弦切角(2)
弦切角定理 (2)
例3、如图,割线PAB、PCD分别交⊙O于A、B 和C、D。若PC=2，CD=16，PA∶AB=1∶2。 求AB的长
C
P
D
。A O
B
例4、如图，已知 PAB、PCD是⊙O的割线,PE 切⊙O于点E，PE=6cm，PC=3cm，PA=4cm， AC=2cm求BD的长
E
P
C
D
A O·
B
例5、已知AB是⊙O的直径,AC是弦,CD⊥AB,D 为垂足,AE是⊙O的切线,A为切点且AE=AC， 求证：EF·EB=AD·AB
C
A DO
B
EF
例6、已知：⊙O的两弦AB、CD的延长线 交圆外一点E，EF∥DA交CB的延长线于F， FG切⊙O于G，求证：FG=FE
AG
F
O
B
C
D
E
例7、已知：ΔABC内接于⊙O，AB的延长线与 过点C的切线GC相交于D，BE与AC相交于点F， 且CB=CE， 求证：（1）BE∥DG （2）CB2－CF2=BF·FE
A
相交弦定理：PA·PB=PC·PD
D
P B
C
探索：如果把什么
比例关系？
A
O
P
B
C
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长 的比例中项。
A
O
P
B
C
PA2=PB·PC
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每 条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
A
B
O
P
C
D
PA·PB=PC·PD
例1、已知:如图,⊙O的割线PAB交⊙O于点A 和B，PA=6,AB=8,PO=10.9,求⊙O的半径。
【创新设计】2013届高考数学 2-4弦切角的性质课件 新人教A版选修4-1
(1)如图①，如果∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半径长；
(2)如图②，如果E是BC上的一点，且满足PE2＝PB·PC，连接 EF并延长交⊙O于点A，求证：点A是BC的中点．
[思维启迪] (1)由切线的性质定理，知△PCF是等腰直角三角形，
因此求出 CF的长，进而求出半径； (2) 中，利用弦切角定理，可 以求出两个三角形中，有一组角相等，然后利用相似三角形的判 定及性质，可证出 AC 与 AB 所对的圆周角相等，从而证出点 A 是 BC的中点．
证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助
工具出现．
【变式3】 如图所示，⊙O1与⊙O2交 于A、B两点，过⊙O1上一点P作直 线PA、PB分别交⊙O2于点C和点D，
EF切⊙O1于点P.求证：EF∥CD.
证明 连接 AB ， ∵ EF 是⊙ O 切线，由弦切角定理知，∠ FPA ＝∠PBA，又在⊙O2中，四边形ABCD为圆内接四边形，
推敲引申：(1)弦切角必须具备三个条件： ①顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；
②一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；
③一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)． 三者缺一不可，例如图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切 角，因为 AD 与圆相交， ∠ BAE 也不一定是弦切角，只有已知 AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．
(2) 弦切角也可以看做圆周角的一边绕其顶点旋转到与圆相切
时所成的角．因此，弦切角与圆周角存在密切关系．
2．弦切角定理 定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 推敲引申：(1)弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的 (夹在弦切角内部的)一条弧．如图所示，弦切角∠BCD 所夹的 弧是 CD，弦切角∠ACD 所夹的弧是 CMD.
弦切角的性质ppt2
如图,两圆相切于点M，过切点M的两直线 交两圆于点A,B,C,D，求证：AB∥CD A ∵EF切小圆于M E 2 ∴∠EMC=∠1 C
∵EF切大圆于M ∴∠FMC=∠2
M
B
1 F D
.如图,⊙O1与⊙O2外切于P,过P的直线分别交两 圆于B,A,⊙O1的切线交⊙O2于M,N,AC为⊙O2的弦, 设弦AC交BN于D. 求证:PA· AB=AC· AD. 应证:△APC∽△ADB. 连接PC
2
O 3 A D
E
1 C
4
思路二:
连结OC,由切线性质,可得OC∥AD, 于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可 证得∠1=∠2
B O
3
A
4
5
E
C
D
相交两圆 的连心线 垂直平分公共弦
O1
B O2 A
相切两圆 的连心线 必过切点
O1 P O2
相交两圆，用公共弦左右联系
相切两圆，有 过切点的公切线左右联系
C C O P A B A B A B P O
P O
化归
化归
C
(3)
分类讨论
(1)
完全归纳法
(2)
弦切角定理
弦切角等于它所夹弧 弦切角定理： 对的圆周角.
M
若AB切⊙O于A点， 则∠BAC=∠AMC
C m A B
A
例 如图，AD是
△ABC中∠BAC的平分 线，经过点A的⊙O与BC 切于点D，与AB、AC分 别相交于E、F。 求证： EF∥BC。
由切割线定理得
练习：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
o1 •
PC2 = PA· PB
C
PAB是圆O1的割线 PMN是圆O1的割线
(九年级数学教案)弦切角(二)
弦切角(二)九年级数学教案教学目标1、使学生熟练掌握弦切角定理及其应用．2、通过对具体习题的解答培养学生的分析问题能力；3、培养学生的综合运用能力．教学重点：使学生较熟练运用弦切角定理证明有关几何问题．教学难点：学生不能准确地找到解题思路将弦切角定理及其推论灵活运用．教学过程：一、新课引入：上一节我们已经学习了弦切角定理及其推论，这一节我们来学习将定理和推论熟练应用于解题之中．弦切角也是圆的一个重要的角，它同圆心角、圆周角相互关联，是证明或计算几何综合性习题一个重要途径．当我们从题目中看到圆的切线时，不光想到切线的性质、切线长，还要想到弦切角，同学们将从下面的习题中感悟到这一点．二、新课讲解：练习一，如图7-75，ac是⊙o的弦，ad是切线，cb⊥ad于b，cb交⊙o于e．如果ea平分∠bac，那么∠c=______．(答案30°)练习二，p是直径ab的延长线上一点，pc为⊙o的切线，c为切点，若∠pcb=25°，则∠p=______(答案40°)练习三，bc是⊙o的弦，p是bc延长线上一点，pa与⊙o相切于点a，∠abc=25°，∠acb=80°，求∠p的度数．(答案63°)练习四，弦切角的弦分圆成两部分，其中一部分比另一部分大44°，求这个弦切角的度数．(答案79°、101°．为什么是两种？教师指导学生弄清楚．)练习五，ab 是⊙o的弦，pa切⊙o于a，c为⊙o上除a、b外任意一点，若∠pab=42°，则∠acb的度数为______．p．124 例2已知：如图7-76，⊙o和⊙o′都经过a、b两点，ac是⊙o′的切线，交⊙o于点c，ad是⊙o的切线⊙o′于点d求证：ab2=bc·bd．学生在教师的指导下完成分析过程．△abd∽△abc即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证．注意，例题证明过程板书时，应参照教材改成推出法．练习六，p．124练习1．如图7-77，ab是⊙的弦，cd是经过⊙o上一点m的切线，求证：(1)ab∥cd时，am=mb．(2)am=mb 时，ab∥cd．提醒学生注意到，本题目的两个结论，正好是互逆，在处理这类问题时，只要把其中一个问题分析透彻即可．练习七，p．124中2．在△abc中，∠a的平分线ad交bc于d，⊙o过点a，且和bc切于d，和ab、ac分别交于e、f．求证：ef∥bc．教师指导学生分析，要证ef∥bc，如果从角相等来考虑，同位角比较困难，可连结de(或df)证内错角相等．弦切角定理∠1=∠3，圆周角定理推论∠2=∠4，而∠3=∠4，从而∠1=∠2，命题得证．想一想，本题还可以怎样证？你能就这个图形，编绘出另外一道题吗？1．另外一个证法是连结od，运用垂径定理和切线性质定理来证．2．另编题：如图7-78，bc切△aef的外接圆o于d，且ef∥bc．求证：ad平分∠bac．。
2.4 弦切角的性质 课件(人教A选修4-1)(2)
弦切角．
2．弦切角定理 弦切角等于 它所夹的弧所对的圆周角 ．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？ 提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？
∴∠DAC＝∠CAB.
法二： 如图， 延长 BO 交⊙O 于 E， 连接 AE，则∠CAE＝90° . 又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠CAB＝∠E. ∴∠DAC＝∠CAB.
法三：如图，连接OA. ∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.
∴∠CAB与∠OAC互余．
又∵AD⊥OB， ∴∠DAC与∠ACO互余． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠CAB.
[考题印证] (2012· 辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点， 过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长
交⊙O于点E.证明：
(1)AC· BD＝AD· AB； (2)AC＝AE.
[命题立意]
本题主要考查弦切角定理，考查学生综合
运用所学知识，分析问题并解决问题的能力．
证明：(1)由 AC 与⊙O′相切于 A， 得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而AD＝BD， 即 AC· BD＝AD· AB. (2)由 AD 与⊙O 相切于 A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 AE AD △EAD∽△ABD.从而AB＝BD， 即 AE· BD＝AD· AB. 结合(1)的结论，AC＝AE.
解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：
九年级上册《直线与圆的位置关系(二)弦切角定理及切线长定理》导学案
§10 直线与圆的位置关系（二）---------弦切角定理及切线长定理◆导学目标：1、 了解弦切角概念，理解并掌握弦切角定理2、 了解切线长概念，探索过圆外一点向圆引的两条切线的切线长之间的关系 ◆课前预习：通过预习，解决下列问题：1、弦切角是指2、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的3、 叫切线长，过圆外一点向圆只能作 条 切线，这点与切点之间的线段长◆课堂导学：例1 如图，已知AC 切⊙O 于A ，CB 顺次交⊙O 于D ，B 点，AC=6，BD=5．连结AD ，AB ．（1）证明：△CAD ∽△CBA ； （2）求线段DC 的长.例2、如图所示,AB 是⊙O 的直径,CB,CE 分别切⊙O 于点B 、D,CE 与BA 的延长线交于点E,连接OC,OD.（1）求证: ⊿OBC ≌⊿ODC;（2）已知DE=a,AE=b,BC=c,请你思考后,选用以上适当的数,设计出计算⊙O 的半径的一种方案: ①你选用的已知数是________ ;②写出求解过程.（结果用字母表示.）◆当堂导练：1、 如图，如图，直线AP 是⊙O 的切线，点P 为切点，∠APQ=∠CPQ，则图中与CQ 相等的线段是( )A 、PQB ．PBC ．PCD ．BQc baO E D C B A右手栏A B DO C2、 如图，△ABC 内接于⊙O ，DE 是⊙O 的切线，切点为A ，如果∠ABC ＝50°，那么 ∠CAE 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．130°3、 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，过点D 的切线交BA 的延长线于点E ，若∠A DE=25°，则∠C=__________度．◆课后练习：基础练习1、 如图，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则 ∠BAC 度数是（ ） A ．70° B ．40° C ．50° D ．20°2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切 于C ，又⊙O 与BC 的另一交点为D ，试求线段BD 的长。
弦切角-2
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角. 1.弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半. 2.弦切角等于它所夹的弧的度数的一半.
练习1、如图:PA是⊙O的切线,切点是A， PFC经过点O，连结AC、AF。
找出图中所 有的弦切角、 并指出图中 C 相等的角。
G A P
O
F
练习题1、如图：AB为⊙O的直径,直线EF 切于⊙O于C,若∠BAC=56°，则∠ECA =
O 1
∠DAC=∠CAB 即AC平分∠BAD．
2
A
E
C
D
思路二:
连结OC,由切线性 质,可得OC∥AD, 于是有∠2=∠3, 又由于∠1=∠3, 可证得∠1=∠2
B O
1 2
A
3
E
C
D
5、如图：经过⊙O上的点T 的切线和弦AB的延长线相交C. 求证:(1)∠ATC=∠TBC, 2 (2)CT =CB· CA
T O
A B C
弦切角定理： 弦切角等于它所夹的
弧对的圆周角.
C P O P O
化归
C
化归
P O
C
(3)
A
B
分类讨论
(1)
A
B
完全归纳法
(2)
A
B
弦切角定理
D C O
B
A
练习2、如图DE切⊙O于A,AB,AC是⊙O的弦,若 ⌒ ⌒ AB=AC,那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么?
C 推论: 如果两个弦 切角所夹的 弧相等,那么B 这两个弦切 角也相等.
O E
A
D
例1如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦,直线CE和 ⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D. (2)AC² =2AD· AO 求证(1)AC平分∠BAD. 证明：连结BC． ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∠B+∠CAB=90° B ∵AD⊥CE ∴ ∠ADC=90°
高中数学第二讲四弦切角的性质预习导学案新人教A版选修
四弦切角的性质
预习导航
1．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③.
思考1 你对弦切角是怎样理解的？
提示：弦切角的特点：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)另一边与圆相切．
弦切角定义中的三个条件缺一不可．如图①②③④中的角都不是弦切角．图①中，缺少“顶点在圆上”的条件；图②中，缺少“一边和圆相交”的条件；图③中，缺少“一边和圆相切”的条件；图④中，缺少“顶点在圆上”和“另一边和圆相切”两个条件．
2．弦切角定理
证明两个角相等
提示：(1)由弦切角定理及圆周角定理可以得到： ①弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半； ②弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半．
(2)由弦切角定理可以直接得出一个结论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据．如图，DE 切⊙O 于点A ，若AB ＝
AC ，则∠BAD ＝∠CAE .
温馨提示 (1)弦切角定理的推论：若一个圆的两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．
(2)弦切角定理也可以表述为弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．这就建立了弦切角与弧之间的数量关系，它为直接依据弧进行角的转换确立了基础．
(3)圆心角、圆周角、弦切角的比较.
AOB 的度数＝AB 度数
ACB 的度数＝12
AB
的度数
ACB 的度数＝1
2
AC
的度数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弦切角
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：弦切角定理是本节的重点也是本章的重点内容之一，它在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有重要的作用；它与圆心角和圆周角以及直线形角的性质构成了完美的角的体系，属于工具知识之一．
难点：弦切角定理的证明．因为在证明过程中包含了由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想，虽然在圆周角定理的证明中应用过，但对学生来说是生疏的，因此它是教学中的难点．
2、教学建议
（1）教师在教学过程中，主要是设置学习情境，组织或引导学生发现问题、分析问题、研究问题和归纳结论，应用知识培养学生的数学能力；在学生主体参与的学习过程中，让学生学会学习，并获得新知识；
（2）学习时应注意：（Ⅰ）弦切角的识别由三要素构成：①顶点为切点，②一边为切线，③一边为过切点的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理时，首先要根据图形准确找到弦切角和它们所夹弧上的圆周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的证明，体现了从特殊到一般的证明思路．
教学目标：
1、理解弦切角的概念；
2、掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；
3、进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法．
教学重点：弦切角定理及其应用是重点．
教学难点：弦切角定理的证明是难点．
教学活动设计：
（一）创设情境，以旧探新
1、复习：什么样的角是圆周角?
2、弦切角的概念：
电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A 旋转至与圆相切时，得∠BAE．
引导学生共同观察、分析∠BAE的特点：
(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．
弦切角的定义：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：
判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：
以下各图中的角都不是弦切角．
图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；
图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；
图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；
图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．
通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可。
（二）观察、猜想
1、观察：（电脑动画，使C点变动）
观察∠P与∠BAC的关系．
2、猜想：∠P=∠BAC
（三）类比联想、论证
1、首先让学生回忆联想：
(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?
(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?
2、分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切
点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个．
如图．由此发现，弦切角可分为三类：
(1)圆心在角的外部；
(2)圆心在角的一边上；
(3)圆心在角的内部．
3、迁移圆周角定理的证明方法
先证明了特殊情况，在考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况．
组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况．
如图 (1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠l ＝∠APQ-∠2＝∠APC．
如图 (2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB 十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，
（在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)
回顾证明方法：将情形图都化归至情形图1，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
4．深化结论．
练习1 直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧．
练习2 如图，DE切⊙O于A，AB，AC
是⊙O 的弦，若＝，那么∠DAB和
∠EAC是否相等?为什么?
分析：由于和分别是两
个弦切角∠OAB和∠EAC所夹的弧．而＝．连结B，C，易证∠B
＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．
由此得出：
推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．
（四）应用
例1如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE
和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D
求证：AC平分∠BAD．
思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角
三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B．
证明：(学生板书)
组织学生积极思考．可否用前边学过的知识证明此题?由学生回答，教师小结．
思路二，连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论。
思路三，过C作CF⊥AB，交⊙O于P，连结AF．由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，进而可证明结论成立．
练习题
1、如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC
＝56°，则∠ECA＝______度．
2、AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比
为3:1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝________
3、如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相
交于点C．
求证：∠ATC＝∠TBC．
(此题为课本的练习题，证明方法较多，组织学生讨论，归纳证法．)
（五）归纳小结
教师组织学生归纳：
(1)这节课我们主要学习的知识；
(2)在学习过程中应用哪些重要的数学思想方法？
（六）作业：教材P13l习题7．4A组l(2)，5，6，7题．
探究活动
一个角的顶点在圆上，它的度数等于它所夹的弧对的圆周角的度数，试探讨该角是否圆周角？若不是，请举出反例；若是圆周角，请给出证明．
提示：是圆周角（它是弦切角定理的逆命题）．分三种情况证明（证明略）．。