17.1一元二次方程(包含2个课时)

问题1 某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为 100t,计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一 番(即为200t).要实现这一目标，2010年和2011年 无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
解：设这个队2010-2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率 是x, 那么， 2010年无公害蔬菜产量为100+100x=100(1+x)(t); 2011年无公害蔬菜产量 100(1+x)+100(1+x)•x=100(1+x)² (t).
ax2+bx+c=0
(a≠0)
一元一次方程与一元二次方 程有什么区别与联系？
一元一次方程 一般式 相同点
一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0) ax=b (a≠0) 都是整式方程，只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
例1： 判断下列方程是否为一元二次方程？
判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方 程化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的 三个条件进行判别。(① 只含一个未知数;②未知数的最 高次数是2. ③ 都是整式方程;)
4(m 1) 6 5m 4 0
m6
练一练
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值。 解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
3²+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
9 a 4
例：关于x的一元二次方程（m-1)x² +x+m² -1=0的一 个根为0，求m的值. 解：把x=0代入原方程，得：
(1)x² +x =36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0
2
√
(2) x + x =36
3 2

(7)4x 1 (2 x 3)
2
x (6) 6 3 2
1 2 (4) 2 0 x 2x
√
(8)( x ) 2 x 6 0

下列方程中哪些是一元二次方程？
2
(1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有：____________
化简为： 6 x 1.
例2 把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并写出它 的二次项系数、一次项系数及常数项. 解 去括号，得 3 x² -3x=2x-4-4. 移项，合并同类项，得方程的一般形式： 3 x² -5x+8=0.
方程(2a－4)x2 －2bx+a=0, ①在什么条件下此方程为一元二次方程？ ②在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解： ①由题意得，2a－4≠0，解之得a≠2 ∴当a≠2时是一元二次方程；
例3：
② 2a－4=0 a=2 由题意得， －2b≠0 解之得 b≠0 ∴当a＝2且b≠0时是一元一次方程.
练习 抢答：
一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数
2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2
2
2 -4 3 4 m-3 3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
(a≠0)
1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形式 2+3x-3=0 x . 其中二次项系数 1 ， 常数项 -3 .
2. 当m ≠2 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二 次方程. 当m =2 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0 是一元一次方程.
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是 （ A ） 1 1 A. 3x 12 2x 1 B. 2 2 0 x x 2 2 C. ax² +bx+c=0 D. x 2 x x 1
m² -1=0, m² =1, m=±1. 又 ∵ m-1≠0, ∴ m≠1. ∴m=-1. ∴当m=-1时，该方程的一个根为0.
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一
个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得
a 1 b 1 c 0 即a b c 0
即：一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ② 未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
“=”的右边必 须整理成0.
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 2 ,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元 ax bx的形式 c 0 二次方程的一般形式. 为什么要限制a≠0， b,c可以为零吗？ 一次项 二次项
a x 2+ b x + c = 0
(a ≠ 0)
a是二次项系数 b是一次项系数 常数项
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0, b≠0, c≠0)
不完全的一 元二次方程 ax2+c=0 (a≠0,c≠0)
ax2=0 (a≠0) ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 （2）
3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax bx c 0 (a≠0)？ (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 （1）
找一元二次方程的二次项、一次项 （2） 系数及常数项要先化为一般式
知识回顾
一、一元二次方程的概念 一般形式：ax2+bx+c=0 对应练习1：
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当 k ≠± 1 时，是一元二次方程．
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
1.本节学习的数学知识是：
（1） 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
∴方程
1.已知关于x一元二次方程(a-1)x² +x+a² -1=0的 一根是0，则a的值为 （ B ） A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0
?
2.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程,则m的值为（ C ） A . 任何实数 B. m≠0 C. m≠1 D. m≠0 且m≠1 3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二 次方程的是( D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8.
注：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、 常数项都是包括符号的 。
Hale Waihona Puke 2 ax+ bx + c = 0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写 一次项,最后是常数项。
2
看谁眼力好！
先看是不是 整式方程， 然后整理看 是否符合另 外两个条件
(5) x 3 ( x 1)(x 2)
2
(6)ax2 bx c 0 (7)m x 0(m为不等于0的常数)
2
一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的 解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-5m ＋4=0有一根为2,求m. 分析:一根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
(3)ax bx c 0
2
可能为0
(4) x( x 1) 2 0
1 (5)a 0 a
2
是分式
(6)(m 2) 1
2
是二次 根式
(7) x x 5
2
(8)2x x 3 2x 1
2
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解：由题意得 a b c 0
即a 1 b 1 c 0
2
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1 拓展:若 a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
（1）三个特征：只含有一个未知数； 方程的两边都是整式； 未知数的最高次数为2次. （2）形如ax2 + bx + c=0（a≠0）叫做一元二次方程. 2.关于x的方程(a-1)x2 - 2x + 3=0是一元二次方程，
则（ D ） A. a>1 B. a<1 C.a=1 D.a≠1
(1) x 2 x 1 ( 2) x 1 1 (3) x x 2 ( 4) x 3 x 2 y 0
练习.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出
它的二次项系数、一次项系数和常数项：
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项
方
2
程
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋ ＋1 1＝0 1x2 ＋1x－8 ＝0