中学生作文中的集合概念和非集合概念
集合概念的名词解释
集合概念的名词解释集合是数学中最基本的概念之一，它不仅在数学中具有重要的地位，还广泛应用于其他学科和日常生活中。
本文将介绍集合的概念、表示方法、运算和性质，以及集合在实际问题中的应用。
一、集合的概念集合是由一些特定对象组成的整体。
这些对象可以是任何事物，如数字、字母、人、动物等等。
集合中的每个对象被称为集合的元素，元素可以重复，但在一个集合中每个元素只能出现一次。
集合可以用大括号{}表示，括号内列举集合的元素。
例如，集合A可以表示为A={1, 2, 3, 4, 5}，其中的元素分别为1、2、3、4和5。
二、集合的表示方法除了用列举元素的方式表示集合外，还可以用描述性的方式表示集合。
描述性表示法通常使用变量和条件来定义一个集合。
例如，可以用集合B表示"所有小于10的正整数"，可以写成B={x | x是小于10的正整数}。
三、集合的运算集合之间可以进行各种运算，常用的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个集合的所有元素合并成一个新集合。
如果集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则它们的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
交集是指两个集合中共有的元素构成的新集合。
若集合C={2, 3, 4}，则集合A和C的交集为A∩C={2, 3}。
差集是指从一个集合中减去另一个集合中的元素得到的新集合。
若集合B和C的差集为B-C，则B-C={4, 5}。
补集是指相对于某个全集，除去一个集合中的元素后剩下的元素。
若全集为D={0, 1, 2, 3, 4, 5}，集合A的补集为D-A={0}。
四、集合的性质集合具有一些基本性质，这些性质有助于我们理解和处理集合相关的问题。
（1）子集关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集。
用符号表示为A⊆B。
若集合A是集合B的子集但两个集合不相等时，则称A为B的真子集，用符号表示为A⊂B。
（2）并、交运算的交换律和结合律：并集和交集运算满足交换律和结合律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
集合的概念
集合的概念某些指定的对象集在一起就是集合。
一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。
如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。
任何集合是它自身的子集.一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
元素与集合的关系元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。
集合与集合之间的关系某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。
空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。
任何集合是它本身的子集。
子集，真子集都具有传递性。
『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆B。
若 A 是 B 的子集，且 A 不等于B，则 A 称作是 B 的真子集，一般写作 A ⊂B。
中学教材课本里将⊂符号下加了一个≠ 符号（如右图），不要混淆，考试时还是要以课本为准。
所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
』集合的三种运算法则并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A 并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A 交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。
那么因为A和B中都有1,5，所以A ∩B={1，5} 。
再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。
那么说A∪B={1，2，3，5}。
图中的阴影部分就是A∩B。
有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。
集合概念和非集合概念的区别逻辑学
集合概念和非集合概念的区别逻辑学摘要：一、引言1.逻辑学的重要性2.集合概念与非集合概念的区分二、集合概念1.定义与特点2.集合元素的性质3.集合的运算与关系三、非集合概念1.定义与特点2.非集合概念的分类3.非集合概念的应用四、集合概念与非集合概念的区别1.内涵与外延的区别2.确定性与不确定性的区别3.集合与非集合的逻辑关系五、逻辑应用与实践1.集合与非集合在数学中的应用2.集合与非集合在计算机科学中的应用3.集合与非集合在其他学科中的应用六、总结1.集合概念与非集合概念的重要性2.逻辑思维的培养与实践正文：一、引言逻辑学作为一门研究思维规律的科学，对于我们的日常生活和工作具有重要意义。
在逻辑学中，集合概念与非集合概念的区分是一个基本问题。
本文将从集合概念和非集合概念的定义、特点、应用等方面进行详细阐述，以期帮助读者更好地理解这两种概念的区别和逻辑应用。
二、集合概念1.定义与特点集合概念是指具有某种性质的事物的总体。
集合概念具有以下特点：（1）确定性：集合中的元素是确定的，具有唯一性。
（2）互异性：集合中的元素是不同的，不存在重复。
（3）整体性：集合是一个整体，其元素之间存在某种联系。
2.集合元素的性质集合元素具有以下性质：（1）无序性：集合中的元素排列顺序不影响集合的定义。
（2）基数性：集合中的元素数量称为集合的基数。
（3）集合的运算与关系：集合之间可以进行并、交、补等运算，以及存在包含关系、相等关系等。
3.集合的运算与关系集合的运算包括并集、交集、补集等，这些运算遵循一定的运算律。
同时，集合之间存在包含关系（子集）、相等关系等。
三、非集合概念1.定义与特点非集合概念是指不具有集合特点的概念。
非集合概念具有以下特点：（1）内涵：非集合概念有明确的内涵，但外延不确定。
（2）不确定性：非集合概念的外延是不确定的，可能包含多个元素，也可能只有一个或没有元素。
（3）应用广泛：非集合概念广泛应用于哲学、社会科学、自然科学等领域。
什么叫做集合
什么叫做集合在数学中，集合是一个基本概念，它是由一些确定的元素所组成的整体。
更具体地说，一个集合就是一组对象的聚合体，这些对象被称为集合的元素。
集合是数学中一种基本且重要的结构，它在各个领域有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍集合的基本概念、性质以及对应的操作。
集合的基本概念元素和集合本身的概念在集合论中，一个集合可以包含各种类型的对象，这些对象称为集合的元素。
集合本身也是一个对象，并且它包含了它的所有元素。
集合的元素可以是数字、字母、符号、词语等各种形式的实体，甚至可以是其他集合。
集合的表示方法通常情况下，我们用大写字母来表示集合，例如A、B、C等。
如果一个元素x 属于集合A，我们通常用$x \\in A$来表示。
如果一个元素x不属于集合A，我们用x otinA来表示。
集合的例子举几个例子来说明集合的概念。
假设集合A包含了元素1、2、3，我们可以表示为$A=\\{1,2,3\\}$。
如果集合B包含了所有小于10的偶数，我们可以表示为$B=\\{2,4,6,8\\}$。
另外，空集合是一个特殊的集合，它不包含任何元素，常用符号表示为$\\emptyset$。
集合的性质互异性集合中的元素是互异的，即一个集合中不会包含两个相同的元素。
如果两个集合完全相同，那么它们是相等的，常用符号表示为A=B。
确定性集合是确定的，即一个元素要么属于一个集合，要么不属于该集合。
不存在模棱两可的情况。
无序性集合中的元素是无序的，即集合中元素的排列顺序不影响集合的性质。
例如，集合$\\{1,2,3\\}$与集合$\\{2,3,1\\}$是相等的。
无重复性集合中的元素是无重复的，即一个元素在集合中只能出现一次。
集合的操作并集设A和B是两个集合，它们的并集$A \\cup B$定义为包含了A和B的所有元素的集合。
即，$A \\cup B = \\{x|x \\in A \\text{或}x \\in B\\}$。
交集设A和B是两个集合，它们的交集$A \\cap B$定义为同时属于A和B的所有元素的集合。
专题 集合的概念与表示、集合间的关系(解析版)
专题05 集合的概念与表示、集合间的关系集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的知识梳理知识结构模块一： 集合的概念整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．典例剖析【例1】下列所给对象不能构成集合的是________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1．【难度】★【答案】(1)(3)(5)集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母CBA、、…来表示，集合中的元素用c b a、、…表示，如果a是集合A的元素，就记作Aa∈，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作Aa∉，读作“a不属于A”【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．M∉0B．M∈2 C．M∉-4D．M∈4【难度】★【答案】D常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包含零的自然数组成的集合，记作*N全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R（正实数集+R）、有理数集Q（负有理数集-Q）、整数集Z（正整数集+Z）、自然数集N（包含零）、不包含零的自然数集*N；【例3】用“∈”或“∉”填空(1)－3______N；(2)3．14______Q；(3)13______Z；(4)－12______R；(5)1______N*；(6)0________N．【难度】★【答案】(1)∉(2)∈(3)∉(4)∈(5)∈(6)∈集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程012=+x的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．【例4】已知集合}=A∈x=，且A中只有ax++,0x21{2Rx一个元素，求x的值．【难度】★★【答案】0a或1==a【例5】已知},0,1{2xx∈，求实数x的值．【难度】★【答案】1-【例6】已知集合S的三个元素a．、b、c 是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【难度】★【答案】D【例7】设A为实数集，且满足条件：若a．∈A，则1∈A (a．≠1)．1a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明．【难度】★★【答案】(1)若a ．∈A ，则a -11∈A ，又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A ． ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A ，∵12∈A ，∴11－12＝2∈A ，∴A 中另外两个元素为－1，12． (2)若A 为单元素集，则a ＝a-11，即a ．2－a ．＋1＝0，方程无解．∴a ．≠a -11，∴A 不可能为单元素集【例8】设P、Q为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a ＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【难度】★★【答案】8对点精练1．下列几组对象可以构成集合的是() A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人【难度】★★【答案】D2．用符号∈或∉填空：（1）0{0}（2）0φ（3）0N（4）0Z（5（6）2-Z【难度】★【答案】(1)∈(2)∉(3)∈(4)∈(5)∉(6)∈3．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中最小数为1； ②若a ∈N ，则N a ∉-；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．3 【难度】★★ 【答案】A4．由422、、a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a ．的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D．2【难度】★★【答案】C5．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．【难度】★★【答案】①④⑤6．已知集合M ＝{－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x ． 【难度】★★【答案】x ＝－3或x ＝2．7．设集合},12{},,2{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==．若B b A a ∈∈,，试判断b a +与B 、A 的关系． 【难度】★★ 【答案】A b a B b a ∉+∈+,8．已知集合},032{2R m x mx R x A ∈=+-∈=，且A 中只有一个元素，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】31,0集合的表示方法常用列举法和描述法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程0652=+-x x 的解的集合，可表示为{2,3}，也可表示为{3,2} 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程0652=+-x x 的解的集合可表示为}065{2=+-x x x ．集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限模块二：集合的表示方法集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示．典例剖析【例9】写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合【难度】★【答案】（1）{}2；（2）{}12,14,15,16,18【例10】用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合（3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点（4）}75,64,53,42,31{ 【难度】★★【答案】（1）},15{N k k x x ∈+=；（2）},,0),{(R y R x xy y x ∈∈>；（3）},,12),{(2R y R x x x y y x ∈∈+-=；（4）}5,,2{*≤∈+=n N n n nx x【例11】用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈- 【难度】★【答案】（1）()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0；（2）{}3,1-；（3）∅；（4）{}--7,1,1,3,4【例12】用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C【难度】★★【答案】（1）}6,4,2{；（2）}x∈+=；（3）x{N,2n3nyyxx∈>x<∈,0,0,}R)y{(R,【例13】下列表示同一个集合的是（）A．)}3,2{(2,3{==NM},M B．}3,2{2,3{(==N)},C．)}3,2{(=N0{M},M D．φ==N},2,3{=【难度】★【答案】B【例14】已知集合}A∈xxxZ=≤∈==，用-,2},,1B{2A{yxyx列举法分别表示集合BA、【难度】★★【答案】}3,0,1{-=BA-2,1,0,1=,2},{-【例15】设∇是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意A b a∈,，有A∇，则称Aba∈对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A．自然数集B．整数集C ．有理数集D ．无理数集 【难度】★★ 【答案】C【例16】设cb a ,,为实数，)1)(1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f ，记集合},0)({},,0)({R x x g x T R x x f x S ∈==∈==，若T S ,分别为集合T S ,的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A ．0,1==T S 且B ．1,1==T S 且C ．2,2==T S 且D ．3,2==T S 且 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】【例17】设集合},,{22Z b a b a x x M ∈-==，求证：（1）奇数属于M （2）偶数)(24Z k k ∈-不属于M（3）属于M 的两个整数，其积属于M 【难度】★★★【答案】（1）M k Z k k k k ∈+∴∈-+=+12),()1(1222；（2）假设M k ∈-24，则可设),,(2422Z b a b a k ∈-=-即ba b a b a b a k +--+=-与 ))((24的奇偶性相同，))((b a b a -+∴是奇数或者是4的倍数，这与24-k 是偶数且不是4的倍数矛盾，故假设不成立，即M k ∉-24 （3）设,,,,22222121d c x b a x M x x -=-=∈且则2222222222222221)()())((bc ad bd ac d b c b d a c a d c b a x x +-+=+--=--=，M x x ∈211．用适当的方法表示下列集合．对点精练(1)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(2)由所有非负偶数组成的集合；(3)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．【难度】★★【答案】(1){3，5，7，11，13，17，19};(2){x|x ＝2n，n★N};(3){(x，y)|x<0且y<0}2．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y ＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？【难度】★★【答案】(1)不是；(2)①表示的是函数的定义域，x的取值范围；②表示的是函数的值域y的取值范围；③表示的是点集，是坐标平面内的点},{y x构成的集合，且这些点的坐标满足12+=xy3．用列举法表示下列集合：（1）}yxx∈∈+=yx),3,{(NNy,（2）}yyxx∈-≤={(2Z,1,2),xx（3）}xyy∈∈=+x,,3{NyN【难度】★★【答案】（1）)}0,3(),1,2(),2,1(),3,0{(；（2）)}3,2(),3,2(),0,1(),0,1(),1,0{(--；-（3）{0,1,2,3}4．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集．（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合．【难度】★★【答案】（1）{(,)|0,0}<<，它是无限集；（2）x y x y-，共有5个元素，是有限集；（3）{2,2,4,6,8}{|107,}=+∈，它是无限集．x x k k Z5．集合{}2=+中实数m的取值集合M=4,3A m m【难度】★★【答案】{}≠-≠且m m m|416．给出下列四种说法①任意一个集合的表示方法都是唯一的；②集合{}-是同一个集合2,1,0,1-与集合{}1,0,1,2③集合{}|21,x x k k Z =-∈与集合{}|21,y y s s Z =+∈表示的是同一个集合；④集合{}|01x x <<是一个无限集．其中正确说法的序号是 ．（填上所有正确说法的序号） 【难度】★★ 【答案】②③④7．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求【难度】★★【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=91,31M8．用列举法表示集合：},110{Z m Z m m M ∈∈+== 【难度】★★ 【答案】{}9,4,1,0,2,3,6,11----9．已知集合},2{},,2{22R x x x y y B R x x x y x A ∈-==∈-==，描述集合B A 与之间的区别 【难度】★★【答案】集合A 表示的是函数的定义域，集合B 表示函数值的取值范围子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”．模块三：集合之间的关系典例剖析【例17】已知A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．A B=C．B A⊆D．A∈B【难度】★【答案】D相等的集合：对于两个集合A和B，若A B⊆且B A⊆则称集合A 与集合B 相等，记作A B =．也就是说，集合A 和集合B 含有完全相同的元素． 【例18】已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值 【难度】★★ 【答案】21-=c真子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A叫做集合B 的真子集，记作B ≠⊂A 或A ≠⊃B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”．【例19】已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值． 【难度】★★【答案】21,31,0-子集的个数：若集合A 中有n 个元素，则有2n个子集，21n-个非空子集，21n-个真子集．【例20】定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为 【难度】★★ 【答案】4空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．图示法（文氏图）：用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图．（1）A B ⊆有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素；②A 与B 是中的所有元素都相同；（2）空集∅是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；（3）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈”； （4）判定A B =，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且任意x B x A ∈⇒∈”；（5）判定B ≠⊂A ，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且存在0x B x A ∈⇒∉”；（6）易混符号：①“∈”与“⊆”②{}0与∅；（7）R Q Z N ≠≠≠⊂⊂⊂．【例21】已知集合A Z k k x x B Z k k x x A 则},,21{},,21{∈==∈+==________B ．【难度】★★【答案】A B ⊆【解析】方法一 (列举法)对于集合A ，取k ＝…，0，1，2，3，…，得A ＝},27,25,23,21{⋯⋯ 对于集合B ，取k ＝…，0，1，2，3，4，5，…，得B ＝},252,231,21{⋯⋯，，，故A B ⊆．方法二 (通分法)集合A ：x ＝2k ＋12 (k ∈Z )，分子为奇数．集合B ：x ＝k 2 (k ∈Z )，分子为整数，∴A B ⊆．【例22】设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆ 【难度】★★【答案】}4,2,1{}3,2,1{}2,1{===C C C 或或【例23】设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【难度】★★【答案】1≤aa或-,1=【例24】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．【难度】★★【答案】{m|m≤3}【例25】若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．【难度】★★【答案】32-，【例26】已知(){}(){}1,||1|0,,|1y A x y y B x y x =-=+===或，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★【答案】B ≠⊂A【例27】已知()2f x x px q =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，(){}|B x f f x x ==⎡⎤⎣⎦，（1） 求证：A B ⊆；（2） 如果{}3,1A =-，用列举法表示集合B ．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）{1,B =-【例28】已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是 ，若A B ⊆，实数m的取值范围是【难度】★★【答案】4m;4≤>m对点精练1．下列五个关系式：（1）{}∅=0；（2）0=∅；（3）0；（4）{}∅⊇0；（5）{}0≠∅；其中正确的个数∈∅是（）A．2 B．3 C．4 D．5【难度】★【答案】A2．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值【难度】★★【答案】x＝y＝－13．若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A 有________个．【难度】★★【答案】164．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________【难度】★★【答案】{0，1，2，3，4，5}5．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值．【难度】★★【答案】26．已知，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围【难度】★★【答案】（1）空集；（2）7．已知集合B A,,},=若{,},,1{2，则实数b a,分别baab=aBA=a是【难度】★★【答案】0,1-8．设集合},421{},,412{Z k k x x N Z k kx x M ∈+==∈+==，则 (A 与B 的包含关系)【难度】★★【答案】N M ≠⊂9．设集合}0,,{},,,{2222y x y x Q xy y x y x P -+=+-=，若Q P =，求y x ,的值及集合Q P ,【难度】★★【答案】}0,1,1{-10．已知}0{},21{<-=<<=a x x B x x A ，若B A ≠⊂，求实数a 的取值范围【难度】★★【答案】}2{≥a a模块四：集合的概念和集合间的关系的能力拓展 典例剖析【例29】集合，且、、恰有一个成立，若且，则下列选项正确的是( )A ．，B ．，C ．，D ．，【难度】★★★【答案】B【解析】【例30】 若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符()*{,,S x y z x y z N =∈、、x y z <<y z x <<z x y <<}(),,x y z S ∈(),,z w x S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∉(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∉合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．【难度】★★【答案】6【解析】【例31】设P 是一个数集，且至少含两个数，若对任意,a b P ∈，都有)0(,,,≠∈-+b P b a ab b a b a ，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集Q},|2{∈+=b a b a F 也是数域．给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集M Q ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题是 ．(填序号) 【难度】★★★ 【答案】③④【例32】已知},2{},,,3614{Z k k x x B Z n m n m x x A ∈==∈+==，求证BA =【难度】★★★【答案】（1）先证B A ⊆，设A a ∈，则存在Z m m ∈21,，满足)187(236141111n m n m a +=+=，B A B a Z n m ⊆∈∴∈+即,,18711（2）再证A B ⊆，设B b ∈，则存在Z k ∈1，满足)2(36)5(142111k k k a +-==，A B A b Z k k ⊆∈∴∈-即,,2,511【例33】已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体，对任意R x ∈，存在非零的常数t 使)()(x f t t x f ⋅≥+成立，其中非零常数t 叫做函数)(x f 的一个特征参数（1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由 （2）试证明：函数2)(x x f =是集合M 中的一个元素，并求出2)(x x f =的所有特征参数组成的集合【难度】★★★ 【答案】（1）1=t 即可；（2）,02)1(,)(2222<≥++-≥+t t tx x t tx t x 可求得即1．已知},64{},,2{*2*2N b b b x x P N a a x x M ∈+-==∈+==，确定M与P 的关系 【难度】★★★ 【答案】P M ≠⊂2．已知集合},,14{},,12{Z m m x x B Z n n x x A ∈±==∈+==求证B A =对点精练【难度】★★★ 【答案】略 3．集合{}12|,,,M x x m m n Z x x M ==+∈∈、、下列元素中哪些一定属于M ?（1）12x x +； （2）12x x ⋅； （3）122(0)x x x ≠【难度】★★ 【答案】 （1），（2）4．设集合{}1,2,3,...,10,A =求集合A 的所有非空子集元素和的和 【难度】★★★【答案】含有1的子集有92个；含有2的子集有92个；含有3的子集有92个；…，含有10的子集有92个，∴9(123...10)228160++++⨯=集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关；集合中的元素的确定性和互异性，一是可以作为解题的依据;二可以检验所求结果是否正确．用描述法表示集合时，一定要明确研究的代表元素是什么，如；表示的是由二次函数的自变量组成的集合，即的定义域；表示的是由二次函数的{}4|2-=x y x 42-=x y 42-=x y {}4|2-=xy y 42-=xy 反思总结函数值组成的集合，即的值域；表示的是由二次函数的图像上的点组成的集合，即的图像．要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为n2，真子集个数为12-n，非空真子集有．22-n．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关42-=x y {}4|),(2-=x y y x 42-=x y 42-=x y系．在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示．1．选择适当的方法表示下列集合． (1)Welcome 中的所有字母组成的集合； (2)所有正偶数组成的集合；(3)二元二次方程组⎩⎨⎧==2xy xy 的解集； (4)所有正三角形组成的集合． 【知识点】集合的表示 【难度】★★ 【题型】填空题【答案】(1)列举法：},,,,,{m o c l e W ．课后练习(2)描述法：}xx∈=．kk,{*2N(3)列举法：)}1,1(),0,0{((4)描述法：}xx{是正三角形2．由实数x x x、、-所组成的集合，其元素最多有几个？【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题【答案】23．若集合}01xA是空集，则实数a的值为=ax+{=【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题 【答案】04．已知集合}14{2有唯一解=+-=a x x a A ，用列举法表示集合A【知识点】集合的表示 【难度】★★ 【题型】解答题 【答案】}2,2,417{--=A5．集合},023{2R a x ax x A ∈=+-=（1）若A 是空集，求a 的取值范围 （2）若A 中只有一个元素，求a 的值并把这个元素写出来（3）若A 中至多一个元素，求a 的范围【知识点】集合的概念 【难度】★★ 【题型】解答题【答案】（1）89>a ；（2）890==a a 或；（3）890≥=a a 或6．已知集合}044{2<+-=a x x x M ，且M ∉2，则实数a 的取值范围是 【知识点】集合的概念 【难度】★★ 【题型】填空题 【答案】}1{≥a a7．用适当的符号填空： （1）∅}01{2=-x x ；（2）{1，2，3} N ； （3）{1}}{2x x x =；（4）0}2{2x x x =．【知识点】集合间的关系【难度】★【题型】填空题【答案】，，，8．定义集合运算：，，．设集合，则集合的所有元素之和为_______________【知识点】集合的概念【难度】★★【题型】填空题【答案】189．已知{25}=+≤≤-，B A⊆，求m的B x m x mA x x=-≤≤，{121}取值范围。
作文中的集合概念和非集合概念的正确应用
[]2012.442关注【语文与成才】集合概念和非集合概念是由普通逻辑学中依据概念所反映的对象的不同特点划分出的两个相对的概念。
老师在中学生作文教学指导中，是不从逻辑学的角度作为专门的知识给学生讲解的。
但是，作文本身就是以概念为基础，由概念（语汇或短语）、判断（句子）和推理（句子或句群）组成的，概念在作文中运用得是否恰当直接关系到作文的语句是否通顺，语意是否准确，质量是否能够高，而不同类别的概念在作文中使用得如何，对此又起着微妙的作用。
因此，作为语文教师，在指导中学生作文时，要想完全撇开不对学生讲解也是不可取的。
如：“这场突兀而来的大雪灾，使不少人的羊群死亡数百只，而她的羊群却安然无恙，无一只减少。
这都是因为她在暴风雪的袭击中，像照料和保护自己的孩子一样照料和保护羊群得到的回报！”这是某位中学生在她的叙事文中的“点睛”之笔。
作为教师，读到这样感人的句子和事迹，恐怕是没有谁不为“她”和“她”的灵气所打动、所感染、所折服的。
又有谁能控制住自己，不对“她”产生深深的钦佩和敬慕之情呢？“这是一本非常好的书籍。
我之所以珍惜她，是因为她给了我自立的勇气和奋进的力量；我之所以热爱她是因为她引导我告别了浑浑噩噩的人生。
”瞧，我们这位中学生，在她议论文中，对那本她认为“非常好的书”所抒发的情感是多么单纯、多么真挚、多么朴实！作为读者，读后所得到的启发，所留下的印记，又是多么深刻和难忘。
然而，令人遗憾甚至痛惜的是，这两个例子又因作者混淆了集合概念和非集合概念，错误地将集合概念“羊群”和“书籍”当着非集合概念“羊”和“书”来使用，而使各自的叙述和抒情，并使各自的文章由此而有损光彩！这说明，在文章中正确地使用集合概念和非集合概念是很重要的，不容忽视！那么，究竟怎样才能更好和正确地使用集合概念和非集合概念呢？笔者的体会是要正确地使用这两种概念，一是要能够正确地区分这两种概念的含义，二是要能够正确地掌握这两种概念的使用特点。
非集合概念和集合概念的区别
非集合概念和集合概念的区别如下：非集合概念和集合概念的区别如下：
1.定义：非集合概念指的是单个个体，例如“士兵”、“台湾岛”，它们都
是一个单独的个体，而不是像“军队”、“舟山群岛”那样，由很多个体组成的集合。
而集合概念通常描述的是复杂或抽象的对象或现象，它们通常由很多个体组合而成。
2.适用范围：非集合概念通常用于描述简单或具体的对象或现象，例如“士
兵”、“台湾岛”等。
而集合概念通常用于描述复杂或抽象的对象或现象，例如“军队”、“舟山群岛”等。
3.直接推理或运算：非集合概念可以直接进行推理或运算，例如单个的词语
“士兵”可以直接指代一个个体。
而集合概念通常不能直接进行推理或运算，例如“军队”不能直接进行推理或运算，需要依赖于其组成单位“士兵”来进行。
4.依赖关系：非集合概念通常可以自身来定义或解释，例如“士兵”可以独
立地定义和解释。
而集合概念通常需要依赖于其他非集合概念来定义或解释，例如“军队”需要依赖于其组成单位“士兵”来定义和解释。
总结来说，非集合概念和集合概念在定义、适用范围、直接推理或运算、依赖关系等方面存在差异。
集合概念和非集合概念举例
集合概念和非集合概念举例大家好，今天咱们来聊聊什么是集合概念，什么是非集合概念。
这个话题看起来挺枯燥的，不过别担心，我会用简单的语言给大家解释得清清楚楚，保准让你一听就懂。
1. 什么是集合概念？集合概念简单来说，就是把一类东西放在一起，形成一个整体。
这就像你把所有的苹果放进一个篮子里，这个篮子里装的就是“苹果”这个集合。
说白了，就是把有共同特征的东西打包在一起，形成一个“集合”。
1.1 生活中的集合概念举个例子，假设你家里有一大堆玩具。
你可以把这些玩具按照种类分成几个集合，比如“积木集合”、“汽车集合”和“毛绒玩具集合”。
这些集合里的东西都有共同的特征，比如“积木集合”里的玩具都是积木，能用来搭建各种造型。
而“汽车集合”里的玩具则都是小汽车，能在地上跑来跑去。
1.2 为什么集合概念很重要？集合概念不仅在数学里很重要，在生活中也是必不可少的。
比如说，你去超市购物，看到“水果”这个标签，你会知道那里有各种水果，比如苹果、香蕉、橙子，这些水果就组成了“水果集合”。
有了这样的分类，你找起来就方便多了，不用一个个找。
2. 什么是非集合概念？非集合概念呢，就是那些不能被划分到某一个特定集合里的东西。
换句话说，它们没有明确的界限，难以归到某个具体的分类里。
就像你在街上遇到一个人，你不能说这个人是“集合”，因为每个人的特征各不相同，不能简单地归为某一个固定的集合。
2.1 生活中的非集合概念想象一下你在公园散步，看到一只漂亮的鸟。
这只鸟的颜色、大小、叫声都是独一无二的，可能不容易被划分到某一个具体的鸟类集合里。
虽然你可以说它是“鸟”，但在更详细的分类里，它可能没有一个固定的标签。
因此，这种独特的个体就属于非集合概念。
2.2 非集合概念的挑战非集合概念的特点是模糊、不确定，这就让分类变得困难。
有时候我们在说“幸福”这种感受时，幸福的定义因人而异，每个人对幸福的理解都不同。
这种主观的、难以界定的概念，往往不能被简单地归入某个特定的集合。
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中学生作文中的集合概念和非集合概念
集合概念和非集合概念是普通逻辑学中根据概念所反映的对象的不同特点划分出的两个相对的概念类别。
一般地，老师在中学生（本文中的中学生均含中专学生）作文指导中，是不从逻辑学的角度作为专门的知识给学生讲授的。
但是，由于作文本身就是以概念为基础，由概念（语汇或短语）、判断（句子）和推理（句子或句群）构成的，概念在作文中运用得是否恰当直接关系到作文的句子是否通顺，语意是否准确，质量是否能够“上档次”，而不同类别的概念在作文中使用得如何，对此又起着“微妙”的作用，因此，作为语文教师在指导中学生作文时，要想完全撇开不讲也是不可能或者不可取的。
请看下面二个例子：
“这场突兀而来的大雪灾，使不少人的羊群死亡数百，而她的羊群却安然无恙，无一只减少。
这都是因为她在暴风雪的袭击中，像照料和保护自己的孩子一样照料和保护羊群得到的回报！”这是一位中学生在她的叙事散文中的“点睛”之笔。
作为读者，读到这样感人的句子和事迹，恐怕是没有谁不为“她”和“她”的精神所打动、所感染、所折服的。
又有谁能控制住自己，不对“她”打开深深的钦佩和敬慕的情感闸门呢？！——这是第一个例子。
“这是一本非常好的书籍。
我之所以珍惜她，是因为她给了我自立的勇气和奋进的力量；我之所以热爱她是因为她引导我告别了浑浑噩噩的人生。
”瞧，我们的这位中学生“小作者”在她议论文“小天地”对那本她认为“非常好的书籍”所抒发的情感是多么纯真、多么深厚、多么朴实！作为读者，读后所得到的启发所留下的印记又是多么深刻和难忘！
然而，令人遗憾甚至痛惜的是，这二个例子又因我们的中学生“小作者”混淆了集合概念和非集合概念，错误地将集合概念“羊群”和“书籍”当着非集合概念“羊”和“书”来使用，而使各自的叙述和抒情白璧“缀”瑕，并使各自的文章由此而“屈”损光彩！
这说明，在文章中正确地使用集合概念和非集合概念是多么重要，多么不容忽视！
那么，究竟怎样才能正确地使用集合概念和非集合概念呢？笔者的体会是要正确地使用这二种概念，一是要能够正确地区分这二种概念，二是要能够正确地掌握这二种概念的使用特点。
这里介绍二种方法。
一是根据集合概念所反映的思维对象中的个体不必然地具有该对象的本质属性，非集合概念所反映的思维对象中的每一个分子都必然地具有该对象的本质属性的特点，来区分这二类概念，分析这二类概念在使用上的特点。
这里，我们先以“羊群”和“羊”为例，进行概念的“试分”。
因为“羊群”中的任何一个个体“羊”都不具有“羊群”“由许许多多的羊组合成的集合体。
共同体”的本质属性，故“羊群”是集合概念。
而任何一只“羊”都具有“羊”“反刍、哺乳”的本质属性，所以“羊”是非集合概念。
显然，集合概念所反映的是一类对象的集合体，而非集合概念所反映的则是一类对象的个体。
这样，我们的“试分”圆满成功。
下面，我们再以集合概念和非集合概念的这一特点来分析这二类概念在使用上的特点。
因为集合概念所反映的思维对象中的个体不必然地具有该对象的本质属性，所以对于集合概念不能必然地用描写和叙述它所包含的个体的词语来描写和叙述。
比如我们可以说“活生生的‘人’”，却不能说“活生生的‘人口’”。
因为非集合概念所反映的思维对象中的每一个分子都必然地具有该对象的本质属性，所以非集合概念完全可以用描写和叙述它所反映的对象所包含的分子的词语来描写和叙述。
如我们可以说“快乐的‘阿里巴巴’”，也可以说“快乐的‘人’”。
我们再回过头来看看前面所举的第一个例子。
事实上，我们的中学生“小作者”作文中的“死亡数百”和“无一减少”的本意是指具有生命，能够因生死而增减的“羊”，而不是指作为集合体和整体的“羊群”。
这样，这位“小作者”在作文中应该用的就只能是非集合概念
“羊”，而不能是集合概念“羊群”。
只是由于我们的“小作者”在概念的区别上“未拿准”，或者在概念的使用上“离了谱”，才使得她在满以为十全十美的叙述感觉甚至叙述陶醉中语不达意。
第二个例子，我们不妨暂且作为“麻雀”留着。
二是根据集合概念所反映的对象是集合体，它与其所包含的个体之间的关系并非属种关系；非集合概念所反映的对象是类，它与其所包含的分子之间的关系则是属种概念之间的关系的特点，来区分和分析这两类概念及其在使用上的不同特点。
由此，我们设集合概念反映的对象所包含的个体为Ｓ，反映的对象为Ｐ，则二者的关系不能以“Ｓ是Ｐ”的逻辑关系式来表现；如设非集合概念反映的对象所包含的分子为Ｓ，反映的对象为Ｐ，则二者的关系可以以“Ｓ是Ｐ”的逻辑关系式来表现。
于是我们得到：在概念所反映的对象与这一对象所包含的个体或分子之间，凡不能以“Ｓ是Ｐ”的公式表现二者之间的逻辑关系的，则该概念为集合概念。
反之，则为非集体概念。
由集合概念和非集合概念的这一特点，我们也很容易发现并总结出这二类概念在使用上的另一个重要特点，即凡集合概念都不能与表示单数意义的量词搭配使用；凡非集合概念则既能与表示单数意的量词搭配使用，又能与表示复数意义的量词搭配使用。
如集合概念“小说集”即不能与表示单数意义的量词“篇”、“部”等搭配结合，构成“一篇小说集”和“几部小说集”等语句。
非集合概念“小说”则既能与表示单数意义的量词“篇”、“部”等结合，又能与表示复数意义的量词“套”、“堆”等搭配，分别构成“一篇小说、几部小说”和“一套小说、几堆小说”等语句。
运用集合概念和非集合概念的这种区分方法和使用特点，我们也同样很容易得出第二个中学生“小作者”作文中的“书籍”是集合概念，更是一个错用了的集合概念。
这位“小作者”在作文中之所以“张冠李用”而不自知，盖因同样不“识”“张冠”是也！
走笔至此，笔者不禁浮想联翩：假如我们的老师在给学生讲授语文和作文时，能够因“文”制宜地给学生讲一点诸如集合概念和非集合概念之类的逻辑学基础知识，又假如我们的中学生“小作者”掌握了并能够正确地运用这类知识，那么，这二位“小作者”的作文恐怕就是另一片天地、另一片景观，叫人谈来真正“如坐春风”了。
这二位“小作者”的作文是这样，其他中学生的作文又何尝不是这样呢？！＊。