3章 4节三角函数的应用

课时作业 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型
的简单应用
一、选择题
1．(2012德州模拟)先将函数f (x )＝2sin(2x －π
6)的周期变为原来的2倍，再将所得函数的图
象向右平移π
6
个单位，则所得函数图象的解析式为( )
A ．f (x )＝2sin x
B ．f (x )＝2sin(x －π
3)
C ．f (x )＝2sin 4x
D ．f (x )＝2sin(4x －5π
6
)
解析：将y ＝2sin(2x －π6)的周期变为原来的2倍，则函数变为y ＝2sin(x －π
6)，再将所得函
数图象向右平移π6个单位，所得函数为y ＝2sin[(x －π6)－π6]＝2sin(x －π
3
)．
答案：B
2. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(2πt ＋π
6
)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A ．2π s
B ．π s
C ．0.5 s
D ．1 s
解析：T ＝2π
2π＝1，∴选D.
答案：D
3. 如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω＞0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM →·PN →
＝0，则ω的值为( )
A ．8 B.π
8 C.π
4
D.π2
解析：由函数图象得M (－φω，0)，P (π－2φ2ω，2)，N (π－φω，0)，则PM →·PN →
＝(－π2ω，－2)·(π2ω，
－2)＝－(π2ω)2＋4＝0⇒π2ω＝2⇒ω＝π
4
，故选C.
答案：C
4．(2011辽宁高考)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则
f (π
24
)＝( )
A ．2＋ 3
B ． 3
C ．
3
3
D ． 2．－ 3
解析：由题意，结合图象知函数周期T ＝(3π8－π8)×2＝π
2，
∴ω＝π
π2
＝2.
由2×3π8＋φ＝π，得φ＝π4.
∴f (x )＝A tan(2x ＋π4
)．
特点(0,1)代入上式，得1＝A tan π
4
，∴A ＝1，
即f (x )＝tan(2x ＋π
4
)．
故f (π24)＝tan(π24×2＋π4)＝tan π
3＝ 3.选B.
答案：B
5．若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|
的最小值是( )
A.π
4
B.π
3 C.π
2
D.3π4
解析：将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y ＝2sin[3(x －π
4)＋φ]＝2sin(3x
－
3π4＋φ)的图象．因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π
4
＋φ)＝0，故有π4＋φ＝k π(k ∈Z )，解得φ＝k π－π4(k ∈Z )．当k ＝0时，|φ|取得最小值π
4
，故选A.
答案：A
6.函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
kx ＋1(－2≤x ＜0)2sin (ωx ＋φ)(ω＞0，0≤x ≤8π3)的图象如图，则( )
A ．k ＝12，ω＝12，φ＝π
6
B ．k ＝12，ω＝12，φ＝π
3
C ．k ＝12，ω＝2，φ＝π
6
D ．k ＝－2，ω＝12，φ＝π
3
解析：本题中的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k ＝1
2.另一个是三角函数，三角函数解析式中的参量ω由三角函数的周期
决定，由图象可知三角函数的周期为T ＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π
3，0)代入解析式y
＝2sin(12x ＋φ)，得12×5π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π
6
，k ∈Z ，结合各选项可知，选项A 正确．
答案：A
二、填空题
7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π
12
)＝________.
解析：从图象可知A ＝2，32T ＝π，从而可知T ＝2πω＝2π
3，ω＝3，得f (x )＝2sin(3x ＋φ)，又
由f (π4)＝0可取φ＝－3π4，于是f (x )＝2sin(3x －3π4)，则f (7π12)＝2sin(7π4－3π
4
)＝0.
答案：0
8．已知将函数f (x )＝2sin π
3x 的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的
图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________.
解析：将f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位后得到y ＝2sin[π
3(x ＋1)]的图象，向上平
移2个单位后得到y ＝2sin[π
3(x ＋1)]＋2的图象，又因为其与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1
对称，所以y ＝g (x )＝2sin[π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin[π3(3－x )]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π
3
x ＋2.
答案：2sin π
3x ＋2
三、解答题
9．(2011浙江高考)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0，0<φ<π
2，y ＝f (x )的部分图象
如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．
(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；
(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π
3
，求A 的值．
解：(1)由题意得，T ＝2π
π3
＝6.
因为P (1，A )在y ＝A sin(π
3x ＋φ)的图象上，
所以sin ⎝⎛⎭⎫π
3＋φ＝1. 又因为0<φ<π
2，
所以φ＝π
6
.
(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，
由题意可知π3x 0＋π6＝3π
2，得
x 0＝4，所以Q (，4，－A )，
如图，连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π
3，由余弦定理得
cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)
2A ·9＋A 2
＝－1
2
，
解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝ 3.
10．(理用)(金榜预测)已知向量a ＝(1＋cos ωx,1)，b ＝(1，a ＋3sin ωx )(ω为常数且ω＞0)，函数f (x )＝a ·b 在R 上的最大值为2.
(1)求实数a 的值；
(2)把函数y ＝f (x )的图象向右平移π6ω个单位，可得函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，π4]
上为增函数，求ω 的最大值．
解：(1)f (x )＝1＋cos ωx ＋a ＋3sin ωx ＝2sin(ωx ＋π
6
)＋a ＋1.
因为函数f (x )在R 上的最大值为2， 所以3＋a ＝2，或a ＝－1.
(2)由(1)知：f (x )＝2sin(ωx ＋π
6
)，
把函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)的图象向右平移π
6ω个单位，
可得函数y ＝g (x )＝2sin ωx . 又∵y ＝g (x )在[0，π
4]上为增函数，
∴g (x )的周期T ＝2π
ω≥π，即ω≤2，
∴ω的最大值为2.
10．(文用)(金榜预测)已知向量a ＝(1＋cos(2x ＋φ)，1)，b ＝(1，a ＋3sin(2x ＋φ))(φ为常数且－π2＜φ＜π
2
)，函数f (x )＝a ·b 在R 上的最大值为2.
(1)求实数a 的值；
(2)把函数y ＝f (x )的图象向右平移π
12个单位，可得函数y ＝2sin 2x 的图象，求函数y ＝f (x )
的解析式及其单调增区间．
解：(1)f (x )＝1＋cos(2x ＋φ)＋a ＋3sin(2x ＋φ) ＝2sin(2x ＋φ＋π
6
)＋a ＋1.
因为函数f (x )在R 上的最大值为2， 所以3＋a ＝2，即a ＝－1. (2)由(1)知：f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π
6
)．
把函数f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π6)的图象向右平移π
12个单位可得函数y ＝2sin(2x ＋φ)＝2sin 2x ，
∴φ＝2k π，k ∈Z .又∵－π2＜φ＜π
2，∴φ＝0.
∴f (x )＝2sin(2x ＋π
6
)．
因为2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2⇒k π－π3≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z ，
所以，y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π
6]，k ∈Z .。