高三数学复习教案：不等式的解法
高考数学专题复习不等式的解法及其应用教案
高考数学专题复习 不等式的解法及其应用一、考点要求1．熟练掌握一元二次不等式、含有绝对值的不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法． 解一元二次不等式(02>++c bx ax 或)0<，一要注意字母a 的符号；二要讨论∆的符号；三要讨论对应方程的两根1x ，2x 的大小．解分式不等式，一般是将一边转化为零，采用数轴 标 根 法可简捷地求得其解集．解含有绝对值的不等式，基本思路是去掉绝对值，应针对其不同的形式，采用适当的方法：分类讨论去绝对值；两边平方去绝对值；借助不等式的性质a x a a x <<-⇔<||，a x >||a x -<⇔或a x >去绝对值．通过解不等式体现等价转化、分类讨论、数形结合的思想方法． 2．理解不等式||||||b a -≤||b a ±≤||||b a +．3．会用不等式的知识分析和解决带有生产和生活意义的应用问题，或在相关学科中的其他数学问题． 二、基础过关1．已知非负实数x ，y 满足832-+y x ≤0且723-+y x ≤0，则y x +的最大值是（ ）．A ．73 B ．83C ．2D ．3 解：画出图像，由线性规划知识可得，选D ．2．设a x <-|2|时，不等式1|4|2<-x 成立，则正数a 的取值范围是（ ）．A ．25->aB ．a <0≤25-C ．a ≥25-D ．以上都不对 解：设}|2||{a x x A <-=，}1|4||{2<-=x x B ，则)2,2(a a A +-=，)5,3()3,5 --=B ，由题 可知B A ⊆， ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≥-,32,52a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧--≤+≤,32,52a a ∴a ≤32--，而a ≤32--与0>a 矛盾，舍去．由⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-,52,32a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤,25,32a a ∴a ≤25-，∴<0a ≤25-． 3．不等式)12(|1|-+x x ≥0的解集为（ ）．A ．x x |{≥}21B ．x x |{≤1-或x ≥}21 C ．1|{-=x x 或x ≥}21 D ．1|{-x ≤x ≤}21解：)12(|1|-+x x ≥0，则12-x ≥0或01=+，∴x ≥21或1-=x ，故选 C ． 4．若 关于x 的不等式|||2|a x x -+-≥a 在R 上 恒 成立，则a 的最大值是（ ）．A ．0B ．1C ．21D ．2 解：|||2|a x x -+-≥|2|-a ，只需|2|-a ≥a 恒成立，显然02<-a 时，a -2≥a ，a ≤1，故1max =a ．5．设P =(log 2x )2+(t-2)log 2x -t+1，若t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值，则x 的变化范围是 ．分析：要求x 的变化范围，显然要依题设条件寻找含x 的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右边的式子中含两个字母x 、t ，t 是在给定区间内变化的，而求的是x 的取值范围，能想到什么？解：设P=f (t)=(log 2x -1)t+log 22x -2log 2x +1．因为 P =f (t)在top 直角坐标系内是一直线，所以t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值的充要条件是⎩⎨⎧>>-.0)2(,0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-.01log ,03log 4log 22222x x x 解得log2x ＞3或log2x ＜1-，即x 的取值范围是),8()21,0(+∞ ．说明：改变看问题的角度，构造关于t 的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题．6．关于x 的不等式322---x x xa ＞0的解集是 ． 分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用数轴标根法解不等式的基本步骤．本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为()()()013<+--x x a x ，和比较a 与1-及3的大小，定出分类方法．解：原不等式化为：()()()013<+--x x a x ．（1）当1-≤a 时，由图1知不等式的解集为}{31<<-<x a x x 或； （2）当{}31231<<-<≤<-x a x x a 或知不等式的解集为时，由图； （3）当{}a x x x a <<-<>3133或知不等式的解集为时，由图． 三、典型例题例1 解关于x 的不等式： a x x -≤()0922>a a ． 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想．本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集．解：当a x ≥时，不等式可转化为()⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥,29,2a a x x a x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥,0299,22a ax x a x ∴a x a 6173+≤≤． 当a x <时，不等式可转化为⎪⎩⎪⎨⎧≤-<,2)(9,2a x a ax a x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<,0299,22a ax x a x ∴a x aa x <≤≤323或． ∴不等式的解集为：]6173,32[]3,(a a a+-∞ ．例2 己知三个不等式：①x x -<-542； ②12322≥+-+x x x ； ③0122<-+mx x ． (1) 若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围； (2) 若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围．分析：本 例 主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x 值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在()0,∞-和[),3+∞内．不等式和与之对应的方程及函数图像有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．解：记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C ．解①得A =（1-，3）；解②得B =[]4,2()1,0 ，∴B A [)3,2()1,0 =． （1）因同时满足①、②的x 值也满足③，B A ⊆C ， 设12)(2-+=mx x x f ，由)(x f 的图像可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时， 即可满足C B A ⊆ ∴⎩⎨⎧≤<,0)3(,0)0(f f 即⎩⎨⎧≤+<-,0173,01m ∴317-≤m ．(2) 因满足③的x 值至少满足①和②中的一个，∴B A C ⊆，而]4,1(-=B A ，∴]4,1(-⊆C ，∴方程0122=-+mx x 小根大于或等于1-，大根小于或等于4，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-≥+=≥-=-,441,0314)4(,01)1(mm f m f 1431≤≤-m 解之得．说明：同时满足①②的x 值满足③的充要条件是：③对应的方程2x 2+mx 1-=0的两根分别在-∞(，)0和[3，+∞)内，因此有f (0)＜0且f (3)≤0，否则不能对A ∩B 中的所有x 值满足条件．不等式和与之对应的方程及图像是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．例 3 已知奇函数)(x f 在),0()0,(+∞-∞ 上有定义，在),0(+∞上是增函数，0)1(=f ，又知函数m m g 2cos sin )(2-+=θθθ，]2,0[πθ∈，集合|{m M =恒有}0)(<θg ，|{m N =恒有}0))((<θg f ，求N M ．分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题．解：∵奇函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，∴)(x f 在)0,(-∞上也是增函数．∵0)1(=f ，∴0)1()1(=-=-f f ，∴满足⎩⎨⎧-=<<)1(0))((,0)(f g f g θθ的条件是⎩⎨⎧-<<,1)(,0)(θθg g即），（（]201)(πθθ∈-<g ，即12cos sin 2-<-+m m θθ， 也即022cos 2<+-+-m mcor θθ令θcos =t ，则]1,0[∈t ，则0222<+-+-m mt t ． 法1 （变量分离法）222-->t t m 对 ]1,0[∈t 恒成立，设22)(2--=t t t f ，只需m 大于)(t f 的最大值即可．∵422)2(22)2(4)2(22)(22+-+-=-+-+-=--=t t t t t t t t f 4]22)2[(+-+--=tt ，]1,0[∈t ， ∴02>-t ，∴)(t f ≤224422)2(2-=+-⋅--tt ， ∴224)(max -=t f ，∴224->t ，∴}224|{->=m m N M ． 法2 （二次函数在闭区间上的最值）设22)(2+-+-=m mt t t h ，0≤t ≤1，要使0)(<t h 对]1,0[∈t 恒成立，只需使)(t h 在]1,0[∈t 内的最大值小于0即可．10当<2m0即0<m 时，22)0()(max +-==m h t h ，由不等式组⎩⎨⎧<+-<022,0m m 解得∅∈m ．20当0≤2m≤1时488)(2max +-=m m x h ，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤0488,202m m m 得m <-224≤2．30当12>m即2>m 时，1)(max +-=m t h ， 解不等式组⎩⎨⎧<+->01,2m m 得2<m ．综上：}224|{->=m m N M ．例4 已知对于自然数a ，存在一个以a 为二次项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根．求证：a ≥5．分析：二次函数的几种特殊形式：一般式：f (x )=c bx ax ++2(a ≠0)．通常如果知道二次函数图像是的三点A ))(,(11x f x 、B ))(,(22x f x 、C ))(,(33x f x ，则选用一般式，系数a ，b ，c 可由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=,)(,)(,)(323322221211c bx ax x f c bx ax x f c bx ax x f 确定．顶点式：)0)(()()(020≠+-=a x f x x a x f ．这里))(,(00x f x 是二次函数的顶点，a b x 20-=，ab ac x f 44)(20-=．两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f ．这里1x 、2x 是方程0)(=x f 的两个根，满足a b x x -=+21，acx x =21． 证明：设二次三项式为：))(()(21x x x x a x f --=，a ∈N 且0≠a ．依题意知：0＜x 1＜1，0＜x 2＜1，且x 1≠x 2．于是有f (0)＞0，f (1)＞0． 又21212)()(x ax x x x a ax x f ++-=为整系数二次三项式，所以f (0)=ax 1x 2、f (1)=a ·(1x -1)(1x -2)为正整数．故f (0)≥1，f (1)≥1． ∴ )1()0(f f ⋅≥1． ① 另一方面，)1(11x x -≤41]2)1([211=-+x x ，)1(22x x -≤41]2)1([222=-+x x ，且由x 1≠x 2知等号不同时成立，所以161)1()1(2211<--x x x x ． 222112161)1()1(a x x x x a <--． 由①、②得，2a ＞16．又a ∈N ，所以a ≥5．说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键． 四、热身演练 1．函数31)(x x f =，则不等式)()(1x f x f>-的解集是（ D ）． A ．0(，)1 B ．-∞(，0()1 -，)1 C ．1(-，)0 D ．1(-，1()0 ，)∞+ 解：（反函数、图像法）)()(1x f x f>-，∴313x x >，画出3x y =和31x y =，由图像可知∈x 1(-，1()0 ，)∞+，故选 D ．2．（2003年 春 北京）若不等式6|2|<+ax 的解集为1(-，)2，则实数a 等于（ ）．A ．8B ．2C ．4- 8-[分析] 本题考查含有绝对值不等式的解法，含参数不等式的解法、分类讨论的思想等基础知识和方法． 解：法1 由6|2|<+ax ，得48<<-ax ．当0>a 时，则a x a 48<<-，∵21<<-x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-24,18a a无解，∴0>a 不成立． 当0<a 时，则a x a 84-<<，∵21<<-x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=28,14aa得4-=a ．法2 根据不等式的解集与相应相方程有根的关系知方程0|2|=+ax |的根为1-，2，∴,6|22|,6|2|=+=+-a a 解得4-=a ，故选C ．3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|33,0xx x x x 的解集是（ ）．A ．}20|{<<x xB ．}250|[<<x x C ．}60|{<<x x D ．}30|{<<x x 解：选C ．4．若不等式012>++bx ax 的解集为}121|{<<-x x ，则（ ）．A ．1,2-==b aB ．1,2==b aC ．1,2-=-=b aD ．1,2=-=b a 解：选D ．5．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--=是减函数． 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．a ≤1B ．2<aC ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥2解：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数a x x ++22的判别式a 44-=∆≥0，从而a ≤1；命题q 为真时，125>-a ，∴2<a ．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题． 若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1<a <2，故选C ．6．已知)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上是减函数，0)(=a f )0(>a ，那么不等式0)(<x xf 的解集是（ ）．A ．}0|[a x x <<B ．0|{<<-x a x 或}a x >C ．}|{a x a x <<-D ．a x x -<|{或}0a x << 解：选B ．7．若)2(log )(221++=kx x x f 的值域为R ，则实数k 的取值范围是 ．解：（令22++=kx x ，则t 能取到所有的实数是关键）．要使)(x f 的值域为R ，则必须有真数22++kx x 能取到一切的正数，即∆≥0，即82-k ≥0，∴k ≥22，或k ≤22．8．当m a (∈，)n 时，不等式31222<+---xx x ax 对任意实数x恒成立，则=+n m ． 解：（意分母012>+-x x 恒成立．）∵分母012>+-x x 恒成立，∴原不等式等价于)1(3222x x x ax +-<--， 即01)3(42>+-+x a x 对∈x R 时 恒成立，∴016)3(2<--=∆a ， 解得71<<-a ，∴1-=m ，7=n ，∴6=+n m ．9．当∈x R 时，不等式12sin 23cos 2+++<+m x x m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 解：（变量分离，对于无理不等式，考纲是不作要求的，但04年各地高考卷中还是出现了一些简单的无理不等式，这里结合变量分离，让学生接触一次简单的无理不等式，结合这个问题向学生简单介绍一些简单无理不等式的解法．）原不等式可转化为2sin 2sin 122++<+-x x m m ，对∈x R 时 恒成立， 只须12+-m m 小于x x x f sin 2sin )(22+=+的最小值即可，∵1)1(sin )(2++=x x f ≥1，∴12+-m m 1<，即121+<-m m ． 当21-≤1<m 时，不等式 恒成立，当m ≥1时，两边平方解得1≤4<m ， ∴21-≤4<m ，即为m 的取值范围． 10．若二次函数y =f (x )的图像经过原点，且1≤)1(-f ≤2，3≤f (1)≤4，则)2(-f 的取值范围是 ．分析：要求)2(-f 的取值范围，只需找到含人f (-2)的不等式(组)．由于y =f (x )是二次函数，所以应先将f (x )的表达形式写出来．即可求得)2(-f 的表达式，然后依题设条件列出含有)2(-f 的不等式(组)，即可求解．解：因为y =f (x )的图像经过原点，所以可设y =f (x )=bx ax +2．于是 ⎩⎨⎧≤≤≤-≤,4)1(3,2)1(1f f 即⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.43,21b a b a （1）法1 (利用基本不等式的性质)不等式组（1）变形得⎩⎨⎧≤≤≤-≤,624,4222a b a ∴6≤b a 24-≤10，即6≤)2(-f ≤10． 其中等号分别在⎩⎨⎧==,1,2b a 与⎩⎨⎧==1,3b a 时成立，且⎩⎨⎧==,1,2b a 与⎩⎨⎧==1,3b a 满足（1）∴)2(-f 的取值范围是[6，10]． 法2 (数形结合)建立直角坐标系aOb ，作 出不等式组（1）所表示的区域，如图中的阴影部分．因为b a f 24)2(-=-，所以0)2(24=---f b a 表示斜率为2的直线系．如图，当直线0)2(24=---f b a 过点A (2，1)，B (3，1)时，分别取得)2(-f 的最小值6，最大值10．即)2(-f 的取值范围是：6≤)2(-f ≤10． 法3 (利用方程的思想)∵⎩⎨⎧-=-+=,)1(,)1(b a f b a f ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=)].1()1([21)],1()1([21f f b f f a又∵)1()1(324)2(f f b a f +-=-=-，而1≤)1(-f ≤2，3≤)1(f ≤4， ① ∴3≤)1(3-f ≤6． ② ①+②得4≤)1()1(3f f +-≤10，即6≤)2(-f ≤10．说明：（1）在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得⎩⎨⎧≤≤≤≤,321,624b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,2321,32b a而b a f 24)2(-=-，8≤a 4≤12，3-≤b 2-≤1-，所以 5≤)2(-f ≤11．同向不等式可以相加，但是一般情况只可使用一次，若多次使用往往会把范围扩大，如果一定需要多次使用，那么一定要注意范围是否被扩大，注意等号是否同时成立即可．（2）对这类问题的求解关键一步是，找到)2(-f 的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．11．求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx +a 2-1≤0的解集分别是：（1）]2,1[-；（2）}2{；（3）),1[+∞-．分析：方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．解：（1）由题意可知，a ＞0且1-，2是方程ax 2+bx +a 2-1≤0的根，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⨯--=+->,121,21,02a a a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.21,21b a（2）由题意知，2是方程ax 2+bx +a 2-1=0的根，所以4a +2b +a 2-1=0． ①又{2}是不等式ax 2+bx +a 2-1≤0的解集，所以⎩⎨⎧=--=∆>.0)1(4,022a a b a ② 解①，②得52+=a ，548--=b ．（3）由题意知，a =0，b ＜0，且1-是方程bx +a 2-1=0的根，即-b +a 2-1=0，所以a =0，b =1-． 说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换． 12．设函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与两直线y =x ，y =x -，均不相交．试证明对一切∈x R 都有||41||2a c bx ax >++． 分析：因为x ∈R ，故|f (x )|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)．证明：由题意知，a ≠0．设f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，则aacb x f 44)(20--=．又二次方程ax 2+bx +c =±x 无实根，故Δ1=(b +1)2-4ac ＜0， Δ2=(b -1)2-4ac ＜0．∴(b +1)2+(b -1)2-8ac ＜0，即2b 2+2-8ac ＜0，即142-<-ac b ，∴1|4|2>-ac b ，∴||41||4|4||44||)(|220a a ac b a ac b x f >-=--=．由0142<-<-ac b 可知当∈x R 时，|)(|x f ≥|)(|0x f ，∴||41|)(|a x f >， 即||41||2a c bx ax >++成立． 说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．13．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高5.4米，隧道全长5.2千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？ （半个椭圆的面积公式为S =,4lh π柱体体积为：底面积乘以高，414.12=，646.27=，本题结果均精确到1.0米．）分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力． 解：（1）建立如图所示直角坐标系，则11(P ，)5.4．设椭圆方程为：12222=+by a x ，将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程得7744=a ，此时3.3377882≈==a l ，故隧道 拱 宽 约为3.33米． （2）由椭圆方程12222=+b y a x 得15.4112222=+b a ．∵22225.411b a +≥ab5.4112⨯⨯，∴ab ≥99， ∴24ablh S ππ==≥299π，当S 最小时有215.4112222==b a ，∴211=a ，229=b ，此时1.312≈=a l ，4.6≈=b h ， 故当拱高约为4.6米，拱 宽约为1.31米时，土方工程量最小．。
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例
高三数学一元二次不等式及其解法教案范例一、教学目标1.理解一元二次不等式的概念及其与一元二次方程的关系。
2.掌握一元二次不等式的解法及解集表示方法。
3.能够运用一元二次不等式解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次不等式的解法及解集表示方法。
2.教学难点：一元二次不等式解法中的分类讨论。
三、教学过程1.导入新课（1）回顾一元二次方程的解法，引导学生思考如何将一元二次方程转化为一次方程来求解。
（2）引出一元二次不等式的概念，让学生初步了解一元二次不等式的解法。
2.知识讲解（1）讲解一元二次不等式的定义：形如ax^2+bx+c>0（a≠0）的不等式称为一元二次不等式。
（2）讲解一元二次不等式的解法：a.将一元二次不等式化为标准形式：ax^2+bx+c>0。
b.然后，求解对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间，分别讨论每个区间内的不等式解。
d.将三个区间的解合并，得到一元二次不等式的解集。
（3）讲解一元二次不等式解集的表示方法：a.使用区间表示法，如（-∞，x1）∪（x2，+∞），其中x1、x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
b.使用集合表示法，如{x|x<x1或x>x2}。
3.实例讲解（1）讲解例题1：解一元二次不等式x^24x+3>0。
a.将不等式化为标准形式：x^24x+3>0。
b.求解对应的一元二次方程x^24x+3=0，得到根x1=1，x2=3。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，1）、（1，3）、（3，+∞）。
d.分别讨论每个区间内的不等式解，得到解集为（-∞，1）∪（3，+∞）。
（2）讲解例题2：解一元二次不等式2x^25x3<0。
a.将不等式化为标准形式：2x^25x3<0。
b.求解对应的一元二次方程2x^25x3=0，得到根x1=-1/2，x2=3。
c.根据根的情况，将实数轴分为三个区间：（-∞，-1/2）、（-1/2，3）、（3，+∞）。
不等式的解法举例教案
不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本性质，能够熟练地解一元一次不等式。
2. 培养学生运用不等式的解法解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 不等式的基本性质2. 一元一次不等式的解法3. 不等式应用题的解答三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质，一元一次不等式的解法。
2. 教学难点：不等式应用题的解答。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解不等式的基本性质和一元一次不等式的解法。
2. 运用案例分析法讲解不等式应用题的解答。
3. 运用讨论法引导学生探讨不等式解法的规律。
五、教学过程1. 导入：通过复习相关知识点，引入不等式的概念和基本性质。
2. 讲解：讲解一元一次不等式的解法，并列举典型例题进行分析。
3. 练习：让学生独立解一些一元一次不等式，并及时给予指导和反馈。
4. 应用：运用不等式的解法解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
5. 总结：总结不等式的解法步骤和注意事项，强调解题方法的重要性。
6. 作业布置：布置一些不等式的练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，观察学生对不等式解法的掌握程度。
2. 作业批改：对学生的作业进行批改，了解学生对不等式解法的熟练程度。
3. 学生提问：鼓励学生提问，及时解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。
七、教学拓展1. 对比等式和解不等式的异同，让学生理解不等式的解法实质。
2. 引导学生探讨不等式的解法规律，提高学生的逻辑思维能力。
3. 引入更复杂的不等式类型，如绝对值不等式、分式不等式等，让学生尝试解决。
八、教学反思1. 反思教学过程，检查教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 反思教学内容，确保教学内容完整、系统，便于学生掌握。
3. 反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学质量。
九、教学评价1. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，总结收获和不足。
高三数学第一轮复习 -含绝对值的不等式的解法教案
芯衣州星海市涌泉学校一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目的：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的根本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次〔二次〕不等式〔组〕，难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程：〔一〕主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的间隔；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的间隔 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或者者ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．〔二〕主要方法：1．解含绝对值的不等式的根本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次〔二次〕不等式〔组〕进展求解；2．去掉绝对值的主要方法有：〔1〕公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或者者x a <-． 〔2〕定义法：零点分段法；〔3〕平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．〔三〕例题分析：例1．解以下不等式：〔1〕4|23|7x <-≤；〔2〕|2||1|x x -<+；〔3〕|21||2|4x x ++->．解：〔1〕原不等式可化为4237x <-≤或者者7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． 〔2〕原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． 〔3〕当12x≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．〔1〕对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，那么a 的取值范围是(,3)-∞； 〔2〕对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，那么a 的取值范围是(4,)+∞．解：〔1〕可由绝对值的几何意义或者者|1||2|y x x =++-的图象或者者者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <；〔2〕与〔1〕同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．〔高考A 方案考点3“智能训练第13题〞〕设0,0ab >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或者者2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或者者2()2a b x x a b +≤⇒≤+②， 当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或者者2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+； 当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+． 综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b -∞+∞+-， 当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b -∞+． 例4．{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，务实数a 的取值范围．解：当0a≤时，A φ=，此时满足题意； 当0a >时，33|23|22a a x a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102a a a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．〔高考A 方案考点3“智能训练第15题〞〕在一条公路上，每隔100km 有个仓库〔如以下列图〕，一一共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存的．如今想把所有的货物放在一个仓库里，假设每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？解：以一号仓库为原点建立坐标轴，那么五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ，设货物集中于点:B x ，那么所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-， 当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =；当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<； 当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x=时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元． 〔四〕稳固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．假设关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，那么a ∈(7,)+∞； 4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，那么x ∈(1,)+∞．五．课后作业：高考A方案考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．。
高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)
高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。
【重点难点】1。
教学重点：会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m，m＋1],都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．解析［由题可得f（x）<0对于x∈［m，m＋1］恒成立，即错误!解得－错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理：知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ＝0Δ数＋a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－错误!ax2＋bx＋c〉0 （a>0)的解集｛x|x〈x1或x〉x2｝{x｜x≠x1}Rax2＋bx＋c<0 （a〉0）的解集{x|x1〈x<x2｝∅∅知识点2 用程序框图表示ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程1．必会结论；（1)（x－a）(x－b）〉0或(x－a)(x－b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
由常见问题的解决和总结，使学。
高中数学教案不等式的性质和解法
高中数学教案不等式的性质和解法高中数学教案：不等式的性质和解法在高中数学中，不等式是一个重要的概念，它可以帮助我们描述数值大小的关系。
掌握不等式的性质和解法对于学生的数学素养的提高至关重要。
本教案将介绍不等式的基本性质以及常用的解法方法，帮助学生深入理解不等式的本质和应用。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：不等式具有传递性的性质，即如果对于实数a、b和c，若a < b，b < c，则有a < c。
这是由实数集的有序性决定的。
2. 不等式的加法性：对于实数a、b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
这是由实数加法运算的性质决定的。
3. 不等式的乘法性：对于实数a、b和c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
若a < b且c < 0，则有ac > bc。
这是由实数乘法运算的性质决定的。
4. 已知不等式的平方：对于实数a，若a > 0，则有a^2 > 0。
若a < 0，则有a^2 > 0。
这是由实数平方的性质决定的。
二、不等式的解法方法1. 图解法：利用数轴上的点、线段和箭头等图形表示不等式的解集。
可以通过图示的方式直观地观察解集的范围。
2. 代数法：通过代数方法，利用不等式的性质，将不等式转化为若干等价的不等式，再通过解等价不等式得到原不等式的解集。
3. 数值法：对于一些简单的不等式，可以通过列举数字的方式求解。
将不等式中的变量替换为具体的数值，并逐个验证是否满足不等式，从而得到解集。
4. 增减法：通过逐步增减变量的值，缩小不等式的解集范围。
通过观察变量的增减趋势，可以确定不等式的解集。
三、应用实例例1：求解不等式2x + 5 > 10。
解：首先，由不等式的加法性质，可以将不等式转化为2x > 5。
然后，再利用不等式的乘法性质，将不等式进一步转化为x > 2.5。
高中不等式经典教案(含详解)
高中不等式经典教案第一教时一、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三 比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a第二教时一、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若ba b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小 解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b 1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-ab a a b ∴1>a b6．若0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴db c a -<-11 ∴原式成立第三教时一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
高三数学一轮教案不等式的解法(一)
芯衣州星海市涌泉学校§不等式的解法〔一〕【复习目的】1． 纯熟掌握一元一次不等式〔组〕和一元二次不等式解法的根底上，掌握分式不等式和简单高次不等式的解法； 2． 掌握利用数轴和图形讨论不等式解集的方法；3． 掌握含参数的一元二次不等式的解法。
【重点难点】本节的重点难点是讨论一元二次不等式系数中字母参数的取值问题，常用到分解因式，判别式，求根公式，韦达定理，还应充分考虑运用函数思想和等价转化思想。
【课前预习】1. (2021年卷)不等式21≥-x x 的解集为〔〕 A ．)0,1[- B ．),1[∞+- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(∞+--∞ 2. (2021年卷)一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是〔〕A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >3. 不等式03)2(<-+x x x 的解集为〔〕 A ．}30,2|{<<-<x x x 或 B ．}3,22|{><<-x x x 或 C ．}0,2|{>-<x x x 或 D ．}3,0|{<<x x x 或 4. 假设0a <，那么关于x 的不等式22450x ax a -->的解集是〔〕A.5x a >或者者x a <-B.xa >-或者者5x a < C.5a x a -<< D.5a x a <<-【典型例题】例1解以下不等式：〔1〕2(2)(1)(1)(2)0x x x x ++--≤〔2〕22032x x x-<+-〔3〕22120x ax a --< 例2关于x 的不等式240axbx ++>的解集为{12}x x -<<，求a,b 的值。
例3设集合M=2{2(1)10}x ax a x -+->，,M M R φ+≠⊆，求a 取值范围。
高中数学高三第六章不等式数学归纳法(教案)
高三一轮复习 6.7 数学归纳法【教学目标】1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【重点难点】1。
教学重点：了解数学归纳法的原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；2。
教学难点：学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示1．必知关系；数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据",两个步骤缺一不可．2．必清误区；运用数学归纳法应注意以下两点：(1）第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．（2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n ＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是拨从而提高学生的解题能力和兴教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
强理解记忆，提高解题技能。
k＋1·错误!＝错误!，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证错误!≥错误!，即证错误!≥k＋1k＋2，由基本不等式得错误!＝错误!≥错误!成立，故错误!≥错误!成立，所以，当n＝k＋1时,结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式错误!·错误!·……·错误!〉错误!成立．跟踪训练:1。
已知数列｛a n｝，a n≥0，a1＝0，a错误!＋a n＋1－1＝a错误!。
求证：当n∈N＊时，a n<a n＋1.【证明】(1)当n＝1时，因为a2是方程a错误!＋a2－1＝0的正根，所以a1〈a2。
(2）假设当n＝k(k∈N*)时，。
高三第一轮复习数学---含绝对值的不等式的解法
高三第一轮复习数学---含绝对值的不等式的解法一、教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法二、教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算三、教学过程：（一）主要知识：1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；（4）图象法或数形结合法；(如讨论a x x =--122的解有个数)（5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔<()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。
（二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1、解下列不等式（1）x x 3232->-解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x （2）532<-x（3）x x 232>-（4）4321≤-≤x（5）1+<x x（6）312-->+x x（7）22<+ax例2、设0>a ，不等式c b ax <+的解集为{}12<<-x x ，求c b a ::答：c b a ::=2：1：3例3、若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。
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本文题目：高三数学复习教案：不等式的解法●知识梳理1.|x|a 或x0);|x|0).0)中的a0改为aR还成立吗?更多精彩内容请点击：高中高三高三数学高三数学教案2.形如|x-a|+|x-b|c的不等式的求解通常采用零点分段讨论法.3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4.绝对值不等式的性质：||a|-|b|||ab||a|+|b|.思考讨论 1.在|x|a或x0)、|x|2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?●点击双基1.设a、b是满足ab0的实数，那么A.|a+b||a-b|B.|a+b||a-b|C.|a-b|||a|-|b||D.|a-b||a|+|b|解析：用赋值法.令a=1，b=-1，代入检验.答案：B2.不等式|2x2-1|1的解集为 A.{x|-11} B.{x|-22}C.{x|02} D.{x|-20}解析：由|2x2-1|1得-12x2-11.01，即-11.答案：A3.不等式|x+log3x||x|+|log3x|的解集为A.(0，1) B.(1，+)C.(0，+) D.(-，+)解析：∵x0，x与log3x 异号，log3x0.0答案：A4.已知不等式 a 对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.解析：要使a 对x取一切负数恒成立，令t=|x|0，则a .而 =2 ，a2 .答案：a25.已知不等式|2x-t|+t-10的解集为(- ， )，则t=____________.解析：|2x-t|1-t，t-11-t，2t-11，t-t=0.答案：0●典例剖析【例1】解不等式|2x+1|+|x-2|4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x-2=0，得两个零点x1=- ，x2=2.解：当x- 时，原不等式可化为-2x-1+2-x4，x-1.当-2x+1+2-x4，x1.又-1当x2时，原不等式可化为2x+1+x-24，x .又x2，x2.综上，得原不等式的解集为{x|x-1或1深化拓展若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x+1|+|x-2|+|x-1|4，你又如何去解?分析：令2x+1=0，x-2=0，x-1=0，得x1=- ，x2=1，x3=2.解：当x- 时，原不等式化为-2x-1+2-x+1-x4，x- .当-2x+1+2-x+1-x4，44(矛盾).当12x+1+2-x+x-14，x1.又11当x2时，原不等式可化为
2x+1+x-2+x-14，x .又x2，x2.综上所述，原不等式的解集为{x|x- 或x1}.【例2】解不等式|x2-9|x+3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|xa去绝对值.解法一：原不等式 (1) 或(2)不等式(1) x=-3或3不等式(2) 23.原不等式的解集是{x|24或x=-3｝.解法二：原不等式等价于或x2 x=-3或24.原不等式的解集是{x|24或x=-3｝.【例3】 (理)已知函数f(x)=x|x-a|(aR).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)解关于x的不等式：f(x)2a2.解：(1)当a=0时，f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，f(x)是奇函数.当a0时，f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.故f(-a)f(a)且f(-a)-f(a).f(x)是非奇非偶函数.(2)由题设知x|x-a|2a2，原不等式等价于①或②由①得 x .由②得当a=0时，x0.当a0时，x2a.当a0时，即x-a.综上a0时，f(x)2a2的解集为{x|xa0时，f(x)2a2的解集为{x|x-a}.(文)设函数f(x)=ax+2，不等式| f(x)|6的解集为(-1，2)，试求不等式 1的解集.解：|ax+2|6，(ax+2)236，即a2x2+4ax-320.由题设可得解得a=-4.f(x)=-4x+2.由 1，即 1可得 0.解得x 或x .原不等式的解集为{x|x 或x }.
●闯关训练夯实基础1.已知集合A={x|a-1a+2}，B={x|3A.{a|3C.{a|3解析：由题意知得34.答案：B2.不等式|x2+2x|3的解集为____________.解析：-3-3答案：-33.不等式|x+2||x|的解集是____________.解法一：|x+2||x| (x+2)2x2 4x+4-1.解法二：在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象，根据图象可得x-1.解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2||x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离，x-1.答案：{x|x-1}评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.4.当0解：由0x-2.这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①或②解不等式组①得解集为{x| 2}，解不等式组②得解集为{x|25}，所以原不等式的解集为{x| 5}.5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.解：x1、x2为方程两实根，=36(m-1)2-12(m2+1)0.m 或m .又∵x1x2= 0，x1、x2同号.|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.于是有2|m-1|=2，m=0或2.m=0.培养能力6.解不等式 .解：(1)当x2-20且x0，即当-(2)当x2-20时，原不等式与不等式组等价.x2-2|x|，即|x|2-|x|-20.|x|2.不等式组的解为|x|2，即x-2
或x2.原不等式的解集为(-，-2](- ，0)(0， )[2，+).7.已知函数f(x)= 的定义域恰为不等式log2(x+3)+log x3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.解：由log2(x+3)+log x3得x ，即f(x)的定义域为[ ，+).∵f(x)在定义域[ ，+)内单调递减，当x2 时，f(x1)-f(x2)0恒成立，即有(ax1- +2)-(ax2- +2)0 a(x1-x2)-( - )0(x1-x2)(a+ )0恒成立.∵x10a+ 0.∵x1x2- ，要使a- 恒成立，则a的取值范围是a- .8.有点难度哟!已知f(x)=x2-x+c定义在区间[0，1]上，x1、x2[0，1]，且x1x2，求证：(1)f(0)=f(1);(2)| f(x2)-f(x1)|(3)| f(x1)-f(x2)|(4)| f(x1)-f(x2)| .证明：(1)f(0)=c，f(1)=c，f(0)=f(1).(2)| f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|.∵01，01，0-1| f(x2)-f(x1)||x2-x1|.(3)不妨设x2x1，由(2)知| f(x2)-f(x1)|而由f(0)=f(1)，从而| f(x2)-f(x1)|=| f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|| f(x2)-f(1)|+| f(0)-f(x1)||1-x2|+|x1|1-x2+x1. ②①+②得2| f(x2)-f(x1)|1，即| f(x2)-f(x1)| .(4)|f(x2)-f(x1)|fmax-fmin=f(0)-f( )= .探究创新9.(1)已知|a|1，|b|1，求证：| |(2)求实数的取值范围，使不等式| |1对满足|a|1，|b|1的一切实数a、b恒成立;(3)已知|a|1，若| |1，求b的取值范围.(1)证明：|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).∵|a|1，|b|1，a2-10，b2-10.|1-ab|2-|a-b|20.|1-ab||a-b|，= 1.(2)解：∵| |1 |1-ab|2-|a-b|2=(a22-1)(b2-1)0.∵b21，a22-10对于任意满足|a|1的a恒成立.当a=0时，a22-1当a0时，要使2 对于任意满足|a|1的a恒成立，而 1，||1.故-11.(3)| |1 ( )21 (a+b)2(1+ab)2 a2+b2-1-a2b20 (a2-1)(b2-1)0.∵|a|1，a21.1-b20，即-1●思悟小结 1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方.2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：(1)要考虑参数的总取值范围.(2)用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.●教师下载中心教学点睛 1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.3.指数、对数不等式能利用单调性求解.拓展题例【例1】设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x221，证明不等式(x1y1+x2y2-1)2(x12+x22-1)(y12+y22-1).分析：要证原不等式成立，也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)0.证明：(1)当x12+x22=1时，原不等式成立.(2)当x12+x221时，联想根的判别式，可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)，其根的判别式=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).由题意x12+x221，函数f(x)的图象开口向下.又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)20，因此抛物线与x轴必有公共点.0.4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)0，即(x1y1+x2y2-1)2(x12+x22-1)(y12+y22-1).。