初中函数知识概念

一、一次函数
1、一次函数的定义：
一般地，形如b kx y +=（k ，b 是常数，且0≠k ）的函数，叫做一次函数。

2、正比例函数定义：
一般地，形如）是常数，（0≠=k k kx y 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。

3、一次函数图像：
4、正比例函数与一次函数之间的关系：
一次函数b kx y +=的图象是一条直线，它可以看作是由直线kx y =平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
5、正比例函数和一次函数及性质：
6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k
7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
二、反比例函数
1、反比例函数的定义：
一般地，形如x
k
y =
（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
反比例函数有三种表达式：
①x k
y =（0k ≠），
②1kx y -=（0k ≠）， ③（定值）（0k ≠）；k y x =⋅ 注：函数x
k
y =
（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反
比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

2、反比例函数的性质：
关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如
图像
性质
x 的取值围是0x ≠，y 的取值围是0y ≠
当0k >时，函数图像的两个分支
分别在第一、第三象限，在每个象限，y 随x 的增大而减小。

x 的取值围是0x ≠，y 的取值围是0y ≠
当0k <时，函数图像的两个
分支分别在第二、第四象限，在每个象限，y 随x 的增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

3、反比例函数x k
y =（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义：
如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k
☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线x
k
y =越远离
坐标原点；k 越小，双曲线x
k
y =越靠近坐标原点。

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。

三、一元二次方程
⎪⎪
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⎪⎩
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⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∆=∆>∆-=∆⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧=--≥--±-=≥=+≥=+⎪⎩⎪⎨⎧≠=++a c x x a
b x x a
c b b x a x ac b a ac b b x n n m x n n m x a c bx ax 21212222224010201430)(4)04(243020120032211、根与系数的关系时，方程没有实数根。

）当（实数根；时，方程有两个相同的）当（实数根；时，方程有两个不同的）当（、根的个数的判别的形式的一元二次方程）（十字相乘法转化成能够运用提公因式或者）因式分解法：适用于（式为：）公式法：其中求根公（）的形式（）（配方成
方程运用完全平方公式）配方法：将一元二次（）的一元二次方程
（）形如（）直接平方法：适用于（、解法）（形式是）一元二次方程的一般（）未知数的最高次数是（）含有一个未知数（、概念
四、二次函数知识点总结
1、二次函数的概念：
形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，其中x ，是自变量，a b c 、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。

2、二次函数的一般表达式：
一般式：c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
顶点式：k h x a y +-=2
)(（a ，h ，k 为常数，0a ≠）其中2424b ac b h k a a
-=-=
，； 双根式： 21212()()(0,,=)y a x x x x a x x ax bx c x =--≠++其中是y 与轴交点的横坐标 二次函数解析式的确定：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240
b ac
-≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
3、二次函数c
=2的图像性质(轴对称图形)：
+
y+
bx
ax
4、二次函数的图像与各项系数之间的关系：
总之，只要
a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 5、二次函数与一元二次方程：
抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为），（c 0；
6、二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

7、次函数图象的平移： 1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式k h x a y +-=2)(，确定其顶点坐标）（k h ,；
⑵ 保持抛物线2ax y =的形状不变，将其顶点平移到）（k h ,处，具体平移方法
如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
概括成八个字“左加右减，上加下减”。