相似三角形判定拓展——K型相似
相似三角形复习2—K字型
G
B
F
CD
K字型的延伸形式： A
B A
B
∟
G FC
∟
E
D E
G
F
CD
1、如图，等边△ABC的边长为3，点D是BC上一点，
且BD=1，在AC上取点E，使∠ADE=60度，AE长为
（）
A. 3 B.2
2
3
C.
7 3
D.
3 4
2、四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=∠C=70°，点E，F分别在线段AD，DC上， 且∠BEF=110°，若E为AD中点时，DF长为 ________．
在线段AD上是否存在一点E，使得F为CD的中点， 若存在求出AE的长，若不存在，说明理由。
3．如图，直线 l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶 点 A，B，C 分别在 l1，l2，l3 上，∠ACB ＝90°，AC 交 l2 于点 D．已 知 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3.则AB 的值为( )
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
2.要使△APR∽△PRQ.，已有的相等条件是 什么？根据对应原则，还可以是哪两个角 对应相等？
3.若改为“当t为何值时，△APR与△PRQ相似”，应该如何解答？
4.如图，正△ABC边长为6cm，P,Q同时从 A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动， 其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为 2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运 动，设运动时间为t（s），作QR//BA交 AC于点R，连接PR，当t为何值时， △APR∽△PRQ.
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
解读相似三角形中k型图
VS
证明
由于∠BAC=∠DAE且AB/AD=AC/AE=2/3， 根据相似三角形的判定定理，我们可以得 出△ABC∽△ADE。
03
K型图中线段比例关系
比例性质介绍
比例的基本性质
在相似三角形中，对应边之间的 比例是相等的，即如果两个三角 形相似，那么它们的对应边之间 的比值是一个常数。
比例的性质
在相似三角形中，对应高、对应 中线、对应角平分线的比例都等 于相似比。
反思
在学习相似三角形时，可能会出现一些理解上的困难或误区。例如，有些同学可能会认为只要两个三角形的 对应角相等，它们就是相似的，而忽略了对应边成比例的条件。因此，在学习过程中需要不断反思和总结自 己的理解和方法是否正确，并及时纠正错误的认识和做法。同时，还需要多做练习题加深对知识点的理解和
记忆。
THANKS
案例一
建筑设计中的K型图应用。在建筑设计中，经常需要利用相似三角形的性质进行比例计算 和建模。例如，在设计一座建筑时，可以利用K型图求出建筑的高度、宽度等比例关系， 进而进行建筑设计。
案例二
地理测量中的K型图应用。在地理测量中，经常需要利用相似三角形的性质进行距离、高 度等测量。例如，在测量一座山的高度时，可以利用K型图进行建模和计算，从而得出山 的高度。
02
利用K型图的性质
在K型图中，若已知其中一条边的长度，则可以求出另外两条边的长度。
同时，若已知两个角的大小，则可以求出第三个角的大小。
03
证明过程
首先，根据题目中的已知条件，确定K型图中的两个相似三角形。然后，
利用相似三角形的性质，建立比例关系。最后，通过代数运算，证明目
标结论。
案例分析
案例一
已知三角形ABC和三角形ADE相 似，且AB=AC，AD=AE。求证：
相似三角形的基本模型(K字型)(原卷版)(人教版) -九年级数学下册
专题07相似三角形的基本模型（K字型）【模型说明】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.【例题精讲】（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；（1）求此拋物线的解析式．课后训练4．如图，AOB∆是直角三角形，AOB∠5．如图，已知D是等边为EF，点E、F分别在∠=，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段10．（1）问题发现：如图1，ABCα∠=．请求出线段BC与DE的数量关系；线BC上取点D，使得CDEα(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点接AE，过点E作EF⊥AE交线段为d，求d与t的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，点EH-CE=2AH，求点P的坐标．3（1）求证：EA·ED （2）若BE平分∠＝45°，BD交EF于点（3）若AB＝BC，点＝EJ，当AEED＝_________。
中考数学复习难题突破专题二：K字型相似研究
难题突破专题二“K”字型相似研究相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外，还有一个“K”字型相似，也常用于各种相似图形中．“K”字型相似由特殊到一般，题型往往丰富多彩，也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形．了解一个基本图形，有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘，从而找到解决问题的突破口．类型1 “K”字型相似基本图形1图Z2－11 条件：如图Z2－1，B，C，E三点共线，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.结论：△ABC∽△CED.证明：例题分层分析(1)证明两个三角形相似有哪些方法？(2)除了∠B＝∠E＝∠ACD之外，图中还可以找出哪些角相等？【应用】如图Z2－2，已知点A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB，则点P 的坐标为________．图Z2－2例题分层分析(1)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？(2)设P(x，0)，则根据比例式列出方程即可求得x的值，从而得到点P的坐标．解题方法点析“K”字型相似基本图形1，在于寻找三个直角相等，熟记基本图形有利于快速找到相似三角形，从而通过建立方程解决问题．类型2 “K”字型相似基本图形22 条件：如图Z2－3，B，D，C三点共线，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.图Z2－3结论：△BDE∽△CFD.证明：例题分层分析(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系？(2)如何证明∠E＝∠CDF?【应用】1．如图Z2－4，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O，A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D.图Z2－4(1)直接写出点B的坐标：________；(2)当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求点P的坐标．例题分层分析(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，依题意可得OQ＝4，AQ＝3，已知AB＝5，根据勾股定理求出QB即可解答．(2)根据“K”字型相似，图中可以找到哪两个三角形相似？根据相似三角形又可以得到怎样的比例式？2．如图Z2－5，已知直线y＝kx与抛物线y＝－427x2＋223交于点A(3，6)．图Z2－5(1)求直线y＝kx的函数表达式和线段OA的长度．(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O，A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD.探究：m在什么范围内时，符合条件的点E分别有1个、2个？例题分层分析(1)利用待定系数法求出直线y＝kx的函数表达式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度．(2)①延长AB交x轴于点F，由∠BAE＝∠AOD可求出点F的坐标为________，进而再求得点B的坐标为________，然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为________；②由已知条件∠BAE＝∠BED＝∠AOD，可得到“K”字型相似的基本图形2，故可得到△________∽△________，设OE＝a，则由对应边的比例关系可以得到________．从而得到关于a的一元二次方程为____________，然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围．解题方法点析“K”字型相似基本图形2，根据三个角相等，联想到“K”字型基本图形1，便于快速找到相似三角形，从而利用相似的有关性质解决问题．专题训练1．[2019·常州] 如图Z2－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)图Z2－62．如图Z2－7，在矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使得点D与CB边上的点E重合，若AD＝10，AB ＝8，则EF＝________．图Z2－73．[2019·攀枝花] 如图Z2－8，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，BD ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图Z2－84．如图Z2－9，在直角梯形ABCF 中，CB ＝14，CF ＝4，AB ＝6，CF ∥AB ，在边CB 上找一点E ，使以E ，A ，B 为顶点的三角形和以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则CE ＝________．图Z2－95．如图Z2－10，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝120°，AD ＝3，AB ＝6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF＝120°.(1)当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________； (2)若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________．图Z2－106．[2019·绵阳]将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z2－11所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点．若CA ＝5，AB ＝6，AD ∶AB ＝1∶3，则MD ＋12MA·DN的最小值为________．图Z2－117．如图Z2－12，在四边形ABCD 中，已知AD∥BC，∠B ＝90°，AB ＝7，AD ＝9，BC ＝12，在线段BC 上任取一点E ，连结DE ，作EF⊥DE，交直线AB 于点F.(1)若点F与B重合，求CE的长；(2)若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长．图Z2－128．如图Z2－13，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图Z2－139．[2019·天水] △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z2－14①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE.(2)如图Z2－14②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．图Z2－1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕点P旋转．(1)如图Z2－15①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB，AC交于点E，F时，连结EF，请说明△BPE∽△CFP.(2)操作：将三角板绕点P旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，连结EF.①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．图Z2－15参考答案类型1 “K”字型相似基本图形1例1 【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似等．(2)根据余角的性质还可以得到∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，从而可证得△ABC∽△CED.证明：证明过程略．应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似，可得到△AOP∽△PCB，所以AOPC＝OPCB.(2)设P(x，0)，因为AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以44－x＝x1，解得x＝2，从而得到点P的坐标为(2，0)．[答案] (2，0) [解析] ∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x轴，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，∴∠BCP＝∠POA＝90°，∴△BCP∽△POA，∴AOPC ＝OP CB.∵点A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4. 设P(x，0)，则OP＝x，PC＝4－x，∴44－x＝x1，解得x＝2，∴点P的坐标为(2，0)．类型2 “K”字型相似基本图形2例2 【例题分层分析】(1)两个图形都有三个角相等，基本图形1是三个直角相等，而基本图形2是基本图形1的一般情况，更具普遍性，两个图形的形状均类似于字母“K”，因此称之为“K”字型相似图形．(2)∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.证明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性质可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.应用1【例题分层分析】(1)过点B作BQ⊥x轴于点Q，易求得BQ＝4，故得到点B的坐标为(4，4)．(2)由“K”字型相似可得到△POC∽△DAP，所以OCAP＝OPAD，设OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝25AB＝2，AP＝7－x，所以57－x ＝x2，解得x ＝2或x ＝5， 所以点P 的坐标为(2，0)或(5，0)． 解：(1)过点B 作BQ⊥x 轴于点Q. ∵AB ＝OC ，∴AQ ＝(7－1)÷2＝3， 在Rt △BQA 中，BA ＝5，由勾股定理，得BQ ＝AB 2－AQ 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，4)． (2)∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP， 即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP， 而∠CPD＝∠OAB＝∠COP， ∴∠OCP ＝∠APD， ∴△OCP ∽△APD ， ∴OC AP ＝OP AD. ∵BD AD ＝32，∴AD ＝2. 设OP ＝x ，OC ＝AB ＝5，AP ＝7－x ， ∴57－x ＝x 2， 解得x ＝2或x ＝5，∴点P 的坐标为(2，0)或(5，0)． 应用2【例题分层分析】(1)直线y ＝kx 的函数表达式为y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5. (2)①点F 的坐标为(152，0)，点B 的坐标为(6，2)，AB ＝5.②根据“K ”字型相似的基本图形2，可得到△ABE∽△OED ，设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)， 由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， ∴3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0， 依题意知m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．解：(1)把点A(3，6)的坐标代入y ＝kx ，得6＝3k ， ∴k ＝2，∴y ＝2x ，OA ＝32＋62＝3 5.(2)如图，延长AB 交x 轴于点F ，过点F 作FC⊥OA 于点C ，过点A 作AR⊥x 轴于点R.∵∠AOD ＝∠BAE， ∴AF ＝OF ，∴OC ＝AC ＝12OA ＝325.∵∠ARO ＝∠FCO＝90°，∠AOR ＝∠FOC， ∴△AOR ∽△FOC ， ∴OF OC ＝AO OR ＝3 53＝5，∴OF ＝32 5×5＝152， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0.设直线AF 的函数表达式为y ＝ax ＋b(a≠0)，把点A(3，6)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，0的坐标代入，解得a ＝－43，b＝10，∴y ＝－43x ＋10，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋10，y ＝－427x 2＋223，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝6(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝2， ∴B(6，2)，∴AB ＝5. ∵∠BAE ＝∠BED，∠ABE ＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED， ∴∠ABE ＝∠DEO.∵∠BAE ＝∠EOD，∴△ABE ∽△OED. 设OE ＝a ，则AE ＝3 5－a(0＜a ＜3 5)， 由△ABE∽△OED 得AE AB ＝ODOE， 即3 5－a 5＝m a，∴a 2－3 5a ＋5m ＝0. 依题意得m>0，∴当Δ＝0，即(－3 5)2－20m ＝0，m ＝94时，符合条件的点E 有1个；当Δ＞0，即(－3 5)2－20m ＞0，0＜m ＜94时，符合条件的点E 有2个．专题训练1．A 2.5 3.544．2或12或285 [解析] 两个三角形相似，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以应分两种情况讨论，进而求CE 的值即可．5．(1)6 (2)2或5 [解析] (1)过点E 作EG⊥DF，由E 是AB 的中点，得出DG ＝3，从而得出∠DEG ＝60°，由∠DEF ＝120°，得∠FEG＝60°，由tan ∠FEG ＝FGGE，即可求出GF 的长，进而得出DF 的长． (2)过点B 作BH⊥DC，延长AB ，过点C 作CM⊥AB 于点M ，则BH ＝AD ＝3，再由锐角三角函数的定义求出CH 及BC 的长，设AE ＝x ，则BE ＝6－x ，利用勾股定理用x 表示出DE 及EC 的长，再判断出△EDC∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x 的方程，求出x 的值即可．6．2 3 [解析] 先求出AD ＝2，BD ＝4，由“K ”字型相似可得△AMD 和△BDN 相似，根据相似三角形对应边成比例可得MA BD ＝MDDN ，求出MA·DN＝4MD ，再将所求代数式整理得出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．7．解：(1)当点F 和B 重合时，∵EF ⊥DE ，∴DE ⊥BC. ∵∠B ＝90°，∴AB⊥BC， ∴AB ∥DE.∵AD ∥BC ， ∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AD ＝EF ＝9，∴CE ＝BC －EF ＝12－9＝3.(2)过点D 作DM⊥BC 于点M ， ∵∠B ＝90°，∴AB ⊥BC ， ∴DM ∥AB. ∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD ＝BM ＝9，AB ＝DM ＝7，CM ＝12－9＝3.设AF ＝CE ＝a ，则BF ＝7－a ，EM ＝a －3，BE ＝12－a ， 可证△FBE∽△EMD，∴BF EM ＝BE DM ，即7－a a －3＝12－a 7， 解得a ＝5或a ＝17.∵点F 在线段AB 上，∴AF ＝CE ＜AB ＝7，∴CE ＝5.8．解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B，∠APD ＝∠B，∴∠DPC ＝∠PAB，又AB ＝AC ，∴∠ABP ＝∠PCD，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP ＝BP CD， ∴AC CP ＝BP CD，∴AC ·CD ＝CP·BP. (2)∵PD∥AB，∴∠DPC ＝∠B，∴∠PAB ＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB ＝∠C.又∠PBA＝∠ABC，∴△PBA ∽△ABC ，∴BP AB ＝AB BC， ∴BP ＝AB 2BC ＝10212＝253. 9．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝45°，AB ＝AC ，∵AP ＝AQ ，∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BPE 和△CQE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CE ，∠B ＝∠C，BP ＝CQ ，∴△BPE ≌△CQE(SAS)；(2)∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B ＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP ＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP ＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BE CQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3 2，∴BC＝6 2.10．解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠B＋∠BPE＋∠BEP＝180°，∴∠BPE＋∠BEP＝150°.又∵∠BPE＋∠EPF＋∠CPF＝180°，∠EPF＝30°，∴∠BPE＋∠CPF＝150°，∴∠BEP＝∠CPF，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)①△BPE∽△CFP，理由同(1)．②△BPE与△PFE相似．理由：由①△BPE∽△CFP，得CP∶BE＝PF∶PE，而CP＝BP，因此BP∶BE＝PF∶PE.又∵∠EBP＝∠EPF，∴△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟2．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°3．我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是( )A.515B.346C.1314D.844．已知△ABC∽△DEF，其中AB＝6，BC＝8，AC＝12，DE＝3，那么△DEF的周长为（）A.394B.263C.13D.265．如图，向正六边形的飞镖游戏盘内随机投掷一枚飞镖则该飞镖落在阴影部分的概率( ).A. B. C. D.6．计算a 2+4a 2的结果是（ ）A ．4a 2B ．5a 2C ．4a 4D ．5a 47．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1，0)与(0，2)，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集是( )A ．x 1>-B ．x 1<-C ．x 2>D ．x 2< 8．如图，P 的半径为5，A B 、是圆上任意两点，且6AB =，以AB 为边作正方形ABCD （点、D P 在直线AB 两侧）．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为（ ）A ．5πB ．6πC ．8πD ．9π 9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①点17(,)2y -，23(,)2y -，35(,)4y 是该抛物线上的点，则123y y y <<；②320b c +<；③()t at b a b +≤-（t 为任意实数）.其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．袋中装有大小相同的6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为34”则袋中白球大约有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是( )A ．25B ．13C ．415D ．1512．对于反比例函数6y x =-，当10x -<…时，y 的取值范围是（ ） A ．6y …B ．60y -≤<C ．06y <…D ．6y <-二、填空题 13．甲、乙两个搬运工搬运某种货物．已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为_____．14．已知抛物线2=2(1)3y x -+-与直线2y kx m =+相交于A （-2，3）、B （3，-1）两点，则12y y ≥时x 的取值范围是___________.15．已知扇形的圆心角为60º，半径为6cm ，则扇形的弧长为 cm.16．已知 x ＝﹣1 是一元二次方程 ax 2﹣bx+6＝0 的一个根，则 a+b 的值为_____17．计算)33的结果等于______________. 18．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是_____．三、解答题19．已知2222x 4x 4x 11T x 2xx x x ⎛⎫-+-=+÷ ⎪-+⎝⎭ （1）化简T ；（2）若x 为△ABC 的面积，其中∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，求T 的值．20．已知二次函数y=ax 2+bx+8，经过点(1,9)和(6,−16).(1)求该二次函数的解析式；(2)设该二次函数的图象与x 轴的交点为A ．B ，与y 轴的交点为C ，求△ABC 的面积。
相似三角形的判定
相似三角形的判定要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形与第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似要点诠释：要判定两个三角形相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换一、选择题1. 已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为( )A. 16：15B. 15：16C. 3：5D. 16：15或15：162．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3. 如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( )A. 2：1B. 3：2C. 3：1D. 5：24. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）．A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）．A．4对B．3对 C．2对 D．1对6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是( )A. ∠APB=∠EPCB. ∠APE=90°C. P是BC的中点D. BP：BC=2：3二、填空题7. 如图, ∠1=∠2=∠3, 则图中与△CDE相似三角形是________和________8. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD 交PC于G，则图中相似三角形有_________对.9. 如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是________.10. 如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,,则①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正确的有___________.11. 如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=_________.12. 如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=______时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.三、解答题13. 如图，和都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交于点N．求证：（1）CG平分．（2）∽．14. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．15. 已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；（2）如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O 上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；（3）在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.一．选择题1.【答案】A.2.【答案】C.【解析】分别是过点P做AB,AC,BC的垂线.3.【答案】A.【解析】如图，做CN∥AB,交ED于点N,∵M是AC边中点,△AEM≌△CNM,即CN=AE,∵AE=AB，∴AE:BE=1:3，即CN:BE=1:3.∵CN∥AB，∴△DCN∽△DBE,即CD:BD= CN:BE=1:3,∴CD:BC=1:2.4.【答案】B5.【答案】B【解析】△ABC∽△ACD; △ABC∽△CBD; △CBD∽△ACD.6.【答案】C .【解析】当P是BC的中点时，△EPC为等腰直角三角形.二. 填空题7.【答案】△CEA、△CAB.8.【答案】3对.【解析】由∠CPD＝∠A＝∠B，得△CPF∽△CBP，△DPG∽△DAP，得∠CPB＝∠CFP，则∠APG＝∠BFP，得△APG∽△BFP，有3对.9.【答案】5：1.【解析】如图，连接AE,则△AEF∽△CBF,∵点F是AB的中点,正方形ABCD,∴EF:AE=BF:BC=1:2.设EF=K,则AE=2K,AF=K,即BF=K,BC=2K，CF=5K.∴CF:EF=5:1.10.【答案】②.11.【答案】5:3:12【解析】∵平行四边形ABCD, M,N为AB的三等分点∴AM:CD=AP:PC=1:3，AN:CD=AQ:QC=2:3，即AP=AC,AQ=AC,∴QP=AC,QC=AC,∴AP：PQ:QC=AC: AC: AC=5:3:12.12.【答案】.三综合题13.【解析】（1）证明：如图，作CP⊥AD于P，CQ⊥BE于Q，∵和都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△ACD，∴∠BEC=∠ADC，∵CP⊥AD，CQ⊥BE∴∠CQE=∠CPD=90°在△CQE和△CPD中：∴△CQE≌△CPD，∴CQ=CP,∴CG平分（到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
中考浙江金华相似三角形K子型、母子型相似三角形模型-典型
母子型相似三角形【知识要点】 一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD =△BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB = 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图，ΔABC 中，∠A=∠DBC ，BC=，SΔBCD ∶SΔABC=2∶3，则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点，连结CD.若AD= 2，BD = 4， ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•【练】如图5，RtΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=8，BC=6，则AD=____，CD=_______. 【例2】如图1，∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠B ，AC=5，AB=6，则AD=______. 【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4， 求CD 的长. 类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =•。
相似三角形的基本模型——“K”字型
相似三 角形 的基本模型
葛 浩 亮
“ Ｋ ＂ 字型
一
、
剖 析 中考题
塔 位 于 点Ａ（ ４ ０ ０， ３ ０ ０ ） ， 从 古 塔 出发 沿 射 线 Ｏ Ａ方 向前 行 ３ ０ ０ ｍ是 盆 景 园曰， 从 盆景 园 向 左４ ￣ － ９ ０ 。 后 直行 ４ ０ ０ ｍ到 达梅 花 阁Ｃ， 则 点
‘
．
戈 轴， ． ． ． ＬＢ ＥＯ ＋ Ｌ∞ ＝ １ ８ Ｏ 。 ，
Ｃ船 ＝９ ０。． ． ‘ ． Ｃ船 ＝ ＥＤ ，
‘
．
‘ ．
．
△ Ｃ船 一 △ ＥＤ．
ＣＦ ＢＦ ＢＣ ＢＥ ｏＥ ｏＢ ＣＦ ＢＦ ４ ００
边 长 为６ ｃ ｍ的 等 边 三 角形 ， 动． ｓ ． ｐ、 Ｑ同
ＢＥ０＝９ ０ ｏ。 ． 厶 Ｂ ｏＥ＋ ｏ ＢＥ＝９ ０ｏ 佃 ０＝９ ０。． ． ． ． ０ＢＥ＂ ４ － 叩 ９ ０。，
ｚ
【 思路分析 】 核心条件１ ： Ｂ ， Ｄ ， ｃ 三点共线 ； 核心条件２ ： ＬＢ ＝ ＬＥ ＤＦ ＝ Ｃ ＝ ． 基 本 图形 ２ 是“ Ｋ” 字 型 相 似 问 题 的 一 般模 型 ， 同样 是 要 发 现 “ 三 点一线” （ ， Ｃ， Ｄ 三点共 线 ） ， “ 三 角相 等 ” （ Ｂ＝Ｚ ＿ Ｅ Ｄ Ｆ＝
因 为 ＝ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ ÷ ５ ：
所以Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｖ ， Ａ Ａ Ｄ Ｅ ， 相似比 ＝ ÷，
根据题 意 ， 得｛ Ｙ ５
解 决 ．方 程 思 维 方 式 在 数 学 中 占有 非 常 重 要 的 地 位 ，在 数 学 解 题 中 所 占 的 比 例 较 大， 综合性广 ， 题型多 ， 应用灵 活 ， 特别是在 利 用 三 角 形 的 相 似 进 行 有 关 的计 算 时 ， 我
相似三角形判定定理
探讨相似三角形判定定理的逆命题
9字
两三角形如果对应边成比例， 那么这两个三角形是否一定 相似？
9字
两三角形如果面积比等于相 似比的平方，那么这两个三 角形是否一定相似？
9字
回答是肯定的。如果两个三 角形的对应边成比例，那么 它们的对应角必然相等，因 此这两个三角形一定相似。
9字
回答也是肯定的。如果两个 三角形的面积比等于相似比 的平方，那么它们的对应边 必然成比例，因此这两个三 角形一定相似。
该定理是相似三角形判定的基础，也是 应用最广泛的判定方法之一。
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等，则这两个三角形相似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知两边和夹 角的情况。
判定定理三：三边对应成比例
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相 似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知三边长度的情况。
以上三个判定定理是相似三角形判定的主要方法，它们在实际应用中具有广泛的适 用性和实用性。同时，这些定理也是学习相似三角形知识的基础和关键。
03
相似三角形证明方法
综合法证明
综合运用相似三角形的性质
01
通过已知条件，结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例
飞机的位置。
建筑设计中的应用
比例缩放
在建筑设计中，相似三角形可以帮助 设计师按比例缩放模型，使得不同大 小的建筑保持相同的比例和美感。
透视绘图
在绘制建筑透视图时，相似三角形原 理可以帮助准确表现物体的远近关系 和立体感。
结构分析
在建筑结构分析中，相似三角形可以 帮助工程师理解和计算结构的稳定性 和承重能力。
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讲解：XX
1
A型 D
B
相似三角形基本图形的回顾：
A E
E A
D X型
C
B
C
A
D E
B
C
A
D B
2021/3/10
E D
A
B
∠ACB=Rt∠
CD⊥AB
母子相讲似解型：XX
B
C A D
2
C
2021/3/10
讲解：XX
3
2021/3/10
形状：K
特点：顶点共线的三个直角！
讲解：XX
∴∠ADE=∠B
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1
∴∠1=∠2
E
∴ △ABD∽△DCE
C
讲解：XX
9
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上 的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
4
观察与思考
1.你能在这个正方形中画出K字图吗？ 2.给你一张矩形纸片，你能折出K字图吗？
A
D
△ABE∽ △ECF
F
12
B
E
C
2021/3/10
讲解：XX
5
A
变：点E为BC上任意一点， 若 ∠B= ∠C= ∠AEF= α, 结 论还成立吗？
△ABE∽ △ECF
F
B
E
C
2021/3/10
A
α
α
讲解：XX B
X=4
y
3
C
2
OA
P
6
B Qx
2021/3/10
讲解：XX
14
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/3/10
15
x
（1）求点yB的坐标； （2）求OA︰OB的值；
（3）若点A在双曲线上移
A C
动， 保持OA⊥OB 不变， OA︰OB的值变吗？
o
x
D
B
2021/3/10
讲解：XX
13
拓展提高
4.如图，已知抛物线与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点. （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点P，满足 ∠PBC=90°，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
2 2
2
1 2
0 x 2
当 x
2
时
2
y最 小 值
1 2
10
2.如图，由8个大小相等的小正方形构成的图案， 它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的 边AB、BC、CD、DA上。
若AB=4，BC=6，求DG的长．
A
HD
E
G
2021/3/10
B
F
讲解：XX
C
11
3.如图，已知点A（1,2）是函数y 2(x＞0) 的图象
A
y
1
E
Bx D
ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上 的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
A
1
B
2021/3/10 ）2 D
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠C=45° 又∵∠ADE=45°
E
F
α C6
△ABP∽ △PCD
A
B
P
三垂直型
D
A
D
B
P
C
C
三角相等型
2021/3/10
讲解：XX
7
1、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC 边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE 三角相等型
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自 变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最 小值
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自
变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最
小值
解： ∵△ABD∽△DCE
A
y
∴ AB BD CD CE
即 1 x 2 x 1 y
1
Bx D 2021/3/10
E
1 y
C
2x
∴ 1yx 2x
∴ yx2 2x1
讲解：XX
y x
x
的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y-6(x＞0)
交于点B.
x
（1）求点y B的坐标； （2）求OA︰OB的值；
C
A（1,2）
o
x
D B
2021/3/10
讲解：XX
12
3.如图，已知点A（1,2）是函数y 2(x＞0) 的图象
x
的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y-6(x＞0)
交于点B.