定积分在极限运算中的应用
定积分在极限运算中的应用
胡 涛
(武汉军械士官学校基础部数学教研室/助教)
摘要：极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，本文利用定积分的定义式来解决一些复杂的和式极限的问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解。 关键词：定积分 极限运算 和式极限
一 引言
极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，二者关系十分密切，其中定积分的概念由极限的思想引出，数学上具体表述如下：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在
[,]a b 上可积，从而()f x 在[,]a b 上的任意积分和均以()b
a f x dx ?为极限，数学表达式为
1
()lim
()n
b i i a
i f x dx f x λξ→==?∑
?
，其中1[,](1,2,,)i i i x x x i n -?== ，1max i i n
x λ≤≤=?，i ξ为
区间1[,]i i x x -上的任意一点。本文将利用定积分的定义式，通过一些巧妙的构造，去解决一些复杂的和式的极限问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解，增强学生的解题反思能力。
二 算例分析
下面我们通过两个例子来引入本文的观点：
例1、求极限1
1
lim
p n
p n i i n
+→+∞
=∑
，其中0p >为常数
解：首先将和式进行变形
1
1
1
1()
p n
n
p
p i i i
i
n
n n +===
∑∑
对于上述和式中的变量
(1,2,,)i i n n
= ，当n →+∞时，其取值范围为区间
[0,1]。令i x n
=
，则上述和式可以看成是函数()p
f x x =在区间[0,1]上的一个
积分和，即
1
1
1
1
()p n
n
p i i i i
f n
n n
+===
∑
∑
。 又因为()p
f x x =在区间[0,1]上可积，于是：
111
1
1lim
()1
p n
p
p n i i f x dx x dx n
p +→+∞
==
=
=
+∑
?
?
例2、求极限12lim
(sin
sin
sin )n n n
n
n
n
π
ππ→+∞
+++
解：首先将上述和式变形
1
121
(sin
sin
sin
)sin
n
i n i n n
n
n
n
n
π
πππ=+++=
∑
同上分析，显然上述和式是函数()sin f x x π=在区间[0,1]上的一个积分和，
即
1
1
11
sin
()n
n
i i i i f n
n
n n
π===
∑
∑
又因为()sin f x x π=在区间[0,1]上可积，于是：
10
1
12
lim
sin
sin n
n i i xdx n
n
πππ
→+∞
==
=
∑
?
这样，我们将两个复杂的和式极限问题转化成了两个简单的定积分问题。
通过上述两个例子，我们不难发现，在求某些和式极限的时候，我们首先要对和式结构进行分析，找出该和式是哪个函数的积分和，然后确定被积函数和积分区间，再借助定积分求出和式的极限。由于定积分定义式中的i ξ是取自每一个小区间
1[,](1,2,,)i i x x i n -= 上的任意一点，且和式的极限值与定义区间[,]a b 的分割及i
ξ的取法均无关，因此为方便计算，我们可以将定积分的定义区间[,]a b 分割成n 等份，i ξ取每个小区间的右端点，得到下面这个式子：
1
()()lim
()
n
b a
n i i b a b a
f x dx f a n n
→+∞
=--=+
∑
?
（1） 对于（1）式，只需确定式中,a b 和()f x 的值，就可以直接计算出和式的极限值。
三 应用
下面再通过两个例子来进行说明（1）式的应用。 例3、求极限111lim (
)1
2
x n n n n
→+∞
+
++
+++
解：首先将求极限的式子进行变形
1
1
1111111
2
1n
n
i i i n n n n
n i
n
n
==+
++
=
=
+++++
∑
∑
对照公式（1），我们不难发现这里10,1,()1a b f x x
===
+. 于是：
110
1111lim (
)()ln 21
2
1x f x dx dx n n n n
x
→+∞
+
++
=
=
=++++?
?
例4
、求极限lim
n →+∞
解：首先将原式进行恒等变形：
原式＝1
1
2
2
22lim
ln(2)
lim
ln (1)
lim
ln (2)(32)
n n n n n i i i n i n n n n n
n
n
n
e
e
e
--→+∞→+∞→+∞
==++
+-∑∑==
＝1
22lim
ln(1)
n n i i n
n
e
-→+∞
=+
∑
显然这里0,2,()ln(1)a b f x x ===+，即
原式＝2
0ln(1)x dx
e
+?＝3ln 32
e
-＝
2
27e
四 结语
和式极限的计算一直是极限运算中的难点问题。本文利用极限和定积分的密切关系，提出了用定积分的定义来求和式极限的思想，并抓住i ξ取值的任意性和区间[,]a b 分割的任意性的特点，构造出一种利用定积分求和式极限的计算式子，方法简单，计算方便，为和式
极限的计算开辟了一条新的路子。
定积分的应用
定积分的应用
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?
微积分-求极限的方法
求极限方法一：直接代入法 例一：（）=24 例二：（）= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。 知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于 方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘） 普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似=（） 下面讲个例 知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式） 例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式） 例六：
知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他） 例七：（）=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大） 例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零） ） 例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数 分母最高次数项系数 方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式） 例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量） 例十一：（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。
定积分的方法总结
定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，
定积分方法和应用
例3 求由曲线及轴所围图形的面积。 解画草图，曲线与的交 点是，取为积分变量， 时，， 时，， 所以， 例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。 解画草图，取为积分变量，
例5 求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。 解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点 ，所以， 例6 求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。 解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点 坐标间的函数关系。设为曲线上 任一点，则此点处的切线方程 为 , 于是所求面积
= （2）下面求 A 的最小值： 令得。又当，时；当时，。 故当时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程 参数方程的情形 按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。 由连续曲线，轴及直线、 所围图形的面积为 其中 例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。
解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数t 的变化范围为。故所求面积为
= 2. 极坐标情形 设曲线的极坐标方程为 连续，由曲线及射线 所围曲边扇形 的面积 为 （记住） 例8 求双纽线所围成的平面图形的面积。
解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可 1. 平行截面面积已知的立体体积 设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在 之间，则体积元素，立体体积 例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线
专题利用定积分定义求极限
专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ， 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?，而不是01 lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。 如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1 01 1()lim ()n n i i f x dx f n n →∞==∑?——i ξ取每个小区间的右端点，或者1 01 11()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑?——i ξ取每个小区间的左端点。 举例：求3 41lim n n i i n →∞=∑
§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积
２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称 为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法 及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理
求极限的方法及例题总结
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
专题1——利用定积分定义求极限(1)
专题1 ---- 利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法: ①是n 时的极限 n ②极限运算中含有连加符号 i 1 在定积分的定义中，我们把区间［a,b］平均分成n个小区间 b a 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为—a 成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了） n lim0 f(a .b a、b a i )- n n 表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是 n lim f (a n i 1 baba i )- n n b f (x) dx , a 而不是 （定积分的定义中是任意分割区间［a,b］， （即定义中的x），这n个小区间分别为 r b a、「b a b a n r [a, a ] , [a ,a 2 ] , [a n n n b a b a _ [a (n 2) ,a (n 1) ], n n [a (n n _ b a 2 ,a n b a 3山],…, n 1）,b］，在定义中每个小区间上任意取的i我们n 致取为每个小区间的右端点i a（也可以取左端点i a （i 1）），那么定义中 左端点时i） x i就变为 f (a i- a) b a n n ，那么lim n n f(a i 1 b a f （X）dX。 n lim f (a n i 1 (i baba b 忖匚a?) 注意：定积分的定义中0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n也表示把区间分割 ,当分割方式为均等分割时，n 就 f (x)dx。
高数 定积分的应用
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均 值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面 面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6.1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) ( 是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以
[a , b ]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.
定积分在极限运算中的应用
定积分在极限运算中的应用 胡 涛 (武汉军械士官学校基础部数学教研室/助教) 摘要：极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，本文利用定积分的定义式来解决一些复杂的和式极限的问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解。 关键词：定积分 极限运算 和式极限 一 引言 极限和定积分是高等数学中最重要的内容之一，二者关系十分密切，其中定积分的概念由极限的思想引出，数学上具体表述如下：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在 [,]a b 上可积，从而()f x 在[,]a b 上的任意积分和均以()b a f x dx ?为极限，数学表达式为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==?∑ ? ，其中1[,](1,2,,)i i i x x x i n -?== ，1max i i n x λ≤≤=?，i ξ为 区间1[,]i i x x -上的任意一点。本文将利用定积分的定义式，通过一些巧妙的构造，去解决一些复杂的和式的极限问题，并希望藉此逆向应用，使学生加深对定积分概念的理解，增强学生的解题反思能力。 二 算例分析 下面我们通过两个例子来引入本文的观点： 例1、求极限1 1 lim p n p n i i n +→+∞ =∑ ，其中0p >为常数 解：首先将和式进行变形 1 1 1 1() p n n p p i i i i n n n +=== ∑∑ 对于上述和式中的变量 (1,2,,)i i n n = ，当n →+∞时，其取值范围为区间 [0,1]。令i x n = ，则上述和式可以看成是函数()p f x x =在区间[0,1]上的一个 积分和，即 1 1 1 1 ()p n n p i i i i f n n n +=== ∑ ∑ 。 又因为()p f x x =在区间[0,1]上可积，于是：
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用 欧阳学文 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的
关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入n1个分点将分成n个区间,记 ,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分形式)设 ,若极限存在唯一且该极限值与区是的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记作,即 .否则称在上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若存在,区间进行特殊分割,分点进行特
定积分计算公式和性质
第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10
定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12
数学分析(2)：定积分计算与应用
数学分析（2）：定积分计算与应用 1、4 01cos 2x dx x π +? 2 、 ln 0? 3 、 (211x dx -+? 4 、1? 5、32122dx x x -? 6、21(1)dx x x +∞+? 7、 21arctan x dx x +∞? 8 、10? 9、120ln(1)1x I dx x +=+? 10 、设1 20()3()f x x f x dx =，求()f x . 11、设21,0(),0x x x f x e x -?+<=?≥? ，求30(2)f x dx -? 12、求由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积. 13 、求曲线y =l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成平面图形面积最小. 14 、求函数2 y = 1[2上的平均值. 15、设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积 16、求摆线1cos sin x t y t t =-?? =-?一拱()02t π≤≤的弧长.
17、设有曲线y =x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积. 18、设xOy 平面上有正方形{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤及直线:l x y t +=.(0)t ≥ 若()s t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求 0()(0)x S t dt x ≥?. 19、设()0sin x t f x dt t π=-?，计算()0f x dx π?. 20、设()f x 在[]0,a 上具有连续的导数，且(0)0f =. 证明：20()2 a Ma f x dx ≤?，其中{}'max ()a x b M f x ≤≤=. 21、设()f x 在[0,1]上有二阶连续导数，证明： 1 10011()[(0)(1)](1)()22f x dx f f x x f x dx ''=+--??
(完整版)关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结
关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结 ()()()()()()b 1 1 b n 0 首先研究一下定积分的定义函数f 如果对a,上一切分割及相应的一切积分和，只要分割的细度趋于0，就有一确定的极限，则称该极限为f 在a,上定积分，记为lim 在求部分数列极限问题中，经常会利用定积分的定义去解决，下面我跟大家讲解的再详细具体实用点,在求解过程中方法1：lim 这种做法是从左端n i i a T i n i i a k ：x b x b f x dx f x f x dx f x ξξ→=-→∞ =??????=???=?∑?∑?()()()()()()()()()b n 1 11b n n 00b 点开始取函数值方法2：lim 这种做法是从右端点收尾取函数值一般在数列极限问题中我们通常是从右边往左边推，但是我发现在考研真题中上面两个等式 还是不实用，因为考试中通常是对区间取等分间隔=，也就是比如 n 方法1：lim =lim 方法2：n i i a k i n n i i a k k a f x dx f x b a x k b a b a f x dx f x f a n n f x ξξ→∞ =--→∞→∞===?-???--=?+ ? ??? ∑?∑∑?()()()()()()()n n 111b n 0lim =lim 易错点：我可以保证基本每个人都错过，就是在解决具体的真题时候，经常忘了乘错误示范：=lim ？具体求数列极限问题中一般是写成右边这个形式，然后去推测相应的f ,和a,具体数值也就是说要推测三个n n i i k k n a k k b a b a dx f x f a n n b a n k b a f x dx f a n x b ξ→∞→∞==-→∞=??--=?+ ? ?????- ? ? ???- ?+ ? ? ?????∑∑?∑?()()()()1 1 100n n 0量，我感觉有点难，所以我想把这个问题变得再详细具体实用点，我发现在具体应用中不管怎么出，我都可以把a=0,b=1去研究 我是有理由的，大家可以思考下为什么我可以敢这样说，这样做题有一个好处就是只需要推测f 这一个量就可以了， 此时把上面两种方法再修改一下：令a=0,b=1 1 方法1：=lim ，方法2：=lim n k k x k k f x dx f f x dx f n n n -→∞→∞==???? ? ??? ??∑??11 现在问题又来了，在考试的时候涉及到关于数列极限的问题时，怎么才能想到是利用 定积分的定义去求呢？ 带着这个疑问，我们再研究一下上面两种方法划横线部分的形式n n ∑
专题1——利用定积分定义求极限 (1)
专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法： ① 是n →∞时的极限 ② 极限运算中含有连加符号1n i =∑ 在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ， 我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为 b a n -（即定义中的i x ?），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n -+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i i f x ξ=?∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1 lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑?。（取左端点时1 lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑?） 注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞ =--+=∑?，而不是01 lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑?。
[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__
-辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮?
p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」
当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx
1.7定积分的简单应用
§1.7定积分的简单应用（二课时） 一：教学目标 知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理。 过程与方法：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方 法 情感态度与价值观：体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）， 培养学生唯物主义思想。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程：（第一课时） 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x y x ?=?==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 20 0x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y = x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形 2 x y =y x A B C D O
微积分求极限的方法(完整版)
专题一 求极限的方法 【考点】求极限 1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的 概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、 单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在） 3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理 化，变量代换等等。 4、 两个重要极限0sin lim 1x x x →= 1 01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式 子1 lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞ ”的形式的典型求极 限题目。 5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限 （2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解 题，如 11 1 lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发） （3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法： ①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理 ③用定积分的概念求解。 （4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0 （5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。 6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。 【例题精解·求极限的方法】 方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。 【例1】求极限 11 lim 1 m n x x x →--