2010-2011(一、二)高数期末试卷B答案
高数二期末考试题及答案
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
DA2010-2011学年第二学期高等数学B试卷A答案
郑州轻工业学院2010-2011学年第二学期高等数学B 试卷A 答案试卷号：A20110704（1）一、单项选择题（每题3分，共15分）1、设0a >，则=-⎰dx x a a22( C )(A ） 2π2a (B) π2a （C ）41π2a （D ） 21π2a 2、函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）条件： （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分又非必要 3、平面曲线)22(,cos 2πππ≤≤-=⎰-x dt t y x 的弧长为（ B ）（Ａ）⎰（Ｂ）22ππ-⎰（Ｃ）⎰+20cos 1πdx x （Ｄ）⎰-+22cos 1ππdx x4、若幂级数n n nx a∑∞=1在0x x =处收敛，则该级数的收敛半径R 满足 （ D ）（A ）0x R = （B ）0x R < （C ）0x R ≤ （D ）0x R ≥5、设积分区域D ：是圆环：,4122≤+≤y x 则二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22=（ C ）（A ）dr r d ⎰⎰πθ2012（B ）dr d r⎰⎰πθ204（C ）dr r d ⎰⎰πθ20212 （D ）dr r d ⎰⎰πθ2021二、填空题（每题3分，共15分）1、微分方程2y y x '''-=的特解*y 的形式为2()x ax b +（写出待定形式即可）．2、反常积分⎰∞+-0dx e x = 1 。
3、已知级数∑∞=1n nu的前n 项部分和nS n 1=),3,2,1(Λ=n ,则此级数的一般项=n u 1,11,1(1)n n n n =⎧⎪-⎨>⎪-⎩。
4、曲线t z t y t x ===,,23在点(1,1,1)处的切向量T =r )1,2,3(．5、设函数()f x 以2π为周期，且(),f x x x ππ=--<≤.设()S x 为()f x 的傅里叶级数的和函数，则()S π= 0____ 。
2010—2011学年度第二学期期末考试高一数学参考答案
2010—2011学年度第二学期期末考试高一数学参考答案及评分标准命题人：齐力一、选择题：DBACB BCDCA CA 二、填空题：（13）85，1.6; (14)221- (15) 2; (16) 12三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；字迹工整、清楚。
） （17）(本小题满分1０分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(1,0)A -，(4,0)B ，(0,)C c ．（I ）若AC BC ⊥，求c 的值；（II ）若3c =，求ACB ∠的余弦值. 解：（I ）(1,)AC c =，(4,)BC c =-，由AC BC ⊥，得0AC BC ⋅=，所以，240c -=，所以，2c =±. …………5分 （II ）当3c =时，10CA =5CB =，(1,3)CA =--，(4,3)CB =- 因此，10cos CA CB ACB CA CB⋅∠==. ……………………………1０分 （18）(本小题满分12分)已知函数()sin f x x ω=（0ω>）.(I ) 当1ω=时，函数()y f x =经过怎样的变换得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，请写出变化过程；(II )若()y f x =图象过2(,0)3π点，且在区间(0,)3π上是增函数，求ω的值. 解：（I ）方法1 保持每点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移12π个单位。
方法2 向左平移6π个单位，再保持每点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半。
………………………4分（II ）由()y f x =的图象过2(,0)3π点，得2sin 03πω=，所以23k πωπ=，k ∈Z .即32k ω=，k ∈Z .又0ω>，所以*k ∈N . 当1k =时，32ω=，3()sin 2f x x =，其周期为43π，此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数； 当k ≥2时，ω≥3，()sin f x x ω=的周期为2πω≤2433ππ<， 此时()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数. 所以，32ω=. ……………………12分 （19）（本小题满分12分）某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人），现用分层抽样方法（按A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）.从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如表1和表2.（I ）先确定x ，y ，再在下图中完成表1和表2的频率分布直方图.就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（II ）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 解：（I ）由题意知A 类工人中应抽查25名，B 类工人中应抽查75名.故485325x ++++=，得5x =， …………………………………………1分 6361875y +++=，得15y = . …………………………………………2分 频率分布直方图如下……………5分从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小 . ……………7分 （II ）485531051151251351451232525252525A x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 6153618115125135145133.875757575B x =⨯+⨯+⨯+⨯=，2575123133.8131.1100100x =⨯+⨯= ……………………………………11分A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1 . …………………………………12分（20）(本小题满分12分)某商场实行优惠措施，若购物金额x 在800元以上(含800元)打8折；若购物金额在500元以上(含500元)打9折，否则不打折．请设计一个算法程序框图，要求输入购物金额x ，能输出实际交款额，并写出程序．【解析】 程序框图程序：…………………12分（21）(本小题满分12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（Ⅰ）设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；（Ⅱ）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅲ）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．【解析】 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4’表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4’)，(3,2)，(3,4)，(3,4’)，(4,2)，(4,3)，(4,4’)，(4’，2)，(4’，3)，(4’4)，共12种不同情况．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌的牌面数字只能是2,4,4’，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4’，2)，(4’，3)，共5种，故甲胜的概率P 1＝512，同理乙胜的概率P 2＝512.因为P 1＝P 2，所以此游戏公平．（22）(本小题满分12分)已知向量],2,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cosπ∈-==x x x x x 且 （Ⅰ）求a b ⋅与a b +；（Ⅱ）求函数()2f x a b a b =⋅-+的最小值； （Ⅲ）若()f x a b a b λ=⋅-+的最小值是23-，求实数λ的值. 解：xx x xx x x xx x x b a x xx x x cos 2cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos )2sin 23sin ,2cos 23(cos 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos)1(22==+=-++=+-+=+=-=⋅ 3)1(cos 21cos 4cos 2cos 42cos )()2(22--=--=-=+-⋅=x x x x x x f 3)(,1cos 0]1,0[cos ]2,0[min -===∴∈∴∈x f x x x x 时，当π.11232121)(201)(0(45232121122)(221)2(cos 21cos 2cos 2cos 22cos )()3(22min min min 222=±=-=----=<<-=≤=-=--=--=≥---=--=-=λλλλλλλλλλλλλλλ综上，，得由时，当（舍去）时，当舍去），得由时，当x f x f x f x x x x x x f。
高数卷
天津轻工职业技术学院2010 —2011 学年度第一学期期末考试试卷 (A)科目：《 高等数学 》命题教师：谷秀珍一、选择题（每小题2分，共20分）1、设f(x)=ln5，则f(x+2)- f(x)=（ ）。
A 、ln7-ln5B 、ln7C 、ln5D 、0 2、当x →∞时，下列变量中是无穷小量的是（ ）.A 、x1B 、cosxC 、2x 2+ 1D 、x e3、11lim1--→x x x =（ ）。
A 、-1B 、1C 、0D 、不存在 4、如果lim ()x f x A -→=0，lim ()x f x A +→=0，则函数f(x)在x=0处（ ）。
A 、一定有定义B 、一定有极限C 、一定连续D 、一定间断 5、函数f(x)=│x-1│在x=1处（ ）。
A 、不连续 B 、连续但不可导 C 、连续且'f (1)=-1 D 、连续且'f (1)=1 6、当y=f(x)在点x 处取极值，则必有（）。
A 、 'f (x 0)=0B 、'f (x 0)不存在C 、''f (x 0)=0D 、'f (x 0)=0 或'f (x 0)不存在 7、下列等式中正确的是（ ）。
A 、()dx d x x -=211 B 、 ln ()xdx d x=1C d =D 、sin (cos )xdx d x =8. 函数()f x 在0x 可导，则0'()f x 等于（ ）A.00()()0limf x x f x x x -∆-∆∆→ B.00()()20limf x x f x x x -∆-∆∆→C.00()()0limf x x f x x x -∆--∆∆→ D.00()()lim f x x f x x x x -∆-+∆∆∆→9. f(x)的一个原函数为lnx ，则'f (x)=（ ） A 、xlnx B 、x 1 C 、-21xD 、x e 10、24xdxx =+⎰=（ ） A. 21ln(4)2x C ++ B. 2ln(4)x C ++C. 1arctan 22x C +D. arctan 22x xC +二、填空题(每小题2分，共20分)1、y=ln()x -12的定义域为 。
高等数学b1期末试题及答案
高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。
答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。
答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。
答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。
高一数学期末考试2010-2011学年B卷
1.（5分）比较实数-与-的大小。
2.（6分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A= 2，4，6，8 ,求CuA
3.(9分)若函数f(x)=x -2x,求f(6)和f(x+1)的值。
4.（8分）求函数f(x)=的定义域.
5.（12分）求下列函数的最值,并画出图像.
（1）f(x)=-x +6x-1
A. 0,1,2,3 B. 0,1,2,3,4 C. 1,2,3,4 D. 1,2,3
6.“X是自然数”是“X是实数”的（）7.下列不等式正确的是（）。
A.5-a＞2-a B.2a<8a C.5/a>3/a D.3-a<5+a
8.集合 x|x<-1 的区间表示是（）。
（2）f(x)=2x -4x
(3)f(x)=x -x-6
11.下列函数是奇函数的是( ).
A.y=x B. y = x +1 C.y= D.y=-8x
12.函数y=x ，下列表述正确的是( ).
A.在（- ，0）上是减函数B.在（- ，0）上是增函数
C.在（0，+ ）上是减函数D.以上判断都不对
二.填空题(每题3分,共24分).
1.用列举法表示2，4，6构成的集合。
2010——2011学年第一学期
高一数学期末试卷(B)
题号
第一题
第二题
第三题
总分
成绩
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1.下列语句能够确定一个集合的是（）。
2011高等数学B1期末考试试卷答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷/B 卷）2011学年第1学期 考试科目： 高等数学B Ⅰ 参考答案与评分标准 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）(3)(3)(3)2lim123.若,则。
x f x f f x∆→-------∆-'==-∆ . 211(),()2,(3)25.设为连续函数且则。
x f x f t dt x f -----==⎰6.222(sin 2。
x e x dx π------=⎰二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．221()32x f x x x -=-+的可去间断点是（B ）。
(A)2(B)1(C)2(D)1x x x x ===-=-；；；。
2．ln 2(1,)x x e =方程在区间内（A ）。
(A)(B)(C)(D)只有一个实根；有两个实根；至少有一个实根；无实根。
28,103.设某商品需求量与价格的函数关系则当时的需求弹性(B)p Q p Q e p -==(A)10 (B)20 (C)8 (D)16ηηηη====d d d d ；；；。
4．ln(21)y x x =-+的单调增加区间是( )。
11(A)(,)(B)(,0](C)[,)(D)(,]22-∞+∞-∞+∞-∞；；；。
5．22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（D ）.324.1,3,(1,2)当时点为曲线的拐点。
a b y ax bx -------=-==+201.2,()00，当时在处连续。
，tg xx a f x x x a x ---⎧≠⎪===⎨⎪=0,1sin ,42.当时与是等价无穷小则。
x x x a ---→=（A ） x xe 22 （B ） x e x 222 （C ） c xe x +22 （D ） )1(22x xe x +三、计算下列各题（本大题4小题，每小题5分，共20分）1． 111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭解：11111111ln lim lim ...................2ln 1(1)ln 11111lim lim lim ........5(1)ln (1)ln 112ln 分分x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫--⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫-⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭２．2035lim 2x xxx →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：2235ln 20002ln15035lim =lime ........................2223523ln35ln 5lim ln=2lim ln15.........4235235lim =e =15.....................2分分x x xxxx x x x x x xx x x x x xxx x ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭→→→→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+∴ ⎪⎝⎭.............................5分3．设函数()y y x =由方程22d 10x t t t -+=⎰所确定，求d y ．解：对方程两边关于x 求导数{}22d 10x t d t t dx-+=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分 即 2cos 0ye x x '= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以 d y x = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分4. 222ln(1)ln3d ,d arctan 已知求x t yxy t ⎧=++⎨=⎩CM解：22d 2d 1,d 1d 1x t y t t t t ==++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以 221d d 12d d 112dy y x t t t t t dx t===++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 222223d d d dt 111d 1d d 2d d d d d 224y y t t x t t t x t x x t t t ⎛⎫++⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．5分四．求下列积分（本大题4小题，每小题5分，共20分） 1.arcsin d x x ⎰解：arcsin d arcsin x x x x x =-⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分arcsin x x C =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分2.2d (1)xx x +⎰解：22d 1d (1)1x x x x x x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ()21ln ln 12x x C C =-++=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分3.1d x解：令222tan ,sec ,1sec d d x t x t t x t ==+=，1,,43ππx t x t ====．．．2分所以23332221444sec sec cos tan sec tan sin t t t t t t t t t tππππππ===⋅⎰⎰⎰d d d d33244sin 1sin sin t t tππππ==-=⎰d ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 4.设1201()()d 1f x f x x x =+，求10()d f x x ⎰。
2010-2011学年二学期高等数学期末复习题(B卷)答案
{学年}学年第{学期}学期考试《{课程名称}》试卷{卷标}，共2页，第1页2010-2011学年第二学期期末复习题(B 卷)标准答案课程名称： 高等数学 共 页考试时间： 120 分钟 总分：100分 考试方式： {闭卷开卷} 适用专业（班级）： 题目部分，（卷面共有17题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择 （5小题，共15分） 1．C 2．C 3．A 4．C 5．D二、填空 （5小题，共15分） 1．132．10(,).yyd v f x v d x ⎰⎰3．(4,3,0) 4．yy x-25．S S f ()()()ππππ=-=-=-443 三、计算 （7小题，共70分） 1．y =1时，z f x x=+-=11() 所以f x x ()-=-11令xt x t -==+112,() 所以f t t t t f xx x()(),()=+-=+=+1122222所以()z y x x y x x y =+-+-=+-≥≥()(),12110022．解：⎰⎰⎰⎰+++=+AB BD ADd )(d )(sy xs y x L2d 2)]1([d )(1AB=-+=+⎰⎰x x x s y x 0d 2)]1([d )(01BD=++=+⎰⎰-x x xs y x 0d )0(d )(11AD=+=+⎰⎰-x xs y x 故 2d )(=+⎰Ls yx3．由函数()αxy +=1的幂级数展开式，有nn nn n n n n 101!151151510008.002.01101!15115151101!21515110151110111.1332515⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∞=∞=由最后的无穷级数满足Leibniz 判别法条件，故()43510101!3251151510008.002.011.1-<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-+-{学年}学年第{学期}学期考试《{课程名称}》试卷{卷标}，共2页，第2页因而0192.10008.002.011.15=-+≈误差不超过0001.0。
MK_10-11(2)高数A(二)、B(二)试卷
v ∫
L
+
Pdx + Qdy + Rdz ≤ max
( x , y , z )∈Σ
(Q
x
− Py ) + ( Ry − Qz ) + ( Pz − Rx ) ⋅ S
2 2 2
其中 Σ 为以 L 为边界的某曲面， S 为曲面 Σ 的面积．
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(−1) n−1 （2）求级数 ∑ 的和． n n =1 n ⋅ 2
∞
第 3 页 共 6 页
[‰Y'•Q~ÜNf^—
⎧ x = uv ∂u ∂v 5． （1）设 ⎨ ，求 , . ∂x ∂x ⎩ y = sin u + cos v
（2）设 sin z − xyz = 0 ，求
∂2 z ． ∂y 2
安徽大学 2010—2011 学年第二学期
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
f ( x ) 的 Fourier 级数在 x = 4π 处收敛于
．
5．设 f ( x, y ) = xy 2 在点 (2,1) 处沿方向 (4, −3) 的方向导数等于
得 分
．
院/系
二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）
⎧ x2 y , x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 2 2 1． 二元函数 f ( x, y ) = ⎨ x + y , 在点 (0, 0) 处 2 2 ⎪ 0, x +y =0 ⎩ A．不连续 B．可微 C．不可微，且偏导数不存在 D．不可微，但偏导数存在．
2010—2011学年度上期期末高二数学(理科)参考答案
MA2 AB 2 MC 2 EC 2 ，由点到直线的距离公式可得，
3x y2
10
16
(3x y)2 10
4 ，化简可得， xy
10
．
点 M 的轨迹方程为 xy 1．0
1
y
M
C
A
EB x
（20）（本小题满分 12 分）
1 解：本题用向量法解，第一问易得，第二问所求余弦值为 3 ．
2
（21）（本小题满分 12 分）
解：本题考查学生联立直线与圆锥曲线的位置关系，以及与中点弦有关的问题，该直线是不存
在的．
（22）（本小题满分 12 分）
解：（1） 4x2
4y2 15
1( x 0)，是双曲线的右支；
4x 2 （2） 81
4y 2 65
1，是椭圆．
本卷题目大多数在教材上可以查到，请老师们根据学生答卷情况给予评分！
x (－∞,－m)
－m
(－m,
1 3
m
)
1 3
m
(
1 3
m
,+∞)
f’(x)
+
0
－
0
+
f (x)
极大值
极小值
从而可知，当 x=－m 时，函数 f(x)取得极大值 9，
即 f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
（19）（本小题满分 12 分）
解：如图所示，设点 M (x, y) ，由条件可得， AB 4, EC 2
p : 1 ,1, q : 5,1，从而p 是 q 的充分而不必要条件．
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2. 设22
=+，其中f具有连续的导数，则下列等式成立的是（ B ）z f x y
()
（A ）y
z y
x
z x
∂∂=∂∂; （B ）y
z x
x
z y
∂∂=∂∂; （C ）y
z x
x
z y
∂∂-=∂∂; （D ）y
z y
x
z x
∂∂-=∂∂.
3．由几何意义，二重积分
2
2
1
d d x y x y +≤=⎰⎰
（ A ）.
（A ）π； （B ）
23
π； （C ）43
π； （D ）0．
4．设L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则()d L
x y s +⎰=（ D ）．
（A ）0； （B ）1； （C
（D
．
5．若幂级数∑∞
=-0
)1(n n
n x a 在5x =点收敛，则级数0
3n n n a ∞
=∑（ C ）．
（A ） 发散； （B ） 条件收敛； （C ） 绝对收敛； （D ） 收敛性无法确定．
三、偏导数和全微分计算题（共2题,每题6分,共12分）
1. 设函数y x z =，化简
1ln x z z y x
x y
∂∂+
∂∂.
解: 由
1
-=∂∂y yx
x
z ，（2分）
x x y
z y
ln =∂∂，
（4分） 则
z x
x y
z
x x
z y x y
y 2ln 1=+=∂∂+
∂∂.（6分）
2. 设函数(,)z z x y =由方程3z
x y z e +-=确定，求全微分d z .
解: 方程两边对x 求导（将z 看作y x ,的函数），有
3z
z z e
x x
∂∂-
=∂∂，解得
3.1
z
z x
e ∂=
∂+ （2分）
类似地，有
1
.1
z
z y
e ∂=
∂+ （4分）
因此,3
1
d 1
1
z
z
z dx dy e e =
+
++. （6分）
3
235
3d d 3d 3a a a a x y z z a a =+
=+⎰
⎰
⎰
． （6分）
六、级数题（共3题,每题6分,共18分）
1. 判断级数
∑
∞
=1
22
2
3n n
n n 的收敛性．
解：因为14
3)1(43lim
34
4
)1(3
lim
lim
22
1
2
1
1<=+=⋅
+=∞
→++∞
→+∞
→n n n
n u u n n
n n n n n
n n ，（5分） 所以级数∑
∞
=122
2
3n n
n
n 收敛．（6分）
2. 求幂级数n n n x n )1(21
-∑∞
=的收敛半径与收敛区间.
解：．解：由22)
1(2
lim
lim
1
1=⋅+⋅=+∞
→+∞
→n
n a a n
n n n
n n ,（2分）
得幂级数n n n x n )1(21
-∑∞
=收敛半径2
1=
R ．（4分）
所以幂级数n n n x n )1(21
-∑∞
=的收敛区间是)2
3,
2
1(．（6分）
3.将函数1()3f x x =-展开为x 的幂级数，并指出收敛范围．
解： 1
11()133
13f x x
x
=
=
--
（1分）
1
1
11
(
)3
3
3
n
n
n n n x x ∞
∞
+===
=
∑∑ （5分） 收敛范围为33x -<< （6分）
七、应用题（8分）要造一容积为定值V 的长方体无盖水箱，为
最省材料应如何设计水箱的尺寸？
解：设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,.则表面积
z
y x xy A )(2++=， )0,0,0(>>>z y x . （2分）。