植树问题(封闭图形)
五年级上册数学植树问题(例3) (封闭图形)人教版课件PPT【精品】
果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？
4×10＋2＝42(人)
（选自教材P110练习二十四第11题）
(38－2)÷4＝9(张)
答：10张桌子并成一排可以坐42人，
如果一共有38人，需要并9张桌子才能坐下。
5、一条项链长60 cm，每隔5 cm有一颗水晶。这条项链上 共有多少颗水晶？ （选自教材P110练习二十四第12题）
封闭图形的特点有： （1）无论什么图形，只要起点和终点重合，即首尾相连
就是封闭图形。
（2）观察封闭图形上棵数与间隔数的关系，我们发现： 只要在封闭路线上植树，棵数总是等于间隔数。
正确解答： 因为圆形池塘是封闭图形，最外层的棵数＝间隔数 所以 120÷10＝12（个）间隔，也就是要栽12棵树。 120÷10＝12（棵） 答：一共要栽12棵树。
9．笔直的跑道一旁插着51面小旗，它们的间隔是2m。现 在要改为只插26面小旗（两端的旗子不动），间隔应改 为多少米？ (51－1)×2＝100（m） 100÷(26－1)＝4（m） 答：间隔应改为4m。
10．解下列方程。 16+x=71 x=55
18+7x=39 x =3
3（2x- 4）=9
x =3.5
60÷5＝12（颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。
6、小区花园是一个长60m、宽40m的长方形。现在要在花园四 周栽树，四个角上都要载，每相邻两棵间隔5m。一共要栽 多少棵树？ （选自教材P110练习二十四第13题） (60÷5＋1)×2＝26(棵) (40÷5－1)×2＝14(棵) 26＋14＝40(棵) 答：一共要栽40棵树。
人教版五年级数学上册第七单元植树问题
第3课时 封闭图形的植树问题 （例3）
1.了解沿封闭图形植树的特征，掌握解决沿封闭图 形植树问题的方法。 （重点）
植树问题(封闭图形)
10×3÷5=6(棵）
答：一共要栽6棵。
两端都栽 只栽一端 两端不栽 封闭图形
植树问题的三种情况
棵数=间隔数+1 棵数=间隔数 棵数=间隔数 -1 棵数=间隔数
为了保护公园里的一棵千年古树，园林局 决定为它做一个圆形防护栏。如果护栏有 10个间隔，一共需要打（ 10 ）根木桩。
间隔数=木桩数
同学们围绕圆形池塘栽树， 每两棵树之间的距离是3 m， 照这样计算，种15 棵树的距 离是多少米？
150÷15 = 10（盏）
答：一共需要装10盏灯。
正方形球场每边长10米，现在围绕球场栽树， 每个顶点都栽，每相邻两棵间隔5m，一共要 栽多少棵？
10×4÷5=8(棵）
答：一共要栽8棵。
一个等边三角形的水池，每边长10米， 现在围绕水池种树，每个顶点都栽，每 相邻两棵间隔5m，一共要栽多少棵？
15×3 = 45（m）
答：种15 棵树的距离是45 m。
要在一个水池周围种树，已知这个水池周长 为245米，计划要栽49棵树，相邻两树之间 距离相等。相邻两树之间相距多少米？
245÷49=5（米） 答：相邻两树之间相距5米。
要在正方形的喷水池边上摆上花盆，每一 边摆放5盆花（四个角上都要有一盆花）， 一共要摆多少盆花？
封闭图形
相当于 只栽一端
棵数 = 间隔数 钟面
张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120 m，如 果每隔10 m栽一棵，一共要栽 多少棵树？
120÷10=12（棵）
一共要栽12棵树。
圆形滑冰场的一周全长是 150 m。如果沿着这一圈每隔 15 m安装一盏灯，一共需要 装几盏灯？
书Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ08
五年级上7.2封闭图形的植树问题
五年级上7.2封闭图形的植树问题《五年级上 72 封闭图形的植树问题》在我们的日常生活中，植树是一项非常有意义的活动。
而在数学世界里，植树问题也是一个有趣且实用的知识领域。
今天，让我们一起来探索五年级上册 72 节中封闭图形的植树问题。
首先，我们来明确一下什么是封闭图形。
封闭图形就像是一个圆圈，或者是一个长方形、正方形等，它们的首尾是相连的，没有开口。
比如说，一个圆形的花坛，一个正方形的池塘四周，这都属于封闭图形。
那么在封闭图形中植树，又有什么规律和特点呢？我们先来看一个简单的例子。
假设有一个圆形的花坛，周长是 20 米，每隔 5 米种一棵树，那么一共能种多少棵树呢？我们来算一算。
因为是在封闭图形上植树，所以树的数量和间隔的数量是相等的。
这个圆形花坛的周长是 20 米，每隔 5 米一个间隔，那么间隔数就是 20÷5 ＝ 4（个），所以树的数量也是 4 棵。
再比如一个正方形的池塘，边长是 12 米，每隔 3 米种一棵树，四个角都种，一共要种多少棵树呢？我们先算出每条边的间隔数：12÷3 ＝ 4（个）。
因为正方形有四条边，所以总间隔数就是 4×4 ＝ 16（个）。
但是要注意，由于四个角的树都被重复计算了一次，所以实际上树的数量就是 16 4 ＝ 12（棵）。
通过这两个例子，我们可以总结出封闭图形植树问题的公式：植树的棵数＝间隔数。
那为什么在封闭图形中，植树的棵数会等于间隔数呢？这其实很好理解。
想象一下我们围着一个圆形的操场跑步，起点和终点是重合的。
在这种情况下，跑过的间隔数和经过的位置数是一样的。
植树也是同样的道理，在封闭图形上，树就相当于跑步时经过的位置，间隔就相当于跑过的距离。
掌握了封闭图形的植树问题，对我们的生活也有很大的帮助呢。
比如说，在规划一个公园的时候，如果要在湖边种一排树，知道了湖的周长和树的间隔距离，就能很快算出需要种多少棵树，从而合理安排预算和人力。
再比如，要在一个圆形的广场周围安装路灯，如果知道了广场的周长和路灯之间的间隔，也能轻松算出需要安装多少盏路灯，让广场在夜晚能够明亮又美观。
植树问题2(封闭图形)
巩固练习
巩固练习 （3）四（2）共有48名同学，他们也在操场上围成了一个正
方形，每边人数相等，四个顶点都站了人，每边站了几个人？
尝试评价
巩固练习
（1）四（1）班的同学在操场上围成了一个正方形，每边各站 12人，四个顶点都站了人，这个班级一共有多少人？ （2）四（2）共有48名同学，他们也在操场上围成了一个正 方形，每边人数相等，四个顶点都站了人，每边站了几个人？
巩固练习 （1）四（1）班的同学在操场上围成了一个正方形，每边各
站12人，四个顶点都站了人，这个班级一共有多少人？
（1）在每边种2、3、4、5棵这几种情况中选择 几种来研究。 （2）利用小磁贴摆一摆，数一数，并完成表格。 （3）完成表格后想一想，你们发现了什么？
反馈提炼 每边棵数 每边段数 总棵数 总段数
尝试解决 如果要在正方形的植物园四周种上小树， 每边要种19棵树，四个顶点都要种，一共 要种多少棵树？
Hale Waihona Puke 自学提高植树问题准备问题
在100米的小路的一边，每隔5米种一棵柳树， 起点和终点都栽，一共种了多少棵？
尝试问题 如果要在正方形的植物园四周种上小树， 每边要种19棵树，四个顶点都要种，一共 要种多少棵树？
合作交流
如果要在正方形的植物园四周种上小树， 每边要种19棵树，四个顶点都要种，一共 要种多少棵树？ 小组合作要求
封闭图形的植树问题-课件
两端都种：
棵数=间隔数 +1 两端都不种：
棵数 = 间隔数 - 1
只种一端：
棵数 = 间隔数
封闭图形的植树问题
学校要在正方形的草地边上种树，使每一边都有3棵树 ，可以怎样种？
要求：想一想，用一个圆圈代表一棵树把它画下来， 再算一算一共种了几棵树？
做一做：
48名学生在操场上做游戏。大家围成一 个正方形，每边人数相等。四个顶点都 有人，每边各有几名学生？
48 ÷4 +1
=12+1
=13（名）
小朋友围成一圈做游戏。 一圈的总长是9米，每 两个人之间的距离是１ 米，一共有几个小朋友？
1.在一个六边形的最外边插彩旗（每个角都要站），
每边插5面，一共要几面彩旗？列式错误的是（ ③ ）。
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
①7
②8
③9
4、学校环形跑道长200米，每隔10米种一棵树，一共
可种几棵树。列式正确的是（② ）。
① 200÷10-1 ② 200÷10 ③ 200÷10 +1
算一算
在 一个5边形上摆花，如果每边摆7盆（每个顶点都 摆一盆），最外层一共可以摆放多少盆花？
方法一： 7×5-5=30（盆）
方法二： 6×5=30（盆）
① （5 – 1) X 6 ② 5 X 6 – 6 ③ 5 X 6
2.学校环形跑道长200米，每隔10米种一棵树，一共
可种（ ① ）棵树。
① 20
植树问题 例3(封闭图形)
三、巩固练习，提升认识
2. 一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。 这条项链上共有多少颗水晶？
60÷5＝12（颗） 答：这条项链上共有12颗水晶。
3. 有一个边长是20厘米正方形棋盘，最外层每隔5厘米放 一枚棋子（四个角都要放），最外层可以放多少枚棋 子？里面也放上棋子，一共有多少枚棋子？
20÷5＋1=5（枚） 5×4=20（枚） 每边都放了5枚棋子， 但是四个角重复了 20－4=5（枚） 最外层数量=周长－4 总共数量=面积
数学广角——植树问题
植树问题 例3（封闭图形）
一、创设情境，揭示课题
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120m， 如果每隔10m栽一棵，一共 要栽多少棵树？
二、交流辨析，探究新知
（二）交流汇报，统一认识
小结：把圆拉直成线段，就和一端种一段不种相同
结论：棵数＝间隔数
二、交流辨析，探究新知
（一）回顾研究方法，布置研究内容
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120m， 如果每隔10m 栽一棵，一共 要栽多少棵树？ 120÷10＝12（棵） 答：一共要栽12棵树。
三、巩固练习，提升认识
1. 圆形滑冰场的一周全长是150m。 如果沿着这一圈每隔15m安装一灯， 一共需要装几盏灯？ 150÷15＝10（盏） 答：一共需要装10盏灯。
封闭图形的植树问题公式
封闭图形的植树问题公式当我们提到植树的时候，第一件事是想到树被植在大地上，以达到防洪、减少沙尘暴等等环境保护的作用。
但是有一个问题，就是如何在有限的土地上，植树者如何最大程度地植树，这个问题就是封闭图形的植树问题。
在数学上，植树问题是一个求最大化的问题，有时候也被称为井宿植树问题。
在植树问题中，植树者需要先设定一个封闭的图形，例如三角形，正方形或者其他几何图形，然后图形中的每块土地可以植树，也可以不植。
宗旨是尽可能多地植树，即最大化植树的块数，从而达到环境保护的作用。
封闭图形的植树问题已经被许多学者研究，他们利用数学的解决方法开发出了相关的公式。
一般来说，任何封闭图形的植树问题都可以用以下公式表示：最大植树数量= (图形总面积-中心空间面积)/植树单元面积植树单元面积是指树的根护罩的面积，也就是说，如果植树者面前有一块土地，根护罩的面积就是植树单元的面积。
中心空间面积是指封闭图形中心空间的总面积，因为任何封闭图形都有一些内部空间占据，这些空间是不可植树的，所以需要从总面积中减去。
例如，一个边长为10米的正方形，如果其中心空间占据2米，植树单元面积为1米，那么根据公式，最大植树数量就是（100-4）/1=96棵树。
封闭图形的植树问题公式是一种有效的方法，可以帮助有限的土地植树者尽可能多地植树，并且也可以帮助植树者更加实际有效地解决植树的问题。
此外，封闭图形的植树问题公式也可以帮助植树者有效管理植树，例如，应该在哪里植树，以及植树之后，如何有效地管理这些树木，以及如何充分利用这些树木，例如通过收集树木果实等，等等。
因此，封闭图形的植树问题公式不仅可以有效提高植树者的植树效率，而且还可以有效帮助植树者管理和利用树木，从而达到最大程度地环境保护目的。
封闭植树问题公式
封闭植树问题公式
封闭图形的植树问题的公式是棵数=间隔数、棵树=周长÷间距、棵树=长度÷间距+1(两端都栽)、棵树=长度÷间距-1(两端都不栽)、棵树=长度÷间距(一端栽、一端不栽)。
在封闭图形上进行植树，段数等于株数，满足的公式和直线型仅在路的一端植树是一样的：株数=段数=全长÷株距，全长=株距×株数，株距=全长÷株数。
解植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一头种”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。
请注意，在解答具体问题时，应结合题目的实际情况选择合适的公式进行计算。
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（三） 运用规律，解决问题
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120m， 如果每隔10m 栽一棵，一共 要栽多少棵树？
120÷10＝12（棵） 答：一共要栽12棵树。
（四）梳理方法，整体把握
两头种
100米 棵数＝间隔数＋1＝间隔数
棵数＝间隔数
问题： 1. 回忆一下，我们使用了怎样的方法解决这个问题的？ 2. “植树问题”有几种类型？ 每种类型中棵数和间隔数什么关系？ 3. 你能把这几种清况分分类吗？说说你是怎样想的。
数学广角——植树问题
例3（封闭图形）
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120m， 如果每隔10m栽一棵，一共 要栽多少棵树？
1. 你知道了哪些信息？
2. 这个植树问题和以往的问题有什么不同和相同之处？ 不同：前面学习的是在线段上的植树问题。今天学习的是在圆 形周围植树问题。（封闭图形）
1. 圆形滑冰场的一周全长是150m。 如果沿着这一圈每隔15m安装一灯， 一共需要装几盏灯？
150÷15＝10（盏） 答：一共需要装10盏灯。
问题： 1. 用你喜欢的方法，解决这个问题。 2. 你读懂他想表达什么意思了吗？请你说一说。 3. 还有不同的想法吗？
2. 一条项链长60cm，每隔5cm有一颗大水晶。 这条项链上共有多少颗大水晶？
（3）在周长120米的长方形周围栽树（每个角也要栽树），它的 长是40m，每隔10m栽一棵，需要栽多少棵树？
选择上面的一道题，用自己喜欢的方法，独立解决问题。
四、延伸探究，总结规律
总结规律
结合自己的探究填写下表，与身边的同学比一比，你能 得到什么？
我发现：
作业：第110页练习二十四，第11题。 第111页练习二十四，第13题。
60÷5＝12（颗） 答：这条项链上共有12颗大水晶。
四、延伸探究，总结规律
圆周上植树问题的规律适用于其他的封闭图形吗？
（1）在周长120米的等边三角形周围栽树（每个角也要栽树）， 每隔10m栽一棵，需要栽多少棵树？
（2）在周长120米的正方形周围栽树（每个角也要栽树），每隔 10m栽一棵，需要栽多少棵树？
相同：已知长度和间隔距离
（一）回顾研究方法，布置研究内容
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围 栽树。池塘的周长是120m， 如果每隔10m栽一棵，一共
化 要栽多少棵树？ 繁 画图法 为 简 你先想用画什图么方假法设进周行研长究是？40m，每隔10米栽一棵，
能栽几棵？
（二）交流汇报，统一认识
小结： 我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭 图形“只栽一端”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵 数等于间隔数。