第二章 数学基础
Ch2-数学基础
费马小定理和欧拉定理
1.定义（欧拉函数）
欧拉函数ϕ(n)是一个定义在正整数上的函数， ϕ(n) 的 值等于序列0，1，2，…，n－1中与n互素的数的个数。
欧拉函数的求法：
（1）如果n是素数，则ϕ(n)=n-1 （2）n＝pq，其中p，q为素数，则ϕ(n)=(p-1)(q-1) 如果n＝p1q p2q ...piq 1，p2 ...，pi为素数），则： （p （3）
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例2.1 求gcd (1970，1066)
• • • • • • • • • • • 用欧几里德算法的计算过程如下： 1970＝1×1066+904 1066＝1×904+162 904＝5×162+94 162=1×94+68 94＝1×68+26 68＝2×26+16 26＝1×16+10 16＝1×10+6 10＝1×6+4 6=1×4+2 • 4＝2×2+0 • 因此gcd (1970，1066) = 2
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素数
• 定义2.4 设p ∈Z，p≥2，如果p的正因子只有1和p， 则称p 为素数，否则为合数 • 若正整数a有一因子b，而b又是素数，则称b为a的 素因子 • 如果整数a与整数b的最大公因子是1，即gcd (a, b) = 1，则称a与b互为素数，简称互素
• 设(m)为小于或等于m且与m互素的正整数个数， 则称其为欧拉(Euler)函数。
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费马定理应用举例
• 求3 201 mod 11 • P=11 为素数，gcd(3,11)=1 互素 • 则根据费马定理 • 3 10 ≡1 mod 11 • 3201 = 3 10 * 3 10 * 3 10 * …. *3 10 *31 • 3 201 mod 11 ≡ 1*1*1*….*1*3 (mod 11) • ≡ 3 (mod 11)
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费马小定理和欧拉定理（续 ） Fermat小定理）: 推论（
p素数,a是整数且不能被p整除,则:a p-1 ≡ 1 mod p.
例如： 求 253 (mod 11) = ?
由Fermat小定理: 210 = 1024 ≡ 1 (mod 11) 253 = (210)523 ≡ 1523 ≡8 (mod 11)
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等价关系的性质
同余关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性 a ≡a (mod m) (2) 对称性 若a ≡ b (mod m), 则 b ≡ a (mod m) (3) 传递性 若a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m),则 a ≡ c (mod m)
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计算3037 mod 77
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费马定理
• 费马定理和欧拉定理在公钥密码体制中占 非常重要的地位 • 定理2.13 (费马定理Format) 若p是素数, 且a是 正整数，且gcd(a, p) = 1，则： ap-1 1(mod p) 举例 ： a=7,p=19 ,gcd(7,19)=1 ap-1 =a18 mod 19 ≡1 mod 19 ( 可验证）
1 2 i
1 (n) n(1 p )(1
1
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1 p2
)...(1
1 pi
)
费马小定理和欧拉定理（续）
(2)欧拉定理
设m>1，如果gcd(a, n) = 1,则:aϕ(n) ≡ 1mod n.
eg: 求7803的后三位数字
解： 7803（mod 1000）的结果 ϕ(1000) = 1000(1-1/2)(1-1/5) = 400， 有7803 ≡ (7400)273 ≡ 343 (mod 1000)
• 模8的加法和乘法运算与普通运算一样,只是 将所得的值是去模8后的余数
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模8乘法运算的例子
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模8的加法逆元和乘法逆元
• 对每一个x都有一个 对应的y，使得x+y≡ 0 mod 8，则y是x的加 法逆元。如对2，有6， 使得2+6≡0 mod 8，那 么6是2的加法逆元 • 如果对x，存在y，使 得x×y ≡1 mod 8，则y 为x的乘法逆元。如 3×3≡1 mod 8， 因此3 的乘法逆元是3。
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• 定理2.1 （带余除法）设a, b ∈Z，b≥1，则 存在唯一的整数q和r，使得a = qb + r，0≤r < b。q称a除以b所得的商，r称为a除以b所得 的最小非负剩余。 2013-9-12 • 。
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最大公因子
• 定义2.2 设a, b ∈Z，a，b不全为0，如果c | a且 c | b，则称c为a和b的公因子。特别地，我们 把a和b的所有公因子中最大的，称为a和b的 最大公因子，记为gcd ( a, b) 或者 (a, b).
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• 1 =4-3*1 • =4-(31-4*7) 回代 • =4*8-31 • =(97-31*3)*8-31 回代 • =97*8-31*25 • =97*8-(1001-97*10)*25 回代 • =97*258+1001*(-25) • 则 258 是97 在模1001下的乘法逆元。
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欧拉定理的应用
eg: 计算243210 （mod 101）
解：
（1）由费尔马定理2100（mod 101）＝1（mod 101） （2）243210 ≡(2100) 432210 ≡210 ≡1024 (mod 101)=14
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一次同余式
7.一次同余式
(1)定义: 设m∈Z+, a, b∈Z, a≠0, 我们把 ax+b≡0 (mod m) 称为模数m的一次同余式. 如果x0∈Z满足: ax0+b≡0 (mod m) 则称x≡x0 (mod m)是同余式的解.
第2章 数学基础
• 主要知识点： --数论 --代数基础 --计算复杂性理论 --单向函数
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因子
• 设Z表示全体整数所构成的集合。
• 定义2.1 设a, b ∈Z，a≠0，c∈Z，使得b = ac， 则称a整除b，并称a是b的因子或者约数，b 是a的倍数，记为a | b。
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扩展的欧几里德算法
• • • • • • • • • 求 a=97,m=1001 ,求a在模 1001 时的乘法逆元。 1001=97*10+31 97=31*3+4 31=4*7+3 4=3*1+1 3=3*1+0 gcd(97,1001)=1 逐项回代即得到 ������ 1= sa+tm s即为a的模 1001 时的乘法逆元
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加法逆元和乘法逆元定义
• 定义2.13 对a∈Zm，存在b∈Zm，使得 a+b ≡ 0 (mod m)，则b是a的加法逆元， 记b= - a。 • 定义2.14 对a∈Zm，存在b∈Zm，使得 a×b ≡1 (mod m)，则称b为a的乘法逆元。 • 加法一定存在逆元，乘法不一定存在 逆元。
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乘法逆元 • 在密码学特别是非对称密码体制中， 常常需要求模逆元，求模逆元就是 求乘法逆元。 • 即寻找一个x，使得a×x ≡1 mod m成 立 • 求模逆元问题很困难，有时有结果， 有时没有结果 • 利用扩展欧几里德算法能够计算出 模逆元
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模8运算的例子
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快速指数模运算
• 在非对称密码体制（公钥密码体制）中常常 涉及指数模运算，如计算73327 mod 37 • 一种方法是利用前面介绍的模运算性质 (a×b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m， 将指数模运算可以看做是多次重复乘法，并 且在计算中间结果时就取模
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模运算
• 求余运算称为模运算, 下面是模运算的一些 性质。 (1) (a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m (2) (a-b) mod m = ((a mod m) - (b mod m)) mod m (3) (a×b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m (4) (a×(b+c) ) mod m = ((a×b) mod m) + ((a×c) mod m)) mod m
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快速求me mod n算法一
(1) ae, bm, c1, 其中a, b, c为三大整数寄 存器。 (2) 如果a=0，则输出结果c即为所求的模n的大 整数次幂。 (3) 如果a是奇数，转第(5)步。 (4) a(a÷2), b(b×b) mod n, 转第(3)步。 (5) a(a-1), c(c×b) mod n, 转第(2)步。
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同余
• 定义2.8 两个整数a, b分别被m除，如果所得的余数 相同，则称a与b对模m是同余的，记为a ≡ b (mod m)，正整数m称为模数 • 同余具有下面的性质： (1) 若a ≡ b (mod m)，则则m|(b-a)。反过来，若m|(b-a)， 则a ≡ b (mod m) (2) 如果a=km+b (k为整数)， 则a ≡ b (mod m) (3) 每个整数恰与0,1,…，m-1这m个整数中的某一个 对模m同余 (4) a ≡ b (mod m)当且仅当a mod m = b mod m
基函数神经网络及应用_第二章数学基础
式中 p ( x) 称为目标函数 f ( x) 在 中的最佳逼近多项式， E 称为最佳逼近误差。 由此可得如下多元最佳逼近之存在性定理。 定理 2.9（Borel） 满足(2.22)式的最佳逼近多项式 p ( x) 总是存在的。
§2.4 矩阵的伪逆及线性方程组求解[6-9,12]
在求解线性方程组 Ax b 时，若 A 为 n 阶方阵，且 det A 0 ，则方程组的解存在且唯 一，并可写成 x A b 。若 A 为长方矩阵或奇异的正方矩阵，我们将需要在最小二乘意义 下探讨和得到矩阵伪逆（也称为加号逆或 Moore-Penrose 逆）的概念和定义。 定义 2.9 设实矩阵 A R （1）AXA A （2） XAX X （3）( AX ) AX
s
f max f ( x) 。
xD
(2,21)
定义 2.8 求 p ( x) w1 p1 ( x) w2 p2 ( x) wk pk ( x) 使 p f inf p ' f E
p '
w p ( x)
i 1 i i
k
(2.22) (2.23)
f ( x) F ，由 ek ( x) 生成的在赋范空间 F 中的 f ( x) 之最佳逼近多项式（2.17）是唯一
的，则称 ek ( x) 是 F 中的广义切彼雪夫系（或称广义基函数系） 。 定理 2.7 设 f ( x) C[ a, b] ，用（2.8）式定义的最佳均方逼近多项式能一致逼近目标函 数 f ( x) ， 即 f ( x) lim pn ( x) 。
（2.32） （2.33）
§2.5 傅立叶级数及逼近定理[1,12-14]
在工程实际中，各种复杂的振动现象是由不同频率、不同振幅的简谐振动迭加而成的, 即一个复杂的波形可以分解为一系列谐波的线性组合；从函数逼近角度考虑，一般而言， 任
八年级上第二章数学知识点
八年级上第二章数学知识点概述八年级上册第二章是数学知识点较多的一个章节，主要讲解了分式的乘除、分式的加减、分式的化简、分式方程、正比例函数、反比例函数等重要知识点。
这些知识对于学生掌握数学基础知识，尤其是在日常生活中运用数学的过程中非常重要。
一、分式的乘除分式是数学知识的一个重要部分，它在数学中有着广泛的应用。
在乘除分式的运算中，我们需要把分母相乘或相除，然后把分子相乘或相除，最后对结果进行合理化简。
这样可以得到我们所需要的简单分式。
在运算过程中，我们需要注意分母是否为零，以及如何简化分式使得答案更加准确。
二、分式的加减分式的加减是我们在日常生活中应用最多的运算，例如在购物、比价以及账户余额计算等方面都需要运用到分式的加减运算。
在分式的加减中，我们需要首先找到所有的公因数，然后对分子进行化简，最后得到运算结果。
在具体计算的时候，还需要注意分母是否为零的情况。
三、分式的化简分式的化简在求解数学问题时也是非常重要的一个环节。
在化简过程中，我们需要把分子、分母的公因式约掉，从而使得分数的形式简单化。
同时，在化简运算时，还需要注意约分的原则和方法。
四、分式方程分式方程在数学中也是一个非常基础的知识点。
在分式方程中，我们需要把一个分式的值与一个已知的数或其他分数相等，然后通过分式的加减、乘除运算把变量求出来。
在计算分式方程的过程中，我们需要注意多种情况的处理，例如分母为零的情况、公因式处理等。
五、正比例函数和反比例函数正比例函数和反比例函数是八年级上册第二章中的重点内容之一。
这两种函数可以解决很多实际问题，例如距离、体积、面积等计算。
正比例函数的特点是变量之间成正比例关系，而反比例函数的特点是变量之间成反比例关系。
在解决问题的过程中，我们需要首先确定函数的性质，然后运用相应的解题方法，最后得出问题的答案。
综上所述，八年级上册第二章数学知识点是一个十分重要的知识点。
学生应该仔细阅读、认真理解，并在课堂上积极参与讨论，加强对这些知识点的掌握。
第2章 地图的数学基础习题及参考答案
第二章地图的数学基础习题及参考答案习题一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）1.地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。
2.在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
3.1：100万的地形图，是按经差2º，纬差3º划分。
4.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。
5.球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。
6.长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向的变化而变化。
7.长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。
8.面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。
9.制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。
10.在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。
11.J—50—5—E表示1：5万地形图。
12.地形图通常是指比例尺小于1：100万，按照统一的数学基础，图式图例，统一的测量和编图规范要求，经过实地测绘或根据遥感资料，配合其他有关资料编绘而成的一种普通地图。
13.等积投影的面积变形接近零。
14.等角投影能保持制图区域较大面积的形状与实地相似。
15.水准面有无数个，而大地水准面只有一个。
16.地球面上点的位置是用地理坐标和高程来确定的。
17.正轴圆锥投影的各种变形都是经度的函数，与纬度无关。
18.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。
以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。
）19.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ。
20.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。
二、名词解释1.大地体2.水准面3.大地水准面4.椭球体5.天文经度6.天文纬度7.大地经度8.大地纬度9.1956年黄海高程系10.地图投影11.长度比12.长度变形13.面积比14.面积变形15.角度变形16.等变形线17.方位投影18.圆住投影19.圆锥投影20.高斯-克吕格投影21.直线定向22.真子午线23.磁子午线24.磁偏角25.子午线收敛角26.磁坐偏角27.方位角28.象限角29.三北方向三、问答题1.简述地球仪上经纬网的特点。
2023年数学必修二第二章知识点
2023年数学必修二第二章知识点2023年数学必修二第二章知识点1直线与平面有几种位置关系直线与平面的关系有3种：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行。
其中直线与平面相交，又分为直线与平面斜交和直线与平面垂直两个子类。
直线在平面内——有无数个公共点;直线与平面相交——有且只有一个公共点;直线与平面平行——没有公共点。
直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。
直线与平面垂直的判定：如果直线L与平面α内的任意一直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
线面平行：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
直线与平面的夹角范围[0,90°]或者说是[0,π/2]这个范围。
当两条直线非垂直的相交的时候，形成了4个角，这4个角分成两组对顶角。
两个锐角，两个钝角。
按照规定，选择锐角的那一对对顶角作为直线和直线的夹角。
直线的方向向量m=(2,0,1)，平面的法向量为n=(-1,1,2)，m，n夹角为θ，cosθ=(m_n)/|m||n|，结果等于0.也就是说，l和平面法向量垂直，那么l平行于平面。
l和平面夹角就为0°提高数学成绩的技巧是什么课内重视听讲，课后及时复习接受一种新的知识，主要实在课堂上进行的，所以要重视课堂上的学习效率，找到适合自己的学习方法，上课时要跟住老师的思路，积极思考。
下课之后要及时复习，遇到不懂的地方要及时去问，在做作业的时候，先把老师课堂上讲解的内容回想一遍，还要牢牢的掌握公式及推理过程，尽量不要去翻书。
尽量自己思考，不要急于翻看答案。
还要经常性的总结和复习，把知识点结合起来，变成自己的知识体系。
多做题，养成良好的解题习惯要想学好数学，大量做题是必可避免的，熟练地掌握各种题型，这样才能有效的提高数学成绩。
刚开始做题的时候先以书上习题为主，答好基础，然后逐渐增加难度，开拓思路，练习各种类型的解题思路，对于容易出现错误的题型，应该记录下来，反复加以联系。
中级计量经济学讲义_第二章第一节数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)
上课材料之二：第二章 数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ikij b ac 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。
行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。
矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。
显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。
第2章 优化方法的数学基础
X ∈ D 对满足 ,
F ( X ) ( X X * ) ≥ 0
*
T
注意: 注意:
不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中, 不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中,要证明一个 优化问题是否为凸规划,一般比较困难, 优化问题是否为凸规划,一般比较困难,有时甚至比求解优化问题本 身还要麻烦.尤其对一些工程问题,由于其数学模型的性态都比较复 身还要麻烦.尤其对一些工程问题, 杂,更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解,从中选择目标函 数值最好的解. 数值最好的解.
2 2
设: 则有
cos θ1 s≡ 为单位向量. 为单位向量. cos θ 2 F = F ( x0 )T s = F ( x0 ) cos(F , s ) x s 0
梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模 梯度方向是函数值变化最快的方向, 就是函数变化率的最大值 .
x2 x0
-f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向 f(x 0) 最速上升方向
凸规划的一些性质: 凸规划的一些性质: 1)可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1, 2, , m
}
为凸集; 为凸集;
2)凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 为凸规划问题 最优解的充分必要条件 规划问题的 可微, 3 ) 若 F ( X ) 可微 , 则 X* 为凸规划问题的 最优解的充分必要条件 为: 对任意
0
第2章 直线和圆的方程-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(选择性必修第一册)
第2章 直线和圆的方程§2.1直线的倾斜角与斜率1.倾斜角与斜率：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴正向和直线l 向上的方向之间所成的角α叫直线的倾斜角，取值范围为0180α︒︒≤<.斜率：直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k 来表示.斜率k 公式：如果直线经过两点()11122212(,),(,),P x y P x y x x ≠,则1212tan x x y y k --==α. 直线的方向向量：斜率为k 的直线的一个方向向量是()1,k ,若斜率为k 的直线的一个方向向量的坐标为(,)x y ，则y k x=. 2.两条直线平行和垂直的判定斜率分别为12k k ，的两条不重合的直线12,l l ，有1212//l l k k ⇔=.斜率分别为12k k ，的两条直线12,l l ，有12121l l k k ⊥⇔=-.§2.2 直线的方程1.直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=-（不能表示斜率不存在的直线）⑵斜截式：b kx y +=（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与y 轴的交点纵坐标（即y 轴上的截距）） ⑶两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- ⑷截距式：1x y a b+=（,a b 是直线在,x y 轴上的截距，且0,0a b ≠≠） ⑸一般式：0=++C By Ax （,A B 不同时为0） 2.给定直线方程判断直线的位置关系：（一）对于直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ； ⑷12121-=⇔⊥k k l l .（二）对于直线:0l Ax By C ++=：（1）与直线:0l Ax By C ++=垂直的一个向量为(),A B ，平行的一个向量为(),B A -.（2）对于直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ； 1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；0212121=+⇔⊥B B A A l l .§2.3直线的交点坐标与距离公式（1）两点间距离公式：已知111222(,),(,)P x y P x y ，则()()21221221y y x x P P -+-=.（2）点到直线距离公式： 00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d 为：2200B A CBy Ax d +++=.（3）两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 间的距离d 为：2221B A C C d +-=.§2.4 圆与方程1.圆的方程： ⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-(其中圆心为(,)a b ，半径为r .) ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(2240D E F +->).§2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系:（d 表示圆心到直线的距离） d r >⇔ 0⇔∆<相离;d r =⇔ 0⇔∆=相切;d r <⇔ 0⇔∆>相交.2.直线和圆相交弦长公式：222d r l -=（d 表示圆心到直线的距离）3.两圆位置关系：21O O d =（1）外离：r R d +>；（2）外切：r R d +=；（3）相交：r R d r R +<<-；（4）内切：d R r =-（R r >）；（5）内含：r R d -<（R r >.。
第二章 数学基础
2.1.3 位姿描述
要完全描述刚体B在空间的位姿,通常将物体B与某一坐 标系{B}相固接.{B}的坐标原点一般选在物体B的特征点 上,如质心等.相对参考系{A},坐标系{B}的原点位置和坐 标轴的方位,分别由位置矢量和旋转矩阵描述.这样,刚体 B的位姿可由坐标系{B}来描述,即有:
{B } = {
例2.2 试用齐次变换方法求解例2.1中的 P
A
3
2.3.2 平移齐次坐标变换
{B}分别沿{A}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平 移齐次变换矩阵写为:
1 0 Trans ( a , b , c ) = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b c 1
n
o
θi
a
2.1 位置和姿态的表示
2.1.1 位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
A
P = [ px
py
p z ]T
图2.1 位置表示
2.1.2 方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此 物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相 对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素,不改变特性. 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 3 7 1 4 2 3 2 1 6 0 9 1
[例]: 例
v v v v V = 3i + 4 j + 5k
可以表示为： 可以表示为： V=[3 4 5 1]T 或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
高等数学基础第二章
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2.5函数的连续性—函数的间断点
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2.5函数的连续性—
闭区间上连续函数的性质
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2.2无穷小量与无穷大量—无穷小量
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2.2无穷小量与无穷大量—无穷小量
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2.2无穷小量与无穷大量—无穷大量
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2.2无穷小量与无穷大量—两者关系
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2.3极限的运算法则—极限的性质
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2.3极限的运算法则—极限的运算法则
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2.4两个重要的极限—
判定极限存在的两个准则
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2.4两个重要的极限—
两个重要的极限公式
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2.4两个重要的极限—
两个重要的极பைடு நூலகம்公式
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2.4两个重要的极限—
两个重要的极限公式
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2.4两个重要的极限—
两个重要的极限公式
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2.5函数的连续性—概念
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2.5函数的连续性—概念
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2.5函数的连续性—初等函数的连续性
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2.5函数的连续性—初等函数的连续性
第二章
函数的极限与连续
主讲:
函数的极限与连续 • 函数的极限 • 无穷小量与无穷大量 • 极限的运算法则 • 两个重要的极限 • 函数的连续性
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2.1函数的极限—数列的极限
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2.1函数的极限—函数的极限
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2.2无穷小量与无穷大量—无穷小量