微积分B(2)第3次习题课参考答案(2013年3月)
构造拉格朗日函数 L( x, y , l ) = x 2 + y 2 + l (5 x 2 + 4 xy + 2 y 2 - 1) ；
¶L ¶L = 2 x + (10 x + 4 y )l = 0， = 2 y + (4 y + 4 x)l = 0 ， ¶x ¶y ¶L = 5 x 2 + 4 xy + 2 y 2 - 1 = 0 ¶l
8 (cos q - sin q ) × (sin q + cos q ) × (sin q + cos q ) 2 dq 3 8 (cos q - sin q ) × (sin q + cos q ) 3 dq 3
解方程组
因为 h(3, -4) = 25, h(-3,4) = 225 ， 所以 g ( x, y ) 在区域 D 上的最大、最小值分别为 15, 5 。
4. 求 (0, 0) 到曲线 x 3 - 3xy + y 3 = 4( x ³ 0, y ³ 0) 上点的最长距离与最短距离。 解：目标函数为 f ( x, y ) = x 2 + y 2 构造拉格朗日函数 L( x, y , l ) = x 2 + y 2 + l ( x 3 - 3 xy + y 3 - 4) ( x ³ 0, y ³ 0) 由于 f ( x, y ) = x 2 + y 2 的条件极值点必为拉格朗日函数的驻点。先考虑
16 öù 16 é4 æ4 = 2ê p + ç p - ÷ú = (3p - 2 ) 9 øû 9 è3 ë3
9．求二重积分
D
òò ( x - y)dxdy, 其中 D = {( x, y) ( x - 1)
5p 4 p 4
2
+ ( y - 1) 2 £ 2, y ³ x 。
}
解法一：作变量代换（平移） u = x - 1, v = y - 1 ， D = (u, v ) u + v £ 2, v ³ u ，
2 x3 - 3x 2 - 4 = 2 x 3 - 4 x 2 + x 2 - 4 = 2 x 2 ( x - 2) + ( x - 2)( x + 2) = (2 x 2 + x + 2)( x - 2)
所以 x = y = 2 ，此时 x + y = 2 2
2 2
当x=0 y=
3
4 或 x = 3 4 y = 0 时 x2 + y 2 = 3 4
x > 0, y > 0 的区域
作者:闫浩(2013 年 3 月)
¶L ¶L = 2 x + (3 x 2 - 3 y )l = 0， = 2 y + (3 y 2 - 3x )l = 0 ， ¶x ¶y ¶L = x 3 - 3 xy + y 3 - 4 = 0 ¶l
x3-3 x y+y3-4 = 0 6
(sin q + cos q ) dq ò 2 ( r cos q - r sin q ) rdr 0
=ò
é1 (cos q - sin q ) × r 3 ê 3 ë
2 (sin q + cos q ) 0
ù dq ú û
作者:闫浩(2013 年 3 月)
=ò =ò
3 p 4 p 4 3 p 4 p 4
解：求解条件极值问题：
a+b+c 5 ) ． 5
3 ì ïmax xyz ． í 2 2 2 2 ï s . t x + y + z = 5 R î
得到唯一驻点 （R, R, 3R) ． 因 为 最 大 值 存 在 而 最 小 值 不 存 在 ， 所 以 在 驻 点 处 取 得
u max = 3 3 R 5 ．于是当 x 2 + y 2 + z 2 = 5R 2 时，有 xyz 3 £ 3 3R 5 ， x y z £ 27 R
1
域（如图）
作者:闫浩(2013 年 3 月)
【 解
1 】
òò (
D
x 2 + y 2 + y ds =
)
D大圆
òò
(x
2
+ y 2 + y ds -
)
D小,圆
òò (
x 2 + y 2 + y ds .
)
D大圆
òò (
x + y + y ds
2 2
)
=
Ｄ大
2p 2
òò
0
x 2 + y 2 ds +
g ( x, y ) 在 D = {( x, y ) x 2 + y 2 £ 25} 上的最大、最小值. 解 由于 gradf ( x, y ) = ( y + 8, x - 6) ， 根据梯度的几何意义可知 g ( x, y ) = ( y + 8) 2 + ( x - 6) 2 。 考虑 h( x, y ) = g 2 ( x, y ) = ( x - 6) 2 + ( y + 8) 2 ，由于 ¢ = 2( x - 6) = 0, ìh x í ¢ îh y = 2( y + 8) = 0 在区域 D 内无解， 所以 h( x, y ) 的最大、 最小值均在 D 的边界 x 2 + y 2 = 25 上取到。 令 F ( x, y, l ) = ( x - 6) 2 + ( y + 8) 2 + l ( x 2 + y 2 - 25) ， ìFx¢ = 2( x - 6) + 2lx = 0, ï ì x = 3, ì x = -3, 或 í , íFy¢ = 2( y + 8) + 2ly = 0, 得 í y = 4 y = 4 . î î ï 2 2 îFl¢ = x + y - 25 = 0
2 9
2 2 （2）设区域 D = ( x, y ) x + y £ 1, x ³ 0 , 计算二重积分
{
}
I = òò
D
1 + xy dxdy 。 1+ x2 + y 2
【解】利用对称性，推出
òò 1 + x
D
xy dxdy = 0 ; 2 + y2
p 2 p 2
这样， I = 8． 求
òò (
D
)
被积函数的奇偶性
òò yds = 0
D
原式 =
òò
D
x 2 + y 2 ds + 0
ù é 2 2 2 2 ê = 2 òò x + y ds + òò x + y ds ú. ú ê D上 2 ú ê D上1 û ë
2 p 2 é p ù = 2 ê ò 2 dq ò r 2 dr + òp dq ò r 2 dr ú 0 0 - 2 cos q 2 ë û
D大
òò yds
= ò dq ò r 2 dr + 0 =
0
16 p. 3
D小圆
òò (
x 2 + y 2 + y ds =
)
D小
òò (
x 2 + y 2 ds +
)
D小
òò yds = òp 2 dq ò
2
3p
- 2 cos q
0
r 2 dr + 0
=
32 , 所以 9
òò (
D
x 2 + y 2 + y ds =
由前两个方程得到 í
ì(1 + 5l ) x + 2l y = 0 î2l x + (1 + 2l ) y = 0 1 + 5l 2l = 6l 2 + 7l + 1 = 0 ， 2l 1 + 2l
最终要得到 x, y 的非零解，因此有
ì 2 1 x = ï ì y = -2 x 1 ï 5 解得 l1 = -1, l2 = - l1 = -1 时， í 2 解得 í ， x2 + y2 = 1 2 6 î5 x + 4 xy + 2 y - 1 = 0 ï y2 = 4 ï 5 î
ì y = x2 î x =1
得í
ìy = -x ì x = 1 ìx = 1 得í ；由 í î y = -1 î x =1 îy =1
0 1 1 1 y -1 -y 0
因此，
I = ò dy ò f ( x, y )dx + ò dy ò
f ( x, y )dx 。 I 2 = ò rdr ò
0 2 r 2 r - arccos 2 arccos
作者:闫浩(2013 年 3 月)
ì 2 4 x = ï ì2 y = x 1 1 ï 30 ， x2 + y2 = l1 = - 时， í 2 解得 í 2 6 6 î5 x + 4 xy + 2 y - 1 = 0 ï y2 = 1 ï 30 î
因此 a =1, b =
6 。 6
3. 已知 f ( x, y ) = ( x - 6)( y + 8） ，求 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处的最大方向导数 g ( x, y ) ，并求
2 2
{
}
òò ( x - y)dxdy = ò
D
dq ò (r cosq - r sin q )rdr = 0
2
8 3
解法二：由 ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 £ 2 得 r £ 2(sin q + cos q ),
微三习题课3 答案
)
x= y
3．（1） I = ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z )dxdydz ，其中积分区域 Ω 是由 0 ≤ x ≤ a ， 0 ≤ y ≤ b ， a b c abc 所确定。 答案 I = ( + 2 ⋅ + 3 ⋅ )abc = (a + 2b + 3c) 。 2 2 2 2 【解】求解积分可得：
Ω1 Ω2
【解】应用对称性。 观察发现积分区域 Ω1 关于 x 轴，y 轴对称，x 关于 y 轴是奇函数，y 关于
x 轴是奇函数，xyz 关于 y 轴和 x 轴均为奇函数。因此 A，B，D 选项的左边均为 0，而右边显然大于 0，所以 A，B，D 均不正确。又因为 z 关于 x，y 均为偶函 数，所以可得选项 C 正确。 9. 由柱面 y = x ， y = 2 x ， x + z = 4 与坐标平面 z = 0 所围成立体图形之体积 为（ C ）。 32 64 128 256 。 (C) 。 (D) 。 (A) 。 (B) 15 15 15 15 4 4− z 2 x 128 【解】 V = ∫ dz ∫ dx ∫ dy = 0 0 x 15
f ( x, y )dx
f ( x, y )dx
（C） ∫ dy ∫π
2
（D） ∫ dy ∫π
0
1
π − arcsin y
2
【解】答案：B。二次积分交换积分次序的过程： 二次积分 ⇒ 确定区域、二重积分 ⇒ 二次积分。
4
∫
π
π
2
dx ∫
1
sin x
f ( x, y )dy = ∫ dy ∫
0
1
π
π −arcsin y
微积分B(2)第1次习题课参考答案(极限、连续、可微)_168607827
=
lim cos 2θ
ρ →0
=
0,
θ = π, 4
−1,
θ = π, 2
所以极限 不存在． lim (x, y)→(0,0)
x2 x2
− +
y2 y2
方法 3：因为 ， ，所以极限 不存在． x2
lim
x→0
lim
y→0
x2
− +
y2 y2
=1
lim lim
y→0 x→0
x2 x2
− +
y2 y2
(0, 0) ∂y
=
lim
y→0
f
(0, y) − y
f
(0, 0)
=
lim
y→0
f
(0, y
y)
= lim y→0
f
(0, y) y2
⋅
y
=
A×0
=
0
因为 ，所以 lim x→0 y→0
f
(x, y) − f (0, 0) x2 + y2
=
lim
x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
⋅
x2 + y2 = A× 0 = 0
1
ye xy + exy
=
∂ ∂y
y
−
y 1 + exy
=1−
1 + exy (1 +
− xyexy exy )2
所以 ， ． ∂z ∂x
(0,0)
=0
∂2z ∂y∂x
=1− 1 = 1 22
(0,0)
（ ）已知 ，求 ． 3
z = ln(2 + x2 + y4 )
微积分科学出版社第三章习题3.4答案
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率习题3.41. 求由下列方程所确定的隐函数的导数:dy dx（1）2290y xy -+=解： ()()22900,2220,.d y xy d ydy xdy ydx dy y dx y x-+==--==-（2）3330x y axy +-=解： ()()332222300,33330,.d x y axy d x dx y dy axdy aydx dy ay x dx y ax+-==+--=-=-（3）x y xy e +=解：()()(),,.x y x y x y x y d xy d e ydx xdy e dx dy dy e y dx x e++++=+=+-=-（4）1yy xe =-解： ()1,,.1y y y yydy d xe dy e dx xe dy dy e dx xe =-=---=+（5解：0,0,d ddydx==+==（6）()cosy x y=+解：()()()()()cos,sin,sin.1sindy d x ydy x y dx dyx ydydx x y=+=-++-+=++（7）()sin cos0y x x y--=解：()()()()()()()sin cos00,sin cos sin0,cos sin.sin sind y x x y dxdy y xdx x y dx dyy x x ydydx x y x--==++--=+-=--（8）0x y=解：()()00,0,d x y ddx dydydx+==++==2.求下列隐函数在指定点的导数:dydx（1）1cos sin,2y x y=+点,02π⎛⎫⎪⎝⎭解：,0211cos sin sin cos ,22sin ,11cos 21 2.112dy d x y xdx ydy dy x dx y dy dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭-=--==-- （2）ln 1,x ye y +=点()0,1()()()0,1ln 10,10,,111.112x x x xx d ye y d e dy ye dx dy y dy ye dx e ydy dx +==++==-+=-=-+3. 求下列方程确定的隐函数的微分:dy （1）2222 1.x y a b+= 解：()2222222210,220,.x y d d ab xdx ydy a bb x dy dx a y⎛⎫+== ⎪⎝⎭+==- （2）.y xx y =解： ()()22ln ln ln ln ,ln ln ,ln .ln y x x yd y x d x y y x xdy dx ydx dy x yxy y y dy dx xy x x==+=+-=-4。
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解
第三章习题3-11． 设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g dss t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim(2)22t g t g →=+= 2． 设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．（1）求曲线2y x =上点（2，4）处的切线方程和法线方程； （2）求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程； （3）求xy e =上点（2，2e ）处的切线方程和法线方程； （4）求过点（2，0）且与xy e =相切的直线方程。
解：略。
4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim limh h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+- 000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5． 求下列函数的导数：(1) y ；(2) y；(3) y 3225x x．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx -==15661()6y x x -''∴===6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。
经济数学基础 微积分 第三章习题解答
尖点, 无切线, 不可导
无定义, 不可导
0
x
无确定切线, 不可导
0
x
尖点, 无切线, 不可导
8.讨论下列函数在x 0处的连续性与可导性；若可导，
求出f (0)：
1 x
(1) f ( x) 1 x
x0 x0
解 lim f ( x) 1 lim f ( x) 1
x0
x0
所以函数在x 0连续.
3
y 1 (0 6x2 ) 6 x2
16.求下列函数的导数
(1) y
ex ex
ex ex
(e x ) e x ( x) e x
y
(e x
ex
)(e x
ex (e x
) (e x ex )2
e x )(e x
ex
)
(e x e x )2 (e x e x )2
(e x ex )2
y 10( x )9 ( x ) 1 x 1 x
10(
1
x
x
)9
1 x x (1 x)2
10x9 (1 x)11
(6) y ln ln ln x 设y ln u,u ln v,v ln x
y (lnu) (lnv) (ln x) 1 1 1 uv x
1 1 1
1
lnln x ln x x x ln x ln ln x
(3) y
1 1 x2
(1
x2
1
)2
y
1
(1
x2
)
3 2
(1
x
2
)
2
x(1
x
2
)
3 2
1
(1
微积分B(2)第4次习题课参考答案(二重积分概念、性质、计算)_330203012
0
0
0
0
（ ） 对应的积分域 是一个圆心 4
∫ ∫ π
2 −π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
D
2
在(1,0) ，半径为1的圆（如图），所以
D 1
∫ ∫ π
2 −π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
2
∫ ∫ ． =
2
rdr
0
arccos r 2
cosθ
+
∂f
(x, ∂y
y)
sin θ
=
1[x r
∂f
(x, ∂x
y)
+
y
∂f
(x, ∂y
y)]
所以 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Dδ
x
∂f
(x, ∂x
y) x2
+ +
y ∂f y2
(x, ∂y
y)
dxdy
=
2π dθ
0
1
r
∂f ∂r
⋅ rdr
=
δ r2
2π dθ
0
1 ∂f δ ∂r dr
∫ ∫ =
2π
π
2 −π
dθ
2
1 1+ cos θ
[1 −
r(1 +
cosθ
)]rdr
=
2
0
9
5．（函数平均值的概念，交换积分次序）求函数 f (x) = ∫xsint2dt 在区间[0,1]的平均值． 1
解：函数 f (x) = ∫ xsint2dt 在区间[0,1] 的平均值为 1
微积分第三章习题参考答案
一.1. 2 x2e x2 e x2 c
.2.
x2 ln x
x2 c .
2
4
3. xf ( x) f ( x) c . 4. x ln x x c .
5. x arcsin x 1 x2 c .
6. 1 x cos 2x 1 sin 2x c 1 x sin2 x x sin 2x c .
6
t3 dt
t 1
6
(t 2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6ln(t 1) c
2 x 1 33 x 1 66 x 1
ln( 6 x 1 1) c.
p54.4.解法1:
1
x4 1 x4
I
x3(
x4
1 sin 2x 1 sin12x c.
4
24
( x 3)dx 1 (2 x 2)dx
2dx
6. x2 2x 5 2 x2 2x 5 x2 2x 5
1 ln( x2 2x 5) arctan x 1 c.
2
2
p54.三.1. 令x a sin t,
§3.2不定积分的换元法(53-54)
一.1. eex c , ln | ln x | c .
2. ln | x sin x | sin x 1 sin5 x 2 sin3 x c .
5
3
ln | sin x cos x | c n 2
3.
I
(sin
4.
清华大学微积分B(1)第1次习题课答案(确界、极限、子列)
得 x
a
, 2
y
b
2
，因此 x
y
a b , 即 inf( A
B)
ab
inf
A inf
B.
3.设 A, B 均是由非负实数构成的有界数集，定义 AB {xy | x A, y B} 。证明：
（1） inf AB inf Ainf B ； （2） sup AB sup Asup B
（3） 0 0 ，使得{an}中除有限项外，都满足| an A | 0 ；
（4） 0 0 ，使得{an}中有无穷多项满足| an A | 0 ；
解：（4）等价。
7．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛．
证明：不妨设an 为一单调增加数列， ank
为
an
的一个子列，且
lim
作者：闫浩 2013 年 9 月
微积分 B(1)第一次习题课参考答案（第四周）
教学目的：本次习题课希望巩固确界、极限、子列等一些基本概念，这些概念是微积分的
基础，通过对习题的演练，使同学们加强对相关概念的理解；另外，由于新课标中的高中
数学较为简单，本次习题课也准备了一些与常用的初等数学知识相关的习题，帮助大家衔
，对于
ab
x A, y B 使 得
x
a
a
b
,
y
b
”的技巧。 ab
二、数列极限的定义
4．用极限定义证明
(1) lim ( n 1 n ) 0
n
证明： 0 ，由于
| n 1 n |
1
1，
n1 n n
欲使 |
n 1
n | ，只需
1 ，即 n
n
1 2
微积分B(1)第3次习题课(Stolz定理、函数极限)答案
( A − ε )(1 −
即
( A − ε )(−
bN +1 a a b a ) + N +1 < n < ( A + ε )(1 − N +1 ) + N +1 bn bn bn bn bn
因为
n →∞
lim bn = +∞
，所以 lim bb
n →∞
bN +1 a a b a ) + N +1 − ε < n − A < ( A + ε )( − N +1 ) + N +1 + ε bn bn bn bn bn
n →∞
+ 2m + ⋯ + n m n m +1
，其中 m 为自然数．
lim 1m + 2m + ⋯ + nm (n + 1) m = lim n →∞ n →∞ ( n + 1) m +1 − n m +1 nm +1
= lim
( n + 1) m 1 = n →∞ (m + 1)m m −1 m +1 m (m + 1) n + n +⋯ +1 2
1 1
．
（3）求
n− 2 2n −1 2 2 2n−1 22 2 lim 2 3 ⋯ n n →∞ 2 − 1 2 −1 2 −1
1
．
解：令
所以
n−2 2n−1 2 2 2n−1 22 2 an = 2 3 ⋯ n 2 −1 2 −1 2 −1
北交大2012-2013第二学期微积分第三次月考试卷参考答案
北 京 交 通 大 学2012-2013学年第二学期《微积分B 》第三次月考试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、选择题（每小题3分，满分15分）1．设∑是平面4x y z ++=被圆柱面221x y +=截出的有限部分,则y d S ∑⎰⎰的值为（ A ）．（A ）0 （B （C ） （D ）π2．()()2222,LI xydx yxdy =++-⎰Ñ其中L 是由0,1,y x y x ===组成的闭曲线,取顺时针方向,则I =（C ）．（A ）0 （B ）1- （C ）1 （D ）2π3．设∑是锥面z =及平面1,2z z ==所围成的立体表面外侧,则zed xd y ∑=⎰⎰Ò（B ）．（A ）()21e e π-- （B ）22e π （C ）24e π （D ）22e π-4．设函数()f u 连续,区域(){}22,2D x y x y y =+≤,则()Df xy d xd y ⎰⎰等于（D ）．（A ）()11d x fxy d y -⎰⎰（B ）()22d y fxy d x ⎰⎰（C ）()2sin 2sin co s d fr d r πθθθθ⎰⎰（D ）()2sin 2sin co s d frrd r πθθθθ⎰⎰5．设函数(),z f x y =,有222f y∂=∂且()()',01,,0y f x f x x ==,则(),fx y 为（ C ）． （A ）221x y y -+ （B ）221x y y ++ （C ）21xy y ++ （D ）21xy y -+ 二、填空题（每小题3分，满分15分）1．设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分()()2224Lx y y d x x x d y -+-=⎰Ñ 18π-．2．设r =则()()1,2,2d iv g ra d r -=23．3．设∑是锥面)01z z =≤≤的下侧,则()231xd yd z yd zd x z d xd y ∑++-=⎰⎰2π．4．设空间区域Ω是由曲面z =与z =所围成的,则zd V Ω=⎰⎰⎰8π.5．设函数(),z z x y =由方程232x zz ey -=+确定,则3z z xy∂∂+=∂∂ 2 .三、（9分） 设曲线积分()2Lx y d x yx d y ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ连续可导,且()00,ϕ=求()()()1,120,0xy d x y x d y ϕ+⎰.解:由积分与路径知()'2y x xy ϕ=, 3分 所以()()'22,x x x x C ϕϕ==+, 5分 由()00,ϕ=得()2x x ϕ=, 6分所以()()()()()()()1,1221,11,12220,00,00,01.22x y xy d x y x d y xy d x yx d y ϕ+=+==⎰⎰ 9分四、（8分）设S是由曲线()130z y x ⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于2π,求()()281214.S I x y d yd z yd zd x yzd xd y =++--⎰⎰解:旋转曲面为()221,13y z x y -=+≤≤, 1分添加曲面2212,:3z x S y ⎧+≤⎨=⎩方向为y 轴正方向,设1,S S 围成的立体为Ω, 3分有高斯公式,()()()1231318121412yS S D x y d yd z yd zd x yzd xd yd xd yd zd y d zd x y d yππ⋃Ω++--===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5分而()()()12222812141632S z x x y d yd z yd zd x yzd xd yd zd xπ+≤++--=-=-⎰⎰⎰⎰ 7分所以()()28121434SI x y d yd z yd zd x yzd xd yπ=++--=⎰⎰ 8分五、（9分） 计算()()()22222223LI yzdx zxdy xydz =-+-+-⎰Ñ,其中L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线,从z 轴正向看去,L 为逆时针方向.解:记S 为平面2x y z ++=上L 所围部分的上侧,则S的单位法向量为,由斯托克斯公式,()()()()()()22222222222211232342332423526712249LSSSx y x y I yzd x zxd y xyd zd Sx yzy z z x x yx y z d Sx y z d xd yx y d xd yd xd y+≤+≤=-+-+-∂∂∂=∂∂∂---=-++=-++=-+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分分Ñ六、（8分） 设S 为椭球面222122xyz ++=的上半部分,点(),,,P x y z S ∈II 为S 在点P 处的切平面,(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面II 的距离,求().,,Szd S x y z ρ⎰⎰解: S 在点P 处的切平面为()()2()0x X x y Y y z Z z -+-+-=, 即122xX yY zZ ++=. 2分所以(),,x y z ρ=3分由z =得d S ==5分所以()())2222222,,1474144382Sx y zd Sx y z xyd xd yd r rd rπρθπ+≤=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰分分七、（9分） 计算LI s =⎰,其中L 为由圆周222,x y a +=直线y x =及x 轴在第一象限中所围图形的边界. 解:设(),0,,22A a B a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,则L 由线段,O A 圆弧 A B ,线段B O 组成. 2分 O A 的参数方程为(),00x x x a y =⎧≤≤⎨=⎩,1a x aO As e d x e ==-⎰⎰; 4分A B 的参数方程为co s ,0sin 4x a y a θπθθ=⎧⎛⎫≤≤⎨ ⎪=⎝⎭⎩, »404aaA Bs e a d a e ππθ==⎰⎰; 6分B O 的参数方程为,02x x x a y x ⎛⎫=⎧≤≤ ⎪⎨ ⎪=⎩⎝⎭, 201aB Os x e ==-⎰⎰; 8分所以()21.4aaLI s e a e π==-+⎰9分八、（9分）在过点()0,0O 和(),0A π的曲线族()sin 0y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分()()312Lyd x x y d y +++⎰的值为最小.解:()()()()3333121sin 2sin co s 34453LI a yd x x y d ya x x a x a x d xa aππ=+++⎡⎤=+++⎣⎦=+-⎰⎰分分()'244Ia a =-， 7分所以1a =时取最小值，曲线为sin y x =. 9分 九、（9分） 设Ω是由曲线20,2x yz=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =围成的空间区域,求()22xy z d V Ω++⎰⎰⎰..解:旋转曲面为()221.2z xy=+ 2分()())22422042242572225693zD xy z d Vd z xy z d xd yd z d rz rd rz d zπθππΩ++=++=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分十、（9分）求曲线22,1z x y y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩上到坐标面xO y 距离最短的点. 解:设()()2221,,,,F x y z z x y z y x λμλμ⎛⎫=++-+-⎪⎝⎭, 3分 则22220,20,20,0,10.Fx x xF y y F z z F x y z F y xμλλμλλμ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎩7分解得点为()()1,1,2,1,1,2.-- 9分。