2023年北师大版数学三角函数练习题及答案
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.4.3诱导公式与对称(带答案)
4．3 诱导公式与对称必备知识基础练知识点一 给角求值1．求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6 ；(4)cos (－1 920°).知识点二 给值求值2．已知cos (π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin (－2π－α)＝( )A ．45B ．－45C ．±45D ．353．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝32 ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝________. 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝33 ，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6 的值．知识点三 化简求值5．化简：(1)cos （－585°）sin 495°＋sin （－570°）；(2)sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）.6．已知角θ的终边经过点P (4a ，3a )(a <0). (1)求sin θ，cos θ的值；(2)求1＋2sin （π＋θ）cos （2 023π－θ）sin 2（π2＋θ）－cos 2（5π2－θ）的值．关键能力综合练一、选择题1．α和β的终边关于y 轴对称，下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos βC ．cos (π－α)＝－cos βD ．sin (π－α)＝－sin β 2．cos 390°＝( )A ．－12B ．－32C ．32 D ．123．下列各式中，与cos 1 030°相等的是( ) A ．cos 50° B．－cos 50° C ．sin 50° D．－sin 50°4．已知函数f (x )＝a tan (π－x )＋b cos (x ＋π2)＋2 023，若f (m )＝2 021，则f (－m )＝( )A ．－2B ．－2 025C ．2 024D ．2 0255．已知A ＝sin （k π＋α）sin α ＋cos （k π＋α）cos α(k ∈Z )，则A 构成的集合是( )A ．{－1，1，－2，2}B ．{1，－1}C ．{2，－2}D ．{－2，－1，0，1，2} 二、填空题6．sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝________．7．已知1－3cos （π－θ）cos （2π－θ） ＝29，则cos (3π－θ)＝________．8．化简：cos （π＋α）·sin （2π＋α）sin （－α－π）·cos （－π－α）＝________．三、解答题9．(探究题)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点(－35 ，45)，求下列各式的值．(1)cos (π2 ＋α)＋sin (－π2 ＋α)；(2)sin （π2－α）－cos （π＋α）sin （－α）＋cos （－α） .学科素养升级练1.(多选题)α和β的终边关于原点对称，下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝－sin β B ．cos α＝－cos βC ．sin (π－α)＝sin βD ．cos (π－α)＝cos β 2．(学科素养——逻辑推理)在△ABC 中，若sin (A ＋B －C )＋sin (B －A －C )＝0，试判断△ABC 的形状．4．3 诱导公式与对称必备知识基础练1．解析：(1)cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°＝－32.(2)sin 11π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋3π4 ＝sin 3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4 ＝sin π4 ＝22.(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋7π6＝－sin 7π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6 ＝sin π6 ＝12 . (4)cos (－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos (5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos (180°－60°) ＝－cos 60°＝－12.2．答案：B解析：∵cos (π－α)＝－35，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴由三角函数的定义得sin α＝45 .∴sin (－2π－α)＝－sin α＝－45 .故选B.3．答案：32解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝32 . 4．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－33 ， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2 ＝23 ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－33 －23 ＝－2＋33 .5．解析：(1)原式＝cos （360°＋225°）sin （360°＋135°）－sin （360°＋210°）＝cos （180°＋45°）sin （180°－45°）－sin （180°＋30°） ＝－cos 45°sin 45°＋sin 30° ＝－2222＋12＝2 －2.(2)原式＝sin （－α）cos （－α）cos （π－α）sin （π－α） ＝（－sin α）cos α（－cos α）sin α＝1.6．解析：(1)因为角θ的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，由三角函数定义可得sin θ＝3a （4a ）2＋（3a ）2＝3a －5a ＝－35 ， cos θ＝4a （4a ）2＋（3a ）2＝4a －5a ＝－45. (2)由三角函数的定义可得tan θ＝3a 4a ＝34，原式＝cos 2θ＋2sin θcos θ＋sin 2θcos 2θ－sin 2θ＝（cos θ＋sin θ）2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ ＝1＋tan θ1－tan θ ＝1＋341－34＝7. 关键能力综合练1．答案：A解析：∵α和β的终边关于y 轴对称， ∴β与π－α的终边相同， ∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z ，∴sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin (π－α)＝sin α(k ∈Z ).故选A. 2．答案：C解析：cos 390°＝cos (360°＋30°)＝cos 30°＝32.故选C.3．答案：A解析：cos 1 030°＝cos (3×360°－50°)＝cos (－50°)＝cos 50°.故选A. 4．答案：D解析：因为f (x )＝a tan (π－x )＋b cos (x ＋π2)＋2 023＝－a tan x －b sin x ＋2023，设函数g (x )＝f (x )－2 023＝－a tan x －b sin x ，则g (－x )＝a tan x ＋b sin x ＝－g (x )，即g (x )是奇函数，又f (x )＝g (x )＋2 023，所以f (m )＋f (－m )＝g (m )＋2 023＋g (－m )＋2 023＝4 046，又f (m )＝2 021，所以f (－m )＝2 025.故选D.5．答案：C解析：当k 为偶数时，A ＝2；当k 为奇数时，A ＝－2.故A 构成的集合为{－2，2}．故选C.6．答案：1解析：原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin (－60°＋7×180°)·cos (30°＋7×180°)－cos (－60°＋3×360°)·sin (－30°＋3×360°)＝－sin 60°·(－cos 30°)－cos (－60°)sin (－30°)＝－32 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 －12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1．7．答案：925解析：∵1－3cos （π－θ）cos （2π－θ） ＝1＋3cos θcos θ ＝29 ，∴cos θ＝－925.∴cos (3π－θ)＝cos (π－θ)＝－cos θ＝925.8．答案：1解析：原式＝－cos α·sin α－sin （α＋π）·cos （π＋α） ＝－cos α·sin αsin α·（－cos α）＝1.9．解析：(1)因为角α的终边与单位圆交于点(－35 ，45)，根据三角函数的定义，可得cos α＝－35 ，sin α＝45，由cos (π2 ＋α)＋sin (－π2 ＋α)＝－sin α－cos α＝－45 ＋35 ＝－15.(2)由cos α＝－35 ，sin α＝45，则sin （π2－α）－cos （π＋α）sin （－α）＋cos （－α） ＝cos α＋cos α－sin α＋cos α ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－35＝67.学科素养升级练1．答案：ABD解析：∵α和β的终边关于原点对称， ∴β与π＋α的终边相同． ∴β＝2k π＋π＋α，k ∈Z .∴sin β＝sin (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α， cos β＝cos (2k π＋π＋α)＝cos (π＋α)＝－cos α， ∴A、B 、D 正确．故选ABD.2．解析：∵A ＋B ＝π－C ，A ＋C ＝π－B ， ∴sin (A ＋B －C )＝sin (π－2C )＝sin 2C ， sin (A －B ＋C )＝sin (π－2B )＝sin 2B ， 则sin 2B ＝sin 2C ，∴B ＝C 或2B ＝π－2C ，即B ＝C 或B ＋C ＝π2 ，所以△ABC 为等腰或直角三角形．。
2025年北师大版九年级下册数学第1章第2节30 °,45 °,60 °角的三角函数值
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1 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，则sin A等于 1 ____2____.
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1
4. 计算：
(1)tan 30°·cos 45°－cos 60°·sin 45°； 解：原式＝ 33× 22－12× 22＝
66－ 42＝2
6－3 12
2 .
(2)sin230°＋sin260°＋1－tan 60°；
∴如果甲楼刚好不影响乙楼采光，那么两楼间的距离约是
51.9 m.
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2
11. [2024 陕西师大附中期中]如图，人爬坡时，坡面与水平面
的夹角为α，每爬坡 1 m 耗能1.025－cos αJ，若某人爬完 一个高度为 20 2 m 的斜坡，坡角α＝45°，则他耗能约(参
考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)( A )
1 (2)如果甲楼刚好不影响乙楼采光，那么两楼间的距离约
是多少？(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3≈1.73) 解：如果甲楼刚好不影响乙楼采光，那么 AC 即为甲楼的
影长．连接 BC.在 Rt△ABC 中，AB＝30 m，∠ACB＝30°，
∴AC＝tanAB30°＝303＝30 3≈51.9(m)． 3
第一章 直角三角形的边角关系 2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值
1 2D 3 4
5A 6 60° 7 90° 8
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9 2 m 13
10
14
11 A 15
12 18 m
1
α sin α cos α
tan α
1.
30°
1 2
3 2
3 3
45°
2
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-三角函数的图象与性质(含解析)
一、单项选择题1．若函数y＝3cos 2ωx－π3ω>0)两对称中心间的最小距离为π2，则ω等于()A．1B．2C．3D．42．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝cos 2x－π6f(x)在[－2,0]上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增3．已知函数f(x)＝x＋π6a＝fπ7b＝fπ6c＝fπ4a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c4．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间π6，2π3单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f －5π12等于()A．－32B．－12C.12D.325．(2023·抚州模拟)已知函数f(x)＝sin|x|－cos2x，则下列结论错误的是() A．f(x)为偶函数B．f(x)的最小正周期为πC．f(x)的最小值为－98D．f(x)的最大值为26．(2023·安康模拟)记函数f(x)＝sin ωx＋π4b(ω∈N+)的最小正周期为T，若π2<T<π，且y＝f(x)的最小值为1.则y＝f(x)图象的一个对称中心为()A.－π12，0 B.π12，2C.7π12，2 D.π4，0二、多项选择题7．(2024·株洲模拟)下列关于函数f (x )＝cos x ＋a sin x (a ≠0)的说法正确的是()A ．存在a ，使f (x )是偶函数B ．存在a ，使f (x )是奇函数C ．存在a ，使f (x ＋π)＝f (x )D ．若f (x )的图象关于直线x ＝π4a ＝18．(2023·西安模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ且f－f 1，则()A ．ω＝3B ．φ＝－π6C ．ω＝2D ．φ＝π6三、填空题9．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．10．写出一个同时满足下列两个条件的函数f (x )＝________.①∀x ∈R ，f f (x )；②∀x ∈R ，f (x )≤f11．若函数f (x )＝7sin 在区间π2，a 上单调，则实数a 的最大值为________．12．已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为________．四、解答题13．设函数f (x )＝ωx m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在0，3π2上的值域．14．(2023·新乡模拟)已知函数f (x )＝a x 2cos a >0)，且满足________．从①f (x )的最大值为1；②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f (x )的图(1)求函数f (x )的解析式及最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．15．(2024·抚顺模拟)已知函数f (x )＝|，则下列说法正确的是()A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ≠0，y ∈R }C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z16．(2023·无锡模拟)设函数f (x )＝sinx α，α＋π3上的值域为[M ，N ]，则N －M 的取值范围是______．§4.5三角函数的图象与性质1．A2.D3.A4.D 5．B [因为f (－x )＝sin|－x |－cos(－2x )＝sin|x |－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数，则A 正确；若f (x )的最小正周期为π，则f (x ＋π)＝f (x )恒成立，即sin|x ＋π|－cos 2(x ＋π)＝sin|x |－cos 2x ，即sin|x ＋π|＝sin|x |恒成立，而当x ＝π2时，sin 3π2≠sin π2，所以“f (x )的最小正周期为π”是错误的，则B 错误；由f (x )是偶函数，只需考虑x ≥0时的最值即可，当x ≥0时，f (x )＝sin x －cos 2x ＝2sin 2x ＋sin x－1＝x －98，因为sin x ∈[－1,1]，所以x －98∈－98，2，即f (x )的值域为－98，2，则C 和D 正确．]6．C [由函数的最小正周期T 满足π2<T <π，得π2<2πω<π，解得2<ω<4，又因为ω∈N ＋，所以ω＝3，所以f (x )＝x b ，又函数y ＝f (x )的最小值为1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2，令3x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π3－π12，k ∈Z ，－π12，k ∈Z )，只有C 符合题意(k ＝2)．]7．AD [函数f (x )＝cos x ＋a sin x＝1＋a 2sin(x ＋θ)，其中sin θ＝11＋a 2，cos θ＝a1＋a 2，θ∈(0，π)，当a ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数，故A 正确；对于B ，无论a 取何值，函数f (x )＝1＋a 2sin(x ＋θ)都不可能为奇函数，故B 错误；对于C ，f (x ＋π)＝1＋a 2sin(x ＋π＋θ)＝－1＋a 2sin(x ＋θ)≠f (x )，故C 错误；对于D ，当x ＝π4时，函数f (x )取得最大值或最小值，故22＋22a ＝±1＋a 2，解得a ＝1，故D 正确．]8．CD [因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ上单调，所以T 2＝12·2πω≥2π3－π6＝π2，所以0<ω≤2，因为f f 1，所以＋＋＝1，所以π6ω＋φ＝π2＋2k 1π，2π3ω＋φ＝3π2＋2k 2π，k 1，k 2∈Z ，故π2ω＝π＋2(k 2－k 1)π，所以ω＝2＋4(k 2－k 1)，k 2，k 1∈Z ，因为0<ω≤2，k 2－k 1∈Z ，所以ω＝2，则φ＝π6＋2k 1π，k 1∈Z ，又0<|φ|<π2，所以φ＝π6.]9.2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )10．－cos 4x (答案不唯一)11.7π5解析因为x ∈π2，a ，所以x ＋π10∈3π5，a ＋π10，又3π5在y ＝sin x 的单调递减区间π2，3π2内，所以a ＋π10≤3π2，解得a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.12.916解析∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]，∴cos y ∈－34，54，即cos y ∈－34，1，∵sin x －sin 2y＝14－cos y －(1－cos 2y )＝cos 2y －cos y －34y －1，又cos y ∈－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时，sin x －sin 2y 取最大值，(sin x －sin 2y )max －34－－1＝916.13．解(1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得ωπ±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，所以ω＝13，所以函数f (x )的最小正周期为3π.(2)由(1)知f (x )＝m ，因为f (π)＝0，所以m ＝0，解得m ＝－2，所以f (x )＝2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，可得－12≤ 1.所以－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在0，3π2上的值域为[－3,0]．14．解(1)函数f (x )＝a x－2cos＝a x x 1＝a xx ＋π2－1＝a x x 1＝(a ＋x 1，若选择条件①f (x )的最大值为1，则a ＋1＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若选择条件②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以－(a ＋1)－1＝－3，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1.若选择条件③f (x )则f (a ＋1)sin π6－1＝0，解得a ＝1.所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令f (x )＝1，得x 1，解得2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π，k ∈Z .若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x ＝π3或x ＝4π3，所以实数m 的取值范围是4π3，15．D [函数f (x )的周期是2π，故A 错误；f (x )的值域是[0，＋∞)，故B 错误；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴直线x ＝5π3不是函数f (x )图象的一条对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6<k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z ，故D 正确．]16.12，3解析函数f (x )＝sin x T ＝πα＝π3<T 2，当函数f (x )在α，α＋π3上单调时，N －M ＝|f (α)－f＝|αα＝3|cos 2α|≤3，当函数f (x )在α，α＋π3上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f (x )在α，α＋π3上的图象关于直线x ＝α＋π6对称时，N －M 最小，此时－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝k π2＋π4，k ∈Z ，因此(N －M )min ＝|f (α)－f＝|αsin 2α|＝|ππ＝|12cos k π－cos k π|＝12，所以N －M 的取值范围是12，3.。
北师大版高中数学必修第二册强化练习题 专题强化练6 三角函数公式的综合应用(含答案)
北师大版高中数学必修第二册专题强化练6 三角函数公式的综合应用1.(2023广东广州六区期末)已知θ是第四象限角,且sin(θ+π)=35,则tan θ+ )A.17 B.−7 C.−17 D.72.(多选题)(2024江西南昌第二中学月考)计算下列各式,结果为3的是( ))列说法中正确的是( )A.若bcos C+ccos B=b,则△ABC 是等腰三角形B.若a=2,b=3,A=30°,则符合条件的△ABC 有两个C.若sin 2A=sin 2B,则△ABC 为等腰三角形D.若sin 2B+sin 2C=sin 2A,则△ABC 为直角三角形7.(多选题)(2024江西宜丰中学月考)已知函数f (x )=2(|s i n x |+cos x)cos x-1,则下列说法正确的是( )A.f(x)的图象关于y 轴对称B.f(x)是周期为π的周期函数C.f(x)的值域为[-2,2]D.不等式f(x)≥62的解集为+2k π,5π24+2k π(k ∈Z)答案与分层梯度式解析专题强化练6 三角函数公式的综合应用1.A 因为sin(θ+π)=-sin θ=35,所以sin θ=-35,又θ是第四象限角,所以cos θ=1−sin 2θ=45,tan θ=sinθcosθ=−34,所以tan θ=tanθ+tan41−tanθtanπ4=-4+1=17. 2.AD 2sin 15°+2cos 15°=222sin 15°+22cos 15°=2(cos 45°sin 15°+sin 45°cos 15°)=2sin(15°+45°)=2sin 60°=3,故A 符合;cos 215°-sin 15°cos 75°=cos 215°-sin 15°sin 15°=cos 30°=32,故B 不符合;tan 30°1−tan 230°=12×2tan 30°1−tan 230°=12tan 60°=32,故C 不符合;3sin 50°(1+3tan 10°)=3sin 50°×cos 10°+3sin 10°cos 10°=3sin 50°×=3sin 50°×2(sin 30°cos 10°+cos 30°sin 10°)cos 10°=3cos 40°×2sin 40°cos 10°=3sin 80°cos 10°=3cos 10°cos 10°=3,故D 符合.故选AD.3.C ①因为△ABC 是锐角三角形,所以C 为锐角,从而tan C>0,即-tan(A+B)>0,所以tan A +tan B1−tan A tan B <0,又因为A,B 也是锐角,所以tan A>0,tan B>0,故有1-tan Atan B<0,即tan Atan B>1.②在△ABC 中,由tan Atan B>1,可知tan A>0,tan B>0,即A,B 均为锐角,又因为tan C=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-tan A +tan B1−tan A tan B >0,所以C 为锐角,所以△ABC 是锐角三角形.综上所述,在△ABC 中,“△ABC 是锐角三角形”是“tan Atan B>1”的充要条件.4.ACD 因为sinα+cosαsinα−cosα=3,所以tanα+1tanα−1=3,解得tan α=2,故A 正确;因为-π2<α<π2,tan α=2>0,所以0<α<π2,sin α=255,cos α=55,所以sin α-cos α=55,故B 错误;sin 4α-cos 4α=(sin 2α-cos 2α)(sin 2α+cos 2α)=sin 2α−cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α−1tan 2α+1=35,故C 正确;1−2sinαcosαsin 2α−cos 2α=1−2×255×5545-15=13,故D 正确.故选ACD.则令即当对于D,sin 2B+sin 2C=2sin(B+C)cos (B-C)=2sin Acos(B-C),sin 2A=2sin Acos A,因为sin 2B+sin 2C=sin 2A,所以2sin Acos(B-C)=2sin Acos A,又A ∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos A=cos(B-C),即0=cos(B-C)-cos A=cos(B-C)+cos(B+C)=2cos Bcos C,所以cos B=0或cos C=0,即B=π2或C=π2,故D 正确.故选ABD.7.AC 对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)=2[|sin(-x)|+cos(-x)]cos(-x)-1=2(|sin x|+cos x)cos x-1=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y 轴对称,故A 正确;对于B,因为=2|sinπ4|+π4-1=1,f -=2|sin -+cos cos -所以f-故B 错误;对于C,因为f(x+2π)=2[|sin(x+2π)|+cos(x+2π)]cos(x+2π)-1=2(|sin x|+cos x)cos x-1=f(x),所以f(x)是周期为2π的周期函数,所以f(x)在[-π,π]上的值域即为f(x)的值域.当0≤x≤π时,f(x)=2(|sin x|+cos x)cos x-1=2(sin x+cos x)cos x-1=2sin xcos x+2cos 2x-1=sin2x+cos 2x=2sin 2x +又当0≤x≤π时,π4≤2x+π4≤9π4,所以2sin 2x [-2,2],又f(x)为偶函数,所以f(x)在[-π,0]上的值域也为[-2,2],因此f(x)的值域为[-2,2],故C 正确;对于D,当0≤x≤π时,π4≤2x+π4≤9π4,由f(x)=2sin 2x +≥62,得sin 2x +≥32,所以π3≤2x+π4≤2π3,则π24≤x≤5π24,又f(x)为偶函数,所以不等式f(x)≥62在[-π,π]上的解集为-5π24所以不等式f(x)≥62的解集为-5π24+2kπ,-π24+2kπ∪π24+2kπ,5π24+2kπ(k ∈Z),故D 错误.故选AC.8.解析 (1)f(x)=(sin x+cos x)2+2cos 2x ++2cos2x−=1+sin 2x+1+cos 2x ++1+cos 2x−=sin 2x+2cos 2xcos π6=sin 2x+3cos 2x=2sin 2x +故f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)由(1)知,f(x)=2sin 2x因为f(x 0)=65,所以2sin 2x 0+=65,所以sin 2x 0+=35,。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-5三角函数的应用》题型分类练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》题型分类练习题（附答案）一．测量计算物体高度问题1．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部？3．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）4．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）5．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）6．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）7．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）8．如图，信号塔PQ座落在坡度i＝1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）9．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．10．图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD＝10cm，DE＝120cm，FG⊥DE，垂足为点G．（1）若∠θ＝37°50′，则AB的长约为cm；（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）（2）若FG＝30cm，∠θ＝60°，求CF的长．11．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）12．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）二．实际问题数学抽象13．如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？14．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C 处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？15．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）16．如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．三．三角函数的应用17．如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）18．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）19．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）参考答案一．测量计算物体高度问题1．解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝20+5≈39.6（cm）．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，∴CH＝BC sin60°＝10（cm），DP＝CD sin45°＝10（cm），∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10+10+5）（cm），∴下降高度：DE﹣DF＝20+5﹣10﹣10﹣5＝10﹣10≈3.2（cm）．2．解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，由图可知，FH＝CD＝30m，∵∠BFH＝∠α＝30°，在Rt△BFH中，BH＝，FC＝30﹣17.32＝12.68，再用12.68÷3≈4.23，所以在四层的上面，即第五层，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC，∵BD＝3×10＝30＝CD，∴∠BCD＝45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．3．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5米，BH＝5≈8.65（米），∴DH＝15（米），在Rt△ADH中，AH＝≈＝20（米），∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．4．解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由题意＝，即＝，CM＝（米），在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，MN＝BC＝4，∠AMN＝72°，∴tan72°＝，∴AN≈12.32（米），∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN＝CM＝（米），∴AB＝AN+BN＝12.32+1.5≈13.8（米）．5．解：方法一：如图1，过点D作DM⊥EF于M，过点D作DN⊥BA交BA延长线于N，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，∴DM∥FN，∴∠MDB＝∠ABC＝60°，在Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°＝，∴DN＝×100＝50（cm），∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，∴四边形MFND是矩形，∴DN＝MF＝50，∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，∵DE＝70（cm），∴ME＝DE•sin∠EDM＝70×sin15°≈18.2（cm），∴EF＝ME+MF＝50+18.2≈104.8≈105（cm），答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．方法二：如图2，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，过点E作EG⊥HD延长线于G，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），同方法一得，DH＝BD•sin60°＝50（cm），∵在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，∴∠BDH＝30°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDG＝180°﹣∠BDH﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DEG＝90°﹣75°＝15°，∴DG＝DE•sin15°≈18.2（cm），∴GH＝DG+DH＝18.2+50≈104.8≈105（cm），∵∠F＝90°，∠H＝90°，∠G＝90°，∴EF＝GH≈105（cm），答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．6．解：∵BN∥ED，∴∠NBD＝∠BDE＝37°，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴BE＝DE•tan∠BDE≈18.75（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA＝∠CAM＝45°，∴AF＝FC＝25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∵AE＝AB+EB＝35.75（cm），∴CD＝EF＝AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．7．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．8．解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN＝x米，则EQ＝2x米，∵QN2＝EN2+QE2，∴20＝5x2，∵x＞0，∴x＝2，∴EN＝2（米），EQ＝MF＝4（米），∵MN＝3米，∴FQ＝EM＝1（米），在Rt△PFM中，PF＝FM•tan60°＝4（米），∴PQ＝PF+FQ＝（4+1）米．9．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝AC sin30°＝50×＝25（cm），∵GD＝50﹣30＝20（cm），∴CD＝CG+GD＝25+20＝45（cm），连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90（cm），∴EH＝EC+CH＝AB﹣BE﹣AC+CH＝300﹣50﹣50+90＝290（cm），在Rt△EFH中，EF＝EH•tan30°＝290×＝（cm），答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．10．解：（1）如图，作EP⊥BC于点P，作DQ⊥EP于点Q，则CD＝PQ＝10，∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠θ＝90°，且∠1＝∠2，∴∠3＝∠θ＝37°50′，则EQ＝DE sin∠3＝120×sin37°50′，∴AB＝EP＝EQ+PQ＝120sin37°50′+10＝83.2（cm），故答案为：83.2；（2）如图，延长ED、BC交于点K，由（1）知∠θ＝∠3＝∠K＝60°，在Rt△CDK中，CK＝＝（cm），在Rt△KGF中，KF＝＝＝（cm），则CF＝KF﹣KC＝﹣＝＝（cm）．11．解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH＝30×30＝900，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝9米，∴AB＝9，∴BG＝BH﹣HG＝7米，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9米，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝100（81﹣45）立方米．12．解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，∵四边形DMNC是矩形，∴DM＝CN＝2x，在Rt△NBC中，tan37°＝＝＝，∴BN＝x，∵x+3+x＝14，∴x＝3，∴DM＝6，答：坝高为6m．（2）作FH⊥AB于H．设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3+2y﹣y＝3+y，BH＝14+2y﹣（3+y）＝11+y，由△EFH∽△FBH，可得＝，即＝，解得y＝﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），∴DF＝2﹣7，答：DF的长为（2﹣7）m．二．实际问题数学抽象13．解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，理由是：过B作BD⊥AC于D，∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，∴求出DB长和2.1m比较即可，设BD＝xm，∵∠A＝30°，∠C＝45°，∴DC＝BD＝xm，AD＝BD＝xm，∵AC＝2（+1）m，∴x+x＝2（+1），∴x＝2，即BD＝2m＜2.1m，∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．14．解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，设EH＝4xm，则FH＝3xm，∴EF＝＝5xm，∵EF＝15m，∴5x＝15m，x＝3，∴FH＝3x＝9m．即山坡EF的水平宽度FH为9m；（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，H＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，H1＝0.9，∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝＝，∵该楼的日照间距系数不低于1.25，∴≥1.25，∴CF≥29．答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．15．解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝＝，∴GP＝OP＝≈0.404，∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．16．解：∵BH＝0.6米，sinα＝，∴AB＝＝1米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，BF＝AB，∴△EFK∽△FBJ∽△ABH，△FBJ≌△ABH，∴，BJ＝BH＝0.6米，即，解得，EK＝1.28，∴BJ+EK＝0.6+1.28＝1.88＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．三．三角函数的应用17．解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1，在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，∴BE＝AB•sin A＝1×sin35°≈0.6，∴AE＝AB•cos A＝1×cos35°≈0.8，在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，∴CF＝CD•sin D＝1×sin45°≈0.7，∴DF＝CD•cos D＝1×cos45°≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝CM，∴四边形BEMC是平行四边形，∴BC＝EM，在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，∴EM＝＝≈1.4，答：B与C之间的距离约为1.4米．18．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．19．解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB 的延长线于E，∵AB∥CD，∴四边形AECF是矩形，∵∠BCD＝60°，∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，∵∠ADC＝135°，∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF＝AF＝CE＝4，由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，∴AB＝4﹣2，∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，答：垂尾模型ABCD的面积为24．20．解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1m，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，∵△AEF是等边三角形，∴AK＝（m），∴FK＝＝（m），∴FM＝2FK＝（m），∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m），答：∠AFE的度数为60°，棚宽BC的长约为6.9m；（2）∵∠AFE＝74°，∴∠AFK＝37°，∴KF＝AF•cos37°≈0.80（m），∴FM＝2FK＝1.60（m），∴BC＝4FM＝6.40（m）＜6.92（m），6.92﹣6.40＝0.52≈0.5（m），答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．21．解：（1）如图，过点C作CF⊥DE于点F，∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．∴∠DCF＝20°，∴DF＝CD•sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），∴DE＝2DF≈3.4cm，∴线段DE的长约为3.4cm；（2）∵横截面是一个轴对称图形，∴延长CF交AD、BE延长线于点G，连接AB，∴DE∥AB，∴∠A＝∠GDE，∵AD⊥CD，BE⊥CE，∴∠GDF+∠FDC＝90°，∵∠DCF+∠FDC＝90°，∴∠GDF＝∠DCF＝20°，∴∠A＝20°，∴DG＝≈≈1.8（cm），∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），∴AB＝2AG•cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．∴点A，B之间的距离22.2cm．。
2024-2025年北师大版数学必修第二册4.2.3三角函数的叠加及其应用(带答案)
2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练知识点一 辅助角公式 1．函数f (x )＝32 sin 2x ＋12cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22．使函数f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)为奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数的φ的一个值是( )A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π33．计算sin π12 －3 cos π12 的值为________．知识点二 三角函数的叠加应用 4．已知函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx (ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 的值；(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝－35 ，求cos (α＋β)的值．知识点三 三角函数模型的应用5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3 cos π12 t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 的最小值是( )A ．2－2B ．2＋2C ．3D ．12．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π3．若tan θ＝b a (－π2 <θ<π2)，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin (x ＋φ)(0≤φ<2π)，下列判断错误的是( )A ．当a >0，b >0时，φ＝θB ．当a >0，b <0时，φ＝θ＋2πC ．当a <0，b >0时，φ＝θ＋πD ．当a <0，b <0时，φ＝θ＋2π4．将函数y ＝sin (2x ＋φ)，φ∈(0，π)的图象向左平移π12 个单位长度得到函数g (x )的图象，已知g (x )是偶函数，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－33 D ．335．已知函数f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ，则下面结论错误的是( )A ．当x ∈[0，π2 ]时，f (x )的取值范围是[－3 ，2]B ．y ＝f (x )在[π3 ，π2 ]上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称D ．y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到二、填空题6．函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a >0)的最大值为2，则a ＝________．7．函数y ＝sin x －3 cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3 cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．8．(易错题)已知cos (α－π6 )＋sin α＝435 ，则sin (α＋7π6)的值是________．三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22 ，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3 ，求x 的值．学科素养升级练1.(多选题)函数f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ，x ∈R ，下列说法正确的是( )A ．f (x －π12 )为偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间[0，π2 ]上先减后增D ．f (x )的图象关于x ＝π6对称2．(学科素养——数学运算)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，其中ω>0.若f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，求ω的取值范围．2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练1．答案：A解析：f (x )＝32 sin 2x ＋12 cos 2x ＝sin (2x ＋π6 )，所以最小正周期为T ＝2π|ω|＝π，振幅为1.故选A.2．答案：B解析：由题意得f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3 . ∵函数f (x )为奇函数，且定义域为R ， ∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3 ＝0.∴φ＋π3 ＝n π，n ∈Z ，∴φ＝n π－π3，n ∈Z .令2k π＋π2 ≤2x ＋φ＋π3 ≤2k π＋3π2 ，k ∈Z ，得k π＋π12 －φ2 ≤x ≤k π＋7π12 －φ2，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π12－φ2≤0，k π＋7π12－φ2≥π4， k ∈Z ，∴2k π＋π6 ≤φ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z ，∴当φ＝2π3时，满足题意．故选B.3．答案：－2解析：sin π12 －3 cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12 ＝－2cos π4 ＝－2 .4．解析：(1)因为f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx ， 所以f (x )＝sin (ωx ＋π6).因为函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx 的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π， 所以T ＝2π，ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π6 ＝sin π6 cos π4 －cos π6 sin π4 ＝2－64 .(2)由(1)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝sin α＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝sin (β＋π)＝－sin β＝－35 ，所以sin β＝35. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以cos α＝1－sin 2α ＝513 ，cos β＝1－sin 2β ＝45 ，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513 ×45 －1213 ×35 ＝－1665 .5．解析：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，又0≤t <24，所以π3 ≤π12 t ＋π3 <7π3 ，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 >11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 <－12 .又0≤t <24，因此7π6 <π12 t ＋π3 <11π6 ，所以10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．关键能力综合练1．答案：C解析：原式＝2 ⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＋2＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＋2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，∴x ＋π4 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .当x ＋π4 ＝π4 或3π4 ，即x ＝0或x ＝π2 时，函数y 取得最小值，即y min ＝2 ×22＋2＝3.故选C. 2．答案：A解析：∵f (x )＝cos x －sin x ＝2 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ，∴当2k π≤x ＋π4 ≤π＋2k π(k ∈Z )，即－π4 ＋2k π≤x ≤3π4 ＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递减，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 ，∴－a <a ，－a ≥－π4 ，a ≤3π4 .解得0<a ≤π4 ，∴a 的最大值为π4.故选A.3．答案：D解析：由选项知，ab ≠0，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x )，令cos φ＝aa 2＋b 2 ，sin φ＝b a 2＋b 2，有tan φ＝sin φcos φ ＝b a ＝tan θ(－π2<θ<π2)，0≤φ<2π，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，对于A ，当a >0，b >0时，φ为第一象限角，且0<φ<π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan θ，则φ＝θ，A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，φ为第四象限角，且3π2 <φ<2π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan(θ＋2π)，则φ＝θ＋2π，B 正确；对于C ，当a <0，b >0时，φ为第二象限角，且π2 <φ<π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，C 正确；对于D ，当a <0，b <0时，φ为第三象限角，且π<φ<3π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，D 错误．故选D.4．答案：D解析：将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π12个单位长度，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ 的图象， 因为g (x )是偶函数，所以π6 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)，所以φ＝π3 ，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝tan π6 ＝33 .故选D.5．答案：D解析：f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ＝2sin (3x －π3 )，当x ∈[0，π2 ]，3x －π3 ∈[－π3 ，7π6 ]，sin (3x －π3 )∈[－32，1]，f (x )的取值范围是[－3 ，2]，A 正确； 当x ∈[π3 ，π2 ]，3x －π3 ∈[2π3 ，7π6 ]，f (x )＝2sin (3x －π3 )单调递减，B 选项正确；当x ＝－π18 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝－2，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称，C 选项正确；由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到y ＝sin 3(x －π3 )＝sin (3x －π)＝－sin 3x ，D 选项错误．故选D.6．答案：3解析：∵f (x )＝a sin x ＋cos x ＝a 2＋1 sin (x ＋φ)，tan φ＝1a ，φ∈(0，π2 )，∴当sin (x ＋φ)＝1时，f (x )取最大值，∴a 2＋1 ＝2，a >0，得a ＝3 .7．答案：2π3解析：因为y ＝sin x ＋3 cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ，y ＝sin x －3 cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的图象至少向右平移2π3 个单位长度可以得到y ＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 的图象．8．答案：－45解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＋sin α＝435 ，得32 cos α＋12 sin α＋sin α＝435 ，即12 cos α＋32 sin α＝45 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝45 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6 ＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝－cos [π2 －(α＋π6 )]＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－45 . 9．解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ，n ＝(sin x ，cos x )，且m ⊥n ，∴m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ·(sin x ，cos x )＝22 sin x －22 cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝0.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝0，∴x ＝π4 ，∴tan x ＝tan π4＝1.(2)由(1)及题意知 cos π3 ＝m ·n |m ||n |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12 .又∵x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝π6 ，解得x ＝5π12.学科素养升级练1．答案：AC解析：由辅助角公式可得：f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ＝2cos (2x ＋π6 )，由题可知f (x －π12 )＝2cos 2x ，为偶函数，A 正确；最小正周期T ＝2π2＝π，故B 错误；令2x ＋π6 ＝t ，t ∈[π6 ，7π6 ]，y ＝2cos t 在区间[π6 ，7π6]先减后增，故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos π2 ＝0，所以f (x )关于点(π6，0)对称，D 错误．故选AC. 2．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin (ωx ＋π4 )，由x ∈(π2 ，3π4 )，得ωx ＋π4 ∈(π2 ω＋π4 ，3π4 ω＋π4 )，因为f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，所以T 2 ＝πω ≥3π4 －π2，得ω≤4，且⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥－π2＋2k π，3π4ω＋π4≤π2＋2k π，解得－32 ＋4k ≤ω≤13 ＋83k ，k ∈Z ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32＋4k <13＋83k ，13＋83k >0，解得－18 <k <118 ，所以k ＝0或k ＝1，当k ＝0时，0<ω≤13 ，当k ＝1时，52≤ω≤3，综上所述，ω的取值范围为(0，13 ]∪[52 ，3].。
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.5.1.2正弦函数的性质(带答案)
第2课时 正弦函数的性质必备知识基础练知识点一 正弦函数的定义域与值域1．(1)求函数y ＝2sin x －1 的定义域；(2)求函数y ＝5cos (π2 ＋x )－1，x ∈[π6 ，π]的值域．知识点二 正弦函数的单调性2．比较下列各组数的大小：(1)sin π4 和sin 2π3 ；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π16 和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 ；(3)sin 21π5 和sin 42π5 ；(4)sin 194°和cos 160°.3．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间．知识点三 正弦函数的周期性和奇偶性4．函数y ＝sin (x －π)是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6 的周期为________． 6．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4 的值为________．关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3 的值域是( ) A ．[－1，1] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 2．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 3．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值为π4，则f (x )的最小正周期为( ) A ．2π B ．π C．π2 D ．π44．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°5．(探究题)函数y ＝sin x －|sin x |的值域是( )A ．0B ．[－1，1]C ．[0，1]D ．[－2，0]二、填空题6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的周期为________． 7．已知函数f (x )＝sin (πx ＋φ)(0<φ<2π)在x ＝2处取得最大值，则φ＝________．8．(易错题)函数y ＝－2sin x 的定义域是________________________________________________________________________，单调递减区间是________________．三、解答题9．(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 的递增区间． (2)若函数y ＝a －b sin x 的最大值是32 ，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值与最小值及周期．学科素养升级练1.(多选题)下列说法正确的是( )A ．y ＝|sin x |的定义域为R ，周期为πB ．y ＝3sin x ＋1的最小值为1，最大值为4C ．y ＝－sin 2x 为奇函数D ．y ＝sin (x －π)的单调递增区间为[2k π＋π2 ，2k π＋3π2](k ∈Z ) 2．(学科素养——数形结合)已知函数f (x )＝sin x －2|sin x |，x ∈[0，2π].(1)作出函数f (x )的图象，并写出f (x )的单调区间；(2)讨论g (x )＝sin x －2|sin x |－k ，x ∈[0，2π]的零点个数，并求此时k 的取值范围．第2课时 正弦函数的性质必备知识基础练1．解析：(1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，画出y ＝sin x 的图象，可知sin x ≥12 的解集为{x |π6 ＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }． 故函数的定义域为[2k π＋π6 ，2k π＋5π6 ](k ∈Z ). (2)y ＝5cos (π2＋x )－1＝－5sin x －1. ∵y ＝sin x 在区间[π6 ，π2 ]上单调递增，在区间[π2，π]上单调递减， ∴sin π≤sin x ≤sin π2，即0≤sin x ≤1， 故－6≤－5sin x －1≤－1，即函数的值域为[－6，－1].2．解析：(1)sin 2π3 ＝sin (π－π3 )＝sin π3 . 因为0＜π4 ＜π3 ＜π2 ，且y ＝sin x 在区间(0，π2)上单调递增， 所以sin π4 ＜sin π3 ，即sin π4 ＜sin 2π3. (2)因为－π2 ＜－π10 ＜－π16 ＜π2 ， y ＝sin x 在区间[－π2 ，π2]上单调递增， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π16 ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 . (3)sin 21π5 ＝sin (4π＋π5 )＝sin π5， sin 42π5 ＝sin (8π＋2π5 )＝sin 2π5 . 因为0＜π5 ＜2π5 ＜π2 ，且y ＝sin x 在[0，π2 ]上单调递增，所以sin π5 ＜sin 2π5 ，即sin 21π5 ＜sin 42π5. (4)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.因为0°＜14°＜70°＜90°，所以sin 14°＜sin 70°.所以－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°.3．解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ，令z ＝x －π4 ，则y ＝－2sin z . 因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2 ≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z ). 所以2k π＋π2 ≤x －π4 ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，即2k π＋3π4 ≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4 (k ∈Z ). 4．答案：C解析：y ＝sin (x －π)＝－sin (π－x )＝－sin x ，令f (x )＝－sin x ，则f (x ＋π)＝－sin (x ＋π)＝sin x ≠f (x )，故π不是f (x )的周期，排除A 、B.又f (－x )＝－sin (－x )＝sin x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．故选C.5．答案：2π3解析：令u ＝3x －π6，∵x ∈R ，∴u ∈R . ∵函数y ＝2sin u 的最小正周期是2π，∴变量u 至少要增加到u ＋2π，函数y ＝2sin u (u ∈R )的值才能重复取得．又u ＋2π＝3x －π6 ＋2π＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3 －π6 ，∴自变量x 至少要增加到x ＋2π3 ，函数的值才能重复取得，从而函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6 (x ∈R )的周期为2π3 . 6．答案：－1解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝－1. 关键能力综合练1．答案：B解析：画出函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3 的图象(如图)，利用图象直接观察可得，B 正确．故选B.2．答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象如图所示．借助图象不难看出C 符合题意．故选C.3．答案：B解析：由题意得14 T ＝π4，所以T ＝π.故选B. 4．答案：C解析：∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，又sin 11°<sin 12°<sin 80°，∴sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.5．答案：D解析：当0≤x ≤π时，sin x ≥0，所以y ＝0；当π<x ≤2π时，sin x ≤0，所以y ＝2sin x ，其值域为[－2，0].综上，函数的值域是[－2，0].故选D.6．答案：4π解析：令f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (x ＋4π)＝sin [12 (x ＋4π)]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的周期为4π. 7．答案：π2解析：由题意得sin (2π＋φ)＝1，∴sin φ＝1，∴φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<2π，∴φ＝π2. 8．答案：[2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z )⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π2，2k π＋2π (k ∈Z ) 解析：由题意知－2sin x ≥0，∴sin x ≤0.结合y ＝sin x 的图象可知，2k π＋π≤x ≤2k π＋2π，k ∈Z .∴函数y ＝－2sin x 的定义域为[2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z ).∵y ＝sin x 的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z ). 根据复合函数的单调性，结合定义域可知函数y ＝－2sin x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π2，2k π＋2π (k ∈Z ). 9．解析：(1)令t ＝2x －π4，则y ＝sin t . ∵y ＝sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 ，k ∈Z ， ∴2k π－π2 ≤t ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即2k π－π2 ≤2x －π4 ≤2k π＋π2，k ∈Z . ∴k π－π8 ≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z . ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8 ，k ∈Z . (2)∵－1≤sin x ≤1，∴当b >0时，－b ≤b sin x ≤b .∴a －b ≤a －b sin x ≤a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1， ∴y ＝－4a sin bx ＝－2sin x .当b <0时，b ≤b sin x ≤－b ，∴a ＋b ≤a －b sin x ≤a －b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1， ∴y ＝－4a sin bx ＝－2sin (－x )＝2sin x .∴y ＝±2sin x ，最大值是2，最小值是－2，周期是2π.学科素养升级练1．答案：ACD解析：作出函数y ＝|sin x |的图象，其定义域为R ，周期为π，故A 正确；函数y ＝3sin x ＋1的最小值为－2，此时sin x ＝－1，故B 错误；由－sin (－2x )＝sin 2x 知，y ＝－sin 2x 是奇函数，故C 正确；y ＝sin (x －π)＝－sin x ，其单调递增区间即y ＝sin x 的单调递减区间，故D 正确．故选ACD.2．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ，x ∈[0，π]，3sin x ，x ∈（π，2π]， 图象如图，由图象可知f (x )的递增区间为[π2 ，π]，[3π2，2π]； f (x )的递减区间为[0，π2 ]，[π，3π2]. (2)由图象可知：当k ＞0或k ＜－3时，直线y ＝k 与函数f (x )有0个交点；当k ＝－3时，直线y ＝k 与函数f (x )有1个交点；当－3＜k ＜－1时，直线y ＝k 与函数f (x )有2个交点；当k ＝0或k ＝－1时，直线y ＝k 与函数f (x )有3个交点；当－1＜k ＜0时，直线y ＝k 与函数f (x )有4个交点．。
2023-2024学年北京市顺义区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数章节测试-7-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年北京市顺义区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数章节测试(7)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）-log 23-2log 231-2log 233-2log 231. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意， 都有f(x-1)=f(x+3)。
当时，f(x)=2x +1设函数f(x)在区间[-2，0]上的反函数为f -1(x)，则f-1(19)的值为（ ）A. B. C. D. 向左平移 个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度向右平移 个单位长度2. 要得到 的图象，只需将 的图象（ ）A.B. C.D. 3. 已知锐角且的终边上有一点 ， 则的值为（ ）A. B. C. D.-2- 24. 已知函数 是奇函数，且的最小正周期为 ，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 5. 已知函数f （x ）=4 sin （ωx+ ）（ω＞0）在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC=90°，则ω=（ ）A. B. C. D.6. 在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，则等于（ ）A. B. C. D.关于点对称关于点对称关于直线对称关于直线对称7. 已知函数在处取得最大值，则函数的图象 （ ）A. B. C. D. 8. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为 ， 则（ ）A. B. C. D.π2π9. 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x ，都有，那么的最小值为（ ）A. B. C. D. 20℃20.5℃21℃21.5℃10. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为（ ）A. B. C. D. 函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍11. 已知函数的部分图象如下所示，其中 ， 为了得到的图象，需将（）A. B. C.函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍D. （0， ）（ ，1）（﹣∞，﹣1）（0， ）12. 已知函数f （x ）=sin x ﹣1（x ＜0），g （x ）=log a x （a ＞0，且a≠1）．若它们的图象上存在关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 13. 已知函数y=2sin （ωx+φ）（ω＞0），若存在x 0∈R ，使得f （x 0+2）﹣f （x 0）=4，则ω的最小值为 ．14. 已知函数 和函数 的图像交于 三点，则 的面积为15. 已知函数 在区间 上恰有三个零点，则 的取值范围是 ．16. 将﹣1485°化为2kπ+α（0≤α＜2π，k ∈Z ）的形式是 ．17. 在平面四边形ABCD 中， AB ＝2，BD ＝ ，AB ⊥BC ，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2．(1) 求AD 的长；(2) 求△CBD 的面积．18. 已知函数的部分图象如图所示．(1) 求函数的解析式；(2) 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数 的图象，求函数的单调递减区间．19. 函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）（ ）的部分图象如图所示．(1) 求函数f（x）的解析式．(2) 函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20. 函数 b的部分图象如图所示．(1) 求的解析式；(2) 求在区间上的最大值．21. 已知函数在区间上的最大值为.(1) 求常数m的值；(2) 求函数的单调递增区间及图象的对称中心.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
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2023年北师大版数学三角函数练习题及答案由于无法提供实际的题目和答案，我将为您编写一篇关于数学三角函数练习题的文章。
文章内容如下：
2023年北师大版数学三角函数练习题及答案
在学习数学的过程中，三角函数是一个非常重要的概念。
掌握三角函数的运用，不仅有助于数学理论的学习，还具有广泛的实际应用价值。
为了帮助广大学生巩固和提升对三角函数的掌握能力，我们特别为大家准备了一套2023年北师大版数学三角函数练习题及答案。
以下是部分练习题示例，供大家参考。
1. 求解方程sinx - cosx = 0在区间[0,π]内的所有解。
解析：首先，将sinx和cosx转化为tanx的形式，得到tanx - cotx = 0。
然后，令t = tanx，我们可以将方程转化为t - 1/t = 0。
进一步，整理得到t^2 - 1 = 0。
解这个二次方程，我们可以得到t = 1或t = -1。
由于t = tanx，我们知道tanx = 1和tanx = -1分别对应于x = π/4和x = 3π/4。
所以，在区间[0,π]内，方程sinx - cosx = 0的解为x = π/4和x = 3π/4。
2. 已知三角函数sinA = 3/5，且A所在的象限为第二象限，求cosA 和tanA的值。
解析：由题意可知，sinA = 3/5，且A所在的象限为第二象限。
根据三角函数的定义，我们可以先求出cosA的值。
由于sinA = 3/5，我们可以通过勾股定理计算出第三边的长度为4（假设直角三角形斜边的
长度为5）。
所以，cosA = 4/5。
进一步，我们可以通过cosA = 4/5计算出tanA的值为tanA = sinA / cosA = (3/5) / (4/5) = 3/4。
以上是部分练习题的解答，希望能帮助大家巩固对三角函数的理解和运用。
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请注意，这些题目仅供练习使用，不代表实际考试的题型和难度。
希望大家能够根据自身情况合理安排学习时间，不断提升数学能力。
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通过练习这些题目，同学们可以更好地理解和掌握三角函数的性质和运算规律，提高数学解题的能力。
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总结：
数学三角函数是数学学习中的重要内容之一。
通过练习题的训练，可以帮助同学们巩固和提升对三角函数的理解和运用能力。
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同时，鼓励同学们在解答问题的过程中要灵活运用各种数学方法和思维方式，不断提高自己的数学思维能力。
祝愿大家在数学学习中取得优异的成绩！。