第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
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第四章 地球椭球及其数学计算
✓ 旋转椭球体的特点
• 对称性 • 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 • 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆
子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球的基本几何参数
✓ 椭球长半径
a
✓ 椭球短半径
b
✓ 椭球的扁率
✓ 椭球的第一偏心率e
✓ 椭球的第二偏心率 e '
导航学
第四章 地球椭球及其数学计算
张小红 武汉大学测绘学院
第四章 地球椭球及其数学计算
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系 4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系 4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 4.4 地球椭球上的曲率半径 4.5 椭球面上的弧长计算 4.6 法截线与大地线 4.7 大地主题解算 4.8 导航中大地线长度的计算方法 4.9 把地面观测值归算至椭球面
4.4 地球椭球上的曲率半径
4.4 地球椭球上的曲率半径
平均曲率半径
✓ 平均曲率半径就是过该点的所有的法截弧的曲率半径的算术平均值
积分
椭球面上任一点处的平均曲率半径就等于该处的子午圈曲率半 径与卯酉圈曲率半径的几何平均值
4.4 地球椭球上的曲率半径
M、N、R 的关系
NRM
N 90 R 90 M 90 c
d W d1 e 2si2B n e 2siB n co Bs
dB dB
W
d dB xaW si3B n(1e2)
W 1e2sin2B
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
• 对称性 • 过任意一点的子午圈的形状和大小相同 • 平行圈（纬圈）和赤道圈都是正圆
子午圈的形状和大小 决定了地球椭球的形状和大小
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
椭球的基本几何参数
✓ 椭球长半径
a
✓ 椭球短半径
b
✓ 椭球的扁率
✓ 椭球的第一偏心率e
✓ 椭球的第二偏心率 e '
导航学
第四章 地球椭球及其数学计算
张小红 武汉大学测绘学院
第四章 地球椭球及其数学计算
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系 4.2 大地坐标系、空间直角坐标系及其相互关系 4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系 4.4 地球椭球上的曲率半径 4.5 椭球面上的弧长计算 4.6 法截线与大地线 4.7 大地主题解算 4.8 导航中大地线长度的计算方法 4.9 把地面观测值归算至椭球面
4.4 地球椭球上的曲率半径
4.4 地球椭球上的曲率半径
平均曲率半径
✓ 平均曲率半径就是过该点的所有的法截弧的曲率半径的算术平均值
积分
椭球面上任一点处的平均曲率半径就等于该处的子午圈曲率半 径与卯酉圈曲率半径的几何平均值
4.4 地球椭球上的曲率半径
M、N、R 的关系
NRM
N 90 R 90 M 90 c
d W d1 e 2si2B n e 2siB n co Bs
dB dB
W
d dB xaW si3B n(1e2)
W 1e2sin2B
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
第四章地球椭球数学变换
y
M x
18
Fundation of Geodesy
2019/11/2
15.3高斯投影坐标正反算公式
15.3.1
(1) (2) (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。
19
Fundation of Geodesy
2019/11/2
由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋 转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质， 即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央 子午线。 x为l的偶函数，而y则为l的奇函数。
L0=111o
WGS84 (6378137,298.257223563)
A001 2463376.6502
49592.0721
GDZ80 (6378140,298.257)
A001 2463377.7973
49592.0955
BJ54 (6378245,298.3)
A001 2463420.5657
2019/11/2
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Fundation of Geodesy
2019/11/2
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Fundation of Geodesy
2019/11/2
15.3.2高斯投影坐标反算公式
在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面， 投影面是椭球面，已知的是平面坐标(x,y)， 要求的是大地坐标(B，L)，相应地有如下 投影方程 lB21((xx,,yy))
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Fundation of Geodesy
2019/11/2
15.3.3高斯投影正反算公式的几何解释
29
Fundation of Geodesy
2019/11/2
30
Fundation of Geodesy
第四章椭球数学投影变换
sin sin 1 sin cos 2
(a )
sin sin 2 sin cos 1
(b)
sin cos 1 cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 cos
(c )
sin cos 2 sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 cos
(d )
cos sin 1 sin 2 cos 1 cos 2 cos
(h ) (g )
26
• 球面上大地主题反解方法
已 知 1 , 2 ,
， 求 ,, 12
27
2 、椭球面和球面上坐标关系式
28
▪ 在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:d源自Bcos MA
dS
22
4.7.5 白塞尔大地主题解算方法
白塞尔法解算大地主题的基本思想:
以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅 助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭 球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅 助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最 后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。
B 1 ,B 2 ,A 1 ,A 2 ,L ,S 1 , 2 ,1 ,2 ,,
这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地 元素与球面上相应元素之间的关系式,同时也要解 决在球面上进行大地主题解算的方法。
23
▪ 在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算: 已知 1, 1, 求解 2, 2,
球面上大地主题反算: 已知 1, 2 ,
求解 , 1, 2
24
1、球面三角元素间的相互关系
(e)
cos 2 cos cos 1 cos sin 1 sin cos 1
(f)
cos 2 cos 2 sin 1 sin cos 1 cos cos 1 ( g)
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论2
16 32
16
32
X
a(1 e2 )[A
B2
B1
B 2 (sin 2B2
sin2B1)
C 4 (sin 4B2
sin4B1)
D 6
(sin 6B2
sin6B1)
E 8
(sin 8B2
sin8
B1
)
F 10
(sin10B2
sin10B1)
L
]
A 1 3 e2 45 e4 175 e6 11025 e8 43659 e10 +L 4 64 256 16384 65536
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
2）子午圈曲率半径：
N RA 1 e '2 cos2 Acos2 B
N M R0 1 e2 cos2 B
a(1 e2 ) c M W3 V3
E
315 e8 3465 e10 +L
16384 65536
F
639 e10 +L
131072
180o 57.2958 ' 60 3437.7468 '' ' 60 206264.8098
3、子午线弧长和平行圈弧长
Arc Length of Meridian and Parallel Circle
2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径
Radius of Curvature in Prime Vertical，Meridian and Mean Radius of Curvature
4）平均曲率半径：
第7章地球椭球及其数学投影4PPT课件
B 2B 1B d d B S M S d d3B 3 S MS 23 4 3
类似地，有：
L 2L 1L d d S L M S d d3L 3 S M S 23 44 A 2 1A 1 2A d d A S M S d d3A 3 S M S 23 4 5
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
BB2B1 ddB S0Sdd2SB 2 0
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
同样可得到：
LL2L1d dS L 0Sdd2S L 20S22dd3S L 30S63
AA21800A1d d
A S0Sdd2S A 20S22dd3S A 30
S3 6
若能求出各阶导数，便可得正解公式。下面来求各阶导数:
收敛快，精度高。 ② 由于求定中点M很复杂，将M点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并用迭代计算 实现大地主题正算。 2）公式推导： 设M点是大地线P1P2的中点，P1P2=S则 有：MP2 =S/2，MP1=-S/2仿勒让德级 数，在M点展开得：
1
2
1 与 2 两式相减（偶数项全被抵消），得：
31!dd3SL3 1S3
A211
800
A(0) 1 1!
d d
A S S1
1 2!
dd2SA2 1S2
1 3!
dd3SA3 1S3
又因为当S=0时有：
B(0)=B1 ， L(0)=L1 ， A(0)=A12 可得纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式：
B2
B1ddB S0Sdd2SB 2 0
第4章 地球椭球及其数学投影 变换的基本理论
4.7 大地测量主题解算概述
类似地，有：
L 2L 1L d d S L M S d d3L 3 S M S 23 44 A 2 1A 1 2A d d A S M S d d3A 3 S M S 23 4 5
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
BB2B1 ddB S0Sdd2SB 2 0
S2 2
dd3SB 3 0
S3 6
同样可得到：
LL2L1d dS L 0Sdd2S L 20S22dd3S L 30S63
AA21800A1d d
A S0Sdd2S A 20S22dd3S A 30
S3 6
若能求出各阶导数，便可得正解公式。下面来求各阶导数:
收敛快，精度高。 ② 由于求定中点M很复杂，将M点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并用迭代计算 实现大地主题正算。 2）公式推导： 设M点是大地线P1P2的中点，P1P2=S则 有：MP2 =S/2，MP1=-S/2仿勒让德级 数，在M点展开得：
1
2
1 与 2 两式相减（偶数项全被抵消），得：
31!dd3SL3 1S3
A211
800
A(0) 1 1!
d d
A S S1
1 2!
dd2SA2 1S2
1 3!
dd3SA3 1S3
又因为当S=0时有：
B(0)=B1 ， L(0)=L1 ， A(0)=A12 可得纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式：
B2
B1ddB S0Sdd2SB 2 0
第4章 地球椭球及其数学投影 变换的基本理论
4.7 大地测量主题解算概述
(椭球、投影、变形)PPT课件
椭球变换
在地图制作中，椭球变换用于将地球的椭球体模型转换为更便于分析的数学模型。这涉及 到对地球的形状、大小和赤道半径等参数的精确测量和计算，以确保地图的准确性和可靠 性。
遥感影像处理中的椭球、投影、变形应用
遥感影像校正
遥感影像在获取过程中会受到多种因素的影响，如地球曲率、大气折射等，导致影像产生畸变和失真。遥感影像校正 的目的是消除这些影响，提高影像质量和精度。
缺点
投影需要使用特定的设备和材料，成本较高；投影的精度和稳定性可能受到环 境因素的影响；投影的图像质量可能会受到投影角度、距离和光线等因素的影 响。
03 变形的基本概念
变形的原因
地球是一个近似于椭球的旋转体，由于地球自转、公转和地球内部物质 分布不均匀等因素的影响，地球表面各点的位置会发生微小的变化。
投影方法是将球面上的点投影到平面上的方法，由于投影方法的不同， 会导致投影结果与实际地形存在一定的差异，从而产生变形。
不同的地图用途和比例尺要求也会对地图的变形产生影响，例如在大比 例尺地图中，为了更好地反映地形细节，需要进行地图的局部放大，这 也会导致地图的变形。
变形的分类
按变形性质可分为几何变形和投影变形。几何变形是由于地图制作过程中几何图形的变化而 引起的变形，如地图投影时产生的变形；投影变形是由于投影方法不同而引起的变形，如将 地球表面投影到平面时产生的变形。
投影方法
在地理信息系统中，投影是将地球表面上的点映射到二维平面上的方法。 不同的投影方法适用于不同的应用场景，如地图制作、遥感影像处理等。
03
变形处理
在地理信息系统中，由于地球的椭球体模型与实际地球形状存在差异，
因此需要进行变形处理以减小误差。变形处理的方法包括地图投影、地
在地图制作中，椭球变换用于将地球的椭球体模型转换为更便于分析的数学模型。这涉及 到对地球的形状、大小和赤道半径等参数的精确测量和计算，以确保地图的准确性和可靠 性。
遥感影像处理中的椭球、投影、变形应用
遥感影像校正
遥感影像在获取过程中会受到多种因素的影响，如地球曲率、大气折射等，导致影像产生畸变和失真。遥感影像校正 的目的是消除这些影响，提高影像质量和精度。
缺点
投影需要使用特定的设备和材料，成本较高；投影的精度和稳定性可能受到环 境因素的影响；投影的图像质量可能会受到投影角度、距离和光线等因素的影 响。
03 变形的基本概念
变形的原因
地球是一个近似于椭球的旋转体，由于地球自转、公转和地球内部物质 分布不均匀等因素的影响，地球表面各点的位置会发生微小的变化。
投影方法是将球面上的点投影到平面上的方法，由于投影方法的不同， 会导致投影结果与实际地形存在一定的差异，从而产生变形。
不同的地图用途和比例尺要求也会对地图的变形产生影响，例如在大比 例尺地图中，为了更好地反映地形细节，需要进行地图的局部放大，这 也会导致地图的变形。
变形的分类
按变形性质可分为几何变形和投影变形。几何变形是由于地图制作过程中几何图形的变化而 引起的变形，如地图投影时产生的变形；投影变形是由于投影方法不同而引起的变形，如将 地球表面投影到平面时产生的变形。
投影方法
在地理信息系统中，投影是将地球表面上的点映射到二维平面上的方法。 不同的投影方法适用于不同的应用场景，如地图制作、遥感影像处理等。
03
变形处理
在地理信息系统中，由于地球的椭球体模型与实际地球形状存在差异，
因此需要进行变形处理以减小误差。变形处理的方法包括地图投影、地
第四章地球椭球及其数学投影变换的基本理论10
mL
N
E cosB
G mB N cosB
正形投影长度比与方向A无关，要使m与A脱离关系，则必须满足 F=0，E=G，即 ：
Fxxyy 0 q l q l
1
2
Eqx
2
qy
x2 l
y2 l
G
2
由 1 式可得：
y y
x l
q l x
3
q
将 3 式代入 2 式可得：
x q
÷÷ 2
y q
÷÷ 2
y l
y = N1000000+500000+y
§6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger Projection
四2. 自高然斯坐平标与面通直用角坐坐标标系
通用坐标（假定坐标） 在高斯平面横坐标y至加上500000m的基础上，再在前 面冠以代号所形成的坐标。 自然坐标 例： 自然坐标：（30 456.33m，-200.25m） 通用坐标：（30 456.33m，20 499 799.75m）
A
对投影方程全微分有： 对L＝常数的子午微分弧的投影
对B＝常数的平行圈微分弧的投影
那么 由上式可得 ：
cos
AB
x dB B
AC
y dL L
AB mMdB AC mNcosBdL
sin
BB
y dB B
CC
x dL L
AB mMdB AC mNcosBdL
（式中负呈是因为随B增加而y减少）
B x d q x q N B q M co B d q xs d B d B q B xNc M o Bs q xNc M o Bs y l B y d q y q N B q M co B d q ys d d B B q B yNc M o Bs q yNc M o Bs x l
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
sin B V sin u
cos B W cosu
14
常用坐标系及其关系
U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x Ｂ、φ之间的关系
tan 1 e 2 tan u
tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
17
椭球面上几种曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
18
椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截 形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧， 一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线， 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半 径乘以两截弧平面夹角的余弦。
13
常用坐标系及其关系 • B、u、 φ之间的关系 B和u之间的关系
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u
1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
第四章 地球椭球数学投影的基本理论
1
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小 常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): • 长半轴ａ a b • 短半轴ｂ a • 椭圆的扁率 a 2 b2 • 椭圆的第一偏心率 e e a e • 椭圆的第二偏心率 a 2 b2 通常用a , '
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4.7 大地主题解算
• 4.7.4 高斯平均引数反算公式 • 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出:
73
4.7 大地主题解算
74
4.7 大地主题解算
75
4.7 大地主题解算
• 4.7.5 白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题的基本思想: 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球 面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面 上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面 上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球 面上的计算结果换算到椭球面上。
33
4.4 椭球面上的弧长计算
34
4.4 椭球面上的弧长计算
如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内 的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个 弧长约为4 0 0 0 8 5 4 9 . 9 9 5 m。即一象限子午线弧 长约为10000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需 按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：Δ Ｘ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。 当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可 视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度 点的子午圈的曲率半径Mｍ
47
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 垂线偏差改正 以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以ξ,η表示， M是地面观测目标m在球 面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)
48
4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 标高差改正
49
4.6 将地面观测值归算至椭球面
20
4.3 椭球面上的几种曲率半径
21
4.3 椭球面上的几种曲率半径
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短 轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的 旋转轴上。
22
4.3 椭球面上的几种曲率半径
• 主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半 径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这 在微分几何中统称为主曲率半径。
64
4.7 大地主题解算
• (1)建立级数展开式:
65
4.7 大地主题解算
66
4.7 大地主题解算
67
4.7 大地主题解算
• (3)由大地线微分方程依次求偏导数:
68
4.7 大地主题解算
69
4.7 大地主题解算
70
4.7 大地主题解算
71
4.7 大地主题解算
注意： 从公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。 但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近 的迭代方法进行公式的计算。 ������ 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算， 其 计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到 72 0.001”。
46
4.6 将地面观测值归算至椭球面
观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线， 而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏 差。 归算的两条基本要求： ①以椭球面的法线为基准； ②将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 • 将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改 正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改 正为三差改正。
3、子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上， 以子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标 系。在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示。
7
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上 以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系; 以椭球 长半径a为半径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相 交Ｐ１点，则OP１与x轴夹角称为P点的归化纬度 u。
大地测量学基础 BASIS OF GEODESY
建工院测绘工程教研室 戴小军
1
第四章 地球椭球及其数学投影变换
椭球面上的常用坐标系
本
椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算 横轴墨卡托投影、高斯投影
章
知 识
点
兰勃托投影
2
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
42
4.5 大地线 • 大地线的微分方程和克莱劳方程
43
4.5 大地线
44
4.5 大地线
• 大地线的克莱劳方程
在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径 与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于 常数。式中常数C也叫大地线常数
45
4.5 大地线
• 当大地线穿越赤道时
• 当大地线达极小平行圈时
• 由克莱劳方程可以写出
23
4.3 椭球面上的几种曲率半径
24
4.3 椭球面上的几种曲率半径
25
4.3 椭球面上的几种曲率半径
26
4.3 椭球面上的几种曲率半径
• ������ 任意法截弧的曲率半径
27
4.3 椭球面上的几种曲率半径
•任意法截弧的曲率半径的变化规律: ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法 截弧的方位角A有关。 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即 Ｒ０＝Ｍ； 当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝ Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由 90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是 以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
17
4.3 椭球面上的几种曲率半径
18
4.3 椭球面上的几种曲率半径
19
4.3 椭球面上的几种曲率半径
卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面 相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧，一为 法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具 有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等 于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。
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4.4 椭球面上的弧长计算
• 由子午弧长求大地纬度
• 平行圈弧长公式
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4.4 椭球面上的弧长计算
• 子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
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4.5 大地线
两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线， 在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是 怎样的一条线呢? 它应是大地线。 相对法截线
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2、空间直角坐标系 坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z 轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平 均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文 台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面 垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 截面差改正
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
将地面观测的长度归算至椭球面 基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认 为它是基线平均高程面上的长度，以Ｓ０表示，现 要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。 • 1.垂线偏差对长度归算的影响
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4.6 将地面观测值归算至椭球面
• 地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和 大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元 素):
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4.1地球椭球基本参数及其互相关系
• 为简化书写，还常引入以下符号
4
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
4.2.1 各种坐标系的建立 1、大地坐标系 • 大地经度B 大地纬度L 大地高H
5
4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
4-194
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4.7 大地主题解算
61
4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算
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4.7 大地主题解算 4.7.3 高斯平均引数正算公式
高斯平均引数正算公式推导 的基本思想：
首先把勒让德级数在P１点展 开改在大地线长度中点M展开，以 使级数公式项数减少，收敛快，精 度高；其次，考虑到求定中点M 的复杂性，将M 点用大地线两端 点平均纬度及平均方位角相对应的 m 点来代替，并借助迭代计算便可 顺利地实现大地主题正解。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• B、u、φ之间的关系 • B和u之间的关系
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• U、φ之间的关系
• Ｂ、φ之间的关系
• 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小， 经过计算，当B=45°时
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线。
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 5、大地极坐标系 M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为 连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。 以M为极点； MN为极轴； P点极坐标为（S, A)
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4.2 椭球面上常用坐标系及其关系
• 4.2.2 坐标系之间的相互关系 • 子午平面坐标系同大地坐标系的关系
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
• 平均曲率半径
椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点 子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均 值
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4.3 椭球面上的几种曲率半径 • M，N，R的关系
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4.3 椭球面上的几种曲率半径
31
4.4 椭球面上的弧长计算
• 子午线弧长计算公式