切线长定理与弦切角定理(邦德讲义)
第七节 切线长定理及弦切角
教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日：00--- ：00 课题第七节切线长定理及弦切角教学目标切线长定理的内容及弦切角都是性质应用教学重难点切线长定理与弦切角定理的应用教学过程【知识要点】一、切线长定理：1．切线长概念：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的，叫做这点到圆的切线长．2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3．切线长定理：①从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB ②PO平分APB． 4．两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．二、弦切角定理：1．弦切角概念：理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．·AO C DBP2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．三 三角形的内切圆与圆四点外切三角形⑴内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. ⑵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心【典型例题】例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，40APB ∠=︒， 求：①⊙O 的半径；②EOD ∠的度数．例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．A· E PDB CO· EFDCOAB· EF D CO AB例3 如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，ACB ∠的平分线CE 交AB 于D ，交⊙O 于E ，⊙O 的切线EF 交CB 的延长线于F ．求证：2AE AD EF =⋅例4 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC CD ⊥于C ，BD CD ⊥于D ，PQ AB ⊥于Q ．求证：2PQ AC BD =⋅【课堂专练】1．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，OP 与⊙O 相交于点M ,以下结论，错误的是（ ） A 、OP AB ⊥ B 、 C 、APO BPO ∠=∠ D 、M 是PAB ∆的外心2．若⊙O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为：（ ） A 、30︒ B 、45︒ C 、60︒ D 、90︒ 3．四边形中，有内切圆的是（ ）A 、平行四边形B 、菱形C 、矩形D 、以上答案都不对 4．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、6个5．如图，AB 为⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若25ACE ∠=︒，则D ∠为（ ） A 、50︒ B 、55︒ C 、60︒ D 、65︒AM DM = QDPCABBACDE·A OCDEB· A OPBM DFEOABC6．圆的外切平行四形一定是 形．7．圆外切梯形的周长为24cm ，则它的中位线的长是 ㎝．8．如图，AB 是⊙O 的直径，CE 切⊙O 于C ，CD AB ⊥于D ．若60,3ECB CD ∠=︒=，则sin A = ，BD = ．9．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D 、E 、F 为切点，::4:3:2A B C ∠∠∠=，则DEF ∠= °．FEC ∠= °．10．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝，则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝，内切圆半径为 ㎝．11．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ，且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ，⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝． 12．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是 ㎝．13．如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD 、BC 的长．·AOC D BE·A O CDBEF· AO CD BE FG· A OPBM · A O D BCE14．如图，AB 为⊙O 的直径，过B 作⊙O 的切线，C 为切线上一点，连OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于D ． （1）求证：2CE CD CB =⋅． （2）若2AB BC ==，求CD 的长．【闯关练习】 1．如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，切线DE 交AC 于E ．求证：12DE AC =．2．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、C 、DO 交AE 于F ，OC 交BE 于G ． 求证：（1）CO DO ⊥（2）四边形EFOG 是矩形； （3）2FG AD BC =⋅．A · O DBCE · A O DBCE· A ODBCE3．如图，⊙O 的直径AB=12㎝，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，设,AD x BC y ==．（1）求y 与x 的函数关系，并说明是什么函数？（2）若x 、y 是方程22300t t m -+=的两根，求x 、y 的值． （3）在（2）的条件下求COD ∆的面积．4．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD 的AB 边经过圆心，AD ，BC 的延长线相交于E ，过C 点的切线CF ⊥AE 于F ．求证： （1）△ABE 为等腰三角形；（2）若 BC=1cm ，AB=3cm ，求EF 的长．5．如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F ．（1）求证：2AB AE BC =⋅；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF 的长．· AOB F CNMED ·AODBC EF6．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．7．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．课后小结上课情况：课后需再巩固的内容：配合需求：家长_________________________________ 学管师_________________________________组长签字。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 通用版
切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段一. 本周教学内容：切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。
3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。
4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。
6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
二. 重点、难点：重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。
易错点分析：1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。
2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。
另外弦切角的三个条件缺一不可。
弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。
3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。
等积式中的各线段要记牢，不要记混。
【例题分析】例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。
A FB G ED H C已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。
求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CGAF FB DH CH AE BG DE CGAB CD AD BC，同理，，即例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EGF分析：因为AC//DE//BF ，所以可考虑成比例的线段来证明线段相等。
34第三课时切线长定理用课件
知识小结
直角三角形的外接圆与内切圆
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.
a
b
c
斜边中点
斜边的一半
三角形内部
课前训练
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.
练习
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。
P
B
O
A
二、填空
25
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）
A
A 16cm
D 8cm
C 12cm
B 14cm
D
C
B
E
A
P
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm， 求△PED的周长。
数学探究
思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？
（2）填空：AB+CD AD+BC（>,<,=)
=
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。
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中考内容中考要求A B C直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系;会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题;能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩概念切线长定理定理相关结论概念切线长定理与弦切角定理弦切角定理定理相交弦定理圆幂定理切割线定理割线定理一、切线长定理1、切线长的概念在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．BAPO【注意】在新课讲解时需要讲解为什么从圆外一点引圆的两条切线．切线长定理与弦切角定理中考大纲知识精讲知识网络图3、相关结论（1）圆的两条平行切线,切点间的线段是直径. （2)圆外切四边形的两组对边和相等. （3）圆外切平行四边形是菱形。
（4）圆心和圆外这点的连线垂直平分两切点的连线. 【注意】：切线是直线，切线长是线段长;二、弦切角定理(选讲） 1、弦切角顶点在圆上,一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 2、弦切角定理定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等【注意】1、明确弦切角所夹的弧是在弦切角内部的一条弧。
2、弦切角必须具备的三个条件：（1）顶点在圆上（2)一边与圆相切(3)一边与圆相交3、弦切角和圆周角的联系与区别弦切角可以看做是圆周角的一边绕顶点旋转到圆相切时所成的角，顶点都在圆上。
弦切角的一边是过顶点的弦，另一边是切线上以切点为端点的一条射线，而圆周角的两边均是弦。
三、圆幂定理(选讲） 1、相交弦定理（1)相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． 如图,弦AB 和CD 交于⊙O 内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．P ODC A【证明】如图，AB 、CD 为⊙O 的两条任意弦.相交于点P ，连接AD 、BC ，由于B ∠与D ∠同为弧AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知:B D ∠=∠，同理A C ∠=∠，所以PAD PCB ∽△△. 所以有：PA PDPC PB=，即：PA PB PC PD ⨯=⨯．PDCBA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 2、切割线定理如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的切线，AD 是⊙O 的割线，则题意中满足2AB AC AD =⋅．ODCB A3、割线定理从从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B ；C 、D ,则有··PA PB PC PD =1、圆的切线长定理是解决圆内求线段长、角度数，证明线段相等和成比例等的重要工具,在解题过程中常： (1）连结圆心和切点构造直角三角形; （2）连结圆心和圆外这一点构造角平分线； （3）连结两切点等构造等腰三角形或垂直关系。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理讲义
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
切线长定理用 ppt课件
（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
解：(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP.
E
O
D
C
P
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
求证： AD+BC=AB+CD 证明：由切线长定理得
C N
∴AL=AP，LB=MB,NC=MCD，
DN=DP
M O
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 切线长定理用
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆 心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离 等于半径,简称“做垂直,证半径。”
切线长定理用
切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径
几何应用: ∵L是⊙O的切线 ，
∴OA⊥L
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这
.O
条半径的直线是圆的切线.
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
Rt△ABC的内切圆的半径 r.
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
圆的切线、切线长、线切角
圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线：1切线的判定：________________________________________________________2 .切线的性质： _________________________________【运用举例】、切线长定理1、切线长:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的 切线长2、切线长定理：符号语言：：PA PB 是0O 的切线，A 、B 是切点，二，PA=PB 【运用举例】例 1.在厶 ABC 中, AB=5cm BC=7cm AC=8cr ® O 与 BC ACAB 分别相切于 D 、E 、F ,则 AF= ________ , BD= _______ 、CF=____________________________例2.如图，已知CB 是。
O 的切线，C 是切点，0B 交。
O 于点D ，/ B = 30，BD = 6 cm,求BC例3、如图，PA 、PB 切。
0于点A 、B ,点C 是。
0上一点，且/ ACB=65°，求/ P 的度数.例2、如图，PA PB 是。
0的切线，切点分别是A 、B ,直线EF 也是。
0的切线，切点为Q,交PA PB 为E 、F 点，已知PA=12cm ，求△ PEF 的周长.例4、已知：如图AB 是。
0的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP 丄AB ，垂足为P ， 直线QA 交。
0于点C 点，过C 点作。
0的切线交直线QP 于点D ，求证：△ CDQ 是等腰当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明 例3、已知：如图，P 为。
0外一点，PA PB 为。
0的切线，A 和B 是切点，BC 是直径.求证：AC// 0P例4.如图，AB 、CD 分别与半圆0切于点A 、D , BC 切。
0于点E ,若AB = 4, CD = 9,求O O的半径。
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【知识要点】 一、切线长定理： 1．切线长概念：
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R ，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 4．两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 二、弦切角定理： 1．弦切角概念：
理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．
3．弦切角定理的推论：
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等． 【典型例题】
例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若
PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，40APB ∠=︒，
求：①⊙O 的半径；②EOD ∠的度数．
例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．
例3 如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，
ACB ∠的平分线CE 交AB 于D ，交⊙O 于E ，⊙O 的切线EF
交CB 的延长线于F ．求证：2AE AD EF =⋅
例4 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC CD ⊥于C ，BD CD ⊥于D ，PQ AB ⊥于Q ． 求证：2PQ AC BD =⋅
B
C
【课堂专练】
1．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，OP 与⊙O 相交于点M ,以下结论，错误的是（ ） A 、OP AB ⊥ B 、 C 、APO BPO
∠=∠ D 、M 是PAB ∆的外心
2．若⊙
O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为：（
A 、30︒
B 、45︒
C 、60︒
D 、90︒ 3．四边形中，有内切圆的是（ ）
A 、平行四边形
B 、菱形
C 、矩形
D 4．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、6个
5．如图，AB 为⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若25ACE ∠=︒，则D ∠为（ ） A 、50︒ B 、55︒ C 、60︒ D 、65︒ 6．圆的外切平行四形一定是 形．
7．圆外切梯形的周长为24cm ，则它的中位线的长是 ㎝． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，CE 切⊙O 于C ，CD AB ⊥于D ．
若60,3ECB CD ∠=︒=，则sin A = ，BD 9．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D 、E 、F 为切点，
::4:3:2A B C ∠∠∠=，则DEF ∠= °．FEC ∠10．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝， 则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝， 内切圆半径为 ㎝．
11．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ， ⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝． 12．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ， 若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是 ㎝． 13．如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径
的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝， 求梯形的上、下底AD 、BC 的长．
AM DM = C
P
14．如图，AB 为⊙O 的直径，过B 作⊙O 的切线，C 为切线上一点，连OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于D ．（1）求证：2CE CD CB =⋅．（2）若2AB BC ==，求CD 的长．
【闯关练习】
1．如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，切线DE 交AC 于E ．求
证：1
2DE AC =．
2．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、C 、DO 交
AE 于F ，OC 交BE 于G ．求证：（1）CO
DO ⊥（2）四边形EFOG 是矩形；（3）2FG AD BC =⋅．
C
·
A O
D
B
C
E
3．如图，⊙O 的直径AB=12㎝，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，设,AD x BC y ==．（1）求y 与x 的函数关系，并说明是什么函数？（2）若x 、y 是方程22300t t
m -+=的两根，求x 、y 的值．（3）求COD ∆的面积．
4．如图，BC 为⊙O 的直径， ，过点A 的切线与CD 的延长线交于点E ．（1）试猜想AED ∠是否等于90︒？为什么？（
2）若:1:2AD ED EA ==
，求⊙O 的半径．
5．如图，梯形
ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F ． （1）求证：2AB AE BC =⋅；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF 的长．
AB CD = M。