傅里叶级数部分难题解答

本章难题解答1．（书中301P ,第1题）三角多项式 ()()∑=++=nk k kn kx kx x T 1sin cos 2βαα的傅里叶级数还是它自己吗？解：()x T n 是以π2为周期的函数，不妨在[]ππ,-上展开成傅里叶级数.由于 ()dx x T a n⎰-=πππ1dx a ⎰-=πππ210()dxkx kx nk k k⎰∑-=++ππβαπ1sin cos 1（由于三角函数系的正交性） .0α= 对于 ,1,n m m ≤≤∀由()mxdx x T a nm cos 1⎰-=πππ∑⎰⎰⎰=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=nk kkm x d xkx mxdx kx dx mx 10cos .sincos .cos 1cos 1.2ππππππβαππα由于三角函数系的正交性，仅当m k =时，..cos .cos πππ-=⎰-mxdxmx其余().0cos .cos m k mxdx kx ≠=⎰-ππ而且().10cos .sin m k mxdx kx ≤≤=⎰-ππ故.m m a α=对于 n m m >∀,，同样由三角函数系的正交性知.0=m a即 ⎩⎨⎧≤≤=.,0,0,其他n m a m m α同理，有 ⎩⎨⎧≤≤=.,0,1,其他n m b m m β所以，()x T n 的傅里叶级数为()∑∞=++10sin cos 2m m mmxb mx aa()∑=++=nm m mmxmx 1sin cos 2βαα（换记为）().sin cos 21∑=++=nk k kkx kx βαα即三角多项式()()∑=++=nk k kn kx kx x T 1sin cos 2βαα的傅里叶级数还是它自己.2．（书中301P ,第2题）将函数()[]ππ-∈=x x x f ,sin 4展开成傅里叶级数 解：()xdxdx x dx x f a ⎰⎰⎰===--ππππππππ440sin 2sin11.432.!!4!!34s i n 4c o s s i n 2242244===⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰πππππππx d x t d t x d x （第二个积分中令)2π-=x t()nxdxx nxdxx f a n cos sin1cos 14⎰⎰--==ππππππn x d x x x c o s 4c o s 212c o s22341⎰-⎪⎭⎫⎝⎛+-=πππ由于三角函数系的正交性，仅当,2=n 或4=n 时，,0≠n a 此时 .814cos .4cos 81;212cos .2cos 2142==-=-=⎰⎰--ππππππxdx x a xdx x a又由于()[]ππ-∈=x x x f ,sin 4是偶函数，故,....)2,1(0==n b n . 所以，()[].,,4cos 812cos 2183ππ-∈+-=x x x x f注意：其实，聪明的同学还有更简单的做法： 既然()[].,,4cos 812cos 2183...22cos 1sin24ππ-∈+-==⎪⎭⎫⎝⎛-==x x x x x x f利用第1题的结论，它的傅里叶级数就是它自己，即： ()[].,,4c o s 812c o s 2183ππ-∈+-=x x x x f3．（书中302P ,第3题）关于区间()ππ,-展开函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1s g n x x x x为傅里叶级数，并由此证明()∑∞=-=--11.4121n n n π解：注意到x sgn 为奇函数，故显然;0sgn10==⎰-dx x a πππ， ;0cos .sgn1==⎰-nxdx x a n πππn x d xx b n s i n .s g n 1⎰-=πππ|cos 2sin .2ππππnx n nxdx -==⎰[]=--=1cos 2ππn n .,..6,4,2,0,...,5,3,1,4⎪⎩⎪⎨⎧==n n n π 所以，由狄里赫莱收敛定理：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++==∑∞=...7sin 715sin 513sin 31sin 4sin sgn 1x x x x nx b x n n π()()..12sin 12141πππ<<---=∑∞=x x n n n（*）（*）中，令,2π=x 得：()∑∞=--=1212sin 12141n n n ππ()∑∞=---=111214n n n π所以 ()∑∞=-=--11.4121n n n π4．（书中302P ,第4题）关于区间()ππ,-展开下列函数为傅里叶级数 （ⅰ）();x x f =（ⅱ）()ax x f cos =（a 为常数）； （ⅲ）();sin x x x f =（ⅳ）()⎩⎨⎧<≤<<-=.,,0,0ππx x x x f解：（ⅰ）所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此()x f 的傅里叶级数处处收敛于().x f注意到()x f 为偶函数，故显然().,2,1;0 ==n b n 而 ()dx x f a ⎰=ππ0.2;.2πππ==⎰dx x()nxdx x f a n cos .2⎰=ππnxdxx cos .2⎰=ππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰πππππ00s i n s i n 2s i n .2|n x d x nx x n nx d x n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=|0cos 102ππnx n n[]=-=1cos 22ππn n .,..6,4,2,0,...,5,3,1,42⎪⎩⎪⎨⎧==-n n n π 所以，()x f 的傅里叶级数展开式为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=+=∑∞=...7c o s 715c o s 513c o s 31c o s 42c o s 222210x x x x nx a a x n n ππ()()()..12c o s 1214212ππππ<<----=∑∞=x x n n n（ⅱ）所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此()x f 的傅里叶级数处处收敛于().x f注意到()x f 为偶函数，故显然().,2,1;0 ==n b n 而 ()dx x f a ⎰=ππ0.2dx ax ⎰=ππ.cos 2;sin 2sin 2|0ππππa a ax a ==()nxdx x f a n cos .2⎰=ππnxdxax cos .cos 2⎰=ππ()()[]dx x a n x a n ⎰++-=ππcos cos 212()[]dx x a n ⎰-=ππcos 1()[]dxx a n ⎰++ππcos 1()()[]|0sin 1ππx a n a n --=()()[]|0sin 1ππx a n a n +++()()[]ππa n a n --=sin 1()()[]ππa n a n +++sin 1())sin(1πππa n a n --=())sin(1πππa n a n +++()())sin(11ππa a n n ---=()())sin(11ππa a n n -++()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=a n a n a n11sin 1ππ()()222sin 1an a a n---=ππ()().1.sin 2221an aa n --=+ππ() ,2,1=n所以，()x f 的傅里叶级数展开式为()(),c o s 121s i n2c o s 1221⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=∑∞=+n n a n nx a a a ax ππ ().ππ<<-x（ⅲ）所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此()x f 的傅里叶级数处处收敛于().x f注意到()x f 为偶函数，故显然().,2,1;0 ==n b n 而 ()dx x f a ⎰=ππ0.2dx x x ⎰=ππ.sin 2()x d x cos .2⎰-=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰πππ00cos cos 2|xdx x x ;2=()dx x x f a ⎰=ππ1.cos 2xdx x x cos .sin 2⎰=ππdxx x ⎰=ππ2sin 1()x d x 2cos .210⎰-=ππ;212cos 2cos 2100|-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰πππxdx x x()nxdx x f a n cos .2⎰=ππnxdxx x cos .sin 2⎰=ππ()()[]dx x n x n x ⎰--+=ππ1sin 1sin 21.2()[]dxx n x ⎰+=ππ1sin 1()[]dx x n ⎰--ππ1sin1()()[]x n d x n 1cos 11++-=⎰ππ()()[]x n d x n 1cos 11--+⎰ππ()()[]()[]{}⎰+-++-=πππ1cos 1cos 11|dx x n x n x n()()[]()[]{}⎰----+πππ1cos 1cos 11|dx x n x n x n()()[]πππ1cos 11++-=n n ()()[]πππ1cos 11--+n n()()1111+-+-=n n ππ()()1111---+n n ππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=11111n n n ()1212---=n n ().12121--=+n n () ,3,2=n所以，()x f 的傅里叶级数展开式为 ()()..c o s 112c o s 211s i n 221ππ<<---+-=∑∞=+x nx n x x x n n（ⅳ） ()dx x f a ⎰-=πππ.10()d x x f ⎰=ππ.1;2.1πππ==⎰d x x()n x d x x f a n c o s .1⎰-=πππn x d x x c o s .1⎰=ππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰πππππ00s i n s i n 1s i n .1|n x d x nx x n nx d x n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=|0cos 101ππnx n n[]=-=1cos 12ππn n .,..6,4,2,0,...,5,3,1,22⎪⎩⎪⎨⎧==-n n n π ()nxdx x f b n sin .1⎰-=πππnxdxx sin .1⎰=ππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰πππππ00c o s c o s 1c o s .1|n xd x nx x n nx d x n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=|0sin 1cos 1ππππnx n n n=-=πn ncos 1().11nn +-=() ,2,1=n所以，()x f 的傅里叶级数展开式为 ()()()()()..s i n 11212c o s 241112ππππ<<--+---=∑∑∞=+∞=x nx nn x n x f n n n5．（书中307P ,第1题）将函数()()()ππ<<-=x x x x f 0分别展开成正弦级数与 余弦级数.解：（一）对()x f 作奇延拓及周期延拓. ,...)2,1,0(0==n a n . ()⎰⎰⎰-=-=ππππππ2s i n 2s i n 2s i n 2n x d x x n x d x x n x d x x x b n其中⎰πsin 2nxdx x ()nx d x ncos 2⎰-=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰ππ00c o s c o s 2|n x d x nx x n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=|0sin 1cos 2πππnx n n n=-=ππn ncos 2().121+-n nπ （1）⎰-ππ2sin 2nxdx x ()nx d x n cos 202⎰=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ002c o s 2c o s 2|n xd x x nx x n()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰ππππ02sin 2cos 2nx xd nn n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰πππππ002sin sin 4cos 2|nxdx nx x n n n()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=|02cos 10412πππnx n n n n()()[]114123----=nnn nππ()()[].114123nnn n--+-=ππ （2）故 ()112+-=n n n b π()()[]nnn n114123--+-+ππ()[]nn 1143--=π.,..6,4,2,0,...,5,3,1,83⎪⎩⎪⎨⎧===n n n π 所以，()()()x n n x f n 12sin 121813++=∑∞=π.)π<<x 0（二）对()x f 作偶延拓及周期延拓.,...)2,1(0==n b n ；()dx x f a ⎰=ππ0.2()dx x x ⎰-=πππ.2;3.12πππ==⎰dx x()⎰⎰⎰-=-=ππππππ2c o s 2c o s 2c o s 2n x d x x n x d x x n x d x x x a n其中⎰πcos 2nxdx x ()nx d x nsin 2⎰=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰ππ00s i n s i n 2|n x d x n x x n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=|0cos 102πnx n n ()1cos 22-=πn n()[].1122--=nn（1）⎰-ππ2cos 2nxdx x ()nx d x n sin 22⎰-=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰πππ002sin 2sin 2|nxdx x nx x n()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰ππ0cos 202nx xd n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰πππ002cos cos 4|nxdx nx x n []0cos 42+-=πππn n().142nn--=故 ()[]1122--=nn na ()nn142--()[]nn1122---=().1412+-+n n() ,2,1=n所以，()()[]nxnx f n ncos 11126122∑∞=---=π()nx nn n cos 114112∑∞=+-+()()x n n n 12c o s12146122---=∑∞=π()nx nn n cos 114112∑∞=+-+ ()π<<x 06．（书中307P ,第2题）设()t f 是周期为π2，高为h 的锯齿形波，它在[]π2,0的函数表示式为()th t f π2=，试把它展开成傅里叶级数.解：()dt t f a ⎰=ππ2001h th dt t h ===⎰|2022202.221πππππ；() ,2,1=n()dt nt t f a n ⎰=ππ20cos 1ntdtt h cos .2120⎰=πππ()nt d t n hsin 2202⎰=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ20202s i n s i n 2|n t d t nt t n h[]0022--=πn h .0=()dt nt t f b n ⎰=ππ20sin 1ntdtt h sin .2120⎰=πππ()nt d t n hcos 2202⎰-=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰πππ20202c o s c o s 2|n td t nt t n h[]02cos 222--=πππn n h.πn h -=() ,2,1=n所以，()t f 的傅里叶级数展开式为 ().s i n 121nt n hh t f n ∑∞=-=π() ,2,1,0,2±±=≠kk x π7．（书中307P ,第3题）在()π2,0展开函数()2xx f -=π为傅里叶级数.解：对()x f 作周期延拓. ()dx x f a ⎰=ππ2001()021.21.121|20220=--=-=⎰ππππππx dx x；()nxdxx f a n cos 120⎰=ππnxdxxcos 2120⎰-=πππ()()nx d x n sin 2120⎰-=πππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰ππππ2020s i n s i n 21|n x d x nx x n[]00021=-=πn ；()nxdxx f b n sin 120⎰=ππnxdxxsin 2120⎰-=πππ()()nx d x n cos 2120⎰--=πππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰ππππ2020c o s c o s 21|n x d x nx x n[]nn n 12cos 21=---=ππππ；() ,2,1=n所以，()t f 的傅里叶级数展开式为 ().s i n 11nx nx f n ∑∞==()π20<<x8．（书中307P ,第4题）设()t f 是周期为()0>T T 的周期函数，它在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2T T 内的函数表示式为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-=<<=.02,0,2,20,sin t TT T t t E t f m πωω，试把它展开成傅里叶级数. 解：()dtt f T a TT ⎰-=22021 tdt E TTm ωsin 22⎰=|20cos 12Tm t T E ⎪⎭⎫⎝⎛-=ωω⎪⎭⎫⎝⎛-=2c o s 12T T E m ωω⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2.2c o s 12.2T T T T E m πππmE 2=； ()dtT t n t f T a TT n ⎰-=222cos.21π dt Tt n t E TTm πω2cos.sin 22⎰=dt t T n t T n TE T m ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2sin πωπω⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=|202c o s 21T m t T n T n T E πωπω⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+|202c o s 21Tm t T n T n T E πωπω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2.2c o s 12TT n TT n E m πωπω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2.2cos 12TT n TT n E m πωπω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2.22cos 122T T n T TT n T E mππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2.22cos 122T T n T TT n TE mππππ ()[]ππn n E m cos 112++=()[]ππn n E m cos 112+-+[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=n n n E m1111cos 12ππ()[]212112n E n m --+=π.,..5,3,1,0,...,6,4,2,.112⎪⎩⎪⎨⎧==-=n n E n m π ()dt T tt f T b TT ⎰-=2212sin.21πdt Tt t E TTm πω2sin.sin 22⎰=dt Tt Tt E TTm ππ2sin.2sin22⎰=dt Tt E TTm24cos 122π-=⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=|204sin 4Tm T t T t T E ππ22sin 42m m E T T T E =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ；()dtT t n t f T b TT n ⎰-=222sin.21π dt Tt n t E TTm πω2sin.sin 12⎰=dt t T n t T n TE Tm ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22cos 2cos πωπω⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=|202s i n 21T m t T n T n T E πωπω⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++|202s i n 21Tm t T n T n T E πωπω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02.2s i n 2T T n T T n E m πωπω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++12.2sin 2T T n T T n E m πωπω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02.22sin22TT n TT T n T E mππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++02.22sin22T T n T T T n T E mππππ ()ππn n E m sin 12-=().0sin 12=++ππn n E m .,3,2 =n所以，()t f 的傅里叶级数展开式为().4c o s 1412s i n 212T tn n Tt E E x f n mmπππ∑∞=-++=9．（书中307P ,第5题）设()x f 在[]ππ,-上为可积的奇函数且在[]π,0上有().0≥x f 求证：1kb b k ≤（其中k b 为()x f 的傅里叶系数）.提示：().0sin sin π≤≤≤x x k kx证明：（一）先用数学归纳法证明：对于+∈N k ，有().0s i n s i nπ≤≤≤x x k kx （*）成立。