1.一次方程与一次不等式-一元一次方程及其解法-单墫

1.一元一次方程及其解法一、一元一次方程的识别方程的左右两端都是整式，并且未知数的次数为1的方程称为一元一次方程． 需要注意的地方是：(1)该方程是化简合并后具有)0(=/=a b ax 的形式，a 、b 都是常数．例如x x +=+44实际上就不是一元一次方程，因为它化简合并后变为,00=⋅x 未知数的系数为O ；而方程)1(422+=++x x x x 却是一元一次方程，因为它化简合并后得到.04=+x(2)含有字母系数的方程一定要认清真正的未知数，例如关于x 的方程,24m x mx +=+当m≠2时是一元一次方程；当2=m 时，由于化简后未知数x 的系数为O ，所以就不是一元一次方程，二、解一元一次方程的基本步骤解一元一次方程的基本步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，检验．需要注意的地方有：(1)去分母时，在方程的左右两端都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘没有分母的项．如已知方程,62135--=--x x x 方程两边同时乘以6得 ),621(6)35(6--⨯=--⨯x x x,62663566-⨯-=-⨯-x x x).2(6)5(26--=--x x x此外，分数线除了表示除号外，还起着括号的作用；分子如果是一个多项式，就应该看作一个整体，在去分母时，要把它加上括号，如上面从第三式到第四式所示，从而避免以下错误：去分母得.26526--=-⨯-x x x(2)去括号时要正确运用去括号法则及乘法分配律，避免漏乘括号中的某一项或搞错符号．如方程),2(6)5(26.--=--x x x 去括号得--=+-x x x 6106,2去第一个括号时，数2漏乘了-x ，去第二个括号时，没有做到“都变号”．(3)移项的目的是为了把含未知数的项与不含未知数的项分列于方程的两边，移项要变号，没有移动的项不要变号．(4)系数化1时容易出现“倒除”形式的错误，如由方程,53=x 解得⋅=53x (5)解方程时，变形步骤没有一定的顺序，而且有些变形步骤可能用不到，要根据方程的特点灵活运用．例1 下面各式中为一元一次方程的是( )．6.=+y x A 7|3|.=+x B x x C 4554.+=+ )2(4.2+=++x x x x D分析A 选项，含有两个未知数，不是一元方程； B 选项，左端含有绝对值，是含有绝对值的方程；C 选项，化简后变为x x ,00=⋅前的系数为O ，不是一元一次方程；D 选项，是整式方程，化简后得,04=+-x 是一元一次方程． 所以选D ．例2 当m 为何值时，关于x 的方程273)(23434-+=+--x x x xm m 是一元一次方程？分析 若一个整式方程，经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为)0(=/=a b ax 的形式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，而且系数不等于O ，这样的方程才是一元一次方程．例如： =+4x x +4不是一元一次方程，而方程)2(32+=+x x x 能够化简为,23x =因此 方程)2(32+=+x x x 是一元一次方程，解 由题意得,273223434-+=+--x x x x m m整理得 .2534=+-x xm ①当,134=-m 即1=m 时，方程①即为,26=x 是一元一次方程．当),0(034=/=-x m 即43=m 时，因为任何非O 数的O 次幂等于1，所以方程①即为,15=x 也是一元一次方程．所以，当1=m 或)0(43=/=x m 时，原方程是一元一次方程. 例3 解方程 .5]}3)12(3[12{3=----x x分析 仔细观察，发现方程中含有未知数x 的地方都有,12-x 遇到这种情况，我们可以先将12-x 看成一个整体，即利用换元法，设,12-=x y 求得y ，再求x ．解 设,12-=x y 则原方程可化为.5]}33[{3=--y y整理得 ,596=+-y解得 ,32=y 即,32.12=-x 所以 ⋅=65x例4 已知方程)(32)]1(21[21k x kx x -=--的解为,12=x 求代数式122++k k 的值，解 由题意可知),12(32)]112(2112[21k k -=-- ,3284136k k -=+-,46833-=⋅+-k k⋅-==-43,4737k k 因此 ⋅==+-=+=++⋅1612)41()143()1(12222k k k例5 解方程.127)1(331)2(275)1(9=+--+--++x x x解 方程两边同时乘以42得,42147)1(6314)2(2830)1(54=------++x x x ,421476363145628305454=-+--+-++x x x ,147631456305442632854+-+---=--x x x,037=-x.0=x例6 在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )．A ．乘以同一个数B ．乘以同一个整式C ．加上同一个代数式D ．都加上1分析 在方程的左右两端同时乘以一个数或整式，要保持与原方程同解，必须是非零的数或式子，例如：方程21=+x 的解是,1=x 如果在方程的左右两端同时乘以),1(+x 得到新的方程),1(2)1)(1(+=++x x x 则此方程有两个解：1=x 或.1-=x而在方程的左右两端同时加上一个数或整式，得到新的方程与原方程同解；但是在方程的左右两端同时加上一个代数式却不可以，因为有一些代数式中的字母有自身的条件限制．例如方程75=+x的解是,2=x 如果在方程的左右两端同时加上代数式,21-x 得到新的方程,217215-+=-++x x x 则 此方程无解，与原方程不是同解方程．综上所述，本题选D ．例7 规定),,(),(*),(d b c a d c b a +-=如果,3()2,3*),(=（y x ),2那么=),(*),(x y y x 解 由题意可得,22,33=+=-y x所以 .0,6==y x)6,0(*)0.,6(),(*),(=x y y x)60,06(+-=).6,6(=习 题 l一、选择题不同解的方程是( )．11547.-=-x x A 0231.=++x B )43)(1()3)(1.(22++=-+x a x a c )1)(115()1)(47.(--=--x x x x D 2. 方程甲：x x 3)4(43=-与方程乙：x x 44=-同解，其根据是( )． A ．甲方程的两边都加上同一个整式x B ．甲方程的两边同时乘以x 34 C ．甲方程两边都乘以34 D ．甲方程两边都乘以43 3. 方程7.352.22=x 的根是( )． 27.A 28.B 29.C 30.D4. 有理数：511821、、依次是下列三个方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+++=+-+=+--)1(32)]1(21[21),3(3)1(2)12(3,141212110312z z z y yy x x x & 的根，则xzy x -的值等于( )． 40171.-A 80347.-B 22071.C 55142.D5. 方程191191=-x 的解是( )．0.A 36118.B 191.C 3611.D 6. 如果一个方程的解都能满足另一个方程，那么这两个方程( )．A ．是同解方程B ．不是同解方程C ．是同一个方程D ．可能不是同解方程7. 已知x 、y 满足,532=+y x 则当4=x 时，代数式22123y xy x ++的值是( )．（第12届初一希望杯）4.A 3.B 2.C 1.D二、填空题8. 0)23(2=+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x= ．（第9届初一希望杯）9. 对于任意的实数x 、y ，定义,*72*3,*k y xy y x ==+=则k= （第7届新西兰达尼丁一中国上海初中数学友谊通讯赛）10. 如果5=x 是方程123434123-=-+-x m x x 的解，则m= 11. 方程0)104(21)25(32)5020(61=+-+++x x x 的解是 ；方程，03}3]3)321(21[21{21=----x的解是12. 已知方程132=-的解是,2+a 那么方程-+)3(2[2x aja x 3.)(3=-的解是 13. 当m x =时，多项式9999982-+x x 的值等于0，那么多项式+2m =+999998m （第14届迎春杯） 14. 方程)1(32)1(21)1(43)1(31++-=++-x x x x 的解是 15. 如果多项式199921x x x ++++Λ的值为3，且,3x a =则--x a 20002x x --Λ的值等于16. 如果21=x 是方程0522=-+x mx 的解，那么m 的值等于 17. 方程34.08.03.06.002.05.08.03.0-=+⋅-+x x x &的解是 18. 已知5是关于x 的方程043=+n mx 的解，那么=mn（第12届初一希望杯）三、解答题19. 解方程：;123]8)4121(34[43)1(+=--x x)2( .23710223311x x x x x ---=+--20. 已知方程08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式m m x x m 9)2)((199+-+的值，参考答案。