线性代数应用题总结分类及经典例题

线性代数应用题总结分类及经典例题
本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。

以下是对应的分类和例题：
1. 线性方程组
例题1：
已知线性方程组如下：
$$\begin{cases}
2x + y - z = 5 \\
x - 3y + 2z = -4 \\
3x + 4y - z = 6 \\
\end{cases}$$
求解以上线性方程组。

例题2：
已知线性方程组如下：
$$\begin{cases}
2x + 3y - z = 4 \\
x - 2y + 3z = -1 \\
3x + 4y - 2z = 7 \\
\end{cases}$$
求解以上线性方程组。

2. 矩阵与向量
例题1：
已知矩阵$A=\begin{bmatrix}
1 &
2 &
3 \\
4 &
5 &
6 \\
\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}
2 \\
-1 \\
\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

例题2：
已知矩阵$A=\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
3 &
4 \\
\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

3. 线性变换
例题1：
已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
2 \\
3 \\
\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}
5 \\
-1 \\
\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

例题2：
已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\
-2 \\
\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}
3 \\
4 \\
\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

4. 特征值和特征向量
例题1：
已知矩阵$A=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
4 & 3 \\
\end{bmatrix}$，求$A$的特征值和对应的特征向量。

例题2：
已知矩阵$A=\begin{bmatrix}
3 & -2 \\
1 & 4 \\
\end{bmatrix}$，求$A$的特征值和对应的特征向量。

以上是一些线性代数应用题的分类和经典例题，希望对你的学习有所帮助。