湘教版八年级正方形复习
八年级数学下册第2章四边形2.7正方形教学课件新版湘教版
D
O C
【例题】
例2：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC 于F，求证形
3.(宜宾·中考）如图，点P是正方形ABCD的对角线
BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF,给出
下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等
腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC.其中正确结
2
论的序号是_____.
【解析】延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，交EC于 点M，由题意易证，△BPE、△DPF为等腰直角三角形，四边 形PECF为矩形，四边形BEPG为正方形. 易证△APG≌△FEP, 所以AP=EF，∠BAP=∠PFE，又PE∥FC, 所以∠PFE=∠FEC=∠BAP, 又∠BAP+∠BMA=90°，所以∠FEM+∠BMA=90°， 所以∠EHM=90°即AP⊥EF. 在等腰直角三角形PDF中, PD= 2 PF= 2EC. 答案：①②④⑤
平行四边形
矩形
正 菱形 方
形
1.（义乌·中考）下列说法不正确的是( ) （A）一组邻边相等的矩形是正方形 （B）对角线相等的菱形是正方形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形可能是矩形， 也可能是正方形.
2.（苏州·中考）如图，四边形 ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC， 则∠BCE的度数是_______°. 【解析】因为四边形ABCD是正方形， 所以∠CAE=45°，∠ABC=90°, 又因为AE=AC,所以∠E=∠ACE=67.5°, 所以∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°. 答案：22.5
湘教版初中数学八年级下册2.7 正方形
TB:小初高题库
湘教版初中数学
知识点 2 正方形的判定 6.下列说法不正确的是( )
9.如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE 等于( )
A.2
B.3
C.2 2
D.2 3
第 9 题图
第 10 题图
10.如图，将 n 个边长都为 2 的正方形按照如图所示摆放，点 A1,A2，…,An 分别是正方形的
PE+PC 的最小值是__________.
14.如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是对角线 BD 上的一点，过点 M 作 ME∥CD 交 BC 于
点 E，作 MF∥BC 交 CD 于点 F.求证 AM=EF.
15.如图，四边形 ABCD 是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF 与 BC 交于点 G. （1）求证：AE＝CF； （2）若∠ABE＝55°，求∠EGC 的大小.
中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和是( )
1
1
A.n
B.n-1
C.( )n-1
D. n
4
4
11.已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC
⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，现有下列四种
选法，其中错误的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形 7.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BC 8.如图正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 上的点，且 AE⊥BF，垂足为 G，求证： AE=BF.
2024八年级数学下册第2章四边形2.7正方形2.7.1正方形的性质习题课件新版湘教版
边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.
(1)猜想图①中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的
位置关系，并说明理由；
【解】BG＝DE，BG⊥DE.理由如下：
如图①，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴BC＝DC，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，
∴△BCG≌△DCE，∴BG＝DE，∠1＝∠2.
延长BG交DE于点H.
∵∠1＋∠CGB＝90°，∠1＝∠2，∠CGB＝∠DGH，
∴∠2＋∠DGH＝90°，∴∠DHG＝90°.
∴BH⊥DE，即BG⊥DE.
(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)
方向旋转任意角度α，得到如图②③的情形.请你通过观
(第2题)
3. [2023·重庆A卷 新考法·旋转法]如图，在正方形ABCD中，
点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝
45°，若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( A )
A.2α
B.90°－2α
C.45°－α
D.90°－α
(第3题)
【点拨】
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝
(1)求证：∠DAG＝∠EGH；
【证明】在正方形ABCD中，AD⊥CD，
∵GE⊥CD，∴AD∥GE，
∴∠DAG＝∠EGH.
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.
【解】AH⊥EF，理由如下.
连接GC交EF于点O，如图.
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°.
又∵DG＝DG，AD＝CD，
得∠BEO＝∠AFO＝70°，从而可求出∠CBE的度数.
2021年湘教版八年级数学下册第二章《正方形》精品课件 (2)
∴ ∠GEF = 900. ∴ 四边形EFGH是正方形.
巩固练习
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ C ）
（A）四条边相等 （B）对角线互相垂直且平分
（C）对角线相等 （D）对角线平分一组对角
2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B ）
（A）四个角相等 （B）对角线互相垂直且平分
（C）对角线相等 （D）对角互补
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/2/62021/2/62021/2/62/6/2021 5:22:24 AM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/2/62021/2/62021/2/6Feb-216-Feb-21 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/2/62021/2/62021/2/6Saturday, February 06, 2021 13、志不立，天下无可成之事。2021/2/62021/2/62021/2/62021/2/62/6/2021
又 AE = BF = CG = DH， F ∴ HA = FB = CF = DG.
3.4正方形 教案(湘教版八年级下)
探究内容： 3.4 正方形目标设计：1、理解并掌握正方形的有关性质与判定方法，能利用其相关知识进行推理与证明；2、能准确画出一个正方形；3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：运用正方形的性质定理和判定定理进行推理与计算。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：一、复习导入：由平行四边形、菱形、矩形的归属推导正方形的概念。
二、新知探究：由上，可得正方形的概念：凸四边形 凹四边形 平行四边形 两组对边分别平行 正方形 一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
推测：1、正方形既是菱形，又是矩形，其性质有：①四边相等，四个角都是直角；②对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；③是中心对称图形，也是轴对称图形。
2、正方形的判定方法：正方形定义的几种不同说法都是判定方法。
思考：如图，正方形ABCD被它的两条对角线AC、BD分成了四个三角形，它是什么样的特殊三角形？它们全等吗？分析：方法一：正方形的对角线相等且互相平分；方法二：正方形的两条对角线所在的直线都是它的对称轴；方法三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；方法四：正方形是中心对称图形。
探究正方形的画法：1、已知边长画正方形：先画直角再截取长度，后平移线段2、已知对角线画正方形：先画两条互相垂直平分且相等的线段，再顺次连结线段的端点即可。
三、练习：P104练习题1、2、3四、小结：1、正方形的概念，即正方形的判定方法：①一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
2、正方形的性质，综合了菱形和矩形的所有性质。
3、正方形的画法：①已知边长；②已知对角线。
五、作业：1、课堂：P105习题3.4B组1；2、课外：P104习题3.4A组；B组2.。
湘教版八年级数学下册2.7 正方形2
2.7 正方形【知识与技能】1.能说出正方形的定义和性质.2.会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算.【过程与方法】1.经历探究正方形性质的过程，进一步发展学生的合理论证能力.2.通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系.3.探索并掌握正方形的性质.【情感态度】1.在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情.2.进一步加深对“特殊与一般”的认识.【教学重点】正方形的定义和性质及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.【教学难点】正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用.一、创设情境，导入新课装修房子铺地面的瓷砖，大多是正方形的形状，它是什么样的四边形？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？【教学说明】用学生比较熟悉的正方形物体入手，容易引起学生的注意，激发全体学生的学习热情，提高学习效率.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题1 正方形的定义和性质做一做：同一张长方形纸片折出一个正方形（如右图所示）.【教学说明】让学生在动手操作中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系.正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，所以它具有这些图形的所有性质.小组交流，归纳总结.例：教材第73页“例1”【教学说明】综合运用正方形的性质进行有关的证明，一方面达到掌握新知的目的，另一方面发展了学生推理能力.问题2 正方形的判定说一说：教材第73页“说一说”【教学说明】归纳正方形的判定方法，使学生更好地了解矩形、菱形、正方形之间的联系与区别，体验事物之间是相互联系但又是有区别的，同时也培养了学生善于归纳、勤于总结的好习惯.例：教材第73页“例2”【教学说明】引导学生运用所学知识解决问题，并学会一题多解，一题多变，养成勤于反思、归纳的好习惯.三、运用新知，深化理解1.如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A.BE=CEB.∠DAF=∠BECC.∠AFB+∠EBC=90°D.AG⊥BE2.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD3.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的点，且CE=CA.（1）求∠ACE、∠CAE的度数；（2）若CD=5cm，请求出△ACE的面积.4.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A、D不重合），G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 的中点.（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形.（2）若EF ⊥BC ，且EF=21BC ，求证：平行四边形EGFH 是正方形. 【教学说明】让学生自主完成，检查学生掌握情况如何，根据情况个别辅导，对于出现错误较多的地方应作重点强调，有针对性加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.A 2.D 3.（1）∠ACE=135°，∠CAE=22.5°；（2）2225cm 2 4.证明：（1）在△BEC 中，∵G 、F 分别是BE 、BC 的中点，∴GF ∥EC 且GF=21EC ， 又∵H 是EC 的中点，∴EH=21EC ， ∴GF ∥EH 且GF=EH ，∴四边形EGFH 是平行四边形.（2）∵G 、H 分别是BE 、EC 的中点，∴GH ∥BC 且GH=21BC ， 双∵EF ⊥BC 且EF=21BC ， ∴EF ⊥GH ，EF=GH ，∴平行四边形EGFH 是正方形.四、师生互动，课堂小结这一节课的学习，你能完整地说出正方形的性质与判定吗？有哪些收获？还存在哪方面的问题?请与大家交流.【教学说明】归纳总结所学知识，形成结构体系，分享收获，探讨不足，以达到整体提高.1.布置作业：习题2.7中的第2、3题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.本节课虽然是学习正方形的性质与判定，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性质和判定的复习、归纳和总结的作用，因此在教学中通过折纸、观察、验证推理等过程，使学生感受到了解它们之间的共同性质和判定与特殊性质和判定，理解更加深刻，运用更加熟练.。
专题2.13正方形(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(湘教版)
专题2.13 正方形（知识讲解）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC 的延长线上，且P E＝PB．求证：（1）△BCP△△D CP；（2）△DPE ＝△ABC．【思路点拨】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得△BCP=△DCP，然后利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得△CBP=△CDP，根据等边对等角可得△CBP=△E，然后根据等角的余角得出△DPE= 90°，从而得证；【解析】证明：（1）△四边形ABCD是正方形△BC=DC，△ACB＝△ACD ，△ABC＝90°又△PC = PC△△BCP△△D CP．（2）△P E＝PB，△△E＝△PBE ，△△BCP△△D CP，△△PBE＝△PDC ，△△E＝△PDC ，△△E＋△1＝90°，△1＝△2△△PDC＋△2＝90°即△DPE＝90°△△DPE＝△ABC．【总结升华】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出△BCP=△DCP是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分△ACD 交BD于点M，MN△CM，交AB于点N，（1）求△BMN的度数；（2）求BN的长．【答案】（1）22..5°；（2）4【思路点拨】（1）先由正方形ABCD的面积是8，求得正方形的边长及其对角线的长；再由正方形的性质及CM平分△ACD，求得△DCO、△BCO、△CDO、△MBN、△DCM、△MCO及△BMC的度数；然后由MN△CM得△CMN＝90°，则△BMN的度数等于△CMN的度数减去△BMC即可得出答案；（2）先证明△BCM＝△BMC，从而可得BM＝BC＝CD，则由DM＝BD﹣BM可得DM的长；【解析】解：（1）△正方形ABCD的面积是8，△BC＝CD，△BD＝4．△四边形ABCD为正方形，△△DCO＝△BCO＝△CDO＝△MBN＝45°，△CM平分△ACD，△△DCM＝△MCO＝22.5°，△△BMC＝△CDO+△DCM＝45°+22.5°＝67.5°．△MN△CM，△△CMN＝90°，△△BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，△△BMN的度数为22..5°．（2）△△MCO＝22.5°，△BCO＝45°，△△BCM＝△BCO+△MCO＝67.5°，又△△BMC＝67.5°，△△BCM ＝△BMC ，△BM ＝BC ＝CD ＝，△DM ＝BD ﹣BM ＝4﹣．△△DCM ＝22.5°，△BMN ＝22.5°，△△DCM ＝△BMN ．△在△DCM 和△BMN 中，DCM BMN DC BM CDM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△DCM △△BMN （ASA ），△BN ＝DM ＝4﹣△BN 的长为4﹣【总结升华】本题考查正方形的性质、角平分线的性质、余角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式2】已知，如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，△ABC ＝45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ，当点D 在线段BC 的反向延长线上，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧时．(1)求证：△ABD △△ACF ；(2)若正方形ADEF的边长为对角线AE ，DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度．【思路点拨】（1）由题意易得AD ＝AF ，△DAF ＝90°，则有△DAB ＝△F AC ，进而可证AB ＝AC ，然后问题可证；（2）由（1）可得△ABD △△ACF ，则有△ABD ＝△ACF ，进而可得△ACF ＝135°，然后根据正方形的性质可求解．【解析】(1)证明：△四边形ADEF为正方形，△AD＝AF，△DAF＝90°，又△△BAC＝90°，△△DAB＝△F AC，△△ABC＝45°，△BAC＝90°，△△ACB＝45°，△△ABC＝△ACB，△AB＝AC，△△ABD△△ACF(SAS)；(2)解：由(1)知△ABD△△ACF，△△ABD＝△ACF，△△ABC＝45°，△△ABD＝135°，△△ACF＝135°，由(1)知△ACB＝45°，△△DCF＝90°，△正方形ADEF边长为△DF＝4，△OC＝12DF＝12×4＝2．【总结升华】本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．类型二、正方形的判定2、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE△沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形ABFG 是菱形；（3）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形AECG 是正方形．【思路点拨】（1）根据平移的性质，可得：BE=FC ，再证明Rt△ABE△Rt△CDG 可得BE=DG ； （2）要使四边形ABFG 是菱形，须使AB=BF ；根据条件找到满足AB=BF 时，BC 与AB 的数量关系即可；（3）当四边形AECG 是正方形时，AE=EC ，由，可得，再有BE=12AB 可得AB ． 【解析】（1）证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，AB=CD ．△AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成，△CG△AD ，AE=CG ，△△AEB=△CGD=90°．△在Rt△ABE 与Rt△CDG 中，AE CG AB CD =⎧⎨=⎩， △Rt△ABE△Rt△CDG （HL ），△BE=DG ．（2）解：当BC=32AB 时，四边形ABFG 是菱形． 证明：△AB△GF ，AG△BF ，△四边形ABFG 是平行四边形．△Rt△ABE 中，△B=60°，△△BAE=30°， △BE=12AB （直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），△BE=CF，BC=32 AB，△EF=12 AB．△AB=BF．△四边形ABFG是菱形．故答案是：32；（3）解：AB时，四边形AECG是正方形．△AE△BC，GC△CB，△AE△GC，△AEC=90°，△AG△CE，△四边形AECG是矩形，当AE=EC时，矩形AECG是正方形，△△B=60°，△EC=AE=2AB，BE=12AB，AB．．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．【变式】如图所示，在四边形ABCD中，AD△BC，△B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）若AB＝8，如果Q点的移动速度不变，要使PQBA是正方形，则P点移动速度是多少？解：（1）△PD //CQ ，△只要当PD ＝CQ 时，四边形PQCD 是平行四边形，设运动时间为t ，24PD t =-，3CQ t =，列式：24﹣t ＝3t ，解得t ＝6，△经过6秒，四边形PQCD 是平行四边形；（2）△//AP BQ 且90B ∠=︒，△只要当AP ＝BQ 时，四边形PQBA 是矩形，设运动时间为t ，AP t =，263BQ t =-，列式：t ＝26﹣3t ，解得132t =， △经过132秒，四边形PQBA 是矩形； （3）当BQ ＝AB ＝8时，四边形PQCD 是正方形，设运动时间为t ，列式：26﹣3t ＝8，解得t ＝6，△P A ＝6•V P ＝8，△V P ＝43cm /s ． 【总结升华】本题考查的是动点问题，涉及平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，解题的关键是设运动时间，用时间表示线段长度，然后根据题意列方程求解．类型三、正方形中的折叠问题3 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ．（1）求证：△ABG△△AFG ；（2）求△EAG 的度数；（3）求BG 的长．【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB ＝AF ，△B ＝△AFG ＝90°，利用HL 定理得出△ABG△△AFG 即可；（2）由（1）可得△FAG ＝12△BAF ，由折叠的性质可得△EAF ＝12△DAF ，继而可得△EAG ＝12△BAD ＝45°； （3）首先设BG ＝x ，则可得CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，然后利用勾股定理GE 2＝CG 2＋CE 2，得方程：（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解此方程即可求得答案．【解析】（1）证明；在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，△D ＝△B ＝△BCD ＝90°， △将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，△AD ＝AF ，DE ＝EF ，△D ＝△AFE ＝90°，△AB ＝AF ，△B ＝△AFG ＝90°，又△AG ＝AG ，在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，AG=AG AB=AF⎧⎨⎩， △△ABG△△AFG （HL ）；（2）△△ABG△△AFG ，△△BAG ＝△FAG ，△△FAG ＝12△BAF ， 由折叠的性质可得：△EAF ＝△DAE ， △△EAF ＝12△DAF ， △△EAG ＝△EAF ＋△FAG ＝12（△DAF ＋△BAF ）＝12△DAB ＝12×90°＝45°；（3）△E是CD的中点，△DE＝CE＝12CD＝12×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，△GE2＝CG2＋CE2△（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，△BG＝2．【点拨】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．【变式】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG△△AFG；（2）求BG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，△B=△AFG=90°，利用HL定理得出△ABG△△AFG即可；（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD ，△D=△B=△BCD=90°，△将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，△AD=AF ，DE=EF ，△D=△AFE=90°，△AB=AF ，△B=△AFG=90°，在Rt△ABG 和Rt△AFG 中，AG AG AB AF=⎧⎨=⎩， △Rt△ABG△Rt△AFG （HL ）；即△ABG△△AFG ；（2）△△ABG△△AFG ，△BG=FG ，设BG=FG=x ，则GC=6-x ，△E 为CD 的中点，△CE=EF=DE=3，△EG=3+x ，△在Rt△CEG 中，32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2，△BG=2．【点拨】本题主要考查了勾股定理的综合应用，全等三角形的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．类型四、正方形中的最值问题4.如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，Q 为BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，连接PB ，PQ ，求△PBQ 周长的最小值．【答案】1【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，由最短路径问题模型知，此时△PBQ的周长最小，△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．△四边形ABCD是正方形，△AC△BD，BO=OD，CD=2cm，△点B与点D关于AC对称，△BP=DP，△BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理，得QD==△△PBQ的周长的最小值为：（cm）．【点拨】本图主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，同时也考查了勾股定理得应用.是常考的基本题.【变式】如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90︒得DF，连接AE，CF.点，2（1）若A、E、O三点共线，求CF的长；（2）求CDF 的面积的最小值.【答案】（1）3；（2）10-【分析】（1）利用勾股定理求出AO 长，易得AE 长，由正方形的性质利用SAS 可证ADE CDF ≌，根据全等三角形对应边相等可得结论；（2）过点E 作EH AD ⊥于点H ，当,,O E H 三点共线，EH 最小，求出EH 长，根据三角形面积公式求解即可.解：（1）由旋转得：90EDF ∠=︒，ED DF =，△O 是BC 边的中点，△12BO BC == 在Rt AOB中，5AO ===.△523AE AO EO =-=-=.△四边形ABCD 是正方形，△90ADC ∠=︒，AD CD =，△ADC EDF ∠=∠，即ADE EDC EDC CDF ∠+∠=∠+∠，△ADE CDF ∠=∠.在ADE 和CDF 中AD CD ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ADE CDF ≌.△3CF AE ==.（2）由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动.过点E 作EH AD ⊥于点H .△ADE CDF ≌，△ADE CDF S S =△△当,,O E H 三点共线，EH 最小，2EH OH OE =-=.△1S 102CDF ADE S AD EH ==⨯⨯=-△△ 【总结升华】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键.。
湘教版八年级数学下册课件-正方形
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
A
B
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
O
∴ AD=AB=BC=CD,
D
C
∴四边形ABCD是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观 察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 对角线相等
正方 形
证一证
对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
A
B
O
∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO,
D
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
2.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与 BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面 积解．：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得
AD AO2 OD2 2 2, ∴正方形的周长为4AD＝8 2 ， 面积为AD2＝8.
优质 课件
第2章 四边形
八年级数学下（XJ） 教学课件
2.7 正方形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
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课时教案
第节总序第节课题正方形复习编写时间月日执行时间月日
教学目标1、理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．
2、掌握正方形的有关性质和判定方法．
3、能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题．
重点、难点重点：正方形的性质和判定
难点：四边形成为正方形的条件
学具准备书本、笔、草稿纸、课堂点睛
教具准备Ppt、教案、课本、三角板、圆规
教学设计备注
一、复习引入
（1）、导言我们已学习了矩形、菱形，它们都是特殊的平行四边形．
（2）、1、让学生根据之前所学的知识分别叙述平行四边形/矩形、菱形的性质．
2、介绍平行四边形，矩形，菱形的内在联系．
Ⅲ、引人
[问题]根据小学学过的正方形的知识，四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形,由同学
们来总结正方形的性质
边四条边相等
角四个角都是直角
对角线相等、垂直且互相平分平分一组对角
对称性轴对称图形
（3）根据正方形的性质,练习两道习题,并由同学们做出答案
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A.对角线互相垂直
B.四条边都相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A.对角线互相垂直
B.四个角都相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
二、新课讲解
复习前几节课的内容，如何判定矩形和菱形
如果四边形ABCD已经是一个矩形（或者菱形），那么再加上什么条件就可以变为正方形？小组讨论如何利用已知的图形，将矩形和菱形得到正方形
Ⅰ、正方形的判定
[探究] 操作 1 你能否利用手中的矩形白纸裁出一
个正方形呢？并请你把刚才所做的实验用图形表示
出来．并小组讨论，说说矩形与正方形的关系吗？
由同学们总结，正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩
形是正方形．
[探究] 操作 2 你能否利用手中的可以活动的菱形模型
变成一个正方形吗？请演示并画出图形．
由同学们总结，正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形．
根据上两条判定定理，总结出：有一个角是直角，并有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
根据正方形的判定,练习一道习题,并由同学们做出答案
下列说法正确的是（）
A.四条边相等的四边形是正方形
B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形
C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方
形
再练习两道证明题，巩固正方形的性质和判定方法
的相关知识，由同学们独立解答，并书写证明过程
[归纳]正方形与矩形、菱形、平行四边形间的关系如图．
Ⅱ、正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形、
菱形的一切性质．利用表格直观
的的在复习平行四边形、矩形、
菱形、正方形的性质，由同学将
表格完善，并从中熟记正方形的
性质
三、课堂总结
通过这节课的学习，同学们
有哪些收获？
引导学生从知识内容、数学思想方法两方面进行小结．
完善正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的转化过程，作为课后思考作业
正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系．
教学
反思。