江苏省无锡市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
2015年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷
高一数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）
1.集合{}0,2,a A =，{}21,a B =，若{}0,1,2,4,16A B =，则a = ．
2.函数()(
)lg 1f x x =+的定义域为 ．
3.若幂函数()f x
的图象经过点(，则()f x = ． 4.
计算：23827-⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．
5.若,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ ． 6.已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4
π，则这条弧所在的扇形面积为 2cm ．
7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，0x <时，()21
x f x x =-，则()2f = ．
8.如图是函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2
πϕ<
）在一个周期内的图象，则其解析式是 ．
9.若1sin 63x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ ．
10.把函数13sin 2
6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为 ．
11.已知函数()sin ,40221,0x x x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪+>⎩
，则()3y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点为 ．
12.在C ∆AB 中，C 8B =，C B 边上的高为6，则C AB⋅A 的取值范围为 ．
13.函数2cos 2sin y x x =+在区间,6πθ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上的最小值为14-，则θ的取值范围是 ．
14.函数()22f x x a x x =-+，若函数()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 二、解答题 （本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本题满分14分）
设全集U R =，集合{}15x x m A =-<-<，1242x x
⎧⎫B =<<⎨⎬⎩⎭． （1）当1m =-时，求()U A B ð； （2）若A B =∅，求实数m 的取值范围．
16.（本题满分14分）
已知平面内点()1,3A ，()2,1B --，()C 4,m ．
（1）若A ，B ，C 三点不共线，求m 的取值范围；
（2）当3m =时，边C B 上的点D 满足D 2DC B =，求D C A ⋅B 的值．
17.（本题满分14分）
设2παπ<<，向量()2,1a =-，()sin ,2cos b αα=，()cos ,2sin c αα=-．
（1）若a b ⊥，求α；
（2）若3b c +=，求sin cos αα+的值．
18.（本题满分16分）
保持合理车流密度是保证高速公路畅通的重要因素，据车管部门测算，车流速度v 与车流密
度x 满足如下关系：当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度可以达到90千米/小时；当车流密度达到400辆/千米，发生堵车现象，即车流速度为0千米/小时；当车流密度在40辆/千米到400辆/千米范围内，车流速度v 与车流密度x 满足一次函数关系．
（1）求车流速度v 与车流密度x 的函数关系式()v x ；
（2）试确定合理的车流密度，使得车流量（车流量=车流速度()v x ⨯车流密度x ）最大，并求出最大值．
19.（本题满分16分）
已知函数()4sin cos 3f x x x πωω⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
（0ω>）． （1）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及取得最值时x 的值；
（2）若()y f x =在区间,46ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值． 20.（本题满分16分）
已知函数()21k f x x x
+=+，其中R k ∈．
（1）当0k ≥时，证明()f x 在)
+∞上单调递增； （2）若对任意[]1,7k ∈，不等式()f x m ≥在[]2,3x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）若关于x 的方程()
21320x f
k ---=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．。
高一数学上学期期末考试试题含解析
【分析】
先由奇函数的性质，得到 ，求出 ;再由二次函数的单调性,以及奇函数的性质，得到函数 在区间 上单调递减,进而可求出结果。
【详解】因为函数 是奇函数,
所以 ,即 ,解得: ；
因此
根据二次函数的性质，可得,当 时，函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增；
又因为 ,所以由奇函数的性质可得:函数 在区间 上单调递减;
，即至少遇到4个红灯的概率为0。33。
（3）设事件 为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件 .
则 。
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式,以及概率的性质即可，属于常考题型。
19。一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额 (单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
【分析】
根据奇偶性的概念，判断函数 的奇偶性，再结合函数单调性，即可解所求不等式。
【详解】因为 的定义域为 ，
由 可得，函数 是奇函数；
根据幂函数单调性可得, 单调递增;所以函数 是增函数;
所以不等式 可化为 ，
因此 ，解得： 。
故选：D
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式,熟记函数奇偶性的概念，会根据函数解析式判定单调性即可，属于常考题型.
【解析】
【分析】
（1）根据换元法，令 ，即可结合已知条件求出结果；
(2）根据指数函数单调性，即可得出单调区间.
【详解】(1)令 ,即 ，
代入 ，可得 ，
所以
（2)因为 ，根据指数函数单调性，可得：
函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 。
【点睛】本题主要考查求函数解析式,以及求指数型函数的单调区间,灵活运用换元法求解析式，熟记指数函数的单调性即可，属于常考题型.
2015-2016学年江苏省泰兴中学高一上学期期末适应性考试数学试题
江苏省泰兴中学期末适应性考试高一数学试题(考试时间：120分钟 总分160分) 命题人:常建伟 审核人:徐建余一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．240sin 的值为 ▲ ． 2．函数y =的定义域为 ▲ ． 3．已知幂函数．．．)(x f y =的图象过点)22,2(，则(2)f = ▲ ． 4．若函数4()(1)1f x x m x =+-+为偶函数，则实数m 的值为 ▲ ． 5．已知扇形的中心角为120，则此扇形的面积为 ▲ ． 6．将函数3sin 2y x =的图象向右平移6π个单位后所得图象的函数解析式是 y = ▲ ．7．=++3285lg 24lg ▲ ．8．在平面直角坐标系xoy 中，已知以x 轴为始边的角α、β的终边分别经过点(4,3)-、(3,4)，则cos sin αβ+= ▲ ．9．函数2()2f x x x =++的单调增区间是 ▲ ．10．如图，在44⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向 量m,n,p 满足x +y =p m n （x ,y ∈R ），则y x +4的 值为 ▲ ．11．若函数2()2(1)f x x ax b a =-+>的定义域与值域都是[1,]a ，则实数b = ▲．12．定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与9tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与sin y x =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 ▲ 。
第10题图13．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若4,6AC AB == ，则HG BC ⋅ 的值为 ▲ ．14．若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解．．．，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）已知集合{}26,A x x x R =≤≤∈，{}15,B x x x R =-<<∈，全集U R =． （1）求()U A C B ；（2）若集合{},C x x a x R =<∈，A C =∅ ，求实数a 的取值范围．(3) 若集合{}121,D x m x m x R =+<<-∈,B D ≠∅ ,求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=+>>的部分图象如图所示．(1)求,A ω的值；(2)求()f x (3)求()f x 在区间17．（本小题满分15分）设02απβπ<<<<，向量(1,2),(2cos ,sin ),a b αα=-=(sin ,2cos ),(cos ,2sin )c d ββββ==-⑴ a b ⊥，求α；⑵若||c d +=sin cos ββ+的值；⑶ 若tan tan 4αβ=，求证：//b c.18．（本小题满分15分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+(a b 、为非零常数)给出，其中)/(2cm W I 为声音能量. （1）当声音强度321,,D D D 满足32132D D D =+时，求对应的声音能量321,,I I I 满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为213/10cm W -时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为212/10cm W -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.19．（本小题满分16分）若函数()f x 在定义域D 内某区间I 上是增函数，而()()f x F x x=在I 上是减函数，则称()y f x =在I 上是“弱增函数”.（1）请分别判断()f x =4x +，2()42g x x x =++在(1,2)x ∈是否是“弱增函数”， 并简要说明理由；（2）若函数21()(sin )2h x x x b θ=+-+( b θ、是常数) (i)若θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,10,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()h x 的最小值.(用 b θ、表示); (ii)在x ∈ (0 1]，上是“弱增函数”，试探讨θ及正数b 应满足的条件,并用单调性的定．．．．．义证明．．．。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）2．已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a，b∈R，则“2a﹣b＞1”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−18，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．（﹣3，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）5．已知点(3，19)在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（log25），b＝f（ln2），c=f(tanπ3)，则a，b，c 的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a6．函数f(x)=x2lg2+x2−x的大致图象是（）A．B．C．D．7．若关于x的方程2sin x cos x﹣cos2x＝1在[0，π）内有两个不同的解x1，x2，sin（x1+x2）的值为（）A．12B．√22C．√32D．√2+√648．已知函数f（x）＝sin x，若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C ．终边落在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α=π4+kπ，k ∈Z}D ．函数y =tan(2x −π6)的定义域为{x|x ≠π3+kπ2，k ∈Z}10．设正实数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．1x +1y的最小值为2B ．xy 的最小值为1C ．√x +√y 的最大值为4D ．x 2+y 2的最小值为211．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x +φ)(|φ|＜π2)，且经过点（1，2）．则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x +14)是奇函数B ．函数f （x ）在区间（1，2）上单调递减C ．∃n ∈N *，使得f （1）+f （2）+f （3）+…+f （n ）＞2D ．∀x ∈R ，存在常数m 使得f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）＝m12．若n ∈N *时，不等式(nx −6)ln(nx)≥0恒成立，则实数x 可取下面哪些值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=√x +4+ln(1−x)，则f （2x ）的定义域为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(35，45)，则tan2α＝ ．15．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 次．（lg 2≈0.3010）16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，g(x)=f(x 2+π4)，若对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立，则实数m 的取值范围是 ．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+1x−5＞0}，B={x|y=√3x−9}，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．（1）若（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝R，求m的取值范围．18．（12分）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；（2）已知sinα+cosα=12，且α∈（0，π），求1sinα−1cosα的值．19．（12分）已知f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x．（1）求函数y＝f（x）在R上的单调增区间；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）的图象关于直线x=π6对称，求m取最小值时的y＝g（x）的解析式．20．（12分）已知函数f(x)=log2(2x)⋅log2x4．（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＜m log2x对于x∈[2，8]恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12min，其中心O距离地面40.5m，半径40m．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间t（单位：min）之后，请解答下列问题．（1）求出你与地面的距离h（单位：m）与时间t之间的函数解析式；（2）当你登上摩天轮2min后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H （单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．22．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣|x﹣a|，a∈R．（1）当a＝1时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当﹣1≤a≤2时，若对任意的x∈[1，4]，均有f（x）+bx≤0成立，求a2+b的最大值．2023-2024学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，且B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）解：集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{a，0}，B⊆A，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．故选：B．2．已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为点P（tanθ，sinθ）在第二象限，所以sinθ＞0，tanθ＜0，所以θ为第二象限角．故选：B．3．若a，b∈R，则“2a﹣b＞1”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据指数函数y＝2x是R上的增函数，可知2a﹣b＞1等价于2a﹣b＞20，即a﹣b＞0，因为“a﹣b＞0”是“a＞b”的充要条件，所以“2a﹣b＞1”是“a＞b”的充要条件．故选：C．4．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−18，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（0，3）B．（﹣3，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）解：因为函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=2x−1 8，当x＞0时，﹣x＜0，所以f（﹣x）=2−x−18=−f（x），所以f（x）=18−12x，又f（0）＝0，则f（x）＜0可转化{x＜02x−18＜0或{x＞018−12x＜0，解得，x＜﹣3或0＜x＜3．故选：C．5．已知点(3，19)在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（log25），b＝f（ln2），c=f(tanπ3)，则a，b，c的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a解：∵点(3，19)在幂函数f （x ）＝x α的图象上，∴3α=19，∴α＝﹣2，∴f （x ）＝x ﹣2，在（0，+∞）上单调递减，∵log 25＞log 24＝2，0＝ln 1＜ln 2＜lne ＝1，tan π3=√3， ∴0＜ln 2＜tan π3＜log 25，∴f （ln 2）＞f （tan π3）＞f （log 25），即b ＞c ＞a ．故选：D ． 6．函数f(x)=x 2lg2+x2−x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由2+x 2−x＞0解得﹣2＜x ＜2，所以f （x ）的定义域为（﹣2，2），f(−x)=x 2lg2−x 2+x =x 2lg(2+x 2−x )−1=−x 2lg 2+x2−x=−f(x)， 所以f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，由此排除BC 选项． f （1）＝lg 3＞0，由此排除D 选项． 故选：A ．7．若关于x 的方程2sin x cos x ﹣cos2x ＝1在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，sin （x 1+x 2）的值为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．√2+√64解：2sin x cos x ﹣cos2x ＝sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x −π4）＝1在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，等价于sin （2x −π4）=√22在[0，π）内有两个不同的解x 1，x 2，x ∈[0，π）⇒2x −π4∈[−π4，7π4），依题意，得2x 1−π4+2x 2−π4=π，解得x 1+x 2=3π4，sin （x 1+x 2）＝sin 3π4=√22．故选：B ．8．已知函数f （x ）＝sin x ，若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9解：∵y ＝sin x 对任意x i ，x j （i ，j ＝1，2，3，…，m ）， 都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min ＝2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i ＝1，2，3，…，m ）取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|＝12， 按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8． 故选：C ．二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C ．终边落在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α=π4+kπ，k ∈Z}D ．函数y =tan(2x −π6)的定义域为{x|x ≠π3+kπ2，k ∈Z}解：对于A ，由任意角的定义可知，若角α与角β不相等，则α与β的终边也可能重合，例如α=π6，β=13π6，故A 错误；对于B，由扇形的面积公式可得，扇形的面积为12×lα×l=12×ππ3×π=32π，故B正确；对于C，终边落在直线y＝x上的角的集合是{α|π4+kπ，k∈Z}，故C正确；对于D，由正切函数的定义域可得，2x−π6≠π2+kπ，k∈Z，∴x≠π3+kπ2，即函数y=tan(2x−π6)的定义域为{x|x≠π3+kπ2，k∈Z}，故D正确．故选：BCD．10．设正实数x，y满足x+y＝2，则下列说法正确的是（）A．1x+1y的最小值为2B．xy的最小值为1C．√x+√y的最大值为4D．x2+y2的最小值为2解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2，∴1x+1y=12(x+y)(1x+1y)=12(2+yx+xy)≥12(2+2√yx⋅xy)=2，当且仅当yx=xy，即x＝y＝1时等号成立，故选项A正确；∵x+y=2≥2√xy，∴xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故选项B错误；∵2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，则2（a2+b2）≥（a+b）2，∴（a+b）2≤2（a2+b2），∴(√x+√y)2≤2[(√x)2+(√y)2]=4，∴√x+√y≤2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，最大值为2，故选项C错误；x2+y2≥(x+y)22=2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项D正确．故选：AD．11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|＜π2)，且经过点（1，2）．则下列说法正确的是（）A．函数f(x+14)是奇函数B．函数f（x）在区间（1，2）上单调递减C．∃n∈N*，使得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＞2 D．∀x∈R，存在常数m使得f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝m解：因为f(x)=2sin(2π3x+φ)(|φ|＜π2)经过（1，2），所以sin （2π3+φ）＝1，即2π3+φ＝2k π+π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π−π6，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ=−π6，则f （x ）＝2sin （2π3x −π6）．对于A ，f （x +14）＝2sin[2π3（x +14）−π6]＝2sin 2π3x ，故为奇函数，所以A 正确；对于B ，x ∈（1，2）时，结合正弦函数的性质可知x ∈（1，2）时，f （x ）单调递减，所以B 正确； 对于D ，f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）＝2sin （2π3x +π2）+2sin （2π3x +7π6）+2sin （2π3x +2π−π6）＝2cos 2π3x﹣2sin （2π3x +π6）+2sin （2π3x −π6）＝2cos 2π3x ﹣2（sin 2π3x cos π6+cos 2π3x sin π6）+2（sin 2π3x cos π6−cos 2π3x sin π6）＝2cos 2π3x ﹣2cos 2π3x ＝0，所以f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）恒为0，所以D 正确；对于C ，当n ＝3k ，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝0，当n ＝3k +1，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝f （n ）＝2sin （2π3n −π6）≤2，当n ＝3k +2，k ∈N *时，f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （n ）＝f （n ﹣1）+f （n ）＝2sin （2π3n −5π6）+2sin （2π3n −π6）＝2（sin 2π3n •cos 5π6−cos 2π3n •sin 5π6）+2（sin 2π3n •cos π6−cos 2π3n •sin π6）＝﹣2cos 2π3n ≤2，所以C 错误．故答案为：ABD ．12．若n ∈N *时，不等式(nx −6)ln(nx)≥0恒成立，则实数x 可取下面哪些值（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：当x ＝1时，n ＝2时，（n ﹣6）lnn ＝﹣4ln 2＜0，不等式(nx −6)ln(nx )≥0不恒成立，故A 错误；当x ＝2时，不等式即为（2n ﹣6）ln n2≥0，当n ＝1，2，3时，原不等式恒成立；n ≥4时，原不等式恒成立，故B 正确；当x ＝3时，不等式即为（3n ﹣6）ln n3≥0，当n ＝1，2，3时，原不等式恒成立；n ≥4时，原不等式恒成立，故C 正确；当x ＝4时，不等式即为（4n ﹣6）ln n 4≥0，当n ＝2时，8﹣6＝2，ln 12＜0，原不等式不恒成立，故D 错误． 故选：BC ．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)=√x +4+ln(1−x)，则f （2x ）的定义域为 [﹣2，12） ．解：由题意得，{x +4≥01−x ＞0，解得﹣4≤x ＜1，令﹣4≤2x ＜1，则﹣2≤x ＜12，故f （2x ）的定义域为[﹣2，12）．故答案为：[﹣2，12）．14．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(35，45)，则tan2α＝ −247 ．解：由角终边经过点(35，45)，故tanα=4535=43，则tan2α=2tanα1−tan 2α=2×431−(43)2=−247． 故答案为：−247． 15．某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 5 次．（lg 2≈0.3010）解：设喷洒x 次，则：（1﹣0.8）x ＜0.1%＝10﹣3，∴xlg 0.2＜﹣3，∴x ＞31−lg2，且lg 2≈0.3010，∴31−lg2≈4.3，∴x ≥5，即至少喷洒5次． 故答案为：5．16．已知函数f(x)=sin(2x +π6)，g(x)=f(x 2+π4)，若对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立，则实数m 的取值范围是 (π2，17π24] ．解：g(x)=f(x 2+π4)=sin(x +π2+π6)=cos(x +π6)，所以f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ），所以sin(2a +π6)−sin(2b +π6)＜cos(2a +π6)−cos(2b +π6)，所以sin(2a +π6)−cos(2a +π6)＜sin(2b +π6)−cos(2b +π6)，所以√2sin(2a +π6−π4)＜√2sin(2b +π6−π4)⇒sin(2a −π12)＜sin(2b −π12)， 因为对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，f （a ）﹣f （b ）＜g （2a ）﹣g （2b ）恒成立 所以对任意的a ，b ∈[π﹣m ，m ]，当a ＞b 时，2a −π12＞2b −π12，sin(2a −π12)＜sin(2b −π12)恒成立， x ∈[π−m ，m]，2x −π12∈[23π12−2m ，2m −π12]． 不妨设2x −π12=t ，则问题转化成h （t ）＝sin t 在t ∈(23π12−2m ，2m −π12)单调递减， 所以{23π12−2m ≥π2+2kπ，2m −π12≤3π2+2kπ，2m −π12＞23π12−2m其中k ∈Z ，解得π2＜m ≤17π24，所以m 的取值范围为(π2，17π24]．故答案为：(π2，17π24]．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|x+1x−5＞0}，B={x|y=√3x−9}，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．（1）若（∁R A）∩B；（2）若A∪C＝R，求m的取值范围．解：（1）集合A={x|x+1x−5＞0}={x|x＜﹣1或x＞5}，B={x|y=√3x−9}={x|x≥2}，∴∁R A＝{x|﹣1≤x≤5}，∴（∁R A）∩B＝{x|2≤x≤5}；（2）∵A∪C＝R，C＝（﹣∞，2m+1]，其中m∈R．∴2m+1≥5，解得m≥2，∴m的取值范围是[2，+∞）．18．（12分）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；（2）已知sinα+cosα=12，且α∈（0，π），求1sinα−1cosα的值．解：（1）解方程2x2+x﹣1＝0，得x1＝﹣1，x2=12，∵tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，∴tanα=1 2，∴3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α=3sin2α−sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=3tan2α−tanα+2tan2α+1=3×14−12+214+1=95．（2）∵sinα+cosα=12，且α∈（0，π），∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα=1 4，∴2sinαcosα=−3 4，∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），∴cos﹣sinα=−√(cosα−sinα)2=−√1−2sinθcosθ=−√1+34=−√72，∴1sinα−1cosα=cosα−sinαsinαcosα=−√72−38=4√73．19．（12分）已知f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x．（1）求函数y＝f（x）在R上的单调增区间；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）的图象关于直线x =π6对称，求m 取最小值时的y ＝g （x ）的解析式．解：（1）由于f(x)=2√3sinxcosx −2sin 2x =√3sin2x ﹣2•1−cos2x 2=2sin （2x +π6）﹣1， 令2k π−π2≤2x +π6≤2k π+π2，k ∈Z ，求得k π−π3≤x ≤k π+π6，k ∈Z ， 可得函数的增区间为[k π−π3，k π+π6]，k ∈Z ． （2）将函数y ＝f （x ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位，可得y ＝2sin （2x +2m +π6）﹣1的图象； 再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）＝2sin （x +2m +π6）﹣1的图象．若函数y ＝g （x ）的图象关于直线x =π6对称，则π6+2m +π6=k π+π2，k ∈Z ，即m =12•k π+π12，k ∈Z ． 令k ＝0，求得m 取最小值为π12，此时，y ＝g （x ）＝2sin （x +π3）﹣1． 20．（12分）已知函数f(x)=log 2(2x)⋅log 2x 4． （1）当x ∈[1，4]时，求该函数的值域；（2）若f （x ）＜m log 2x 对于x ∈[2，8]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）f （x ）＝log 2（2x ）•log 2x 4=（1+log 2x ）（log 2x ﹣2）=log 22x ﹣log 2x ﹣2， 令log 2x ＝t ，则函数化为y ＝t 2﹣t ﹣2，t ∈[0，2]，因此当t =12时，y ＝t 2﹣t ﹣2取得最小值−94， 当t ＝2时，y ＝t 2﹣t ﹣2，t ∈[0，2]取得最大值0，即当x =√2时，函数f （x ）取得最小值−94；当x ＝4时，函数f （x ）取得最大值0， 可得函数的值域为[−94，0]； （2）f （x ）＜m log 2x ，x ∈[2，8]恒成立，即log 22x ﹣（m +1）log 2x ﹣2＜0，x ∈[2，8]恒成立，令log 2x ＝t ，则t 2﹣（m +1）t ﹣2＜0，t ∈[1，3]恒成立，令g （t ）＝t 2﹣（m +1）t ﹣2＜0，t ∈[1，3]，则{g(1)=−2−m ＜0g(3)=4−3m ＜0，解得m ＞43， 所以实数m 的取值范围为（43，+∞）．21．（12分）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12min ，其中心O 距离地面40.5m ，半径40m ．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间t （单位：min ）之后，请解答下列问题．（1）求出你与地面的距离h （单位：m ）与时间t 之间的函数解析式；（2）当你登上摩天轮2min 后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差H （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值．解：（1）由已知可设y ＝40.5﹣40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第一次到达最高点，即函数第一次取得最大值，所以6ω＝π，即ω=π6， 所以y ＝40.5﹣40cos π6t ，t ≥0； （2）由题意，两人距离地面的高度差H ＝40.5﹣40cos π6t ﹣[40.5﹣40cos π6（t ﹣2）] ＝40×[cos π6（t ﹣2）﹣cos π6t ] ＝40×（−12cos π6t +√32sin π6t ） ＝40sin （π6t −π6）， 令π6t −π6=k π+π2，k ∈Z ，可得t ＝4+6k ，k ∈Z ， 所以当t ＝4+6k ，k ∈Z 时，高度差的最大值40（米）．22．（12分）设函数f （x ）＝ax 2﹣|x ﹣a |，a ∈R ．（1）当a ＝1时，判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当﹣1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1，4]，均有f （x ）+bx ≤0成立，求a 2+b 的最大值． 解：（1）由题意得当a ＝1时，函数f （x ）＝x 2﹣|x ﹣1|，且函数f （x ）的定义域为R ，∴f （﹣x ）＝x 2﹣|﹣x ﹣1|＝x 2﹣|x +1|，∵f （﹣x ）≠f （x ），f （﹣x ）≠﹣f （x ），∴f （x ）是非奇非偶函数；（2）因为当﹣1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1，4]，均有f （x ）+bx ＝ax 2﹣|x ﹣a |+bx ≤0成立，∴令g （x ）＝ax 2﹣|x ﹣a |+bx ={ax 2−x +a +bx ，x ≥a ax 2+x −a +bx ，x ＜a ， ①当a ＝0时，g （x ）＝bx ﹣x ＝（b ﹣1）x ≤0，对任意的x ∈[1，3]恒成立，即3（b ﹣1）≤0，解得b ≤1，a 2+b ＝b 的最大值为1；②当﹣1≤a ＜0时，g （x ）＝ax 2﹣（x ﹣a ）+bx ＝ax 2+（b ﹣1）x +a ，x ∈[1，3]，对称轴为x =1−b 2a ， （i ）1−b 2a ≤1，则1﹣b ≥2a ，（a ＜0不等号方向改变），g （1）≤0即a +b ﹣1+a ≤0，所以b ≤1﹣2a ，则a 2+b ≤a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2，a 2+b 的最大值为1；（ii ）1−b 2a≥3时，1﹣b ≤6a ，即b ≥1﹣6a ，所以g （3）≤0，即b ≤1−103a ，无解； （iii ）1＜1−b 2a ＜3时，1﹣2a ＜b ＜1﹣6a ，所以g （1−b 2a）≤0，即a ⋅(1−b 2a )2+(b −1)×1−b 2a +a ≤0， 即4a 2≥（1﹣b ）2，所以1+2a ≤b ≤1﹣2a 无解；③当0＜a ≤1时，g （x ）＝ax 2﹣（x ﹣a ）+bx ＝ax 2+（b ﹣1）x +a ，x ∈[1，3]，对称轴为x =1−b 2a ， （i ）1−b 2a ≤1，则1﹣b ≤2a ，g （3）≤0即b ≤1−103a ，无解； （ii ）1−b 2a≥3时，1﹣b ≥6a ，即b ≤1﹣6a ，g （1）≤0，b ≤1﹣2a ，则b ≤1﹣6a ， 则a 2+b ≤a 2﹣6a +1＝（a ﹣3）2﹣8，∵0＜a ≤1，∴a 2+b 的最大值为1；（iii ）1＜1−b 2a ＜3时，1﹣6a ≤b ≤1﹣2a ，g （3）≤0，g （1）≤0， 则b ≤1−103a 且b ≤1﹣2a ， ∴1﹣6a ≤b ≤1−103a ，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，a 2+b 的最大值为1；④当1≤a ≤2时，g(x)={ax 2−x +a +bx ，a ≤x ≤3ax 2+x −a +bx ，1≤x ≤a， g （3）≤0，g （1）≤0，g （a ）≤0，即{a +1−a +b ≤0a 3+ab ≤09a −3+a +3b ≤0，则{b ≤−1b ≤−a 2b ≤1−10a 3， 而1≤a ≤2，∴b ≤1−10a 3，则a 2+b ≤a 2+1−103a ， 令p （a ）＝a 2+1−103a ，1≤a ≤2， 则p '（a ）＝2a −103，即p （a ）在[1，53]上单调递减，在[53，2]上单调递增， 又p （1）=−43，p （2）=−53， 所以p （a ）的最大值为−43． 综上所述，对任意的x ∈[1，3]，均有f （x ）+bx ≤0成立，则a 2+b 的最大值为−43（所有最大值中的最小值）．。
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是 （ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为 （ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范 （ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是 （ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是 （ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像 （ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为 （ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间 （ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称； 其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求 （1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分） 解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分） 解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分） 解： （1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分） 解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。
2023-2024学年江苏省无锡市锡东高级中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市锡东高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.） 1．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．a 2＞b 2C ．﹣a +c ＜﹣b +cD ．若a ＞b ＞c ＞0，则ab ＜a+c b+c2．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2+x ﹣2≤0}，则集合A 的真子集个数为（ ） A ．4B ．3C ．16D ．153．当√−x +1有意义时，化简√x 2−8x +16−√x 2−10x +25的结果是（ ） A ．2x ﹣7B ．﹣2x +1C ．﹣1D ．7﹣2x4．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．f （x ）＝x ﹣1B ．f （x ）＝x 2+1C ．f(x)=−1xD ．f （x ）＝3x5．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数且a ≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝ax +b 与反比例函数y =cx 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数f （x ）＝a x ﹣2+1（a ＞0，且a ≠1）恒过定点M （m ，n ），则函数g （x ）＝n ﹣m x 不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知集合A ={x|x−4x+1≤0}，B ＝{x |（x ﹣2a ）（x ﹣a 2﹣1）＜0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{a |a ＞2}B ．{a |a ≥2}C ．{a |a ＝1或a ≥2}D ．{a |a ≥1}8．已知函数y ＝f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），且f （x ﹣1）为奇函数，当x ＜﹣1时，f（x）＝﹣2x2﹣8x﹣7，则方程f(x)=−12的所有根之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．0D．2二.多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.9．使不等式x（x+1）＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞0B．x≥0C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜010．设正实数m，n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（）A．√mn的最小值为1B．1m +2n的最小值为32+√2C．√m+√n的最大值为2D．m2+n2的最大值为211．若函数y＝a x+b﹣1（a＞0，且a≠1）的图象不经过第二象限，则需同时满足（）A．a＞1B．0＜a＜1C．b＞0D．b≤012．下列说法不正确的是（）A．命题“∀x＜1，都有x2＜1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1”B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2}C．方程3x2+a（a﹣6）x﹣3＝0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0＜a＜6D．若存在x∈[12，2]使不等式x2﹣2x﹣m＜0上能成立，则实数m的取值范围是（0，+∞）三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分）13．函数f(x)=√4−2x xx−1的定义域为．14．已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣5）x m在（0，+∞）上单调递减，则m＝．15．若f(x)=x+√1−x，则函数f（x）的值域为．16．已知a，b∈R，若函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，且对于任意正数x 都有x2﹣ax+t≥bx成立，则a+b＝，实数t的最小值是．四.解答题：（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合P＝{x|﹣2＜x＜2}，Q＝{x|0≤x＜3}，求下列集合：（1）P∩Q；（2）（∁R P）∪（∁R Q）．18．（12分）（1）计算：(14)−12−2√(√3−2)2−(32)12×√8+(−3)0；（2）若a+a﹣1＝3，求下列式子的值：①a 12−a−12；②a 12+a−12．19．（12分）已知命题p：任意实数x满足x2﹣2x﹣3≥0，命题q：实数x满足（x﹣m）[x﹣（m+1）]≥0．（1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围；（2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20．（12分）已知不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立，求：（1）a的取值范围．（2）在（1）的条件下解关于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0的解集．21．（12分）金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产x台（x∈N*）需要另投入成本c（x）（万元），当年产量x不足45台时，c(x)=13x2+40x−450（万元）；当年产量x不少于45台时，c(x)=61x+3600x+2−1310（万元）．经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量x为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？22．（12分）已知定义在R上的函数f(x)=−2x+a2x+1+2是奇函数．（1）求实数a的值；（2）求f（x）的值域；（3）证明f（x）在R上为减函数并解不等式f(t−1)+f(1t)＞0．2023-2024学年江苏省无锡市锡东高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.） 1．若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．a 2＞b 2C ．﹣a +c ＜﹣b +cD ．若a ＞b ＞c ＞0，则ab ＜a+c b+c解：当a ＝1，b ＝﹣1时，A ，B 显然错误； 由a ＞b 可得﹣a ＜﹣b ，则﹣a +c ＜﹣b +c ，C 正确； 若a ＝3，b ＝2，c ＝1时，D 显然错误． 故选：C ．2．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2+x ﹣2≤0}，则集合A 的真子集个数为（ ） A ．4B ．3C ．16D ．15解：集合A ＝{x ∈Z |x 2+x ﹣2≤0}＝{x ∈Z |﹣2≤x ≤1}＝{﹣2，﹣1，0，1}， ∴集合A 的真子集个数为24﹣1＝15． 故选：D ．3．当√−x +1有意义时，化简√x 2−8x +16−√x 2−10x +25的结果是（ ） A ．2x ﹣7B ．﹣2x +1C ．﹣1D ．7﹣2x解：√−x +1有意义时，x ≤1，√x 2−8x +16−√x 2−10x +25=√(x −4)2−√(x −5)2=4﹣x ﹣（5﹣x ）＝﹣1． 故选：C ．4．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．f （x ）＝x ﹣1B ．f （x ）＝x 2+1C ．f(x)=−1xD ．f （x ）＝3x解：对于A ，f （x ）＝x ﹣1为非奇非偶函数，故A 不符合题意；对于B ，f （x ）＝x 2+1是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故B 符合题意； 对于C ，f （x ）=−1x 为奇函数，故C 不符合题意； 对于D ，f （x ）＝3x 为非奇非偶函数，故D 不符合题意． 故选：B ．5．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数且a ≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝ax +b 与反比例函数y =cx 的图象可能是（ ）A．B．C．D．解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，则一次函数y＝ax+b的图象经过一、三、四图象限，反比例函数y=cx象在二四象限．故选：A．6．已知函数f（x）＝a x﹣2+1（a＞0，且a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝n﹣m x不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵f（x）＝a x﹣2+1（a＞0，且a≠1）恒过定点（2，2），∴m＝n＝2，∴g（x）＝2﹣2x，∴g（x）为减函数，且过点（0，1），∴g（x）的函数图象不经过第三象限．故选：C．7．已知集合A={x|x−4x+1≤0}，B＝{x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A．{a|a＞2}B．{a|a≥2}C．{a|a＝1或a≥2}D．{a|a≥1}解：解分式不等式可得，A＝{x|﹣1＜x≤4}，∵a2+1≥2a，∴a＝1时，B＝∅，满足A∩B＝∅，a≠1时，B＝{x|2a＜x＜a2+1}，∵A∩B＝∅，得{2a≥4a≠1，解得a≥2；综上，实数a的取值范围为{a|a＝1或a≥2}故选：C．8．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），且f（x﹣1）为奇函数，当x＜﹣1时，f（x ）＝﹣2x 2﹣8x ﹣7，则方程f(x)=−12的所有根之和等于（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2解：因为f （x ﹣1）为奇函数，所以f （x ﹣1）关于（0，0）对称， 所以f （x ）关于（﹣1，0）对称，即f （x ）＝﹣f （﹣2﹣x ）． 当x ＜﹣1时，f （x ）＝﹣2x 2﹣8x ﹣7，当x ＞﹣1时，﹣2﹣x ＜﹣1，f （x ）＝﹣f （﹣2﹣x ）＝2（x +2）2+8（﹣2﹣x ）+7＝2x 2﹣1， 所以f （x ）={−2x 2−8x −7，x ＜−12x 2−1，x ＞−1．因为f(x)=−12，所以{x ＜−1−2x 2−8x −7=−12或{x ＞−12x 2−1=−12，解得x 1=−2+√32，x 2=−2−√32，x 3=12，x 4=−12，所以x 1+x 2+x 3+x 4＝﹣4． 故选：A ．二.多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.9．使不等式x （x +1）＞0成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．x ＞0B ．x ≥0C ．x ＜﹣1或x ＞2D ．﹣1＜x ＜0解：不等式x （x +1）＞0，即x ＜﹣1或x ＞0，因此，使不等式x （x +1）＞0成立的充分不必要条件对应的集合是{x |x ＜﹣1或x ＞0}的真子集， 对照各个选项，可知A 、C 两项符合题意． 故选：AC ．10．设正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列说法正确的是（ ） A ．√mn 的最小值为1 B ．1m+2n的最小值为32+√2C ．√m +√n 的最大值为2D ．m 2+n 2的最大值为2解：对于A ，因为m ＞0，n ＞0，所以√mn ≤m+n 2=22=1， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，故√mn 有最大值1，故A 错； 对于B ，因为m +n ＝2，所以1m +2n=12(1m+2n)(m+n)=12(3+nm+2mn)≥12(3+2√nm⋅2mn)=32+√2，当且仅当nm =2mn时，即m＝2√2−2，n＝4﹣2√2时等号成立，故B正确；对于C，(√m+√n)2=m+n+2√mn≤m+n+(m+n)=4，当且仅当m＝n＝1时等号成立，所以√m+√n≤2，故C正确；对于D，m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4﹣2mn，由A有mn≤1，则﹣2mn≥﹣2，所以m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，故D错．故选：BC．11．若函数y＝a x+b﹣1（a＞0，且a≠1）的图象不经过第二象限，则需同时满足（）A．a＞1B．0＜a＜1C．b＞0D．b≤0解：函数y＝a x+b﹣1（a＞0，a≠1）的图象，由函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象向上平移（b﹣1）单位得到；若0＜a＜1，则函数图象经过第二象限；若a＞1，b﹣1+1≤0，则函数图象不经过第二象限；所以a＞1，b≤0，满足题意．故选：AD．12．下列说法不正确的是（）A．命题“∀x＜1，都有x2＜1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1”B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2}C．方程3x2+a（a﹣6）x﹣3＝0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0＜a＜6D．若存在x∈[12，2]使不等式x2﹣2x﹣m＜0上能成立，则实数m的取值范围是（0，+∞）解：对于A：命题的否定是：“∃x＜1，使得x2≥1”，故A不正确；对于B：A∩B＝B⇒B⊆A，A＝{﹣2，1}的子集有ϕ，{﹣2}，{1}，{﹣2，1}，当B＝∅时，显然有a＝0；当B＝{﹣2}时，﹣2a＝2⇒a＝﹣1；当B＝{1}时，a•1＝2⇒a＝2；当B＝{﹣2，1}，不存在a，符合题意，∴实数a值集合为{﹣1，0，2}，故B不正确；对于C：令f（x）＝3x2+a（a﹣6）x﹣3，由f（1）＜0得a2﹣6a＜0，即0＜a＜6，故C正确；对于D ：若存在x ∈[12，2]使不等式x 2﹣2x ﹣m ＜0上能成立，则存在x ∈[12，2]，使得m ＞x 2﹣2x ， 等价于m ＞（x 2﹣2x ）min ，x ∈[12，2]，因为当x ＝1时（x 2﹣2x ）min ＝﹣1，∴m ＞﹣1，故D 不正确． 故选：ABD ．三.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分） 13．函数f(x)=√4−2x xx−1的定义域为 ． 解：f(x)=√4−2xx√x−1，则{4−2x≥0x −1＞0，解得1＜x ≤2，故函数f （x ）的定义域为（1，2]． 故答案为：（1，2]．14．已知幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣5）x m 在（0，+∞）上单调递减，则m ＝ ． 解：∵幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣5）x m 在（0，+∞）上单调递减， ∴{m 2+m −5=1m ＜0， 解得m ＝﹣3． 故答案为：﹣3．15．若f(x)=x +√1−x ，则函数f （x ）的值域为 ． 解：令t =√1−x ，t ≥0，则x ＝1﹣t 2，所以原函数可转化为g （t ）＝1﹣t 2+t ＝﹣（t −12）2+54，t ≥0， 由二次函数的性质可得g （t ）≤g （12）=54，所以函数f （x ）的值域为（﹣∞，54]．故答案为：（﹣∞，54]．16．已知a ，b ∈R ，若函数f （x ）＝（1﹣x 2）（x 2+ax +b ）的图象关于直线x ＝﹣2对称，且对于任意正数x 都有x 2﹣ax +t ≥bx 成立，则a +b ＝ ，实数t 的最小值是 ． 解：由f （x ）＝（1﹣x 2）（x 2+ax +b ）＝0，可得x ＝1，或x ＝﹣1，或x 2+ax +b ＝0， 因为f （x ）的图象关于直线x ＝﹣2对称，所以f （﹣1）＝f （﹣3）＝0，f （1）＝f （﹣5）＝0， 所以﹣3和﹣5是方程x 2+ax +b ＝0的两个根， 所以{−3+(−5)=−a −3×(−5)=b ，得{a =8b =15，所以a +b ＝8+15＝23，所以不等式x 2﹣ax +t ≥bx 可化为x 2﹣8x +t ≥15x ，所以t ≥﹣x 2+23x ，令y ＝﹣x 2+23x ，则其对称轴为x =232， 所以当x =232时，y ＝﹣x 2+23x 取得最大值，其最大值为−(232)2+23×232=5294， 所以t ≥5294，所以实数t 的最小值是5294．故答案为：23；5294．四.解答题：（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合P ＝{x |﹣2＜x ＜2}，Q ＝{x |0≤x ＜3}，求下列集合： （1）P ∩Q ；（2）（∁R P ）∪（∁R Q ）． 解：（1）P ∩Q ＝{x |0≤x ＜2}；（2）∁R P ＝{x |x ≤﹣2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |x ＜0或x ≥3}，（∁R P ）∪（∁R Q ）＝{x |x ＜0或x ≥2}．18．（12分）（1）计算：(14)−12−2√(√3−2)2−(32)12×√8+(−3)0；（2）若a +a ﹣1＝3，求下列式子的值：①a 12−a−12； ②a 12+a −12．解：（1）(14)−12−2√(√3−2)2−(32)12×√8+(−3)0＝2﹣2（2−√3）−√62×2√2+1＝﹣2+2√3−2√3+1＝﹣1； （2）若a +a ﹣1＝3，①（a 12−a −12）2＝a +a ﹣1﹣2＝1，故a 12−a−12=±1；②（a 12+a−12）2＝a +a ﹣1+2＝5，又a 12+a −12＞0， 故a 12+a −12=√5．19．（12分）已知命题p ：任意实数x 满足x 2﹣2x ﹣3≥0，命题q ：实数x 满足（x ﹣m ）[x ﹣（m +1）]≥0． （1）若命题p 为假命题，求实数x 的取值范围；（2）若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：（1）若命题p 为假命题，则x 2﹣2x ﹣3＜0，解得﹣1＜x ＜3，故实数x 的取值范围为（﹣1，3）； （2）若命题p 为真命题，则x ≥3或x ≤﹣1，其对应的集合为A ＝{x |x ≥3或x ≤﹣1}， 若命题q 为真命题，则x ≥m +1或x ≤m ，其对应的集合为B ＝{x |x ≥m +1或x ≤m }， 因为命题q 是命题p 的必要不充分条件，所以A ⫋B ，可得{m ≥−1m +1≤3（不同时取等号），解得﹣1≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[﹣1，2]．20．（12分）已知不等式ax 2+2ax +1≥0对任意x ∈R 恒成立，求： （1）a 的取值范围．（2）在（1）的条件下解关于x 的不等式x 2﹣x ﹣a 2+a ＜0的解集． 解：（1）当a ＝0时，不等式ax 2+2ax +1＝1≥0恒成立， 当a ≠0时，若不等式ax 2+2ax +1≥0对于∀x ∈R 恒成立， 则{a ＞04a 2−4a ≤0，得0＜a ≤1，综上，a 的取值范围为[0，1]． （2）∵x 2﹣x ﹣a 2+a ＜0，且0≤a ≤1， ∴（x ﹣a ）[x ﹣（1﹣a ）]＜0， 又0≤a ≤1，①当1﹣a ＞a ，即0≤a ＜12时，则a ＜x ＜1﹣a ， ②当1﹣a ＝a ，即a =12时，（a ﹣1）2＜0，无解， ③当1﹣a ＜a ，即12＜a ≤1时，则1﹣a ＜x ＜a ，综上所述，当0≤a ＜12时，解集为{x |a ＜x ＜1﹣a }， 当a =12时，解集为∅，当12＜a ≤1时，解集为{x |1﹣a ＜x ＜a }．21．（12分）金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产x 台（x ∈N *）需要另投入成本c （x ）（万元），当年产量x 不足45台时，c(x)=13x 2+40x −450（万元）；当年产量x 不少于45台时，c(x)=61x +3600x+2−1310（万元）．经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完． （1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量x 为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？解：（1）当0＜x ＜45，x ∈N *时，y =60x −300−(13x 2+40x −450)=−13x 2+20x +150， 当x ≥45，x ∈N *时，y =60x −300−(61x +3600x+2−1310)=−x −3600x+2+1010，综上可得y ={−13x 2+20x +15，0＜x ＜45，x ∈N ∗−x −3600x+2+1010，x ≥45，x ∈N ∗． （2）当0＜x ＜45，x ∈N *时，y =−13x 2+20x +150=−13(x −30)2+450，当x ＝30时，y max ＝450，当x ≥45，x ∈N *时，y =−x −3600x+2+1010=−[(x +2)+3600x+2]+1012≤−2√(x +2)⋅3600x+2+1012=892，当且仅当x +2=3600x+2时，即x ＝58时，上式取等号，即y max ＝892． 综上，即当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892（万元）．22．（12分）已知定义在R 上的函数f(x)=−2x+a 2x+1+2是奇函数． （1）求实数a 的值；（2）求f （x ）的值域；（3）证明f （x ）在R 上为减函数并解不等式f(t −1)+f(1t)＞0．解：（1）因为定义在R 上的函数f(x)=−2x +a 2x+1+2是奇函数， 所以f （0）＝0，即−1+a 2+2=0，解得a ＝1， 所以f （x ）=−2x +12(2x +1)， f （﹣x ）=−2−x +12(2−x +1)=2x−12(1+2x )=−f （x ），符合题意， 故a 的值为1．（2）f （x ）=−2x +12(2x +1)=−(2x+1)+22(2x +1)=−12+12x +1， 因为2x ＞0，所以2x +1＞1，0＜12x +1＜1，−12＜−12+12x +1＜12， 所以f （x ）的值域为（−12，12）．（3）证明：在R 上任取x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=−12+12x 1+1−（−12+12x 2+1）=12x 1+1−12x 2+1=2x 2−2x1(2x 1+1)(2x 2+1)， 因为x 1＜x 2，所以2x 2−2x 1＞0，2x 2+1＞0，2x 1+1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以f（x）在R上为减函数，因为f（x）为奇函数，所以f(t−1)+f(1t)＞0等价于f（t﹣1）＞﹣f（1t）＝f（−1t），所以t﹣1＜−1t，解得t＜0，即不等式的解集为（﹣∞，0）．。
江苏省无锡市2015届上学期高三期末考试数学试卷
江苏省无锡市2015届上学期高三期末考试数学试卷一、填空题1.已知复数z 满足()11i z i -=+,则z 的模为 .2.已知集合{}|21,A x x k k ==- Z ,{}|13B x x =-＃,则A B =I .3.已知角a 的终边经过点(),6P x -,且3tan 5a =-,则x 的值为 .4.根据如图所示的流程图，则输出的结果为 .5.将2本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .6.若一组样本数据8,,10,11,9x 的平均数为10，则该组样本数据的方差为 .7.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x = ，则该双曲线的离心率为 .8.三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . 9.将函数()cos sin y x x x =+ ¡的图像向左平移个()0m m >单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 . 10.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?o,点,E F 分别在边,BC DC 上，,BE BC CF CD l l ==uuu r uuu r uuu r uuu r.若1AE BF?-uuu r uuu r ，则l = .11.已知正实数,a b 满足2291a b +=，则3aba b+的最大值为.12.已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足()*122n n a S n ++= ¥，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值为 . 13.已知点()0,2A 位圆()22:2200M x y ax ay a +--=>外一点，圆M 上存在点T 使得45MAT?o ，则实数a 的取值范围是. 11a -≤<14.已知函数()y f x =是定义域为¡的偶函数，当0x ³时，()21-,024,13,224xx x f x x ìïï＃ïïï=íï骣ï÷ç-->÷ïç÷ïç桫ïî若关于x 的方程()27()0,16a f x af x a 轾++= 犏臌¡有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是 . 二、解答题15.（本小题满分14分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-r r.(1)当时，求tan()4x p-的值； (2)设函数()2()f x a b b =+ r r r ，当0,2x p轾犏Î犏臌时，求()f x 的值域.16. （本小题满分14分）如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形11BB D D ，试证明：平面BDEF ^平面11AC CA .17. （本小题满分14分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足24x P +=（其中0,x a a ＃为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本16()P P+万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为20(4)P+元/件. (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 18. （本小题满分16分）已知椭圆22:142x y C +=的上顶点为A ，直线:l y kx m=+交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k . (1)若0m =时，求12k k ×的值； (2)若121k k ?-时，证明直线:l y kx m =+过定点.19. （本小题满分16分）在数列{}{}n n a b 、中，已知10a =，21a =，11b =，212b =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足21n n S S n ++=，2123n n n T T T ++=-，其中n 为正整数. (1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)问是否存在正整数m ，n ，使121n m n T mb T m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分16分）设函数()22ln -+f x x x ax b =在点()()0,0x f x 处的切线方程为y x b =-+.(1)求实数a 及0x 的值； (2)求证：对任意实数，函数()f x 有且仅有两个零点.21、A（10分）选修4-1几何证明选讲如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|−2≤x ≤3}，B ={x|x 2−4>0}，则A ∩B =( )A. (−2,2)B. [−2,3]C. (2,3)D. (2,3]2.已知函数f(2x−1)=4x +1，且f(t)=5，则t =( )A. 12B. 1C. 2D. 523.命题“任意x >1，则3x−1>5”的否定是( )A. 任意x ≤1，则3x−1≤5 B. 存在x ≤1，则3x−1≤5C. 存在x >1，则3x−1≤5D. 任意x >1，则3x−1≤54.若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A. a 2<b 2 B. ab <b 2C. ba +ab ≥2D. |a|+|b|>|a +b|5.设函数f(x)=ax 3+bx−1，且f(−3)=1，则f(3)等于( )A. −5B. −3C. 3D. 56.已知奇函数f(x)满足f(1)=0，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，则x 3f(x)−f(−x)<0的解集是( )A. (−1,0)∪(0,1) B. (−1,1)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(1,+∞)7.已知函数f(x)满足f(a)+f(b)=f(ab)，且f(8)=32，则f(12)的值为( )A. −12B. 12C. −3D. 38.已知x⩾0，y⩾0，且x +y =1，则2x +3+12y +1的最小值为( )A. 1B. 2C. 52D. 23二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于给定的实数a ，关于实数x 的不等式a(x−a)(ax +a)≥0的解集不可能为( )A. RB. {x|a ≤x ≤−1}C. {x|x ≤a 或x ≥−1}D. ⌀10.高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉.以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数y =[x]，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x].如[2024]=2024，[1.7]=1，[−1.5]=−2，记函数f(x)=x−[x]，则( )A. f(−2.1)=0.9B. f(x)的值域为[0,1]C. f(x)在[0,3)上有3个零点D. ∀a ∈R ，方程f(x)+x =a 有两个实根11.对于定义在R 上的函数f(x)，下列说法正确的是( )A. 若f(x)是奇函数，则f(x +1)的图象关于点(1,0)对称B. 若函数f(x−1)的图象关于直线x =1对称，则f(x)为偶函数C. 函数f(x)=(x 2+2)+1x 2+2的最小值为52D. 函数f(x)=x|x|+2+1在区间[−2024,2024]上的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3