简单的线性规划问题

简单的线性规划问题

［学习目标］1?了解线性规划的意义以及约朿条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

目知识梳理自主学习

知识点一线性规划中的基本概念

知识点二线性规划问题

1.目标函数的最值

线性目标函数z=ax+hy（心0）对应的斜截式直线方程是y=一为+齐在y轴上的截距是齐当Z 变化时，方程表示一组互相平行的直线.

当b>0,截距最大时，z取得最大值,截距最小时，z取得最小值;

当b<0,截距最大时，z取得最小值,截距最小时，z取得最大值.

2.解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约朿条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，

(1)画：根据线性约朿条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画岀来，可疔域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平而区域.

(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.

(3)求：解方程组求最优解，进而求岀目标函数的最大值或最小值.

(4)答：写岀答案.

知识点三简单线性规划问题的实际应用

1.线性规划的实际问题的类型

(1)给立一泄数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大：

(2)给泄一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.

常见问题有：

①物资调动问题

例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？

②产品安排问题

例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？

③下料问题

例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？

[x+y-2W0,

跟踪训练1 (l)x,y 满足约束条件卡一 2y —2W0,

12A —y+2^0, 则实数"的值为()

A.扌或一1

B. 2或*

2.解答线性规划实际应用题的步骤

(1) 模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要 在学习有关例题解答时，仔细体会范例给岀的模型建立方法.

(2) 模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选左可行域中的特殊点作为最 优解.

(3) 模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计岀最佳的方案.

戸题型探究

重点突破

题型一求线性目标函数的最值 例1已知变量X, y 满足约束条件p+yMl ， 则z=3x+y 的最大值为()

」?一)W1,

A ?12

B ?11

C ?3

D ?一 1

答案B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可.如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y=-3x+z 经 过点A 时，z 取得最大值.由[V_2,

[x-y=l b=2, 此时z=3x+y=ll ?

若2=$—“乂取得最大值的最优解不唯

一,

C. 2 或1

D. 2 或一1

〉一y+1 W0,

⑵若变虹，y满足约朿条件*+2)，—8W0, 则z=3x+y的最小值为 __________ 答案(1)D

(2)1

解析(1)如图，由)=or+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,

故当“>0时，要使z=y—似取得最大值的最优解不唯一，则“=2；

当“<0时，要使Z=y—Q取得最大值的最优解不唯一，则a=-i.

(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z=3x+y,即y= — 3x+z过点(0,1)时Z取最小值1.

题型二非线性目标函数的最值问题

〉一y—2W0,

例2设实数X, y满足约束条件“+2)T$0,求

.2y—3W0,

(lX+y2的最小值：

(2斗的最大值.

解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC,

(1)令“二卡+员，其几何意义是可行域ABC 内任一点(X, y)与原点的距离的平方.

13

所以，W+y 2

的最小值为号. (2)令其几何意义是可行域ABC 内任一点(.r, y)与原点相连的直线/的斜率为6即。 =匚辛?由图形可知，当直线/经过可行域内点C 时，Q 最大，

%—0

由(1)知c(i, |),

3 v

3

所以％和=夕所以:的最大值为夕 跟踪训练2已知x, y 满足约束条件［心0, 贝临+3)2+尸的最小值为

_________ 过原点向直线x+2y-4=0作垂线y=2x,则垂足为、 卄 2y —4=0, y=2x

的解’即伶!)*

又由

兀+2〉一4=0,

2丁_3=0,

所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为\OC\ =