第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n 项和◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个 非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a na n －1＝ q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 等比中项 ，其中G ＝ ±ab .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝ a 1q n －1 ；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝ a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q . 3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝ a m ·a n . (2)等比数列{a n }的单调性：当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，数列{a n }是 递增 数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，数列{a n }是 递减 数列； 当q ＝1时，数列{a n }是 常数列 .(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 q m .(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．(5)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为 q n .[知识感悟]1．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．3．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n－S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[知识自测]1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(2017·课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：x ×(1－27)1－2＝381，解得x ＝3，即塔的顶层共有灯3盏，故选B.[答案] B3．(2018·江苏省大联考三模)已知在等比数列{a n }中，a 3＋a 6＝4，a 6＋a 9＝12，则a 10＋a 13＝______.[解析] ∵在等比数列{a n }中，a 3＋a 6＝4，a 6＋a 9＝12，∴a 6＋a 9a 3＋a 6＝a 1q 5＋a 1q 8a 1q 2＋a 1q 5＝q 3＝18，解得q ＝12， ∴a 10＋a 13＝(a 6＋a 9)q 4＝12×(12)4＝132.[答案]132题型一 等比数列基本量的运算(基础保分题，自主练透) 考向一 求首项a 1，公比q 或项数n1．(2018·济南二模)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2[解析] ∵等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，∴由等比数列的性质得a 26＝2a 25，∴a 6＝2a 5，公比q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q＝ 2. [答案] C2．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝______.[解析] ∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，∴n ＝6.[答案] 6考向二 求通项a n 或特定项3．(2017·课标Ⅱ)设等比数列{a n }满足a 1＋ a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝______. [解析] 设等比数列的公比为q ，很明显q ≠－1， 结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1， ①a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3， ②， 由②①可得：q ＝－2，代入①可得a 1＝1， 由等比数列的通项公式可得：a 4＝a 1q 3＝－8. [答案] －84．(高考湖南卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝______.[解析] 因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3.故a n ＝1×3n －1＝3n －1.[答案] 3n －1考向三 求前n 项和S n5．(2017·课标Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8[解析] 设等差数列的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得：a 23＝a 2a 6，即：(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，整理可得：d 2＋2d ＝0，公差不为0，则d ＝－2，数列的前6项和为S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×1＋6×(6－1)2×(－2)＝－24.故选A.[答案] A6．(2018·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝______.[解析] ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2， ∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴Sn a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1. [答案] 2n －1方法感悟解决等比数列有关问题的2种常用思想(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.【针对补偿】1．(2017·北京)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝______.[解析] 设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，－1＋3d ＝－q 3＝8，求得q ＝－2，d ＝3，那么a 2b 2＝－1＋32＝1.[答案] 12．(2018·荆州质检)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝______.[解析] 设数列{a n }的公比为q ，S 9－S 3＝S 6－S 9， 显然q ≠1，∴a 4(q 6－1)q －1＝－a 4q 3(q 3－1)q －1，∴q 3＝－12，∴q ＝3－12，又a 2＋a 5＝2a m ， 则a 2(1＋q 3)＝2a 2q m －2，即12＝(－1)m －23·⎝⎛⎭⎫12m －53，∴m ＝8. [答案] 83．(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为______.[解析] 设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得q ＝12，a 1＝8， a 1·a 2·…·a n ＝a n 1·q 1·q 2·…·q n －1＝a n 1·q n (n －1)2＝8n ·(12)n (n －1)2＝2－n 2＋7n2 ＝2－⎝⎛⎭⎫n －722＋4942.当n ＝3或4时，a 1·a 2·…·a n 有最大值为64. [答案] 64题型二 等比数列的判定与证明(重点保分题，共同探讨)(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)∵a 1＝1.a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0 ∴a 21－(2a 2－1)a 1－2a 2＝0，∴a 2＝12. 同理可得a 22－(2a 3－1)a 2－2a 3＝0，解得a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 a 2n －2a n a n ＋1＋a n －2a n ＋1＝0 即2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)∵{a n }各项均为正数，∴2a n ＋1＝a n ，a n ＋1a n ＝12.数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为12的等比数列，其通项公式为a n ＝12n －1.方法感悟 等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q r －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． 【针对补偿】4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2. 题型三 等比数列的性质及应用(高频考点题，多解突破) 考向一 a m ·a n ＝a p ·a q 性质应用1．(2018·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7，由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.[答案] D2．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．5B ．9C ．log 345D ．10[解析] 由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.[答案] D考向二 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 性质及应用3．(2018·黑龙江大庆实验中学三模)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 8S 4＝3，则S 16S 4等于( )A ．3B ．7C ．10D ．15[解析] ∵据S 8S 4＝3，(q ≠1)，若q ＝1可得据S 8S 4＝2≠3，故q ≠1，∴a 1(1－q 8)1－q a 1(1－q 4)1－q＝1－q 81－q 4＝3，化简得1－q 8＝3(1－q 4)，可得q 8－3q 4＋2＝0，解得q 4＝1或2，q ≠1，解得q 4＝2，S 16S 4＝1－q161－q 4＝1－241－2＝15. [答案] D考向三 利用性质确定单调性4．(2018·南昌模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，(a 1＋a 3)(a 5＋a 7)＝4a 24，则下列结论中正确的是( )A ．数列{a n }是递增数列B ．数列{a n }是递减数列C ．数列{a n }是常数列D ．数列{a n }有可能是递增数列也有可能是递减数列[解析] 各项均为正数的等比数列{a n }中，因为(a 1＋a 3)(a 5＋a 7)＝4a 24成立，即a 1a 5＋a 1a 7＋a 3a 5＋a 3a 7＝4a 24成立．利用等比数列的定义和性质化简可得a 23＋a 24＋a 24＋a 25＝4a 24，进一步化简得a 23＋a 25＝2a 24. 设公比为q ，则得a 21q 4＋a 21q 8＝2a 21q 6，化简可得1＋q 4＝2q 2，即(q 2－1)2＝0，所以q 2＝1，故q ＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q ＝－1舍去)．故此等比数列是常数列，故选C.[答案] C考向四 利用性质求量大(小)值或比较大小5．(2018·商丘模拟)已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 的最小值是______．[解析] 由已知条件得⎝⎛⎭⎫142＝14ln x ·ln y ，即ln x ·ln y ＝14，又ln x ·ln y ≤⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln y 22 ，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以[ln(xy )]2≥1，又x >1，y >1，所以ln(xy )≥1，即xy ≥e ，xy 的最小值为e.[答案] e方法感悟等比数列性质应用中的常见题型与求解策略：5．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.558[解析] 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18.[答案] A6．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝______，d ＝______.[解析] ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7， ∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.① 又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1，② 由①②解得a 1＝23，d ＝－1.[答案] 23；－17．(广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______.[解析] 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5，所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50. [答案] 50◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(二十八)[A 基础巩固练]1．(2018·湖南省常德市一模)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6等于( )A ．16B ．32C ．64D ．128[解析] ∵S 3＝14，a 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝14a 1q 2＝8， 解得a 1＝2，q ＝2，∴a 6＝a 1q 5＝2×32＝64，故选：C.[答案] C2．(2018·衡水模拟)已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( )A ．20B ．25C ．50D ．不存在[解析] (a 7＋a 14)2＝a 27＋a 214＋2a 7·a 14≥4a 7a 14＝4a 1a 20＝400.∴a 7＋a 14≥20. [答案] A3．(2018·河北三市第二次联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思为：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] 设该女子第一天织布x 尺，则x (1－25)1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8. [答案] B4．(2018·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )[解析] ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．[答案] C5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3[解析] 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2. [答案] B6．(2018·郑州一模)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞[解析] ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2，∴n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，可得：a n ＝22n －1，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n <23，因为对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫23，＋∞，故选D.[答案] D7．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝______.[解析] ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3…b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3…b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024. [答案] 1 0248．(2018·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝______.[解析] 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.[答案] 149．(2018·河北武邑中学二模)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 5，a 11成等比数列，且a 11＝2(S m －S n )(m >n >0，m ，n ∈N *)，则m ＋n 的值是______．[解析] a 25＝a 2a 11⇒(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋10d )，(d ≠0)整理得a 1＝2d ，a 11＝2(S m －S n )， 可得a 1＋10d ＝2⎣⎡⎦⎤ma 1＋m (m －1)d 2－na 1－n (n －1)2d ，化简得(m 2－n 2)＋3(m －n )＝12， 即(m －n )(m ＋n ＋3)＝12， 因为m >n >0，m ，n ∈N *，所以m ＝5，n ＝4，所以m ＋n ＝9，故填：9. [答案] 910．数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }的前n 项和T n . [解] (1)令n ＝1⇒a 1＝1； 令n ＝2⇒a 1＋2a 2＝2⇒a 2＝12；令n ＝3⇒a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54⇒a 3＝14.(2)当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝4－n ＋12n －2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＋na n ＝4－n ＋22n －1.②②－①，得na n ＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n 2n －1，∴a n ＝12n －1，又∵当n ＝1时，a 1＝1也适合a n ＝12n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)，易证数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q ＝12.∴数列{a n }的前n 项和T n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2－12n －1.[B 能力提升练]1．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 [解析] ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．[答案] D2．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D. [答案] D3．(2018·衡水中学第六次调研)各项均为正数的数列{a n }首项为，且满足a 2n －a n a n －1－n (n ＋1)a 2n －1＝0，公差不为零的等差数列{b n }的前项和为S n ，S 5＝15，且b 1，b 3，b 9成等比数列设c n ＝b na n，求数列{c n }的前项和T n ＝______.[解析] (1)a 2n －a n a n －1－n (n ＋1)a 2n －1＝(a n ＋na n －1)(a n －(n ＋1)a n －1)＝0，因为{a n }各项均为正数，则a n ＋na n －1>0，∴a n －(n ＋1)a n －1＝0即a n ＝(n ＋1)a n －1则a n －1＝na n －2，a n －2＝(n －1)a n－3，…a 2＝3a 1上面n －1个式子相乘得a n ＝(n ＋1)！，设{b n }的公差d,5b 1＋10d ＝15，(b 1＋2d )2＝b 1(b 1＋8d )，解之得b 1＝1，d ＝1，b n ＝n ，c n ＝b n a n ＝n (n ＋1)！＝n ·n ！(n ＋1)！n ！＝1n ！－1(n ＋1)！.[答案] 1－1(n ＋1)4．(2017·课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110[解析] 由题意得，数列如下： 1， 1,2， 1,2,4， …1,2,4，…，2k －1…则该数列的前1＋2＋…＋k ＝k (k ＋1)2项和为S ⎝⎛⎭⎫k (k ＋1)2＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k )＝2k ＋1－k －2要使k (k ＋1)2>100，有k ≥14，此时k ＋2<2k ＋1，所以k ＋2是之后的等比数列1,2，…，2k＋1的部分和，即k ＋2＝1＋2＋…＋2t －1＝2t －1，所以k ＝2t －3≥14，则t ≥5，此时k ＝25－3＝29， 对应满足的最小条件为N ＝29×302＋5＝440，故选A.[答案] A5．(2018·太原二模)已知各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝na n (2n ＋1)·2n (n ∈N *)，若存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得b 1，b m ，b n 成等比数列，求m ，n 的值．[解] (1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(2a n －a n ＋1)＝0，又a n ＞0，所以有2a n－a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1，所以数列{ a n }是公比为2的等比数列，由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2，所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(2)b n ＝na n (2n ＋1)·2n ＝n 2n ＋1，若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 2m ＋12＝13⎝⎛⎭⎫n 2n ＋1，即3m 2＋n (2m 2－4m －1)＝0，所以2m 2－4m －1＜0，解得1－62＜m ＜1＋62，又m ∈N *，且m ＞1，所以m ＝2，此时n ＝12.[C 尖子生专练]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .[解] (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，∴a n ＋1·a n＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列．∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。