第四章导热问题的数值解法1
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4-1_导热问题的数值解法
w e n s xy 0
§4-2 稳态导热问题的数值解法
三、建立节点物理量的代数方程（离散方程） 边界节点 （3）边界节点的有限差分方程
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程 y 组不封闭 将第二类边界条件及第三类 边界条件合并起来考虑，用 qw 表示边界上的热流密度或 热流密度表达式。用 表示 内热源。
四、设立迭代初场
代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传
热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代
法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这
个解称为初场，并在求解过程中不断改进。
§4-1导热问题数值求解的基本思想
五、求解代数方程组
本例中除 m=1 的左边界上 N 各节点的温度已知外，其 余 (M-1)N 个节点均需建 n 立离散方程，共有 (M-1)N y 个方程，则构成一个封闭 y 的代数方程组。
y
h3 t f
t0
h1t f
h2 t f
x
§4-2 稳态导热问题的数值解法
二、区域离散化（确立节点）
y
二维矩形域内稳态、 有均匀内热源、常物 性导热问题 (m,n)
h3 t f
t0
y
x
h1t f
h2 t f
x
§4-2 稳态导热问题的数值解法
三、建立节点物理量的代数方程（离散方程） (1) 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n来 表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
(m,n)
x
x
m
M
求解时遇到的问题： ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
导热问题的数值解法
3 1 2t 1 t t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y
No.08 1013 4 导热问题的数值解法
Φ +Φ +Φ +Φ = 0 下 左 右 上
(m,n+1)
∆y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
∆y
(m,n-1)
(m,n-1)
y o
∆x
∆x
15
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时： 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φi = Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φg = 0 下 左 Φ 上
其节点方程为：
ti +1, j − 2ti , j + ti −1, j
∆x 2
& ti , j +1 − 2ti , j + ti , j −1 Φv ,i , j + + =0 2 ∆y λ
13
(2)热平衡法 (控制容积平衡法)
基本思想： 基本思想 对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得
温度场的代数方程组。它从基本物理现象和基本定律出发，不必事 先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热= 控制体内能的增量 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
即：
Φ i + Φ g = Φ st
单位： 单位 [ W ]
注意：
横坐 标节 点编 号 N
(m,n)
n
（m，n）
∆y
y x
纵坐 标节 点编 号
∆x
m
M
8
N
(m,n)
网格( 网格 grid )划分 划分
网格划分方法: 网格划分方法 方法1： 方法 ： 先确定节点， 先确定节点，后定界面 方法2： 方法 ： 先确定界面，后定节点 先确定界面， 均分网格: 均分网格
导热数值解法
8
2. 节点温度差分方程组的求解方法
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、 迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用 的迭代法中的两种： (1) 简单迭代法
(2) 高斯-塞德尔迭代法
9
(1) 简单迭代法 a1 1t1 a1 2 t 2 a 1 j t j a1n t n b1
（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。 （2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出 导热微分方程和单值性条件。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 （3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线 的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区域 （控制容积），节点温度就代表子区域的温度。
t i 1, j t i 1, j t i , j 1 t i , j 1 4 t i , j 0
可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度 的算术平均值。 2) 边界节点温度差分方程 对于具有第三类边界条件的边界 节点 ( i,j )所代表的控制容积，根据 其热平衡
2 B i 6 t i , j 2 B i t 0
7
绝热边界节点：
t i , j 1 t i , j 1 2 t i 1, j 4 t i , j 0
运用有限差分方法可以建立导热 物体所有内部节点和边界节点温度的 差分方程。求解这些差分方程构成一 个线性代数方程组就可以得节点温度 的数值。
y
t i 1, j t i , j
x x t i , j 1 t i , j
2 y
第四章热传导问题的数值解法
6
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场
第4章 导热问题的数值解法(含控制容积)
（1）建立符合实际的物理模型 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合 理的简化，建立符合实际的物理模型； 理的简化，建立符合实际的物理模型； （2）建立控制方程及定解条件 根据物理模型建立完整的数学模型， 根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和 单值性条件； 单值性条件； 步是导热问题所有求解方法的基础。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 2012-5-9 4
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:
第4章 导热问题的数值解法共30页
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt
导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
4
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
第四章 导热问题的数值解法
5
2 例题条件
tm1,n
tm,n
t x
x
m,n
2t x2
m,n
x2 2!
3t x3
m,n
x3 3!
第四章 导热问题的数值解法
9
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t
tm1,n 2tm,n tm1,n o(x2 )
x2 m,n
x 2
同样可得：
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 o(y2 )
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
第四章 导热问题的数值解法
24
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性 问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不 再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应 地不断更新）
25
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t1(k1) a11t1(k) a12t2(k) ...... a1ntn(k) b1(k)
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
t2(k1) a21t1(k1) a22t2(k) ...... a2ntn(k) b2(k) t3(k1) a31t1(k1) a32t2(k1) ...... a3ntn(k) b3(k) ....................................................... tn(k1) an1t1(k 1) an2t2(k 1) ...... ann1tn(k11) anntn(k ) bn(k )
传热学60-第四章 导热问题的数值解法
B (i,j 1)
第四章 导热问题的数值解法 9
根据傅里叶定律， L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
T (i,j 1)
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
tik 1 tik
的一阶导数采用向前差分，则
tik 1 2tik tik 1 a x 2
第四章 导热问题的数值解法 28
上式移项整理 k k 1 k k ti a ( t i 1 t i 1 ) ( 1 2 a )ti 2 2 x x
x
y 1 y 1 x 1 x 1
(i 1,j )
(i 1,j )
L
R
x
Z方向取单位长度 (i,j 1) B
y
y
第四章 导热问题的数值解法
10
若有内热源， v ,i , j 为P节点所在网格单元的内热源强度
则内热源发热量
在稳态导热下：
v , p v ,i , j x y 1
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
第四章 导热问题的数值解法
19
不规则区域的处理
用阶梯形的折线来模拟真实边界
t2
t1
t2
t2
t2
t2
第四章 导热问题的数值解法 20
第四章 导热问题的数值解法
17
3.
内部角点
内部角点
P(i ,j ) ti ,j
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x
2
ti , j 1 2ti , j ti , j 1
y
2
v ,i , j 0
(2) 控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，
从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和 基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守 恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生 成热＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的量 即：
y o
x
x
x
二维导热区域为单位厚度
V Φ xy Φv Φ 内热源：
由于 即有
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
y
tm1,n tm,n x y y tm1,n tm,n x x tm,n1 tm,n y
x
2t tm,n1 2tm,n tm,n1 2 o ( y ) 2 2 y m,n y
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
v 2t 2t 2 0 2 x y
其节点方程为：
ti 1, j 2ti , j ti 1, j
系数。
4-2
边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为 已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离 散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题， 就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界 节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才 能求解。
x y
y
x
t m ,n
1 ( 2t m1,n 2t m ,n1 t m ,n1 t m1,n 6 3x 2 2x 2 qw ) 2
Qw 的情况：
(1) 第二类边界条件：将
qw const ，带入上面各式即可
， qw h(t f tm,n )带入上面各式即可
h1t f
x
二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
(m,n)
n
y
y M
x
x
m
二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题
4 建立离散方程的常用方法：
(1) Taylor（泰勒）级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
(3) 控制容积积分法；
(4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
若无内热源，则由上式
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
可得：
x 2
Φ
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
说明：所求节点的温度前的系数等于其他所有 相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用 于边界节点。但不包括热流(或热流密度)前的
i v o
单位： [ W]
i v o i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量 ＋ 控制体内热源生成热 ＝ 控制体内能的增量 注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
稳态、无内热源时：
qw
y x
x y
4tm,n 2tm1,n 2x m ,n qw tm,n1 tm,n1 Φ x 2
(2) 外部角点
qw
y t m1,n t m ,n y qw 2 x 2 x x t m ,n1 t m ,n qw 2 2 y x y Φm ,n 0 2 2
x y
y x
2tm,n
x 2 m ,n tm1,n tm,n1 qw Φ 2
2x
(3) 内部角点
qw
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4
tm,n1 tm,n
xy 0 Φ
当 x y 时： 有 整理得
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n
x 2
4tm,n
x 2 tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 Φ
0 Φ
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
注意：各项热流量都以导入元体（m,n）的方向为正。
dt dt 左 A y dx dx
用差分代替微分，有
dt t tm1,n tm,n dx x x
（
dt t lim ） dx x 0 x
节点越多， x 越小，
• 实验法。 就是在传热学基本理论的指导下，采用对
所 研究对象的传热过程进行实验求量的方法； 2 三种方法的特点 (1) 分析法
• 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计 算提供比较依据；
• 局限性很大，对复杂的问题无法求解； • 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点。
分子动力学模拟（MD）
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1建立控制方程及定解条件 4设立温度场的迭代初值 5求解代数方程 否 2确定节点（区域离散化） 3建立节点物理量的代数方程 改进初场
是否收敛
是
解的分析
物理问题的数值求解过t f
t0
h2 t f
4 qw (T f4 Tm ,n )
（绝热或对称边界条件）？ (2)第三类边界条件：将
(3) 辐射边界条件： qw const
作业： （1）将
qw h(t f tm,n ) 带入外部角点的温度离
散方程，并化简到最后的形式 （2）(4-6)；(4-9)
（1） Taylor（泰勒）级数展开法
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2 tm1,n 2tm,n tm1,n 2 o ( x ) 2 x
m ,n
同理可得：
截断误差 未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
从所有方向流入控制体的总热流量＝0
内部节点： Φm1,n Φm1,n Φm ,n1 Φm ,n1 0
(m,n+1)
y
(m-1,n) (m, n)
(m+1,n)
y
(m,n-1)
y o
x
x
x
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
为了求解方便，我们将第二类边界条件及第三类边界条件 合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度 表达式。用Φ 表示内热源强度。
1.边界节点离散方程的建立：
qw
(1) 平直边界上的节点
tm1,n tm ,n y yqw x x tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n 2 y 2 y x Φm ,n y 0 2
• 适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性； • 与实验法相比成本低； (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法。
• 适应性不好；
• 费用昂贵； 常用的数值解法包括： • 有限差分法（finite-difference）、 • 有限元法（finite-element） 、
•
•
边界元法（boundary- element）、
§ 4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数值计算 法；(3) 实验法 • 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得 的解称之为分析解，或叫理论解； • 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一 定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得 离散点上被求物理量的值，并称之为数值解；
(m,n+1)
tm 1, n tm , n x
dt 越接近 dx 。
y
(m-1,n) (m, n)
dt tm1,n tm,n 左 y y dx x
(m+1,n) 右 y
tm1,n tm,n x
y
(m,n-1)
t m ,n1 t m ,n 上 x y t m ,n1 tm ,n 下 x y