北师大版三角函数的应用(4)
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。
2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。
3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备三角函数的图像和公式。
3.准备投影仪和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。
同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。
让学生举例说明，培养学生的创新意识。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》精品课件PPT
都来当个小专家！
A
B 咋 办
2 如图,水库大坝的截面是梯形
ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底
D
BC=30m,∠ADC=1350. (1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个 C 大坝共需多少土石方(结果精确到
0.01m3 ).
先构造直 角三角形!
2020年北师大版九年级数学下册1.5《 三角函 数的应 用》课 件（共 16张pp t）
1 如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的
高度为20m,求此斜坡的倾斜角. 2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点 A
C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又 A
测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结
果精确到0.1m).
B
3. 如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯 形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm, 燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC(结 果精确到1mm).
北师大版九年级数学下册 2020年北师大版九年级数学下册1.5《三角函数的应用》课件（共16张ppt）
2020年北师大版九年级数学下册1.5《 三角函 数的应 用》课 件（共 16张pp t）
2020年北师大版九年级数学下册1.5《 三角函 数的应 用》课 件（共 16张pp t）
直角三角形的边角关系
看我露一手
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只
要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无
触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=
20海里.设AD=x,则
北
A
tan 550 BD , tan 250 CD ,
九年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)专题 三角函数的应用
专题1.8 三角函数的应用（知识讲解）【学习目标】会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC 中，△C ＝90°．（1）互余关系：sin cos A B =，0c sin(9)s n os i A A B ︒=-∠=；（2）平方关系：22sin cos 1A A +=；（3）倒数关系：tan(90)1tan A A ︒⋅-∠=或1t n an a t A B=；（4）商数关系：i t n an s cos A A A=． 要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、利用同角三角函数关系求值1．计算：（1）2tan452sin30cos 30-+； （2）22tan1tan89sin 1sin 89⋅++．举一反三：【变式1】2．已知△A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A 的值是多少。
【变式2】3．如图，在ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD ∠=∠=︒．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）当5AB =，3tan 4ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，求BD 的长．【变式3】4．求值：(1)260453456cos sin tan tan +-⋅； ()2已知2tanA =，求245sinA cosA sinA cosA-+的值． 类型二、求证同角三角函数关系式5．已知：1sin15cos15sin302⋅=，1sin20cos20sin402⋅=，1sin30cos30sin602⋅=，请你根据上式写出你发现的规律________．举一反三：【变式1】6．已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：△sin cos 0a b c θθ+-=；△cos sin 0a b d θθ-+=（其中θ为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是：___________【变式2】7．△sin 2A+cos 2A=________，△tanA•cotA=________．类型三、互余两角的三角函数的关系8．在Rt△ABC 中，已知△C ＝90°，sin A ＝35，求cos A 、tan A 以及△B 的三个三角函数值． 举一反三：【变式1】9．在Rt △ABC 中，△C ＝90°，sin B ＝35，求cos A 的值．10．在Rt△ABC中，△C=90°，sinA=34，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．【变式3】11．在Rt△ABC中，△C＝90°，cosB＝35，求tanA的值．类型四、三角函数综合12．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，sin A＝45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos △ABE的值．举一反三：【变式1】13．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile 到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．14．如图，已知四边形ABCD 中，△ABC=90°，△ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若△A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=45，求AD 的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【变式3】15．如图，在Rt ABC 中，90,30,B A AC ∠=︒∠=︒=（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE 的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．参考答案：1．（1）34；（2）2. 【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=1tanB，sin 2A+cos 2A=1，sinA=cosB 计算.【详解】()1原式21331211244=-⨯+=-+=； ()2原式()221tan1sin 1cos 1tan1=⨯++ 11=+2=.故答案为（1）34；（2）2. 【点睛】本题考查了三角函数值的计算.2．74【分析】先求出A ∠的度数，再求出cos A 的值，最后代入计算即可.【详解】A ∠为锐角，且1sin 2A = 30A ∴∠=︒cos cos30A ∴=︒=22224117 44()4224sin A sinAcos A A cos ∴-+⨯-⨯== 【点睛】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.3．（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，ABE CDF ∠=∠，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论； （2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到CBE ECF ∠=∠，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．【详解】（1）证明=90AEB CFD ， △//AE CF ，在ABCD 中，//AB CD ，=AB CD ，△ABE CDF ∠=∠，△ABE ≌CDF ()AAS ，△AE CF =，△四边形AECF 是平行四边形．（2）解：△ABE ≌CDF ，△BE =DF ，△四边形AECF 是平行四边形，△EAF FCE ，在Rt ABE 中5AB =，3tan 4ABE ∠=，△AE =3，BE =4．△BE =DF ，AE =CF ，△BE =DF =4，AE =CF =3，EAF FCE ，CBE EAF ∠=∠，△CBE ECF ∠=∠，△tan△CBF =34CF BE EF EF =++，tan△ECF =3EF EF CF =，△343EF EF =+，得到EF 2，或EF =2（舍去），△BD 2=6，即BD =6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．4．（1）0；（2）313. 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．【详解】（1）原式12=+）2﹣11122=+-1=0； （2）△tan A =2，△sin cos A A =2，△sin A =2cos A ，△原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ⨯-⨯+=3cos 13cos A A =313． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．5．1sin cos sin22ααα⋅= 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：1sin cos sin22ααα⋅=. 故答案为1sin cos sin22ααα⋅=. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系.6．a 2+b 2=c 2+d 2【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可找到这四个数的关系．【详解】由△得asinθ+bcosθ=c ，两边平方，a 2sin 2θ+b 2cos 2θ+2absinθcosθ=c 2△，由△得acosθ-bsinθ=-d ，两边平方，a 2cos 2θ+b 2sin 2θ-2absinθcosθ=d 2△，△+△得a 2（sin 2θ+cos 2θ）+b 2（sin 2θ+cos 2θ）=c 2+d 2，△a 2+b 2=c 2+d 2．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin 2θ+bcos 2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．7． 1 1【详解】如图，设Rt△ABC 中，△C=90°，△A 、△B 、△C 所对的边分别为a b c 、、，则sinA=a c，cosA=b c ，tanA=a b ，cotA=b a ，222+=a b c ， △（1）sin 2A+cos 2A=2222222()()1a b a b c c c c c++===； （2）tanA•cotA=1a b b a ⋅=.点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.8．见解析．【分析】根据已知角A 的正弦设()30BC k k =>，得出5AB k =，由勾股定理求出4AC k =，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】△sin A ＝35＝BC AB ， △设()30BC k k =>，5AB k =，由勾股定理得：4AC k =，则cos A ＝4554AC k AB k ==， tan A ＝3344BC k AC k ==， sin B ＝45AC AB =， cos B ＝35BC AB =， tan B ＝43AC BC =．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键．9．cos A ＝35. 【分析】先根据三角形内角和定理得出△A+△B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．【详解】解：在△ABC 中，△△C ＝90°，△△A ＋△B ＝90°，△cos A ＝sin B ＝35. 故答案为：35. 【点睛】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．1034【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k ＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．【详解】解:如图因为Rt △ABC 中，△C=90°，3sin 4A =， 所以34BC AB =， 设BC ＝3k(k ＞0)，则AB ＝4k ．在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC ．所以cos AC A AB ===，sin AC B AB== 33cos 44BC k B AB k ===，tanBC A AC ==，tan AC B BC === 11．34【分析】在Rt △ABC 中，△C ＝90°，根据，cosB ＝BC AB ＝35，设BC ＝3x ，AB ＝5x ，再根据勾股定理，可得AC 的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．【详解】解 由在Rt △ABC 中，△C ＝90°，cosB ＝35，得 cosB ＝BC AB ＝35， 设BC ＝3x ，AB ＝5x ，勾股定理得AC 4x ，由正切等于对边比邻边，得tanA ＝BC AB =3x 4x =34. 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，勾股定理，正切函数的定义．熟练掌握相关知识是解题的关键．12．（1）5；（2）2425. 【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB =10，然后由已知D 为斜边AB 上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos△ABE =BE BD，则求余弦值即求BE ，BD 的长，易求得BD =5.再利用等面积法求BE 的长.试题解析：(1)在△ABC 中，△△ACB ＝90°，sin A ＝45BC AB =，而BC ＝8，△AB ＝10.△D 是AB 的中点，△CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt△ABC 中，△AB ＝10，BC ＝8，△AC ＝6.△D 是AB 中点，△BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，△S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，△BE ＝6824255⨯=⨯. 在Rt△BDE 中，cos△DBE ＝BE BD ＝ 2455＝2425，即cos△ABE 的值为2425. 点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.13．渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．【分析】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，解直角三角形即可得到结论．【详解】过点C 作CD△AB 于点D ，由题意得：△BCD=30°，设BC=x ，则：在Rt △BCD 中，BD=BC•sin30°=12x ，；△AD=30+12 x，△AD2+CD2=AC2，即：（30+12x）2+）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点睛】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．14．（1）8；（2）143．【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；（2）根据题意求得AE和DE的长，由AD=AE﹣DE即可求得AD的长．【详解】（1）△△A=60°，△ABE=90°，AB=6，tanA=，△△E=30°，BE=tan60°•6=6，又△△CDE=90°，CD=4，sinE=，△E=30°，△CE==8，△BC=BE﹣8；（2））△△ABE=90°，AB=6，sinA==，△设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，△3x=6，得x=2，△BE=8，AE=10，△tanE====，解得，DE=，△AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．考点：解直角三角形．15．（1）作图见解析；（2）10.【分析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度．【详解】解：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，△1122AE AC ==⨯△2cos cos30AE AE AD A ====︒， △1sin sin 30=212DE AD A AD ==︒⨯=，△123a =+=3110T a ∴=+=．。
北师版数学九年级下册 三角函数的应用
∴AC = tan∠ADC·DC
DC
= tan54°×40 ≈ 55.1
∴AB = AC－BC = 55.2－40=15.1答：旗杆的高度为15.1m.
利用坡角解决实际问题
例4 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽
是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30°，
求路基下底的宽 ( 精确到 0.1，3 1.732 ，2 1.414 ).
分析：可用方程思想，先把 AC 看成已知，用含 AC 的代数式表 示 BC 和 DC，由 BD＝1000 m 建 立关于 AC 的方程，从而求得 AC.
解：在 Rt△ABC 中，AC = tan B = tan 30 =
3 ,
∴BC = 3AC.
BC
3
在 Rt△ACD 中，AC = tan∠ADC = tan 45D• tan BAD x • tan55
在 Rt△ACD 中，CD AD• tan CAD x • tan 25
北
由 BC = BD-CD,得
A
BC x • tan55 x • 25 20
55°
解得 x 20.79 10
B
所以，这船继续向东航行是安全的.
解析：如图，过点 A 作 AD ⊥ OB 于 D．
在 Rt△AOD 中，∵∠ADO = 90°，∠AOD = 30°，OA= 4 km，
∴AD =
1 2
OA
=
2
km．
在Rt△ABD 中，∵∠ADB = 90°，∠B = ∠CAB-
∠AOB=75°- 30°= 45°，
∴ BD = AD = 2 km，
750－600 ≈ 150 (km)． 答：飞机的飞行路程比原来的路程 600km 远了 150 km. 【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转 化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
数学北师大版高中必修4《三角函数的简单应用》教案
3.3三角函数的简单应用（两课时）一.教学目标：1.知识与技能（1）能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解. （2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.（3）揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2.过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点:三角恒等变形.难点: “和差化积”及“积化和差”公式的推导.三.学法与教学用具学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情景】请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式；问你能否用sin )(βα+与sin )(βα-表示sin α·cos β和cos α·sin β？类似地能否用cos )(βα+与cos )(βα-来表示cos α·cos β和sin α·sin β？【探究新知】[展示投影]（在学生已完成的基础上进行评价）积化和差公式的推导sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β ⇒ sin αcos β =21[sin(α + β) + sin(α - β)]sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ⇒ cos αsin β =21[sin(α + β) - sin(α - β)]cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ⇒ cos αcos β =21[cos(α + β) + cos(α - β)]cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β ⇒ sin αsin β = -21[cos(α + β) - cos(α - β)][展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。
高中数学 1.9 三角函数的简单应用课件2(新版)北师大版必修4
探究点 2
将实际问题抽象为三角函数模型的
一般步聚:
理解题 意
建立三 角函数 模型
求解 还原 解答
已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin
160πt＋110.其中f(t)为血压，t为时间，则此人
每分钟心跳的次数为( C )
(A)60 (B)70 (C)80 (D)90
解析：由题意可得f＝
＝80，所以此人每
9 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acos ωt ＋b.
(1)根据以上数据，求出函数 y＝Acos ωt＋b 的最小正周期 T、 振幅 A 及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放， 请依据(1)的结论，判断一天内的上午 8：00 时至晚上 20：00 时之间，有多少小时时间可供冲浪者进行运动？
π 6t>0.
∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，k∈Z，
即 12k－3<t<12k＋3，k∈Z.
∵0≤t≤24，故可令③中 k 分别为 0,1,2， 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24.
所以在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有 6 个小时时 间可供冲浪者运动，即上午 9：00 至下午 15：00.
筒削断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的 曲线。
你知道吗？ 这条曲线就是正弦曲线！
归纳小结
1．在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要 确定以角作为变量的三角函数来解决． 2．理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的 术语和有关名词． 3．要能根据题意，画出符合题意的图形． 4．对计算结果，可根据实际情况进行处理．
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 三角函数的简单应用》
三角函数的简单应用教学设计一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习本节教材通过3个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质特别是周期性的应用通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:1根据图象建立解析式; 2根据解析式作出图象; 3将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
3、情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
三、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题四、教学过程：三角函数的简单应用一、导入新课思路问题导入三角函数具有周期性，生活中也存在一些具有周期性的事物，通过视频短片引入新课那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么③上述的数学模型是怎样建立的④怎样处理搜集到的数据活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答三、应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数=inωφb图11求这一天的最大温差;2写出这段曲线的函数解析式活动:这道例题是2021年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型其中第1小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用第2小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式其中求ω是利用半周期14-6,通过建立方程得解解:1由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃2从图中可以看出,从6—14时的图象是函数=Ain ωφb 的半个周期的图象,∴A=2130-10=10,b=21 3010=202121·ωπ2=14-6, ∴ω=8π•将=6,=10代入上式,解得φ=43π综上,所求解析式为=10in 8π•43π2021[6,14]点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉例2；如图表示的是电流I 与时间t 的函数关系图2I=Ain ωφ 在一个周期内的图象1根据图象写出I=Ain ωφ的解析式;2为了使I=Ain ωφ中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少解:1由图知A=300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴ω·－3001φ=0,ω·1501φ=π解得ω=100π,φ=3π,∴I=300in100πt 3π 2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥=629例 3 受日月引力,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度m 是时间t0≤t≤24,单位:h 的函数,记作=ft,下面是该港口在某季节每天水深的数据:1根据以上数据,求出函数=ft 的近似表达式;2一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5 m 或5 m 以上认为是安全的船舶停靠时,船底只需不碰海底即可,某船吃水深度船底离水面距离为 m 如果该船在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间忽略进出港所需的时间活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律比如重复出现的几个数据并进一步引导学生作出散点图让学生自己完成散点图,提醒π<ϕ<π->ω>,0,0A学生注意仔细准确观察散点图。
高中数学必修四北师大版 三角函数的简单应用ppt课件(24张)
规律方法
翻折法作函数图像
(1)要得到y＝|f(x)|的图像，只需将y＝f(x)的图像在x轴下方的 部分沿x轴翻折到上方，即“下翻上”． (2)要得到y＝f(|x|)的图像，只需将y＝f(x)的图像在y轴右边的
π π －2＋2kπ，2＋2kπk∈Z， cos x，x∈ ＝ －cos x，x∈π＋2kπ，3π＋2kπk∈Z. 2 2
作出函数y＝cos x的图像后，将x轴下方部分沿x轴翻折到x轴
上方，如图
由图可知，y＝|cos x|是偶函数，T＝π，
2π (3)T＝ ＝π≈3.14，即每经过约 3.14 秒小球往返振动一次． 2 1 (4)f＝ ≈0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次． T
要点三 构建函数模型解题 例3 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，
每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离
地面40.5米，半径为40米．如果你从最
低处登上摩天轮，那么你与地面的距离 将随时间的变化而变化，以你登上摩天 轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
高中数学· 必修4· 北师大版
§9 三角函数的简单应用
[学习目标] 1．会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
[知识链接]
1．数学模型是什么？建立数学模型的方法是什么？
答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象
概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所 得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把 实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些
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A D A C DC
BC ta13n5ta14n0
A
B
4m
35° 40°
┌
D
C
BD s i4n 0ta13n 5ta14n 00.61m.
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
随堂练习P22
钢缆长几何
w如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且 DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED 的长度为多少?(结果精确到0.01m).
ta A n D AC C ,ta B n D BC ,C
x
x
A C xt a 6 n ,0 B C xt a 3 n .0
?这样
解答
30°
x ta 6 n 0 x ta 3 n 0 5.0 A 50m
D
60┌° BC
x t
a6n 5 0 t0a3n0 35 0 32
5 34m 3.
答:该塔约有43m高. 3
则 E C D D EsC 4 i n 5 42 , B
A 6m D
135° 8m
┌
┐
F 30m E C
有两个直 角三角形
A D F 4 E 2 ,B 3 F 6 0 4 2 2 4 4 2 .
先作 辅助 线!
ta nABC AF 42 , B F24 4 2
∴∠ABC≈17°8′21″.
结论: 利用三个关系,在Rt∆除直角外的5个元素中, 知道 其中的2个元素(至少有一个是边), 就可以求出其余的三 个未知元素.
独立 作业
知识的升华
P24 习题1.6 1,2,3题;
祝你成功！
P24 习题1.6 1,2,3题
w1 如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的
B
高度为20m,求此斜坡的倾斜角.
w现在你能完成这个任务吗?
w要解决这问题,我们仍需将 其数学化.
w请与同伴交流你是怎么想 的? 准备怎么去做?
问题解决
行家看“门道”
w这个图形与前面的图形相同,因此解答如下. w解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m,
则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x m.
关系式中有a,b,c三个量 , 已知两个可求出第三个.
b
C
(2) 锐角的关系 ∠A+∠B=90°
关系式中有A,B两个量 , 已知一个可求出另一个.
(3)边角的关系(其中A可以换成B)
sinA=
∠A的对边 斜边
cosA=
∠A的邻边 斜边
∠A的对边 tanA=∠A的邻边
cotA=
∠A的邻边 ∠A的对边
每一个关系式中都有两边一角三个量,已知两个可求出第三个.
填空 在Rt∆ABC 中, ∠C=90°. (1) 三边的关系是 c2= a2+b2 (2) 锐角的关系是 ∠A+∠B=90° A (3)边角的关系是 (其中A可以换成B)
B
c a
bC
sinBA=
∠AB的对边 斜边
cosAB
=
∠BA的邻边 斜边
tanBA =∠∠BABA的的邻对边边
cotAB
=
∠BA的邻边 ∠AB的对边
w怎么 做?
我先将它 数学化!
ห้องสมุดไป่ตู้
E
2m
C
40°
D
5m B
问题解决 真知在实践中诞生
w解:如图,根据题意可知,∠CDB=40°,EC=2m,DB=5m.求DE
的长. tan40 BC, B C BtD a4n .0
E
BD
就这样
B B E 2 C BtD a 4 n 0 2 6 .19 (m )5 .52m C
CD=8m,坡底BC=30m,∠ADC=135°.
w(1)求坡角∠ABC的大小;
w(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石
方?(结果精确到0.01m3 )
A
D
w咋办?
B
C
w先构造 直角三角 形!
问题解决 解答问题需要有条有理
w解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小. w过点D作DE⊥BC于点E,过点A作 AF⊥BC于点F.
B
w请与同伴交流你是怎么想的?
准备怎么去做?
┌
AD
C
问题解决
联想的功能
w解:如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.求
(1)AB-BD的长.
sin40 BC, BD
B C BsD i4n .0
sin35 BC, AB
A
B
4m
35° 40°
┌
D
C
A s B B 3 i n C 5 B ss3 D i4 in 5 n 0 4 0 .0 5 .67 4 3 4 2 .4 6 m 8 8 .
CD
x ta 5 n 2 5 t0 a 2 n 5 1 .42 2 0 .4 8 06 1 2 6 .7 0 海 3 9.
w答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
想一想 P21
古塔究竟有多高
w如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰 角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°, 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
60 cos A 2 2
30 tanA 3
60 sin A 2
45
2
45 cos A 3
30
2
60 tanA1
45
问题: 在Rt∆中除直角外的5个元素(三边和两锐角) ,
已知几个元素,可以求出其余的未知元素?
B
利用三个关系研究这个问题.
ca
(1) 三边的关系 c2= a2+b2
A
BE 5ta4n 0 2
ta B n D E
1 .2.4
BD 5
?
∴∠BDE≈51.12°.
c o5s1.12DB,
DE
40
D ° 5m B
DE cD 5 o.1 1 s B 2 0 .6 527 7 .97 m 6 .
w答:钢缆ED的长度约为7.96m.
随堂练习P22 大坝中的数学计算
w如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长
答:坡角∠ABC约为17°8′21″.
问题解决 计算需要空间想象力
w解:如图,(2)如果坝 长100m,那么修建这个
A 6m D
大坝共需多少土石
┌
100m
方?(结果精确到 B
F
C
0.01m3 )
30m
由梯形S 面 A 积 D BA C 公 得 F,式
2
再求 体积!
先算面 积!
S364 272 2. 2
定义: 在Rt∆中, 除直角外,一共有5个元素(三边和两锐角), 由Rt∆中除直角外的已知元素, 求出未知元素的过程, 叫做解直角三角形 .
w特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
想一想P21 船有触礁的危险吗
w如图,海中有一个小岛A,该岛
A
四周10海里内有暗礁.今有货轮
由西向东航行,开始在A岛南偏西
过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁
的危险.根据题意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC= 20
海里.设AD=x海里.
北
A
数学化
ta5n5B D ,ta2n5C,D
x
x
东
55°
?
B D xta 5 n ,5 C D xta 2 n .5
25°
┌
xta 5 n 5 xta 2 n 5 2.0B
老师期望:这道题你能有更简单的解法吗？
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
做一做P22
楼梯加长了多少
w某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼 梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多 少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确 到0.01m).
w现在你能完成这个任务吗?
A B B 4 . D 4 4 8 0 .4 m 8 .
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
问题解决
联想的功能
w解:如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m. 求(2) AD的长.
tan40 BC, DC
DC
BC tan40.
tan35 BC, AC
A C taBn3C5.
V 1S 0 1 0 0 72 0 2 10 .3 m 1 3 4 .8
答:修建这个大坝共需土石方约 10182.34m3.
回味无穷
n由锐角的三角函数值求锐角
w 填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A 1 2
cos A 1 2
tan A 3 3
30 sin A 3 2
55°的B处,往东行驶20海里后到
达该岛的南偏西25°的C处.之后,
货轮继续向东航行.
w你认为货轮继续向东航行途中会有触 北
A
礁的危险吗?
东
w请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?
B
CD
w要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图.
问题解决
真知在实践中诞生
w解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要
w2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点
┌
C的仰角为30°,向建筑物前进50m至B处, A
C
又测得C的仰角为45°,求该建筑物的高度
(结果精确到0.1m).
w3. 如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯 形,其中燕尾角∠B=55°,外口宽AD=180mm, 燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(结 果精确到1mmm).