1.1.2 两个原理的应用
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计(1)
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重 复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
19
共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
20
类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
6
2．应用分类加法计数原理的注意事项 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到 总数．
7
1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
11
5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C， 若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B， 也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可 经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选
卡瓦列里原理和祖暅原理区别
卡瓦列里原理和祖暅原理区别1. 引言哎呀，数学这玩意儿真是让人又爱又恨，有些时候我们在课堂上听得云里雾里，感觉脑子快要炸了。
不过，今天我们不聊那些高深莫测的公式，而是来聊聊卡瓦列里原理和祖暅原理这两个有趣的概念。
别担心，我会尽量把它们讲得简单易懂，咱们就像朋友一样轻松聊聊。
1.1 什么是卡瓦列里原理？首先，卡瓦列里原理就像一个聪明的小伙伴，告诉我们在某些条件下，如果两个几何图形的高度和底面积一样，那么它们的体积也一样。
想象一下，如果你有两个冰淇淋，一个是圆锥形的，一个是立方体的，只要它们的“身高”和“底部的大小”一样，吃完之后，你会发现这两个冰淇淋的量是相同的！是不是很有趣？就好像两个不同样式的饮料杯，喝完之后，你的肚子都是一样的饱。
1.2 卡瓦列里的用处说到用处，卡瓦列里原理可不是光会逗我们开心，它在实际生活中也大有作为。
比如在建筑设计中，设计师可以用它来计算那些复杂形状的体积，帮助他们设计更实用、更美观的建筑。
这就像在玩积木游戏，你只需算好基础，层层叠加，最终就能搭建出你梦中的城堡。
2. 祖暅原理概述接下来，咱们聊聊祖暅原理。
它有点像卡瓦列里的老朋友，但它专注的不是体积，而是面积。
祖暅原理说的是，如果两个平面图形的高度相同，底面积相等，那么它们的面积也是一样的。
可以把它想象成你和朋友一起吃披萨，只要你们的披萨底部直径相同，哪怕一个是经典的圆形，另一个是长方形，最后切开来分，大家得到的面积都是一模一样的！真是太妙了！2.1 祖暅的应用祖暅原理在很多领域都有应用，尤其是在工程和设计上。
就好比你在做一个大项目时，需要保证不同部分的面积分配合理，确保每个部分都能发挥其作用。
设计师们常常用祖暅原理来计算地板的面积，确保材料用得恰到好处，避免浪费，真是智慧之举。
3. 二者的区别现在我们聊聊这两者的区别。
虽然卡瓦列里和祖暅听起来很相似，但它们的核心关注点完全不同。
卡瓦列里关注的是体积，而祖暅则聚焦于面积。
旅游观赏原理的理解与应用
旅游观赏原理的理解与应用旅游观赏原理是指旅游者在旅游过程中对于景观或旅游目的地所展现的各种景点、景观、文化等所产生的认知与情感的过程。
它是由旅游者的认知、感知、情感三个侧面组成的，对旅游者的旅游体验和旅游满意度起着重要的影响。
以下将从旅游观赏原理的理解和应用两个方面展开进行详述。
1.旅游观赏原理的理解1.1旅游观赏的认知旅游观赏的认知是指旅游者对于景观或旅游目的地景点所进行的信息获取和认知过程。
旅游者通过接收、感知和理解景点的信息，来构建自己对景区的认知。
这一过程通常是通过旅游者的感官感知和学习经验来实现的。
认知的方式包括视觉、听觉、嗅觉、触觉等多种感官。
通过对景点的细致观察和感知，旅游者可以对景点进行全面的了解和认知，从而增强旅游的体验和满意度。
1.2旅游观赏的感知旅游观赏的感知是指旅游者对于景观或旅游目的地景点所产生的情感和体验过程。
旅游者对于景点的感知主要通过情感、情绪等心理过程来实现。
旅游者在旅游过程中会感受到景点所带来的美感、愉悦感和满足感，从而产生积极的情感体验。
感知的方式包括美感感知、情感感知等。
旅游者的感知能力对于旅游的满意度和感受有着重要的影响。
1.3旅游观赏的情感旅游观赏的情感是指旅游者对于景观或旅游目的地景点所产生的情绪和情感体验。
旅游者在旅游过程中会产生各种各样的情感，如快乐、惊喜、感动、满足等。
这些情感体验可以通过旅游者对于景点的评价和对景点的态度来体现。
情感的产生受到个体的心理状态、旅游体验、景点属性等多种因素的影响。
旅游者的情感体验对于旅游的态度和行为具有重要的影响。
2.旅游观赏原理的应用2.1设计旅游景点的认知性根据旅游观赏原理，设计旅游景点时可以增加景点的认知性，通过提供丰富的信息和体验，引导旅游者对景点进行全面的认知。
景点可以通过设置导览图、标志牌、讲解员等方式，帮助旅游者更好地了解景点和文化背景，提高旅游者对景点的认知水平。
2.2提升旅游景点的感知性在设计旅游景点时，可以通过提升景点的感知性，来吸引旅游者的注意力和增加其体验感。
《与名师对话》2015-2016学年高中数学人教版A版选修2-3课件1.1-2两个计数原理的综合应用
D．32 种
解析：5 名学生报名参加两个课外活动小组，每名学生限
报其中的一个小组，则每名学生均有 2 种不同的报名方法，故
不同的报名方法共有 25＝32 种．故选 D.
答案：D
3．已知集合 A {1,2,3}，且 A 中至少有一个奇数，则这样
的集合有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解析：满足题意的集合 A 可以是{1}，{3}，{1,2}，{1,3}， {2,3}共有 5 个，故选 D.
易错点：忽略题目的隐含条件致误
某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的 一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语 的各一人，有多少种不同的选法？
【错解】 第一步，从会英语的 7 人中选一人，有 7 种选 法；第二步，从会日语的 3 人中选一人，有 3 种选法，故共有 7×3＝21(种)不同的选法．
如图，要给地图 A，B，C，D 四个区域分别 涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但 相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
【思路启迪】 根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行 计算．
【解】 按地图 A，B，C，D 四个区域依次涂色，分四 步完成：
第一步：涂 A 区域，有 3 种选择； 第二步：涂 B 区域，有 2 种选择； 第三步：涂 C 区域，由于它与 A，B 区域颜色不同，有 1 种选择； 第四步，涂 D 区域，由于它与 B，C 区域颜色不同，有 1 种选择． 所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共 有 3×2×1×1＝6.
(3)分三步，每位旅客都有 4 种不同的住宿方法，因而不同 的方法共有 N＝4×4×4＝64(种).
人教a版数学【选修2-3】1.1《两个基本原理的应用》ppt课件
性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；
乘法 原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的， 应用 _______ 做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完 成，这件事才算完成．
第一章
1.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
典例探究学案
第一章
1.1
第2课时
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数字问题
由 1、2、3、4 可以组成多少个自然数(数字可以 重复，最多只能是四位数)?
[分析]
第一章 1.1 第2课时
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[ 方法规律总结 ] 步”的标准是什么．
1. 在同一题目中涉及到这两个定理时，
必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，“分类”和“分 2 ．数字问题要注意是否允许数字重复，各位上的数字是
否受到某些条件限制．
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
1.能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘 法计数原理解决一些简单的实际问题，从而发展学生的思维能 力，培养学生分析问题和解决问题的能力． 2．能正确区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
第一章
1.1
第一章
1.1
第2课时
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2 ．分类要做到 __________ 不重不漏 ，分类后再分别对每一类进行 分类加法计数原理 求和，得到总数． 计数，最后用___________________ 步骤完整 ，步与步之间要 __________ 相互独立 ， 3 ．分步要做到 __________ 根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总
学习奇数和偶数的概念
教案学习奇数和偶数的概念一、引言1.1奇数和偶数的定义1.1.1奇数：一个整数不能被2整除，称为奇数。
1.1.2偶数：一个整数能被2整除，称为偶数。
1.1.3零是偶数：零能被任何非零整数整除，包括2，因此零是偶数。
1.2奇偶性的判断1.2.1末位数字法：观察一个整数的个位数字，如果为奇数，则该数为奇数；如果为偶数，则该数为偶数。
1.2.2二进制表示法：在二进制中，偶数的最低位一定是0，奇数的最低位一定是1。
1.2.3性质判断法：奇数和偶数在数学性质上有明显的区别，如奇数加奇数等于偶数，奇数乘以奇数等于奇数等。
二、知识点讲解2.1奇数的性质2.1.1奇数加奇数：两个奇数相加，结果为偶数。
2.1.2奇数减奇数：两个奇数相减，结果为偶数。
2.1.3奇数乘以奇数：两个奇数相乘，结果为奇数。
2.1.4奇数的除法：奇数除以奇数，结果可能为奇数，也可能为分数。
2.2偶数的性质2.2.1偶数加偶数：两个偶数相加，结果为偶数。
2.2.2偶数减偶数：两个偶数相减，结果为偶数。
2.2.3偶数乘以偶数：两个偶数相乘，结果为偶数。
2.2.4偶数的除法：偶数除以偶数，结果可能为偶数，也可能为分数。
三、教学内容3.1奇数和偶数的概念3.1.1奇数的概念：不能被2整除的整数。
3.1.2偶数的概念：能被2整除的整数。
3.1.3零的特殊性：零是偶数。
3.2奇数和偶数的性质3.2.1奇数的性质：奇数加奇数等于偶数，奇数乘以奇数等于奇数等。
3.2.2偶数的性质：偶数加偶数等于偶数，偶数乘以偶数等于偶数等。
3.2.3奇数和偶数的运算规律：奇数与偶数相加、相减、相乘的结果等。
四、教学目标4.1理解奇数和偶数的概念4.1.1能够正确地定义奇数和偶数。
4.1.2能够理解零是偶数的原因。
4.1.3能够判断一个数是奇数还是偶数。
4.2掌握奇数和偶数的性质4.2.1能够列举奇数和偶数的基本性质。
4.2.2能够运用奇数和偶数的性质解决相关问题。
4.2.3能够理解奇数和偶数在数学中的重要性。
牛顿的万有引力理论
牛顿的万有引力理论牛顿是17世纪最伟大的科学家之一，他的研究对于物理学和天文学的发展有着重大的影响。
牛顿提出的万有引力理论是他最为知名的贡献之一。
本文将介绍牛顿的万有引力理论，探讨其背后的原理和应用，以及对科学界的影响。
1. 牛顿的万有引力理论的提出牛顿的万有引力理论是基于他对物体运动规律的研究和理解得出的。
牛顿认为，所有物体都具有质量，质量是物体内在的性质，与物体所占据的空间有关。
而引力是物体之间相互吸引的力，它的大小与质量有关。
牛顿的万有引力理论可以概括为以下几点：1.1 万有引力定律牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中提出了万有引力定律，该定律描述了两个物体之间的引力的大小和方向。
它可以表达为：两个物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
数学公式可以表示为：F = G * (m1 * m2) / r^2，其中F是引力，G是一个常数，m1和m2是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
1.2 质点近似为了让万有引力定律更易于研究和应用，牛顿引入了质点的概念。
质点是一个没有大小和形状的物体，只有质量和位置。
这样，物体之间的相互作用就可以近似为质点之间的引力作用。
2. 引力的原理与应用2.1 引力的原理牛顿的万有引力理论是基于以下两个原理：2.1.1 作用与反作用牛顿的第三定律指出，每一个物体对另一个物体施加一个力，另一个物体也会对它施加一个大小相等、方向相反的力。
这个原理被称为作用与反作用定律。
在引力的情况下，如果一个物体对另一个物体施加引力，那么另一个物体也会对它施加相同大小、方向相反的引力。
2.1.2 加速度与引力牛顿的第二定律表明，物体的加速度与施加在其上的力成正比，与物体的质量成反比。
因此，当一个物体受到一个引力时，它将获得一个向引力方向的加速度。
2.2 引力的应用牛顿的万有引力理论在天文学中得到了广泛的应用。
根据万有引力定律，人们可以计算和解释行星的运动轨迹、彗星轨迹以及其他天体间的相互作用。
《两个基本计数原理》 学习任务单
《两个基本计数原理》学习任务单一、学习目标1、理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
2、能正确运用两个基本计数原理解决简单的计数问题。
3、体会两个计数原理在解决实际问题中的应用，提高分析问题和解决问题的能力。
二、学习重难点1、重点（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念。
（2）掌握运用两个基本计数原理进行计数的方法。
2、难点（1）区分何时使用分类加法计数原理，何时使用分步乘法计数原理。
（2）在复杂的问题情境中，正确运用两个基本计数原理进行计数。
三、知识梳理1、分类加法计数原理完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
例如，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有 4 趟，汽车有 2 趟，轮船有 3 趟。
那么从甲地到乙地一共有 4 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 9 种不同的走法。
2、分步乘法计数原理完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如，从 A 村到 B 村有 3 条道路，从 B 村到 C 村有 2 条道路。
那么从 A 村经 B 村到 C 村共有 3 × 2 ＝ 6 条不同的道路。
四、例题解析例 1：书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书。
（1）从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取 1 本书，有三类方法：第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法。
新人教A版高二数学选修2-3第一章计数原理 1.1 第二课时 两个计数原理的综合应用
由分类加法计数原理知，有 3＋4＝7 种方法． 第四步：由分步乘法计数原理有 N＝4×3×7＝84 种不同的种植方法． 法二：(1)若 A，D 种植同种作物，则 A、D 有 4 种不同的种法，B 有 3 种种植方法，C 也有 3 种种植方法，由分步乘法计数原理，共有 4×3×3＝36 种种植方法． (2)若 A，D 种植不同作物，则 A 有 4 种种植方法，D 有 3 种种植方法， B 有 2 种种植方法，C 有 2 种种植方法，由分步乘法计数原理，共有 4×3×2×2＝48 种种植方法． 综上所述，由分类加法计数原理，共有 N＝36＋48＝84 种种植方法．
• 去年高考延续了五年的总体要求并在创新上有较大的突破； • 难度把控趋于稳定，基本控制在0.55左右； • 充分体现国家意志“一核”、“四层”、 “四翼”， “一核”是总体框架
体现突 出传统文化及党的教育方针：“德智体美劳”五育并举； • 学科思维考察更加凸显，体现数学学科的理性思维特点；
(3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分 两类，一类是末位数字是 0，则有 4×3＝12(种)排法；一类是末 位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排法，因此有 2×3×3 ＝18(种)排法．因而有 12＋18＝30(种)排法．即可以排成 30 个能 被 2 整除的无重复数字的三位数．
用计数原理解决涂色(种植)问题
[典例] 如图所示，要给“优”、 “化”、“指”、“导”四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色 使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色， 有多少种不同的涂色方法？
[解] 优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步． 第 1 步，涂“优”区域，有 3 种选择． 第 2 步，涂“化”区域，有 2 种选择．
简述适应与超量恢复原理及其在运动训练的应用
简述适应与超量恢复原理及其在运动训练的应用一、适应原理适应原理是指人体在受到外界刺激后，通过一系列的生理和心理变化，使身体能够适应这种刺激并提高其适应能力的过程。
这个过程被称为适应。
1.1 适应的基本原理适应的基本原理是“超负荷原理”。
即在某种刺激下，人体会产生一定的反应，当这种刺激超过了人体正常承受范围时，身体就会做出相应的调整以适应这种刺激。
1.2 适应的类型根据不同的刺激类型，可以将适应分为以下几种：（1）生物学上的适应：指生物在环境中进行自我调节以保持稳态平衡。
（2）社会心理学上的适应：指个体在社会环境中进行自我调节以达到与社会协调一致。
（3）运动训练中的适应：指运动训练对身体产生刺激后，身体做出相应调整以提高运动能力。
二、超量恢复原理超量恢复原理是指在训练后给予充分休息和恢复，可以使身体适应训练刺激并提高运动能力的原理。
2.1 超量恢复原理的基本原理超量恢复原理的基本原理是“适应-疲劳-超适应”的循环过程。
在运动训练中，身体受到刺激后会产生一定的疲劳反应，但在充分休息和恢复后，身体会进行适应性调整以提高运动能力。
2.2 超量恢复原理的实现方法（1）合理安排训练计划：根据个人情况制定合理的训练计划，避免过度训练。
（2）科学饮食：保证充足的营养摄入，特别是碳水化合物和蛋白质。
（3）充分休息：在训练后给予足够的休息时间，避免连续剧烈训练。
（4）采用有效的恢复方法：包括按摩、拉伸、冷热敷等方法来促进身体恢复。
三、适应与超量恢复原理在运动训练中的应用适应与超量恢复原理在运动训练中有着重要的应用价值。
通过合理运用这两个原理，可以提高运动员的训练效果和竞技表现。
3.1 运动训练中的适应原理应用（1）选择合适的训练强度：根据个人情况选择适当的训练强度，避免过度训练。
（2）科学饮食：保证充足的营养摄入，特别是碳水化合物和蛋白质。
（3）按照阶段性原则进行训练：将整个训练过程分为不同阶段，每个阶段具有不同的目标和内容。
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A．48项 C．24项
答案：C
B．36项 D．12项
题型一
分配问题
例1
(1)8本不同的书，任选3本分给
3个同学，每人1本，有多少种不同的分 法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少
种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆 住宿，有多少种不同的住宿方法？
上一种颜色，并使同一条棱上的两端点
异色，如果只有5种颜色可供使用，求 不同的染色方法总数．
变 式 训 练
解析：按照S→A→B→C→D的顺序分类染 色．第一类：A，C染相同颜色，有
5×4×3×1×3＝180(种)；
第二类：A，C染不同颜色，有 5×4×3×2×2＝240(种)．
故共有180＋240＝420种不同的染色方法．
第一章
计数原理
1．1 计数原理及其应用
1．1.2 两个原理的应用
自 测 自 评
1男生、女生各一人去参加座谈会，
则不同的选法(
)
A48种 B24种 C14种 D12种
答案：A
自 测 自 评
2．(a1＋a2)· (b1＋b2＋b3)· (c1＋c2＋c3 ＋c4)的展开式中的项数是( )
(1)三位整数？ (2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
变 式 训 练
解析：由于0不可在最高位，因此应对 它进行单独考虑． (1)百位数字有9种选择，十位数字和个 位数字都各有10种选择．由分步乘法计数 原理知，适合题意的三位数共有 9×10×10＝900(个)．
解析：(1)分三步，每位同学取书一本，
第1,2,3个同学分别有8,7,6种取法，因而由
分步乘法计数原理，不同分法共有N＝ 8×7×6＝336(种)．
(2)完成这件事情可以分作四步，第一步投第 一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种 投法；第二步投第二封信，同样有3种投法；第
三步投第三封信，也同样有3种投法；第四步，
法．由分步乘法计数原理知，此时共有
5×4×4种涂法．第二类给a，c涂不同颜色，共
有5×4种涂法；再给b涂色，有3种方法；最后
给d涂色，也有3种方法．此时共有5×4×3×3
种涂法．由分类加法计数原理知，共有
5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂法．
变 式 训 练
3．将一个四棱锥的每一个顶点染
变 式 训 练
(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种
选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有
8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的
三位数共有9×9×8＝648(个)．
(3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种 选择，个位数字有8种选择．由分步乘法计数原 理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝ 288(个)．
第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；
第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；
第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；
第四类：千位是5的有3×4×3＝ 36(个)． 则由分类计数原理有N＝24＋36＋24＋ 36＝120(个)．
变 式 训 练
2．用0,1，…，9这十个数字，可以 组成多少个：
少种报名方法？ (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远 三项冠军，共有多少种可能的结果？
变 式 迁 移
解析：(1)要完成的是“4名同学每
人从三个项目中选一项报名”这件事，
因为每人必报一项，四人都报完才算完 成，于是按人分步，且分为四步，又每
人可在三项中选一项，选法为3种，所
以共有3×3×3×3＝81种报名方法．
题型三
涂色问题
例3 把一个圆分成3个扇形，现在
用5种不同的颜色给3个扇形涂色，要 求相邻扇形的颜色互不相同，问
(1)有多少种不同的涂法？ (2)若分割成4个扇形呢？
解析：(1)不同的涂色方法是5×4×3＝60 种． (2)如图所示，分别用a，b，c，d记这
四个扇形．先考虑给a，c涂色，分两类： 第一类给a，c涂同种颜色，共5种涂法；再给b 涂色，有4种涂法；最后给d涂色，也有4种涂
变 式 迁 移
(2)完成的是“三个项目冠军的获取”这
件事，因为每项冠军只能有一人获得，三
项冠军都有得主，这件事才算完成，于是 应以“确定三项冠军得主”为线索进行分
步．而每项冠军是四人中的某一人，有4种
可能情况，于是共有4×4×4＝43＝64种可
能的情况．
题型二
组数问题
例2
用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无
重复数字的比2 000大的四位偶数？
解析：法一 按末位是0,2,4分为三类．
第一类：末位是0的有4×4×3＝48(个)； 第二类：末位是2的有3×4×3＝36(个)； 第三类：末位是4的有3×4×3＝36(个)．
则由分类计数原理有N＝48＋36＋36＝ 120(个)．
投第四封信，仍然有3种投法．由分步乘法计数
原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝
81(种)．
(3)分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方
法，因而不同的方法共有N＝4×4× 4＝64(种)．
变 式 迁 移
1．(1)4名同学选报跑步、跳高、
跳远三个项目，每人报一项，共有多