反比例函数的图像与性质

反比例函数的图象和性质
一、反比例函数的定义
函数k
y x
=
（k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．
二、反比例函数的图象
反比例函数k
y x
=
（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．
反比例函数k y x =与k
y x
=-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．
三、反比例函数的性质
反比例函数k
y x
=
（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；
当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．
注意：
⑴反比例函数k
y x
=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当0k >时，双曲线k
y x
=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．
这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．
如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
四、反比例函数解析式的求法
反比例函数的解析式(0)k
y k x
=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因
此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．
五、比例系数k 的几何意义
过反比例函数()0k
y k =
≠，图象上一点()P x y ，
，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩
一、反比例函数的定义及解析式的确定
【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③k
y x
=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有（ ）
A ．1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
【巩固】已知y 与2x 成反比例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（ ）
A ． 正比例函数
B ．一次函数
C ．反比例函数
D ．以上都不是
【例2】 若函数||1
a y x
-=
是反比例函数，则a 的值为（ ）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±
【巩固】已知()
2
21
2m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式．
【例3】 已知反比例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是 ．
【巩固】已知2
12y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求
y 与变量x 的函数关系式．
二、反比例函数的图象分布及增减性
【例4】在下图中，反比例函数
21
k
y
x
+
=的图象大致是（）
A
B
C D
【巩固】函数
k
y
x
=（0
k>）的图象可能是（）
A. B. C. D.
【例5】函数
k
y
x
=与y kx b
=+在同一坐标系的图象大致是图中的（）
A
B
C
D
【巩固】函数(0)k
y k x
=
≠的图象如图所示，那么函数y kx k =-的图象大致是（ ）
A
D
【例6】 已知0a ≠，0b ≠，0a b +≠则函数y ax b =+与a b
y x
+=
在同一坐标系中的图象不可能是(
) A. B. C. D.
【巩固】如图，反比例函数1
k y x
-=
与一次函数(1)y k x =+只可能是（ ）
A. B. C. D.
【例7】 反比例函数2
(0)k y k x
=≠的图象的两个分支分别位于 ．
【巩固】已知点()1P a ，
在反比例函数k
y x
=（0k ≠）的图象上，其中223a m m =++（m 为实数），则这个函数的图象在第_____象限．
【例8】 在反比例函数5
k y x
-=
图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ） A ．5k > B ．0k > C ．5k < D ．0k <
【巩固】已知反比例函数12m
y x
-=的图象上两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是__ ___．
【例9】 已知3b =，且反比例函数1b
y x
+=
的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如果点（a ，3）在双曲线上1b
y x
+=
，则_____a =．
【例10】 若A （1a ，1b ），B （2a ，2b ）是反比例函数2
y x
=-
图象上的两个点，且 12a a <，则1b 与2b 的大小关系是（ ）
A ．12b b <
B ．12
b b = C ．12
b b > D ．大小不确定
【巩固】已知反比例函数k
y x
=
的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点()
()1227,,5,A y B y ，则1y 与2y 的大小关系为（ ）
A ．12y y >
B ． 12y y =
C ． 12y y <
D ． 无法确定
【例11】 反比例函数3
y x
=-的图象上有三点，（2-，a ），（1-，b ），（1，c ） ，比较a ，b ，c 大小．
【巩固】若点A （1-，1y ）、B （2，2y ）、B （π，3y ）都是反比例函数21
k y x
+=的图象上，试比较1y 、
2y 、3y 的大小关系 ．
1. 已知函数1m
m y x
-=
是y 关于x 的反比例函数，求m 的值．
2.
如图，点P 在反比例函数()1
0y x x
=
>的图象上，且横坐标为2． 若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点'P ．则在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图象的解析式是（ ）
A ．()50y x x =->
B ．()5
0y x x
=>
C ．()60y x x =->
D ．()6
0y x x =>
3.
函数y x m =+与(0)m
y m x
=
≠在同一坐标系内的图象可以是（
）
4.
已知反比例函数的图象经过点()21P -，
，则这个函数的图象位于（ ） A ．第一、三象限
B ．第二、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限
5.
反比例函数()2
2
31m y m x -=-的图象所在的象限内，y 随x 增大而增大，则反比例函数的解析式是
（ ） A ．4y x =
B ．4y x =-
C ．4y x =或4
y x
=- D ．不能确定
6.
反比例函数21
m y x
-=的图象如图所示，1(1)A b -，，2(2)B b -，是该图象上的两点． ⑴比较1b 与2b 的大小； ⑵求m 的取值范围．。