微课---一元二次方程的解法
一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义
1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。
第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m mx ++-=-的一个根是0，求m 的值。
3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+；4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。
新课标第一网5.已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值。
课前检测一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b +=举例：解方程：29(1)25x +=解：方程两边除以9，得：225(1)9x += 1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）举例：解方程：24830x x -+= 配方法解一元二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)的步骤：解： 23204x x -+= ①、二次项系数化为1. (两边都除以二次项系数.)2324x x -=- ②、移项.(把常数项移到=号右边.) 22232114x x -+=-+ ③、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的 21(1)4x -= 平方，把原方程化成2()x a b +=的形式) ∴112x -=± ④、求解.(用直接开方法求出方程的解.) 113111,212222x x ∴=+==-+=三、公式法：（求根公式：242b b ac x a-±-=） 举例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤：解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式：20ax bx c ++=(0a ≠)2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值.知识梳理60x ∴-=或10x +=216,1x x ∴==-【4】其它常见类型举例：①、解方程：(1)(3)8x x ++= ②、解方程：222x +x-1=x +x（换元法） 解：原方程可变形为： 解：令2x +x y =，原方程可化为：21y y-=， 即：220y y --= 2450x x +-= ∴(2)(1)0y y -+= ∴20y -=或10y +=(5)(1)0x x +-= ∴122,1y y ==-50x ∴+=或10x -= ∴22x x +=，即220x x +-=215,1x x ∴=-= (2)(1)0x x +-=，212,1x x ∴=-=或21x x +=-，即210x x ++=1,1,1a b c ∴=== 224141130b ac ∴-=-⨯⨯=-<∴方程210x x ++=无解。
解一元二次方程的三种基本方法
解一元二次方程的三种基本方法解一元二次方程的三种基本方法一元二次方程是数学中的基础概念之一，它的解法有很多种。
在这里，我们将介绍三种基本的解法。
一、配方法（1）将方程写成“完全平方”的形式。
例如，对于方程x²+6x–16=0，将右边的常数项移到左边，变为x²+6x=16，然后再将6x一分为二，得到x²+3x+3x=16，继续变形，即可让其成为完全平方。
（2）设定新的变量，使其成为一个完全平方。
例如，对于x²+6x–16=0，令y=x+3，代入原方程，得到y²–9+6y–16=0，简化后得到y²+6y–25=0，再将其变形成完全平方，可得(y+3)²=34，解得y= ± √34–3，代入y=x+3得到x=-3±√34。
二、公式法在公式法中，我们将方程ax²+bx+c=0写成：x=[–b±√(b²–4ac)]/2a，即可求得方程的两个根。
例如，对于方程x²+6x–16=0，可将a=1，b=6，c=–16带入公式中，计算得到x=-3±√34。
三、图像法对于一元二次方程y=ax²+b x+c，我们可以将其用一条二次函数的图像表示出来，相交坐标轴的两个点就是其解。
例如，对于方程x²+6x–16=0，我们可以作出相应的二次函数的图像，其中一条相交坐标轴的边界为x=-4和x=–2，因此可以解得方程的两个根为x=-4和x=-2。
总结以上三种方法都可以用来解一元二次方程。
配方法被广泛地应用于题目的解答中，因为它在操作方式上比较简单，尤其是在遇到较为复杂的方程式时有很好的实际应用。
公式法是一种少有的利用抽象公式的方法，尤其是在解有较大常数的一元二次方程时，可以简化计算。
图像法则不太常用，但在一些情况下，例如探究关于两个变量的函数的等高线时，它是非常实用的。
解一元二次方程的方法总结
解一元二次方程的方法总结一元二次方程是一个以未知数的二次项为主要特征的方程，一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
在解一元二次方程时，我们可以利用以下三种方法：配方法、公式法和图像法。
本文将对这三种方法进行详细介绍和总结。
一、配方法配方法也称为“完成平方”法，通过将二次项的系数的一半平方加减到二次项上，将原方程转化为一个平方完全的方程，进而求解未知数的值。
步骤如下：1. 将方程移项，使等式右边为0；2. 将二次项系数a除以2，并将结果平方，得到一个常数；3. 在方程两边同时加减这个常数，使方程形成一个完全平方；4. 整理方程，将其转化为一个平方式；5. 对方程两边开方，得到方程的解；6. 检验解的可行性。
配方法的优点是解题步骤清晰，适用于任何形式的一元二次方程。
然而，当一元二次方程的系数较复杂时，配方法的计算量可能较大。
二、公式法公式法是解一元二次方程最常用的方法之一，通过直接套用一元二次方程的通用解法，求解方程的根。
一元二次方程的通解公式是x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
步骤如下：1. 根据方程的形式，获取对应的系数a、b、c的值；2. 将系数代入一元二次方程的通解公式；3. 计算得出方程的解；4. 检验解的可行性。
公式法的优点是计算简便，适用于具有明确系数的一元二次方程。
然而，对于较复杂的方程形式，有时计算过程中可能出现精度问题。
三、图像法图像法通过绘制一元二次方程的图像，求解方程的根。
由于一元二次方程的图像是一个抛物线，通过观察抛物线与x轴的交点，可以确定方程的解。
步骤如下：1. 根据方程的形式，获取对应的系数a、b、c的值；2. 绘制一元二次方程的图像；3. 观察图像与x轴的交点；4. 确定方程的解；5. 检验解的可行性。
图像法的优点是直观易懂，能够准确求解方程。
然而，该方法对于无法绘制图像的情况不适用，且需要一定的几何知识和绘图工具的辅助。
1.2一元二次方程的解法(四)(解析版)
1.2一元二次方程的解法（四）【推本溯源】1.用配方法解一元二次方程0x x 2=-2.那还有其他方法解0x x 2=-吗？我们可以对x x 2-进行因式分解，()1x x x x 2-=-，所以只需要()01x x =-即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出来x=0或x=1.因此，当一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
3.常见的因式分解法的类型方法常见类型因式分解的形式方程的解提公因式法x ²±bx=0x （x ±b ）=0X 1=0，x 2=±b 平方差法x ²-a ²=0（x+a ）（x-a ）=0X 1=-a ，x 2=a 完全平方法x ²±2ax+a ²=0（x ±a ）²=0X 1=x 2=±a十字相乘法x ²±（a+b ）x+ab=0（x ±a ）（x ±b ）=0X 1=±a ，x 2=±b4.因式分解法的步骤（1）移项：将方程的右边化为0；（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）转化：令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程；（4）求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
5.用对应的因式分解法解下列方程（1）（提公因式法）x x 32=（2）()（平方差法）091x 2=-+4x 2x 21-==，（3）()（完全平方法））（011x 21x 2=+---0x x 21==（4）（十字相乘法）03x 2x 2=--1x 3x 21-==，【解惑】【摩拳擦掌】【答案】10【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可．【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第图有25个棋子，第5个图有35个棋子，⋯⋯第n 个图有215()()5n n n n ++=++个棋子，【详解】（1）解：260x x --=，()()320x x -+=，∴30x -=或20x +=，∴13x =，22x =-；（2）解∶()221180x --=，()219x -=，∴13x -=±，∴14x =，22x =-．【点睛】此题考查利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）解下列方程：(1)2450x x +-=(2)()()22452x x -=-【答案】(1)11x =，25x =-(2)13x =，21x =【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得到()()224520x x ---=，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）2450x x +-=()()150x x -+=∴10x -=或50x +=∴解得11x =，25x =-；（2）22(4)(52)x x -=-()()224520x x ---=()()4524520x x x x --+-+-=【知不足】【详解】解：∵分式21x x x --的值为0，∴2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得0x =，故选A ．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是()A ．1B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【分析】将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，再把2k =-代入原方程求解．【详解】解：将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，∴原方程为：220x x +-=，则()2(1)0x x +-=，解得：2x =-或1x =，∴另一个根为1．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．3．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）方程()()230x x -+=的解是（）A ．2x =B ．3x =-C ．12x =，23x =D ．12x =，23x =-【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：()()230x x -+=，可得：20x -=或30x +=，【答案】27【分析】过C作CG得四边形ABCG为正方形，证明=，从而证明BE GF在直角梯形ABCD中， ∴∠=∠=︒，A B90=又90CGA，AB BC∠=︒∴四边形ABCG为正方形．键．【一览众山小】故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．3．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，直线:l y x m =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点()0,3B ，点(),5P n 在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点，当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（）A ．()2,0-B ．()5,0-C ．()2,0-或()7,0-D ．()2,0-或()5,0-【答案】C 【分析】根据题意求出A 、P 坐标，然后根据等腰直角三角形的性质进行分类讨论求解即可．【详解】解：由题意，将()0,3B 代入直线:l y x m =-+，得：3m =，∴直线:3l y x =-+，令0y =，得：3x =，则A 点坐标为()3,0A ，将(),5P n 代入3y x =-+，得：2n =-，∴P 点坐标为()2,5P -，∵3OA OB ==，90BOA ∠=︒，∴45BAO ∠=︒，设(),0M a ，①若90AMP ∠=︒，则 AMP 为等腰直角三角形，MP MA =，∵5MP =，3MA a =-，∴35a -=，解得：2a =-，∴M 点的坐标为()12,0M -；②若90APM ∠=︒，则此时，点A 和点M 关于点∴322a +=-，解得：③∵M 是x 轴上的动点，∴45PAM ∠=︒或135︒，不存在综上，满足条件的点M 的坐标为A ．(3,0)-B ．【答案】Dx A ．()4,4B ．【答案】D【分析】根据(0k y k x =≠()2,E x x +，代入解析式计算即可．k（1）四边形DCEB的面积为___________（2）k的值为___________；（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程距离为___________．【答案】183/223∴1812232OAE S h ⨯==⨯⋅ =123【答案】8∵正方形ABCD 的边长为1∴33=1=88ABFE S ⨯四边形，设CF x =，则DH x =，则∴()1=2ABFE AE BF S +⨯四边形即()131128AE x +-⨯=根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图中有__________颗棋子，第5个图中有(2)写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n【规律发现】请用含n的式子填空：(1)第n个图案中“”的个数为；12⨯★”的个数可表示为“”个，个，9个，12个，个，”的个数可表示为个，（舍去）或。
初中数学微课课件：一元二次方程解法
2x 3 7,
或2 x 3 - 7
7 3
x1
,
2
7 3
x2
2
你还能用
因式分解
法解吗？
典例精讲
例2： 用配方法解下列一元二次方程
2
（1） x +6x=1
配方时,配上
的是一次项
系数一半的
平方.
x2 6x 1 0
移项
x 9 2
10
配方
x 9 10
步骤：
(1)移项:把常数项移到方程的右边;
(2)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(3)开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
(4)求解:解一元一次方程;
(5)定解:写出原方程的解.
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、用因式分解法解一元二次方程。
2、用开平方法解一元二次方程。
3、用配方法解一元二次方程。
解两个一元一次方程。
课前回顾
因式分解的主要方法:
(1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
开平方法: =
(
≥ )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例精讲
例1：解下列方程:
(1)3x2－48=0;
解：
移项，得
3x 48
2
x 2 16
x 4
(2)(2x－3)2=7
开方
x 9 10
求解
x1 9 10，x2 9 - 10
定解
2、用配方法填空
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋ 4 )2
含参数的一元二次不等式的解法微课课件
原不等式解集为
xk4k28kxk
k28k
4
k 8
(3)当 (4)当
xk4k28kxk4k28k
k 8时,不等式解集为
x x 2
时,不等式解集为
(2)当
时8,不k等式0解集为
综上所述， (1)当
k0
时,不等式解集为
x x 0
(5)当
k 时 ,0不等式解集为
xk4k28kxk4k28k
a
（2）当 a0 时，有：
（a）当 （b）当 （c）当
1 1 a
即 a 1
时，原不等式的解集为：
{x | 1 x 1} a
1 1 即 a 1 时，原不等式的解集为：
a
1 1 即 0a1 时，原不等式的解集为： {x | 1 x 1}
a
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
01
a2x(a1)x10.
02
综上所述，
例3:解关于 的不等式：
人教版高中数学必修五第三章
含 参 数 的 一 解元 法二 次 不 等 式 的
授课人：广东省阳东广雅中学
杨学武
温故知新
a x 2 + b x + c > 0 或 a x 2 + b x + c < 0 (a > 0 )
根据二次函数的图
象以及不等号的方
向，写出不等式的
0
（2）求对应方程的根：
1 一．
因式分解求方程的根，
m m 0 时 ， 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 或 x 2 }
m
课堂小结
对含参数的一元二次不 等式解法，其分类讨论 的依据
一元二次方程的解法ppt课件
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
一元二次方程解法过程
一元二次方程解法过程
“嘿，同学们，今天咱们来好好讲讲一元二次方程的解法过程啊。
”
一元二次方程呢，一般形式是ax²+bx+c=0（a≠0）。
那怎么解呢？咱先说最常用的方法，配方法。
比如说方程x²+6x+8=0 吧。
第一步，先把常数项移到等号右边，就变成x²+6x=-8。
第二步，在等式两边加上一次项系数一半的平方，6 的一半是 3，3 的平方是 9，那方程就变成x²+6x+9=-8+9，也就是(x+3)²=1。
第三步，开平方，得到x+3=±1，那 x 就等于-3±1，解出来 x1=-2，x2=-4。
再来说说公式法。
还是上面那个例子，直接套公式 x=(-b±√(b²-
4ac))/(2a)。
这里 a=1，b=6，c=8，代进去就能算出结果啦。
还有因式分解法。
像x²-5x+6=0，就可以分解成(x-2)(x-3)=0，那 x 就等于 2 或者 3。
给大家举个实际例子吧，比如说要围一个矩形场地，长比宽多 6 米，面积是 16 平方米，那设宽是 x 米，长就是 x+6 米，根据面积公式可得
x(x+6)=16，展开就是x²+6x=16，这不就是个一元二次方程嘛。
然后用我们刚刚讲的方法就能求出宽和长啦。
解一元二次方程的方法就是这些，大家要多练习，熟练掌握，以后遇到相关问题就能轻松解决啦。
同学们，都听懂了吧？有啥问题随时问啊。
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解：移项，得（x-1）2 = 4
∴x+1= 2
∴x+1= 2 或x+1= - 2 即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2
∵x-1是4的平方根
∴x-1=±2 即 x-1=+2 或 x-1=-2 ∴ x1=3，x2=-1
例1 例2 例3
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一元二次方程的解法 1.直接开平方法（3）
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首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式， 右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 .
Hale Waihona Puke 例1 例2 例3返回
一元二次方程的解法 1.直接开平方法（1）
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例1、解下列方程
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平 方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 .
根，同样可以用直接开平方法求解
∵3-2x是0.25的平方根
∴3-2x=±0.5
即 3-2x=0.5 或 3-2x=-0.5
5
7
∴x1=4 ， x2= 4
解：2x-1= (x 2)2
即 2x-1=±（x-2） ∴2x-1=x-2 或 2x-1= -x+2
即x1= -1，x2= 1
例1 例2 例3
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2 = 1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
解：（2）移项，得4x2 = 1 1
两边都除以4，得
1
x2=
4
∵x是 4 的平方根
∴x=
1 2
即x1=
1 2 ，x2=
1 2
例1 例2 例3
返回
一元二次方程的解法 1.直接开平方法（2）
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例2、解下列方程
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平 方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 .
⑴（x＋1）2= 2
⑵ （x－1）2－4 = 0
解：（1）∵x+1是2的平方根
一元二次方程的解法 1.直接开平方法
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1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有x2=a（a≥0）或 （ax＋h）2= k（k≥0）的 形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
例3、解下列方程
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平 方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 .
（1） 12（3－2x）2－3 = 0 （2）.解方程(2x－1)2=(x－2)2
解：移项，得12（3-2x）2 =3
分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方
两边同除以12，得（3-2x）2 =0.25