弦切角定理练习-初三数学

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中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理(圆)(附解析答案)

中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题11．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝度．12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．13．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝度，∠ACB＝度．14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝度．15．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝．17．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．18．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB的度数为°．19．如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝度．20．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB＝度．三．解答题21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．23．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．24．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案1．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．2．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．3．解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠O BP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．4．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．5．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，∴∠A＝∠CBE＝40°．故选：B．6．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．7．解：∵BD切⊙O于点B，∴∠DBC＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．8．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．9．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．10．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠B AE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥A B，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．故答案为：30．12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．13．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．14．解：连接OB；∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°；在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；∴∠P＝2∠BAC＝70°．15．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．16．解：连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠40°∵PD切⊙O于D，∴∠ADP＝∠ABD＝40°，故答案为：40°．17．解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．18．解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．19．解：∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°；又AB＝2，AC＝1，∴∠B＝30°，∵AD为⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B＝30°．20．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC；（2）∵cos∠BAC＝，∴＝，∵AC＝6，∴AB＝10，故⊙O的直径为10．22．（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．23．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，∴△APB∽△CPA，得．∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，∴△PBD∽△PEA，得．∴．∴AB•AE＝AC•DB．24．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠1．∴PA∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；由（1）可知，PA∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．25．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BCD＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠ACB．26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。

三角函数练习题目初三

三角函数练习题目初三1.已知直角三角形中一条直角边的长度为3cm，另一条直角边的长度为4cm。

求其两条直角边上的正弦、余弦和正切值。

解析：已知直角边 a = 3cm、直角边 b = 4cm。

根据三角函数的定义可知：正弦(sin) = 直角边a / 斜边c余弦(cos) = 直角边b / 斜边c正切(tan) = 直角边a / 直角边b其中，斜边c可以通过勾股定理求得：斜边c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5代入计算得：正弦(sin) = 3 / 5 = 0.6余弦(cos) = 4 / 5 = 0.8正切(tan) = 3 / 4 = 0.75所以，该直角三角形的正弦值为0.6，余弦值为0.8，正切值为0.75。

2.已知角度θ的正弦值为0.5，求角度θ的余弦值和正切值。

解析：已知正弦(sin) = 0.5，要求余弦(cos)和正切(tan)。

根据正弦函数的定义可得：正弦(sin) = 直角边a / 斜边c已知正弦(sin) = 0.5，令直角边a = 0.5，斜边c = 1。

根据勾股定理可得：直角边b = √(c² - a²) = √(1² - 0.5²) = √(1 - 0.25) = √0.75 ≈ 0.866所以，余弦(cos) = 直角边b / 斜边c = 0.866 / 1 = 0.866正切(tan) = 直角边a / 直角边b = 0.5 / 0.866 ≈ 0.577所以，角度θ的余弦值为0.866，正切值为0.577。

3.已知角度α的正切值为2，求角度α的正弦值和余弦值。

解析：已知正切(tan) = 2，要求正弦(sin)和余弦(cos)。

根据正切函数的定义可得：正切(tan) = 直角边a / 直角边b已知正切(tan) = 2，令直角边a = 2，直角边b = 1。

2019年中考数学知识点精选提高练习：弦切角定理(圆)(附解析答案)

2019年中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）一．选择题1．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（）A．97°B．104°C．116°D．142°3．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°4．如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°5．如图，AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，切点为B，点C在⊙O上，若∠CBE＝40°，则∠A的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，直线AD与△ABC的外接圆相切于点A，若∠B＝60°，则∠CAD等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于点B，AB＝AC，若∠CBD＝40°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC．AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（）A．110°B．115°C．120°D．125°9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B 连接AE，BE，则∠AEB的度数为（）A．145°B．140°C．135°D．130°二．填空题11．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A 的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝度．12．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．13．如图PA切⊙O于点A，∠PAB＝30°，则∠AOB＝度，∠ACB＝度．14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC＝35°，则∠P＝度．15．如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝35°，则∠ABC的大小等于度．16．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝．17．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D点的切线PD 与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．18．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB 的度数为°．19．如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB＝2，弦AC＝1，则∠CAD＝度．20．如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，则∠AOB＝度．三．解答题21．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．（1）求证：∠DAC＝∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，且∠DAC＝∠BAC．（1）试说明：AD⊥CD；（2）若AD＝4，AB＝6，求AC．23．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．24．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC＝13，BC＝24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．（1）求证：PA∥BC；（2）求⊙O的半径及CD的长．25．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E．（1）求证：BC∥DE；（2）若AB＝3，BD＝2，求CE的长；（3）在题设条件下，为使BDEC是平行四边形，△ABC应满足怎样的条件（不要求证明）．26．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．求证：（1）BE∥DG；（2）CB2﹣CF2＝BF•FE．参考答案1．解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．故选：A．2．解：∵BD是圆O的直径，∴∠BAD＝90°，又∵AC平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵直线ED为圆O的切线，∴∠ADE＝∠ABD＝19°，∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．故选：C．3．解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠O BP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．4．解：∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝50°．∵此圆与直线BC相切于C点，∴的度数＝2∠C＝100°．故选：C．5．解：∵AB是⊙O的直径，DE为⊙O的切线，∠CBE＝40°，∴∠A＝∠CBE＝40°．故选：B．6．解：∵DA与△ABC的外接圆相切于点A，∴∠CAD＝∠B＝60°．（弦切角定理）故选：B．7．解：∵BD切⊙O于点B，∴∠DBC＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选：D．8．解：如图，连接AC，由弦切角定理知∠ACB＝∠BAT＝55°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝55°，∴∠B＝180°﹣2∠ACB＝70°，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°．故选：A．9．解：∵直线MN切⊙O于C点，∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°．故选：C．10．解：连接AM，BN，∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE，∴∠B AE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE），∵MA⊥AB，NB⊥A B，∴MA∥NB，∴∠AMN+∠BNM＝180°．∵∠MEN＝90°，∴∠EMN+∠ENM＝90°，∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．故答案为：30．12．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．13．解：由弦切角定理知，∠C＝∠BAP＝30°；由圆周角定理知，∠AOB＝2∠C＝60°．14．解：连接OB；∵PA、PB都是⊙O的切线，且切点为A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°；在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝180°﹣2∠BAC；∴∠P＝2∠BAC＝70°．15．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵直线CD与⊙O相切，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝35°，∴∠A＝35°，∴∠ABC＝55°．故答案为：55°．16．解：连接BD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝50°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠40°∵PD切⊙O于D，∴∠ADP＝∠ABD＝40°，故答案为：40°．17．解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．18．解：∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA＝PB；∵∠APB＝70°，∴∠PBA＝（180°﹣∠APB）＝55°，∵PB切⊙O于B，∴∠ACB＝∠PBA＝55°．19．解：∵AB是圆的直径，∴∠C＝90°；又AB＝2，AC＝1，∴∠B＝30°，∵AD为⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B＝30°．20．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC＝∠BCT＝40°；在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ABC＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣100°＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°．三．解答题（共6小题）21．证明：（1）连接BC，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC；（2）∵cos∠BAC＝，∴＝，∵AC＝6，∴AB＝10，故⊙O的直径为10．22．（1）证明：连接OC；∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在△ADC与△ACB中，，∴△ADC∽△ACB，∴＝，即AC2＝AD•AB，∵AD＝4，AB＝6，∴AC＝＝2．23．证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，∴△APB∽△CPA，得．∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，∴△PBD∽△PEA，得．∴．∴AB•AE＝AC•DB．24．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠2．又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∴∠PAB＝∠1．∴PA∥BC．（2）解：连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；由（1）可知，PA∥BC，∴OA⊥BC．∴G为BC的中点，∵BC＝24，∴BG＝12．又∵AB＝13，∴AG＝5．设⊙O的半径为R，则OG＝OA﹣AG＝R﹣5，在Rt△BOG中，∵OB2＝BG2+OG2，∴R2＝122+（R﹣5）2，∴R＝16.9，OG＝11.9；∵BD是⊙O的直径，∴DC⊥BC．又∵OG⊥BC，∴OG∥DC．∵点O是BD的中点，∴DC＝2OG＝23.8．25．（1）证明：连接CD；∵DE是圆O的切线，∴∠CDE＝∠CBD．∵∠CBD＝∠DAC，∴∠CDE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴∠CDE＝∠BAD．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CDE＝∠BCD．∴BC∥DE．（2）解：如图，连接CD；∵AD平分∠BAC，∴＝．∴∠BCD＝∠CBD．∴BD＝CD＝2．∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝∠ADB．又由（1）中已证得∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE．∴AB：BD＝CD：CE．∴CE＝BD•CD÷AB＝．（3）解：应该是∠BAC＝2∠ACB．26．证明：（1）∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE．∵CG为⊙O切线，∴∠BCD＝∠E．∴∠CBE＝∠BCD．∴BE∥DG．（2）∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠CBE．∵∠ACB＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，．∴CB2＝CF•AC＝CF•（CF+AF）＝CF2+CF•AF．即CB2﹣CF2＝AF•CF．由相交弦定理，得AF•CF＝BF•FE．∴CB2﹣CF2＝BF•FE．。

初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲试题

初三数学弦切角及和圆有关的比例线段知识精讲一. 本周教学内容：弦切角及和圆有关的比例线段二. 重点、难点：1. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

注意：弦切角必须具备三个条件：〔1〕顶点在圆上〔切点〕，〔2〕一边和圆相切，〔3〕一边和圆相交〔弦〕，三者缺一不可。

2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

3. 弦切角定理的推论：假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

弦切角是和圆有关的角之一，其他几种有圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

这四种角之间的关系及转换是与圆有关的论证及计算的根底。

4. 相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

5. 相交弦定理的推论：假如弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

6. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

7. 切割线定理的推论〔或者称割线定理〕：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

本节是本章中综合性最强的局部，是本章及初中平面几何中难点之一。

其中，相交弦定理、切割线定理及割线定理在证明等积式、比例式和线段长度的计算中起着极其重要的作用。

这三个定理实际是一个整体，可以看做相交弦交点从圆内移到圆外，由割线旋转到切线时的结果。

应用定理和推论解题时，要注意数形结合的思想、方程思想的运用。

由于定理和推论的结论都是两条线段乘积的形式，所以一元二次方程更显威力。

例1. 如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。

求证：∠ATC＝∠TBC证明一：∵TC为⊙O切线，∴∠BTC＝∠A∵∠TBC＝∠A＋∠ATB∴∠TBC＝∠BTC＋∠ATB即∠ATC＝∠TBC证明二：∵∠ETA＝∠TBA又∵∠ATC ＝180°－∠ETA ∠TBC ＝180°－∠TBA ∴∠ATC ＝∠TBC证明三：在上任取一点，连结、EA D AD DT∵TC 为⊙O 切线 ∴∠ATC ＝∠D ∵圆内接四边形ABTD ∴∠TBC ＝∠D ∴∠ATC ＝∠TBC例2. ：如图，AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB ＝10cm ，PA ＝4cm ，OP ＝5cm ，求⊙O 的半径。

弦切角定理练习-初三数学

、填空1 已知：如图 7 — 143,直线BC 切O O 于B 点，AB=AC , AD=BD ，那么/ A= ___________ 2. 已知：如图7 — 144,直线DC 与O O 相切于点 C, AB 为直径，AD 丄DC 于D ，/ DAC=28 则/CAB= _______ .3. 已知：如图 7 — 145, PA 切O O 于点 A ，/ P=15°，/ ABC=47 °，则/ C= __________ .4. 已知：如图 7 — 146,三角形 ABC 的/C=90 °，内切圆 0与厶ABC 的三边分别切于 D , E , F 三点，/ DFE=56 °，那么/ B= _______ .延长线于P ,则/ APB 等于（）A . 1个B . 2个C . 4个D . 5个 7.已知如图7— 150,四边形ABCD为圆内接四边形，AB 是直径，MN 切O O 于C 点，/ BCM=38 °，那么/ABC 的度数是A . 38°B . 52°C . 68°D . 42° 三、解答 &已知：如图7 — 152 , PT 与O O 切于C, AB 为直径，/ BAC=60 AD 为O O一弦.求/ ADC 与/ PCA 的度数.9. 已知：如图7— 154,O O 的半径 OA 丄OB ，过A 点的直线交 OB 于P,交OO 于Q,过Q 引O O 的切线交OB 延长线于C,且PQ=QC .求A . 62.5B . 55°C . 50° 40° PB 切O O 于A , B 两点, 直径，则图中与/ PAB 相等的角的个数为（）6.已知: 如图 7 — 149,PA, 5. 已知：△ ABC 内接于O O ,Z ABC=25，/ ACB= 75。

，过A 点作O O 的切线交 BC 的團 7-15010. 已知：如图7 — 160, AC 是O O 直径，PA 丄AC 于A , PB 切O O 于B , BE 丄AC 于E .若 AE=6cm , EC=2cm ，求 BD 的长.11. 已知：如图 7— 185,/ 1 = / 2,O O 过A , D 两点且交 AB , AC 于E , F , BC 切O O 于 D .求证：EF // BC .12. 已知：如图 7— 176，圆内接四边形 ABCD 的AB 边经过圆心，AD , BC 的延长线相交于E ,过C 点的切线 CF 丄AE 于F .求证：(1 )△ ABE 为等腰三角形；(2 )若 BC=1cm , AB=3cm ，求 EF的长.D C K) 7-185£图 T-17B。

中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理(圆)(附解析答案)

5.中考数学知识点过关培优训练：弦切角定理（圆）•选择题BD 于 F 点.若/ ADE= 19°,则/ AFB 的度数为何？（点A 、B 重合），则/ ACB 等于（）如图为△ABC 和一圆的重迭情形，此圆与直线BC 相切于C 点，且与AC 交于另一点D.若1. 如图，AB 是O O 的直径, DB DE 分别切O O 于点B 、C,若/ AC 巨25°，则/ D 的度数是2. B. 55° C. 60° D. 65°如图，BD 为圆0的直径, 直线 ED 为圆0的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分/ BAD 且交3. B. 104° C. 116 ° 点P 是O 0外一点，PA PB 分别切O 0于点A B,Z P = 70°, 占八D. 142 °C 是O O 上的点（不与A. 70°B. 55°C. 70° 或 110°D. 55° 或 125° 4./ A = 70°,/ B= 60°, 则的度数为何（ B. 60° C. 100 ° D. 120 °如图，AB 是O O 的直径, DE 为O O 的切线，切点为 B,点C 在O O 上，若/ CBE= 40°, 则/A 的度数为（B. 40°C. 50°D. 60°A. 97° A. 30°7.如图，△ ABC 内接于O Q BD 切O O 于点 B, AB= AC 若/ CBD= 40°,则/ ABC 等于（）&如图，四边形ABCD 内接于O Q AB= BCAT 是O Q 的切线，/ BAT= 55 °，则/ D 等于（•：）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120 °B. 50°C. 60°D. 70°A. 110°B. 115°C. 120 °D. 125 °9.如图，AB 为O Q 的直径, C D 为O Q 上的点，直线 MN 切O Q 于V 点，图中与/ BCt 互余 A. 40A. 1个 C. 3个 D. 4个的角有（DB. 2个10.已知：如图，E 是相交两圆O M 和O N 的一个交点，且 ME L NE AB 为外公切线，切点分别为 A B 连接AE BE 则/ AEB 的度数为（C. 135 °D. 130 °二.填空题11.已知，如图，半径为 1 的O M 经过直角坐标系的原点 O,且与x 轴、y 轴分别交于点 A 、0）, O M 的切线OC 与直线AB 交于点C.则/ AC Q度. PC 切O Q 于点C,Z PCB= 35°，则/ B 等于度. 13.如图 PA 切O O 于点 A , / PAB= 30°，则/ AQB= 度，/ ACB= 度.B, AC 是O Q 的直径，且/ BAC= 35°，则/ P =度. OB,点A 的坐标为（-,15•如图，已知直线CD与O O相切于点C, AB为直径•若/ BCD= 35°，则/ ABC的大小等于_______ 度.16•如图四边形ABC［内接于O O AB为直径，PD切O 0于D,与BA延长线交于P点，已知/ BCD= 130。

第06讲切线长定理与弦切角定理(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册同步学与练(人教)

第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理 1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。

2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。

3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。

知识点01切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

即如图，若PA 与PB 是圆的切线，切点分别是A 与B，则PA与PB 的长度是切线长。

2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

即PA＝PB，∠APO＝∠BPO。

推广：有切线长定理的结论可得：①△APO≌△BPO⇒∠AOP＝∠BOP⇒⌒AM＝⌒AM⇒AB⊥OP。

题型考点：①切线长定理的应用。

【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为7．【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∵BC＝BE+CE＝6，∴BD+CF＝6，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF＝DF，∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，∴AB+AC＝10，∵BD+CF＝6，∴AD+AF＝4，∵AD＝AF＝DF，∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，故选：A．【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．10【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA＝PB，同理可得：CA＝CE，DE＝DB．∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，∴△PCD的周长＝10，故选：D．【即学即练4】4．如图所示，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B 两点，C 是上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于D ，E ．若△PDE 的周长为12，则PA 的长为（）A ．12B ．6C ．8D ．4【解答】解：∵PA ，PB 分别和⊙O 切于A ，B 两点，∴PA ＝PB ，∵DE 是⊙O 的切线，∴DA ＝DC ，EB ＝EC ，∵△PDE 的周长为12，即PD +DE +PE ＝PD +DC +EC +PE ＝PD +AD +EB +PE ＝PA +PB ＝2PA ＝12，∴PA ＝6．故选：B ．知识点02三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。

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一、填空
1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．
2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，则∠CAB=____ ．
3．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．
4．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．
二、选择
5．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于（）
A．62.5°B．55°
C．50°D．40°
6．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，
则图中与∠PAB相等的角的个数为（）
A．1 个B．2个C．4个D．5个
7．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，
MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是
A．38°B．52°C．68°D．42°
三、解答
8．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，
AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．
9．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于
P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求
∠A的度数．
10．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．
2
11．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．
12．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：
（1）△ABE为等腰三角形；
（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．。

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