)样本方差s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝1n ∑ni ＝1 (x i －x －)2； (4)样本标准差s ＝ 1nx 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x n －x－2]＝1n ∑ni ＝1x i －x－2.3．线性回归方程线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，一定过样本中心点(x －，y －)．[易错提醒]1．古典概型中的事件数、几何概型中区域大小计算要准确． 2．求复杂事件的概率时，混淆“对立”“互斥”关系致误．例1 [2015·湖南高考]某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．[解] (1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23＞13，故这种说法不正确． 破题关键点：(1)把所有的情况一一列举出来，用坐标点的形式列举，如(A 1，a 1)；(2)分别求出中奖的概率和不中奖的概率，用数据说明．古典概型的求法求古典概型的概率关键是准确计算m 与n 的值，常借助表格、树状图以及列举法进行计算．基本事件的列举要按照一定的顺序，否则容易遗漏或重复．移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．解 (1)设事件A 为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”，则P (A )＝典型例题1典型例题2150＋10050＋150＋100＝56.(2)设事件B 为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，从中选出2人的所有基本事件如下：a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 1c 1，a 1c 2，b 1b 2，b 1b 3，b 1c 1，b 1c 2, b 2b 3, b 2c 1，b 2c 2，b 3c 1，b 3c 2，c 1c 2，共15个．其中使得事件B 成立的有b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，c 1c 2，共4个．则P (B )＝415.用样本估计总体的几个注意点(1)在频率分布直方图中纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.(2)频率分布直方图中平均数的计算公式是：各组的中点值乘以该组的频率再求和；方差的计算公式是：s 2＝1n∑ni ＝1 (x i －x －)2. (3)理清中位数、众数、平均数等概念，掌握茎叶图概念及其优、缺点．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．典型例题3w )2x )(y i －y ) w )(y i －y ) 46.65636.8289.8 1.61469108.8表中w i ＝x i ，w ＝18∑8i ＝1w i.(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1u i －u v i －v∑n i ＝1u i －u2，α^＝v －β^u[解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑8i ＝1w i －wy i －y∑8i ＝1w i －w2＝108.81.6＝68. c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 破题关键点：求解第(1)问时，利用散点图结合学过的函数图象直接判断即可．求解第(2)问时，根据题目提供的数据及公式求出相关量，就可写出回归方程．求解第(3)问中的第一小问时，把x ＝49直接代入回归方程求解出y 的预报值，再代入年利润z 与x ，y 的关系式求解即可；求解第二小问时，把y 与x 的关系式代入年利润z 与x ，y 的关系式，将z 转化为关于x 的二次函数求最值即可．进行线性回归分析时应注意的问题(1)正确理解计算b ^、a ^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．(2)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示：参加社 团活动 不参加 社团活动合计 学习积极 性高 17 8 25 学习积极 性一般 5 2025 合计222850参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．附：χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2典型例题4k3.8416.63510.828[解](1)随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是2250＝1125；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是2050＝25.(2)因为χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝50××20－5×225×25×22×28≈11.688＞10.828，所以大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．进行独立性检验的步骤(1)假设两个分类变量X 与Y 无关； (2)找相关数据，列出2×2列联表； (3)由公式K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )计算出K 2的值；(4)将K 2的值与临界值进行对比，进而做出统计推断．。
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。
2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。
本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。
一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。
尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。
对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。
2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。
对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。
3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。
对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。
对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。
4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。
2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。
3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。
4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
高考数学中的概率与统计题详解
高考数学中的概率与统计题详解概率与统计是高考数学中的重要内容之一，涉及概率、统计两个部分。
概率是研究随机事件发生的可能性，统计则是根据观察到的现象，对总体进行推断。
在高考中，概率与统计题往往需要运用一定的公式和推理能力来解答。
下面将详细介绍高考中常见的概率与统计题，并提供相关的解题技巧。
一、概率题概率题常见于高考数学中，考察学生对随机事件和概率的理解与计算能力。
下面将从基本定义、计算公式和常见类型等方面对概率题进行详解。
1.基本定义概率是事件发生的可能性大小的度量，用一个介于0和1之间的数表示。
当事件不可能发生时，概率为0；当事件一定发生时，概率为1。
2.计算公式(1)事件A的概率：P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的可能结果数。
(2)互斥事件的概率：P(A或B) = P(A) + P(B)。
(3)独立事件的概率：P(A和B) = P(A) × P(B)。
3.常见类型(1)选择题：将概率题与其他数学知识相结合，如求百分比、比例等。
解题时应根据题目给出的条件，利用计算公式进行计算。
(2)排列组合问题：对于不同颜色、大小、形状的球，求取满足某个条件的组合数。
解题时应根据题目所给条件，使用排列组合公式进行计算。
(3)事件的复合：求两个或多个事件复合后的概率。
解题时应根据题目所给条件，利用计算公式进行计算。
二、统计题统计题常见于高考数学中，考察学生对收集、整理和分析数据的能力，以及对统计方法的应用。
下面将从数据收集与整理、统计指标和抽样调查等方面对统计题进行详解。
1.数据收集与整理统计题要求学生根据给定的数据进行分析和计算。
在实际情境中，常见的数据收集方法有观察、问卷调查、实验等。
解题时应根据题目所给的数据，进行整理和清晰的分类。
2.统计指标统计指标是对统计数据进行度量和描述的指标。
常见的统计指标有均值、中位数、众数、标准差等。
解题时应根据题目所要求的统计指标，运用相应的公式进行计算。
高考数学(文)专题突破复习课件：专题六 概率与统计(2讲91张PPT) Word版含答案
④从 10 个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超 过 65 分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过 65 分 钟的概率大．
其中符合茎叶图所给数据的结论是( ) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
解析：由茎叶图知，男生每天锻炼时间差别小，女生
差别大，①正确．
5 男生平均每天锻炼时间超过 65 分钟的概率 P1＝10＝ 12，女生平均每天锻炼时间超过 65 分钟的概率 P2＝140＝25， P1>P2，因此④正确． 设男生、女生两组数据的平均数分别为－x 甲，－x 乙， 标准差分别为 s 甲，s 乙．
名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽
取一个容量为 4 的样本，已知 7 号、33 号、46 号同学在
样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A．13
B．19
C．20
D．51
解析：(1)设该样本中的老年教师人数为 x，由题意及 分层抽样的特点得9x00＝1362000，故 x＝180.
(2)(2015·湖南卷)在一次马拉松比赛中，35 名运动员 的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为 1～35 号，再用系
统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间[139，151]
上的运动员人数是( ) @
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：(1)因为样本容量 n＝60，总体容量 N＝200＋ 400＋300＋100＝1 000，所以抽取比例为Nn＝1600＝530，
抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教
师人数为(
)
类别 老年教师 中年教师 青年教师
总计
人数 900 1 800 1 600 4 300
掌握高考数学中的概率与统计题解题方法
掌握高考数学中的概率与统计题解题方法概率与统计是高考数学中的重要内容之一，许多学生在解答概率与统计题目时感到困惑。
本文将详细介绍高考数学中概率与统计题解题的方法，帮助学生掌握这一部分知识。
一、概率与统计题的分类在高考数学中，概率与统计题主要分为两类：概率题和统计题。
概率题是指要求计算某一事件发生的可能性；统计题是指要求根据给定的数据分析并得出结论。
接下来，将分别介绍这两类题目的解题方法。
二、概率题的解题方法概率题通常涉及到事件的概率计算，解题的关键在于理解题意并运用相应的公式进行计算。
1. 计算概率的基本公式- 若事件A发生的可能性为P(A)，则事件A不发生的可能性为1-P(A)。
- 若事件A、B相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率为P(A) × P(B)。
- 若事件A、B不相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率为P(A) × P(B|A)。
2. 运用排列组合解决问题有时，概率题需要运用排列组合的知识进行计算。
比如，从n个元素中选取m个元素的组合数可表示为C(n,m)=n!/[(n-m)! × m!]。
3. 运用条件概率解决问题有时，概率题需要运用条件概率的概念进行计算。
条件概率表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)。
三、统计题的解题方法统计题主要涉及到数据的分析和处理，解题的关键在于根据题目要求选择合适的统计方法和技巧进行计算。
1. 构建频数表和频数分布图对于给定的数据，可以通过构建频数表和频数分布图来更好地观察数据的分布情况。
频数表可以统计每个数值出现的次数，频数分布图可以直观地展示数据的分布情况。
2. 求解平均数、中位数和众数平均数表示数据的平均值，中位数表示数据的中间值，众数表示出现次数最多的数值。
这些统计量可以帮助我们更好地了解数据的特征。
3. 进行数据的比较和推断统计题中常常需要进行数据的比较和推断，这时可以运用假设检验等方法进行判断并得出结论。
高考数学专题《概率与统计》解读含答案解析
重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。
概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。
取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。
解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。
求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。
新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
2020版 高考大题增分课6 概率与统计中的高考热点问题
(六)概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析与独立性检验的考查．3．离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力．【例1】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该基地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(单位：千克)与使用某种液体肥料的质量x(单位：千克)之间的对应数据如图所示．(1)依据图中数据计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系．(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X/小时30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制仪运行台数321对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值．相关系数公式：r＝，参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95.[解](1)由已知数据可得–x＝2＋4＋5＋6＋85＝5，–y＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为(x i－–x)(y i－–y)＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝2，所以相关系数r＝＝625×2＝0.9≈0.95.因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．(2)由条件可得在过去50周里，当X＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，每周的周总利润为1×3 000－2×1 000＝1 000(元)．当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，每周的周总利润为2×3 000－1×1 000＝5 000(元)．当30＜X＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，每周的周总利润为3×3 000＝9 000(元)．所以过去50周的周总利润的平均值为1 000×10＋5 000×35＋9 000×5＝4 600(元)，50所以商家在过去50周的周总利润的平均值为4 600元．[规律方法] 1.在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于r和的公式组成比较复杂，求它们的值计算量比较大，为了计算准确，可将其分成几个部分分别计算，这样等同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度.2.有关独立性检验的问题的解题步骤：(1)作出2×2列联表；(2)计算随机变量K2的值；(3)查临界值，检验作答.一项葡萄种植技术提供给某山区果农．为验证该技术的效果，该果农选择40株葡萄树进行试验，其中20株不进行任何处理，记为对照组，另外20株采用新技术培养，记为实验组．葡萄成熟收割后，该果农统计了这40株葡萄树的年产量数据(单位：k g)．对11222233335544454664照组2513645542129633413 3实验组2332343642415159464343455267656562565558照组和实验组葡萄产量的平均值和方差的大小(不要求计算出具体值，得出结论即可)；(2)若每株葡萄树的年产量不低于45 k g，则认为“产量高”，否则认为“产量一般”．请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关；对照组实验组合计产量高产量一般合计(3)计算恰好有2株来自实验组的概率．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828[解](1)实验组的葡萄平均产量要高于对照组的葡萄平均产量；实验组的葡萄产量的方差要小于对照组葡萄产量的方差．(2)完成2×2列联表如下表所示：对照组实验组合计产量高71219产量一般13821合计202040所以K2的观测值k＝40×(7×8－12×13)220×20×19×21≈2.506＜3.841.所以没有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关．(3)记事件A为“这3株中恰好有2株来自实验组”，则P(A)＝C212C17C319＝154323.所以恰好有2株来自实验组的概率为154323.离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习时应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心．【例2】(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．①现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图所示的柱状图：②以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，③n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，④确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？[信息提取]看到①这种条件，想到解题时可能要分类求解；看到②想到频数与频率间的关系，想到横轴中的取值含义；看到③想到X的所有可能取值；看到④想到X和n的含义，想到(1)中的分布列．[规范解答](1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 1分由题意可知X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04.4分所以X 的分布列为6分(2)由(1)知P (X ≤18)＝0.44，P (X ≤19)＝0.68，故n 的最小值为19. 7分(3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n ＝19时，E (Y )＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；9分当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 11分 可知当n ＝19时所需费用的期望值小于当n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.12分[易错与防范]忽视n＝19与n＝20的含义导致无法解题.本题中购买零件所需费用包含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.[通性通法]解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和均值、方差公式求解．某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．(1)若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X的概率分布列及其数学期望E(X)．[解](1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M，甲先抽牌，甲获胜等价于把这5张牌进行排序，第二张黑桃A排在3号位置或5号位置，共有2＋4＝6(种)，而2张黑桃A的位置共有C25＝10(种)．所以P(M)＝2＋410＝35.(2)甲得分X的所有可能取值为0,1,2,3,5.由(1)知在一局比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为35，则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为25.当X＝0时，即三局甲都输，P(X＝0)＝25×25×25＝8125；当X＝1时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P(X＝1)＝35×35×25＋25×35×35＋25×25×35＝48125；当X＝2时，即第一局甲胜，第二局甲输，第三局甲胜，P(X＝2)＝35×35×35＝27125；当X＝3时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P(X＝3)＝25×35×25＋35×25×35＝30125＝625；当X＝5时，即三局甲都胜，P(X＝5)＝35×25×25＝12125.所以此轮比赛中甲得分X的概率分布列为X 01235P8125481252712562512125E(X)＝0×8125＋1×48125＋2×27125＋3×625＋5×12125＝252125.概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．【例3】(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x－和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )． 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.[解] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数–x 和样本方差s 2分别为–x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8＜Z ＜212.2)＝P (200－12.2＜Z ＜200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100,0.682 6)，所以E (X )＝100×0.682 6＝68.26.[规律方法] 统计与概率的综合应用(1)正态分布：若变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ为样本的均值，正态分布曲线的对称轴为x ＝μ；σ为样本数据的标准差，体现了数据的稳定性.(2)二项分布：若变量X ～B (n ，p )，则X 的期望E (X )＝np ，方差D (X )＝np (1－p ).图如图．(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N (μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．参考数据：32≈5.66，32.25≈5.68，32.5≈5.70.正态总体N (μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954.[解] (1)μ＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， σ2＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.所以σ≈5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.(2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P (X ≥26)≈12[1－P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)]≈12(1－0.954)＝0.023，设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y ，则Y ～B (82,0.023)． Y 的均值E (Y )＝82×0.023≈2.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数约为2.[大题增分专训]1．某县响应中央的号召，积极开展了建设社会主义新农村的活动，实行以奖代补，并组织有关部门围绕新农村建设中的五个方面(新房舍、新设施、新环境、新农民、新风尚)对各个村进行综合评分，高分(大于等于88分)的村先给予5万元的基础奖励，然后比88分每高1分，奖励增加5千元，低分(小于等于75分)的村给予通报，取消5万元的基础奖励，且比75分每低1分，还要扣款1万元，并要求重新整改建设，分数在(75,88)之间的只享受5万元的基础奖励，下表是甲、乙两个乡镇各10个村的得分数据(单位：分)：甲：62,74,86,68,97,75,88,98,76,99；乙：71,81,72,86,91,77,85,78,83,84.(1)根据上述数据完成以下茎叶图，并通过茎叶图比较两个乡镇各10个村的得分的平均值及分散程度(不要求计算具体的数值，只给出结论即可)；(2)为继续做好社会主义新农村的建设工作，某部门决定在这两个乡镇中各任意抽取一个进行工作总结，求抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率；(3)从获取奖励的角度看，甲、乙两个乡镇哪个获取的奖励多？[解](1)茎叶图：通过茎叶图可以看出，甲乡镇10个村的平均得分比乙乡镇10个村的平均得分高，甲乡镇10个村的得分比较分散，乙乡镇10个村的得分比较集中．(2)由茎叶图可知甲乡镇10个村中低分的有4个，乙乡镇10个村中低分的有2个，所以从甲乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为410＝25，从乙乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为210＝15，故抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率为25×45＋35×15＋25×15＝1325.(3)由茎叶图可知甲乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有4个，分别是88分、97分、98分、99分，奖励分共9＋10＋11＝30分，低分(小于等于75分)有4个，分别是75分、74分、68分、62分，扣款分共1＋7十13＝21分，分数在(75,88)之间的有2个，故甲乡镇所获奖励为6×5＋30×0.5－21×1＝30＋15－21＝24万元．由茎叶图可知乙乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有1个，为91分，奖励分共3分，低分(小于等于75分)有2个，分别是71分、72分，扣款分共4＋3＝7分，分数在(75,88)之间的有7个，故乙乡镇所获奖励为8×5＋3×0.5－7×1＝40＋1.5－7＝34.5万元．故从获取奖励的角度看，乙乡镇获取的奖励多．2．(2018·太原二模)按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲、乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测．甲套设备的样本频数分布表和乙套设备的样本频率分布直方图如下所示．甲套设备的样本频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计(2)(3)将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的数学期望E(X)．附：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.01K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ). [解] (1)根据题中数据填写列联表如下：由列联表得K 2＝100×(48×7－2×43)250×50×91×9≈3.053. ∵3.053＞2.706，∴有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．(2)根据题中数据可知，甲套设备生产的合格品的概率约为4850，乙套设备生产的合格品的概率约为4350，并且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备的相比，较为分散．因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备．(3)由题知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，125， ∴E (X )＝3×125＝325.3．(2018·石家庄二模)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据．产品销量y 1 1 2 3 3.5 5 4 4.5(1)根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y ^＝b^x ＋a ^(系数精确到0.01)；(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z (单位：件)表示日销量，z ∈[1 800,2 000)，则每位员工每日奖励100元；z ∈[2 000,2 100)，则每位员工每日奖励150元；z ∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z 服从正态分布N (2 000,10 000)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位)参考数据：，其中x i ，y i 分别为第i 个月的促销费用和产品销量，i ＝1,2,3， (8)参考公式：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝，a ^＝–y －b ^–x . ②若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ，μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ，μ＋2σ)＝0.954 5.[解] (1)由题可得–x ＝11，–y ＝3，将数据代入得b ^＝＝338.5－8×11×31 308－8×11×11＝74.5340≈0.219，a ^＝–y －b ^–x ≈3－0.219×11≈0.59，所以y 关于x 的回归方程y ^＝0.22x ＋0.59.(2)由题知该网站6月份日销量z服从正态分布N(2 000,10 000)，则日销量在[1 800,2 000)上的概率为0.954 52＝0.477 25，日销量在[2 000,2 100)上的概率为0.682 72＝0.341 35 ，日销量在[2 100，＋∞)上的概率为1－0.682 72＝0.158 65，所以某位员工当月奖励金额的总数为(100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30＝3 919.725≈3 919.73(元)．。
小题考法概率与统计课件
(4)曲线在
x＝μ
处达到峰值 σ
1； 2π
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴．
三、易错易误·注意防范 1．公式模糊，计算出错
(1)计算方差漏乘n1； (2)求回归直线方程系数^b，^a错误； (3)独立性检验中计算 K2 错误； (4)频率分布直方图中把纵坐标当成频率．
2．概念理解不到位 (1)互斥事件与对峙事件关系模糊； (2)对样本的数字特征认识不到位； (3)条件概率与二项散布问题理解有误．
[答案] B
[典例 2] (2021·雅礼中学高三月考)十二生肖，又称十二属相，与中国传统
文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、
巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．现有十二生肖吉祥物各一件，
甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物．甲同学喜欢马、牛，乙同学
喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都
答案：13
相互独立事件的概率与条件概率
ห้องสมุดไป่ตู้
[讲评提能]
[典例] (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为良好的概率是
0.75，连续两天为良好的概率是0.6，已知某天的空气质量为良好，则随后一天的
空气质量为良好的概率是
()
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
(2)(202X·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回
的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表
示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和
是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
2020高考数学高考大题专项六 高考中的概率与统计
2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型
②:y=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额 的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
学生序号 i
1234567
数学成绩 xi 物理成绩 yi
60 65 70 75 85 87 90 70 77 80 85 90 86 93
随堂巩固
-5-
题型一
题型二
题型三
题型四
①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同
学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ,求ξ的分布列
随堂巩固
-4-
题型一
题型二
题型三
题型四
相关关系的判断及回归分析 例1(2018黑龙江模拟,19)班主任为了对本班学生的考试成绩进行 分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7 的样本进行分析. (1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写 出算式即可,不必计算出结果) (2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如 下表:
=
1.
35
∴ξ 的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
4 35
18 35
12 35
1 35
题型一
题二
题型三
题型四
随堂巩固
-7-
∴Eξ=0×
345+1×
1385+2×
1325+3×
高考解答题专项六 概率与统计
题专项六
概率与统计
考情分析
从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计
与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数
字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分
布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方
法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列
∑
i=1
2
2 -
,a=-b.
②线性相关系数 r=
∑ -
=1
.一般地,相关系数 r 的绝对值在 0.95
2 2
2
2
( ∑ - )( ∑ - )
=1
=1
以上(含 0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.
5
5
=1
=1
2
=1
=
800
80×9 000
=
2 2
3
≈0.94.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分
层抽样.
理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正
相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数
量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的
=
1
10
×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
12
=
1
10
×[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10.0-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+