§求导法则与导数公式
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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
求导法则与导数公式
arccos x
f
11
x2 ，
( x0 )1
或 ，
dx
1
xdy (y 1y0, 1) ，dy
1 x2
dx x x0
arctan x
1
1 x2
，
arc cotx
1
1 x2
，
x (,
) ．
4. 复合函数的导数
指导思想：“由外向内， 逐层求导”
(1) 求导法则（链式法则）
Thm 3 设 u g( x) 在点 x 可导，而 y f (u) 在 在对应点 u g( x) 可导，则 y f (g(x)) 在点 x 可导，且
dt
求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a> 0) 在对应
4 的点处的切线方程．
a
o
r
6. 隐函数的导数
例 11 (1)
由显x函y 数 ex
e y 0 确定了隐函数 y 形如 y f ( x) 的函数．
f
(x)
，求
y ．
(2) 隐函数 由 F ( x, y) 0确定的函数 y y( x) ． 能显化， 不能显化．
若函数 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
y f [1( x)]是由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成．
Thm 4
设有参数方程
x y
f
(t ), (t ),
t I ，若函数
x(t) ， y f (t) 在区间I 上均可导且 (t)0 ，
又 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
d ln f ( x)
dx
Thm 若函数 y f ( x) 在 x 可导 ，且 f (x)0 ，则
d ln f ( x) f ( x) ， 即 ln f ( x) f ( x) ．
f
11
x2 ，
( x0 )1
或 ，
dx
1
xdy (y 1y0, 1) ，dy
1 x2
dx x x0
arctan x
1
1 x2
，
arc cotx
1
1 x2
，
x (,
) ．
4. 复合函数的导数
指导思想：“由外向内， 逐层求导”
(1) 求导法则（链式法则）
Thm 3 设 u g( x) 在点 x 可导，而 y f (u) 在 在对应点 u g( x) 可导，则 y f (g(x)) 在点 x 可导，且
dt
求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a> 0) 在对应
4 的点处的切线方程．
a
o
r
6. 隐函数的导数
例 11 (1)
由显x函y 数 ex
e y 0 确定了隐函数 y 形如 y f ( x) 的函数．
f
(x)
，求
y ．
(2) 隐函数 由 F ( x, y) 0确定的函数 y y( x) ． 能显化， 不能显化．
若函数 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
y f [1( x)]是由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成．
Thm 4
设有参数方程
x y
f
(t ), (t ),
t I ，若函数
x(t) ， y f (t) 在区间I 上均可导且 (t)0 ，
又 x(t) 存在反函数 t 1( x) ，则
d ln f ( x)
dx
Thm 若函数 y f ( x) 在 x 可导 ，且 f (x)0 ，则
d ln f ( x) f ( x) ， 即 ln f ( x) f ( x) ．
导数的四则运算法则
x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
求导法则及求导公式
§2 求导法则上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：x x x f cos sin )(1+=x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2⋅=)sin()(2ax x g = xxx f a log cos )(3=x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4=xx g arccos )(4=一、导数的四则运算问题1 设,求.x x x f cos sin )(±=)('x f 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,.)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== 即)'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=±一般地,有如下和的导法则：定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算）证明 令 )()()(x g x f x y +=。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在其中一点的变化率。
导数的基本公式和运算法则可以帮助我们求解各种函数的导数，进而解决相关的求导问题。
下面将详细介绍导数的基本公式和运算法则。
1.基本公式：-常数函数：如果f(x)=c是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
- 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是实数，那么它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
- 指数函数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
- 对数函数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
- 三角函数：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)，它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
- 反三角函数：对于反三角函数asin(x)、acos(x)、atan(x)，它们的导数分别为1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 +x^2)。
2.运算法则：-常数法则：如果f(x)=c是一个常数函数，那么对于任何x，有f'(x)=0。
-基本运算法则：a.和法则：对于函数f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)+v'(x)。
b.差法则：对于函数f(x)=u(x)-v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)-v'(x)。
c.乘法法则：对于函数f(x)=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
函数的求导法则
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
详细证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
导数的公式及运算法则
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
作业
A组： 1 （2）（4）. . .（12） 3(4)(5)(6) 4 选作：A组： 5 B组： 1 3 4
1 cos x
1 cos x
3(ln sin x ln(1 cos x))
y
1 1 (sin x) (1 cos x)] 3[ sin x 1 cos x cos x 0 ( sin x) 3[ ] 3 cot x 3 sin x sin x 1 cos x 1 cos x
练习：P.45
A组
3
（1）（2）（3）
例8 设y e 解
1 x 2
，求y
1 x 2
y (e
1 x 2
) e
1
2
( 1 x 2 )
2
e
1 x 2 (
2 1 x
) (1 x )
x 1 x
2
e
1 x 2
sin x 3 ) ，求 y 例9 设y ln( 1 cos x sin x 3 sin x 解 由于 y ln( ) 3 ln
例10 设为实数，求幂函数 x的导数 y . 解 y x 可写成指数函数的形式： y e ln x
y e , u ln x, 1 dy u u 从而 (e ) ( ln x) e x dx u 1 1 e x x x
用定义求导数的方法
(1)求增量y
y (2)求比值 x y (3)求极限lim0 x x
求导法则与导数基本公式
1
1
y ln a
y ln a
例11.设
求
解:
x
1 1
x2 1
2
1 2x
x2 1
1 1) , 则
(反双曲正弦)
sh x ex ex 2
的反函数
(arsh x)
1 x2 1
22
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
arcsin
x
2
在上一节中我们曾经用定义求出指数函数导数，下面 我们利用反函数求它的导数.
2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
1 (loga y)
x ( x3 4cos x sin1)
1 ( x3 4cos x sin1) x (3 x2 4sin x ) 2x
y x1
1 2
(1 4cos1 sin1)
(3 4sin1)
7 7 sin1 2cos1 22
(3)
(其中
)．
证:设 y(x)
f '(x)g(x) f (x)g '(x)
故结论成立.
推论:
(2) ( uvw) uvw uvw uvw
(3)
( loga
x )
ln ln
x a
x
1 ln
a
例1. y x ( x3 4cos x sin1) ,
解: y ( x ) ( x3 4cos x sin1)
二、复合函数的求导法则 定理2(复合函数的导数) 若 f 和 g 可导， 有意义，则复合函数可导，且
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类似地可得： (cot x)csc2 x,
(secx)secxtan x, (cscx) cscxcot x.
例 3．求 y shx 的导数
解：
y ( shx
)[
1 (e
2
x
ex
)]
1 (e
2
x
1 ex
)
1 (e
2
x
e x e2x
)
1 (e
2
x
e
x
)chx,
即 (shx )chx .
类似地可得 (chx)[1(e x ex )] shx, 2
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1若干基本初等函数的导数
1.(C )0 ； 2. ( x )x1 (R) ； 3. (sinx)cosx ； 4. (cosx)sinx ；
5.
(loga
x)
1 xlna
；
6. (a x )a x lna ；
(lnx) 1 ； x
(e x )e x 。
2.2.2导数的四则运算法则
在点 x 处 连续，证明 f ( x) 在点 x 处 可导。
分证析明：：仅f知( xg()x)0连，续，故不能用乘法求导公式，
∵
f
(
x只)能 x从lim导x数f (的xx定 )义xf(出x发) 来xl证imx明 g。( x
)sin( x x x
x)
g( x), 0,
1 .
1
∴ f ( x) 在点x 处 可导。
∵
f
(0)
lim
x0
f
(x) f x0
(0) lim 1e2x 0 2 ， x0 x0
f
(0)
lim
x0
f ( x) f (0) lim
x0
x0
x200 ， x0
∴ f ( x) 在点 x0 不可导。
故
f
(
x
)
2e
2
x
,
x
0,
2 x, x0.
分段函数求导的关键是：用定义对分段点求导。
2.2.3 反函数的导数
例
6．设
f
(
x)
1 e 2
x
2
,
x
, x 0, x0.
求 f ( x) 。
解：当 x0 时， f (x)(1e2x )[(e2)x ]
e2x lne2 2e2x ，
当 x0 时， f (x)(x2)2x ，
当 x0 时，∵ f (00) f (00) f (0)0 ，
∴ f ( x) 在点 x0 连续。
解：∵ yarcsinx 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
∴ xsiny 在( , ) 内也严格单调增加且连续， 22
又当 y( , 2
2
)
时，
xy
例 7．已知 f 由 y f ( x)lnx( x )3 所定义，求 ( f 1 )(2) 。 e
解： f (e)2 ，
f ( x) 在 xe 的某邻域内是严格单调增加
的连续函数，
且
f
(e)(
1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 8．（1）求 yarcsinx ， x(1, 1)的导数。
f ( xx)g( xx) f ( x)g( xx) lim [
x0
x
f ( x)g( xx) f ( x)g( x)] x
g( x)在点 x 可导, g( x)在点 x 连续,
lim [
x0
f
( xx) x
f
(
x)
g(
x
x
)]
lim
x0
g(
x
x
)
g( x).
lim [ f ( x) g( xx) g( x)] f ( x)g( x) f ( x)g( x)
)
3x2sinx(lnx 1 ) x3cosx(lnx 1 )( x x2 )sinx.
x
x
例 2.求函数 ytanx 的导数。
解：
y(tanx)(
sinx cosx
)
(sin
x)cos xsinx(cos cos 2 x
x
)
cos2 xsin2 cos2 x
x
1 cos2
x
se
c2
x.
即 (tanx)sec2 x
(thx
)(
shx chx
)
1 ch2
x
.
例 4．设 f ( x) x( x1)(x2) ( x100) ， 求 f (0) 。
解法 1：（利用乘积的求导法则）
f ( x) x [(x1)(x2) ( x100)] x[(x1)(x2) ( x100)]
[(x1)(x2) ( x100)] x[(x1)(x2) ( x100)]
1.反函数求导法则
定理 2 设定义在区间(c, d ) 内的严格单调连续函数 x f ( y) 在点 y 处可导， 且 f ( y)0 ，则它的反函数 y f 1( x) 在对应点 x f ( y) 处也可导，且
( f 1)( x) 1 或 dy 1 . f ( y) dx dx dy
定理表明反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。
f (x)] g(x)
f
(
x)
g(x) f ( [g( x)]2
x)
g(
x)
,(
g
(
x)
0)
；
特别
[
1 g(x)
]
[
g( x) g( x)]2
,
(g( x) 0) .
只证证明公：式令（y2）f。( x) g( x) ，则
y lim y x0 x
lim
x0
f ( xx)g( xx) x
f (x)g(x)
x0
x
公式（1）、（2）可以推广到有限多个函数的情形。
例如: (uvw) uvw uvw uvw
例 1．求下列函数的导数
（1）
y
x5
x x3
13
x
cos
x
；
解：
y
x2
5
x2
x3 3 x cos
x
，
y(
x
2
)(
x
5 2
)(
x
3
)
(3
x
)cos
x
3
x
(cosx)
2
x
5
x
7 2
3
x
4
3
x
ln3cos
f (0)(1)(2)(3) (100)100!.
解法 2：（利用导数的定义）
f
(0)
lim
x0
f
(
x) f x0
(0)
lim
x0
x( x1)(
x 2) x
(
x 100) 0
lim ( x1)( x2) ( x100)100!.
x0
例 5．已知 f (x) g(x)sin( x x)(1) ，其中 g( x)
定理 1 若函数 f ( x) 、g( x) 在点 x 处可导 ， 则（1）[( f ( x) g( x)] f ( x) g( x) ；
（2）[ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) f ( x) g( x) ； 特别[cf ( x)] Cf ( x) (C为常数) ；
（3）[
x
3
x
sinx
。
2
（2） y x3sinx(lnx 1 ) x
解： y[x3sinx(lnx 1 )] x
( x3 )sinx(lnx 1 ) x3(sinx)(lnx 1 ) x3sinx(lnx 1 )
x
x
x
3
x
2
s
inx(ln
x
1 x
)
x
3
cos
x(ln
x
1 x
)
x
3
sinx(
1 x
1 x2