微积分B(2)第3次习题课参考答案(2013年3月)

2 2
构造拉格朗日函数 L( x, y , l ) = x 2 + y 2 + l (5 x 2 + 4 xy + 2 y 2 - 1) ；
¶L ¶L = 2 x + (10 x + 4 y )l = 0， = 2 y + (4 y + 4 x)l = 0 ， ¶x ¶y ¶L = 5 x 2 + 4 xy + 2 y 2 - 1 = 0 ¶l
8 (cos q - sin q ) × (sin q + cos q ) × (sin q + cos q ) 2 dq 3 8 (cos q - sin q ) × (sin q + cos q ) 3 dq 3
解方程组
因为 h(3, -4) = 25, h(-3,4) = 225 ， 所以 g ( x, y ) 在区域 D 上的最大、最小值分别为 15, 5 。
4. 求 (0, 0) 到曲线 x 3 - 3xy + y 3 = 4( x ³ 0, y ³ 0) 上点的最长距离与最短距离。 解：目标函数为 f ( x, y ) = x 2 + y 2 构造拉格朗日函数 L( x, y , l ) = x 2 + y 2 + l ( x 3 - 3 xy + y 3 - 4) ( x ³ 0, y ³ 0) 由于 f ( x, y ) = x 2 + y 2 的条件极值点必为拉格朗日函数的驻点。先考虑
16 öù 16 é4 æ4 = 2ê p + ç p - ÷ú = (3p - 2 ) 9 øû 9 è3 ë3
9．求二重积分
D
òò ( x - y)dxdy, 其中 D = {( x, y) ( x - 1)
5p 4 p 4
2
+ ( y - 1) 2 £ 2, y ³ x 。
}
解法一：作变量代换（平移） u = x - 1, v = y - 1 ， D = (u, v ) u + v £ 2, v ³ u ，
2 x3 - 3x 2 - 4 = 2 x 3 - 4 x 2 + x 2 - 4 = 2 x 2 ( x - 2) + ( x - 2)( x + 2) = (2 x 2 + x + 2)( x - 2)
所以 x = y = 2 ，此时 x + y = 2 2
2 2
当x=0 y=
3
4 或 x = 3 4 y = 0 时 x2 + y 2 = 3 4
x > 0, y > 0 的区域
作者:闫浩(2013 年 3 月)
¶L ¶L = 2 x + (3 x 2 - 3 y )l = 0， = 2 y + (3 y 2 - 3x )l = 0 ， ¶x ¶y ¶L = x 3 - 3 xy + y 3 - 4 = 0 ¶l
x3-3 x y+y3-4 = 0 6
(sin q + cos q ) dq ò 2 ( r cos q - r sin q ) rdr 0
=ò
é1 (cos q - sin q ) × r 3 ê 3 ë
2 (sin q + cos q ) 0
ù dq ú û
作者:闫浩(2013 年 3 月)
=ò =ò
3 p 4 p 4 3 p 4 p 4
解：求解条件极值问题：
a+b+c 5 ) ． 5
3 ì ïmax xyz ． í 2 2 2 2 ï s . t x + y + z = 5 R î
得到唯一驻点 （R, R, 3R) ． 因 为 最 大 值 存 在 而 最 小 值 不 存 在 ， 所 以 在 驻 点 处 取 得
u max = 3 3 R 5 ．于是当 x 2 + y 2 + z 2 = 5R 2 时，有 xyz 3 £ 3 3R 5 ， x y z £ 27 R
1
域（如图）
作者:闫浩(2013 年 3 月)
【 解
1 】
òò (
D
x 2 + y 2 + y ds =
)
D大圆
òò
(x
2
+ y 2 + y ds -
)
D小,圆
òò (
x 2 + y 2 + y ds .
)
D大圆
òò (
x + y + y ds
2 2
)
=
Ｄ大
2p 2
òò
0
x 2 + y 2 ds +
g ( x, y ) 在 D = {( x, y ) x 2 + y 2 £ 25} 上的最大、最小值. 解 由于 gradf ( x, y ) = ( y + 8, x - 6) ， 根据梯度的几何意义可知 g ( x, y ) = ( y + 8) 2 + ( x - 6) 2 。 考虑 h( x, y ) = g 2 ( x, y ) = ( x - 6) 2 + ( y + 8) 2 ，由于 ¢ = 2( x - 6) = 0, ìh x í ¢ îh y = 2( y + 8) = 0 在区域 D 内无解， 所以 h( x, y ) 的最大、 最小值均在 D 的边界 x 2 + y 2 = 25 上取到。 令 F ( x, y, l ) = ( x - 6) 2 + ( y + 8) 2 + l ( x 2 + y 2 - 25) ， ìFx¢ = 2( x - 6) + 2lx = 0, ï ì x = 3, ì x = -3, 或 í , íFy¢ = 2( y + 8) + 2ly = 0, 得 í y = 4 y = 4 . î î ï 2 2 îFl¢ = x + y - 25 = 0
2 9
2 2 （2）设区域 D = ( x, y ) x + y £ 1, x ³ 0 , 计算二重积分
{
}
I = òò
D
1 + xy dxdy 。 1+ x2 + y 2
【解】利用对称性，推出
òò 1 + x
D
xy dxdy = 0 ; 2 + y2
p 2 p 2
这样， I = 8． 求
òò (
D
)
被积函数的奇偶性
òò yds = 0
D
原式 =
òò
D
x 2 + y 2 ds + 0
ù é 2 2 2 2 ê = 2 òò x + y ds + òò x + y ds ú. ú ê D上 2 ú ê D上1 û ë
2 p 2 é p ù = 2 ê ò 2 dq ò r 2 dr + òp dq ò r 2 dr ú 0 0 - 2 cos q 2 ë û
D大
òò yds
= ò dq ò r 2 dr + 0 =
0
16 p. 3
D小圆
òò (
x 2 + y 2 + y ds =
)
D小
òò (
x 2 + y 2 ds +
)
D小
òò yds = òp 2 dq ò
2
3p
- 2 cos q
0
r 2 dr + 0
=
32 , 所以 9
òò (
D
x 2 + y 2 + y ds =
由前两个方程得到 í
ì(1 + 5l ) x + 2l y = 0 î2l x + (1 + 2l ) y = 0 1 + 5l 2l = 6l 2 + 7l + 1 = 0 ， 2l 1 + 2l
最终要得到 x, y 的非零解，因此有
ì 2 1 x = ï ì y = -2 x 1 ï 5 解得 l1 = -1, l2 = - l1 = -1 时， í 2 解得 í ， x2 + y2 = 1 2 6 î5 x + 4 xy + 2 y - 1 = 0 ï y2 = 4 ï 5 î
ì y = x2 î x =1
得í
ìy = -x ì x = 1 ìx = 1 得í ；由 í î y = -1 î x =1 îy =1
0 1 1 1 y -1 -y 0
因此，
I = ò dy ò f ( x, y )dx + ò dy ò
f ( x, y )dx 。 I 2 = ò rdr ò
0 2 r 2 r - arccos 2 arccos
作者:闫浩(2013 年 3 月)
ì 2 4 x = ï ì2 y = x 1 1 ï 30 ， x2 + y2 = l1 = - 时， í 2 解得 í 2 6 6 î5 x + 4 xy + 2 y - 1 = 0 ï y2 = 1 ï 30 î
因此 a =1, b =
6 。 6
3. 已知 f ( x, y ) = ( x - 6)( y + 8） ，求 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处的最大方向导数 g ( x, y ) ，并求
2 2
{
}
òò ( x - y)dxdy = ò
D
dq ò (r cosq - r sin q )rdr = 0
2
8 3
解法二：由 ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 £ 2 得 r £ 2(sin q + cos q ),