不同类型数学知识的有效教学方式

不同类型数学知识的有效教学方式

不同学科的知识具有不同的特征，某一学科的知识也可以划分为不同的类型。不同类型的知识在形成、发展、迁移等过程中具有不同的特点，如果用单一的方式来指导多种类型知识的学习，便会混洧各类知识的特征，遮蔽各类知识间的差异，阻碍知识价值的实现。为了提高教学成效，实现知识价值的最大化发展，教师需要在教学中对知识进行分类，依据不同类型的性质、特征来选取合理的教学方式。

一、数学知识的类型

哲学家、心理学家已根据不同的的标准对知识进行不同类型的划分，哲学家更多地关注知识的客观形态，心理学家更多地关注主体对知识的表征，数学教学是以知识内容为中介，师生共同参与的过程，既有客观性的知识内容，又有师生主体的参与，因而教学方式的建构既要根据数学学科知识的形态，又要考虑学生学习的认识规律，这就促使我们从学科知识和人的认识特征两个方面来思考对数学知识类型的划分。

课程标准把数学内容分为四个部分，分别是“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。“数与代数”主要包括各类数的概念、式的概念、量的概念；各类数与式的性质、数量关系、运算规律、运算率；各类数、式、量的运算；运用数、式量进行问题解决等。“图形与几何”主要包含各类图形的概念与特征；各类图形之间的关系、性质、公式、定理等；图形的作图、测量、相关量的运算；进行

相关问题的解决。“统计与概率”主要包含各类数据的平均数、中位数、众数、方差等的概念；不同的图表如条形统计图、扇形统计图等概念；数据的收集、整理，图表的设计、绘制等；利用数据进行简单的推断、通过简单随机事件判断概率的发生；对数据、图表进行分析并解决实际问题。“综合与实践”部分不涉及新的知识，主要是要求学生综合运用所学知识与方法进行实际问题的分析与解决。不同领域虽然有各自的特点，包含体现各自特色的知识，但它们之间也有共性，都包含基本的概念，相关的公式、法则、定理、定律等进行操作的程序性知识，运用相应的知识进行实际问题的解决。因此，根据不同领域知识的存在形态，数学知识又可以概括为数学概念、数学命题、程序性知识、数学问题四大类。

现代萃知心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识两大类，莫雷教授在借鉴、吸收这两种分类的同时也指出该分类的主要是依据不同类型的知识在大脑中形成、表征、激活等不同的特点及性质来划分的，他认为，仅从这一维度来考虑知识的分类是不够的，还需要关注“知识内容方面的心理特征”在莫雷教授看来，人类学习机制有两类，一类是联联结性学习机制，即“个体奖同时出现在工作记忆的若干客体的激活点联系起来而获得经验的心理机制”；一类是运算性学习机制，即“有机体进行复杂的认知操作（即运算）而获得经验的心理机制”。从获得知识的过程来看，有些知识可通过联结性学习机制来获得，依据这一维度，知识又可分为联结性知识和运算性知识。莫雷教授的这种分类观对我们进行数学知识类型的划分具有直接的指导意

义，在数学教学中，有些知识只需要联结性学习机制，而不需要进行运算便可以获得，如对自然数、分数、小数概念的掌握、画三角形、角等图形；而有些知识需要进行复杂的认知操作，运用运算性学习机制来获得，如三位数除以两位数的除法运算、梯形的面积公式等。按照这种标准，数学知识又可以分为联结性数学知识和运算性数学知识，为些，便形成了数学知识的二维分类模式。

表1 数学知识的二维分类模式

二、数学知识教学有效方式的选取和建构

数学知识具有不同的类型，不同类型知识性质和获取机制存在着差异，这也影响并决定了数学教学方式的选取和建构。联结性知识的获得只需个体把同时出现的若干对象激活联结起来，不需要进行复杂的运算或操作活动，相对于联结性知识的获得需要进行复杂的心智活动，相对于联结性知识，此类知识的教学更需进行深入的思考和精心

的设计，教学方式也更多样化。限于篇幅，本文重点探讨运算性数学知识有效教学方式的建构。

（一）教学方式层面的建构

自课程改革提出改变教学方式以来，涌现了大量的研究，各种教学方式、方法层出不穷，多样的教学方式为教学带来了微型机和活力，同时也影响着人们对教学方式的态度和选择，新的教学方式未必就有效，传统的讲授法也未必就无效，有效的教学方式不是对形式的追求，而是能够让学生深度地掌握知识，实现知识教学促进能力、个性的发展。

1．构建深度认识知识的有效教学方式

知识具有双重意义，既表现为静态的认识成果，同时又蕴含探究、认识的动态过程。在第一层面上，知识体现为人类对物质世界、精神世界的认识，揭示出客观对象的规律、性质、属性等，通常以文字、语言等符号为载体以结论的形式而存在，具有信息意义。例如，梯形

1（a＋b）h，从公式中即可明白底、高与面积之间的关系。的面积S=

2

在第二层面上，知识则被看作表示过程状态的动词，即“知”与“识”的统一，“知”即“知道”“知哓”，“识”即“认识”，知识即“知道”“认识”的行为过程。与结论形态的知识相比，这层知识中蕴含着人类在认识过程中的思维方式、行为准则、情感倾向等，通常行为隐藏于内容之中，但任何知识的产生都与行为密不可分，任何知识的形成都包含了人类的智力活动、思维过程，知识以结论形式呈现的同时，也以隐形的形式隐含着人类探索知识的智慧，因此知识还具有智

慧意义，如梯形公式背后还凝聚着形成过程中人类的探索行为和推理思考。

教学方式的选取蕴含着主体的价值倾向，知识教学既要获得知识的信息意义，又需体验知识的智慧意义，如何看待知识的双重意义影响着教学方式的选择，只注重静态的知识成果，与在动态认识活动中探索知识所进行的教学肯定会存在差异，也许学生最终都能够掌握知识，但获得知识方式的差异对学生知识的迁移、应用及能力的发展则会产生不同的影响。选取有效的方式进行教学需要在观念上深化对知识的认识，能够全方位、多层次、多角度地理解知识。

2．构建知识促进能力发展的有效教学方式

教学首先是知识的教学，拥有丰富的知识肯定是博学者，但博学者未必是能力的强者，知识的多寡与能力的强弱并非正相关，两者的发展也并非同步，“知识增长和能力提高并非完全自然一致，有时甚至很不平衡，知识教学和能力发展可能形成正向平衡和不平衡与负向平衡和不平衡几种状态。”两者的正向平衡，即随着知识的增长能力也不断地增强，同时能力的增强也促进知识的不断丰富，知识与能力呈现正相关；两者的负向平衡，即知识教学水平低；学生知识掌握不系统，相应的能力水平也很低；两者的正向不平衡，即运用合理的教学方式以较少知识的获得促进能力水平的最大化发展，这是教学的理想状态和应然追求；两者的负向不平衡，即知识掌握得很牢固，但能力不是很强，没有达到相应的水平。教学应努力克服两者的负向不平衡，在保证正向平衡的基础上努力达到两者的正向不平衡，即知识教

学促进能力的最大化发展。

知识和能力都具有不同的类型和层面，一种知识柯促进多种能力的发展，也可主要促进某种能力的发展；一种能力的发展可能需要多种类型的知识，也可能主要需要某种类型的知识。知识与能力之间具有多层次、多方向等错综复杂的关系。能力可以在获得知识的过程中自然而然地发展，但是这种发展是低效的，知识如何高效地转化为能力需运用合理的教学方式有目的的促进，这也是建构有效教学方式的价值追求。

（二）不同类型运算性数学知识的教学方式

运算性知识的获得需要个体进行复杂的认知操作和行为活动，不同类型的运算性数学知识又具有自身的独特性，因此在观念性教学方式的指导下，在具体的教学实践中还需要根据不同的知识选取合适的教学方式来促进教学的有效性。

1．运算性概念教学的教学方式

概念是对一类事物本质特征的抽象和概括，从来源看，主要有两个方面：“一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得；二是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象所获。”数学概念是对具有相同特征的数学对象的共同特征或本质属性的抽象和概括，是数学知识体系的细胞，是数学学习的基础。运算性数学概念的形成蕴含了个体辨别、比较、归类、抽取、概括、归纳等认知活动，这些特征规定了教学不仅要掌握概念的内容，还需让学生感受概念的形成中的过程，经历感知材料、分析辨别、抽象概括等一系列活动，在不断抽象

概括中摒弃与研究对象无关的非本质因素，达到对共同特征或本质因素的理解与把握，实现对数学概念智慧意义的领悟。

对事物本质特征的把握很重要的一点是对非本质特性的甄别和把握，两者都把握了才能达到对本质特性的真正把握。而形式多样的非本质特性往往遮蔽了本质特性，把本质特性掩藏于其中，很难一眼识破，从而影响了人们对本质特性的认识。教师在教学中可以用类比的方式引导学生对本质和非本质特性进行甄别，用提问的方式引导学生对本质特性进行抽象概括。基于此，对运算性数学概念教学方式的建构是类比——提问。教学中的类比可以分为同类事物之间的类比、相异事物之间的类比。通过对同类事物间的辨别、比较、分析等，可以把握它们之间的共同特征；通过对相异事物的辨别、比较、分析等，可以区分出非本质特征，使本质特征从共同特征中脱离出来。教学中学生通过类比等一系列活动，经常表现出能感知事物的本质特征。但很难用语言清晰、准确地表达出来。这时教师应该进行及时指引，设置不同类型的问题，不断提问，层层逼近，引导学生把握信关键因素，逐渐把语言、措辞聚焦到事物本质特征上，在此基础上达到对概念的准确、精炼的表达。

2．运算性数学命题的教学方式

数学命题包括数学公式、法则、公理、定理、定律等内容，此类知识揭示了数量关系、几何图形等的内在规律，具有客观性、确定性。运算性数学命题的形成凝聚着人类无数次的探索和尝试，蕴含了复杂又丰富的智力活动，但教材对此类知识的呈现具有简约性，遮盖了探

索过程的曲折。采取何种方式进行教学取决于教师的选择，讲解、记忆式教学能使学生掌握知识的信息意义，却不能让学生体验知识形成中隐藏的智力活动方式，因而消减了知识的智慧意义。运算性数学命题的获得需要运用运算性学习机制，需要学生在分析、猜想、推理、验证等活动中发现知识，形成对知识的深刻认识。因此，对此类知识教学方式的建构是探究——发现。

鼓励学生在动手操作、合作交流中进行探究发现是新课改以来一直提倡的教学方式。学生在探究活动中进行着猜想、推理、判断等活动，领略数学家在形成知识过程中的认知方式，与数学家、教师的思维过程进行对话，重蹈数学家探索知识的步子。这样的探究过程中学生既可以发现结论性的知识，也可以体验到智慧性的知识。在课堂教学中，有时会因时间等因素影响而使探究发生过程进行得不彻底。著名数学家和数学教育家波利亚指出：“教一个科学的分支（或一个理论、一个概念）时，应当让孩子重蹈人类思维发展中那些关键性的步子。当然，我们不应当让他重蹈过去的无数个错误，而仅仅是重蹈关键性步子。”运用探究发现对运算性数学命题进行教学，教师需要学生关注关键性的问题、步骤，并进行探究，这样既可以保证探究的实效性，又可以让学生真正深刻体验到知识的意义。

3．运算性程序性知识的教学方式

程序性知识是指进行某项操作活动的知识，包括完成某项内容的一系列操作过程和步骤，是关于“怎么做”的知识。对程序性知识的学习是学会在某种情境下能采取一系列操作步骤，并熟练地依据步骤

完成整个操作过程，以达到目标状态，与联结性程序性知识相比，运算性程序性知识需要更为复杂的认知方式和操作行为。它虽然有相对固定的步骤，但没有墨守成规的做法。显然尺规作图与分数加减法运算的学习是不一样的，按照一套规则、步骤即可完成尺规作图，而进行分数加咸运算虽然也有明确的步骤，但真正的计算过程涉及复杂的心智活动。例如在通分的时候如何确定最小公倍数、为了保持分数大小不变分子分母需要同时扩大相同的倍数、计算结果是否需要约分、如何进行约分等问题都需要进行分析、判断。因此，运算性程序性知识的学习不仅要掌握相应的操作步骤，还需要个体能根据不同的情况进行灵活的变换。

若要获得对程序性知识的熟练掌握，必定离不开练习。缺少练习，即使对相应的规则、步骤倒背如流，也很很难形成熟练的操作程序。在需要复杂心智活动的运算性程序性知识的学习中，同样需要一定量的练习，而是具有变化性的变式练习。对运算性程序性知识的变式可以有内容的变式、方法的变式、题型的变式、操作的变式等。运用变式教学，可以使学生对运算性程序性知识的操作由易到难，满足不同学生学习的需要；可以使知识在不同的情景中呈现，引起学生的兴趣，学会对知识的灵活运用。通过各种类型变式的练习，能够促使学生感悟运算性程序性知识中的认知活动方式，并促进知识向能力的转化。因此，变式—练习是对此类知识教学方式的建构。

4．运算性数学问题的教学方式

新课改以来，在教材内容的设置上，很多法则、规律等知识的学

习都置于问题情境之下，数学问题承载着对各类知识的整合和运用，成为教学的中心和重点。在数学教学中，联结性数学问题主要是巩固学习的知识，问题、解题材方法和过程都比较简单，不需要太多的思维运算。而运算性数学问题比较复杂，且题型丰富多样，即使是相同的知识点也可以设计出各种不同的数学问题。总是的已知条件、未知条件不同，可能涉及的解题方法、思路、思维过程都会不同，即使是相同的问题，也可能存在多种思路和解题方法。并且，运算性数学问题各种数量关系隐藏其中，不易察觉，解决的过程需要进行仔细分析、揭示已知量与未知量之间的关系、抽象出数学模型等多种心智活动。

运算性数学问题的这些特点决定了教学过程需要教师的指导，利用启发性的语言为学生拨开云雾，指点迷津，引导学生对问题进行深层分析，把握问题解决的关键因素，厘清各种数量的内在关系，并与已有知识建立积极联系，综合运用知识进行问题的解决。数学问题虽然多种多样，但不同问题可能蕴含着相同的思想方法和解题策略，教学中教师应注重挖掘、归纳总结，让学生充分体验、领悟思想方法和解题策略的普遍意义，指导学生用相同的思想方法进行多种问题的解决，举一反三、触类旁通，解救学生于题海之中。因此，指导——归纳是对此类知识教学方式的建构。

在教学中不仅存在入之四海而皆准的教学方式，也没有哪一种教学方式能够适应所有学科甚至是某一学科的所有内容。数学知识具有不同的类型，因而也具有不同的特点和不同的学习机制，这也决定了教学应根据知识的类型建构合理的教学方式，以保证教学方式的可行

性和有效性。