三种逆阿贝尔变换方法比较
等离子体温度分布测量方法的研究
等离子体温度分布测量方法的研究陈根余;张均;张屹;赵智【摘要】测量激光深熔焊接小孔的温度分布是研究小孔形成机理的重要手段之一.为了获得非对称情况下的等离子体温度的二维分布,通过变量分离方法将光谱测量的一维信息分离为对称和非对称两部分,在阿贝尔变换的基础上,利用数值方法计算出对称部分的平面二维分布,从而获得非对称情况下的平面二维分布.通过假想的非对称分布函数进行了模拟计算和误差分析,结果证明算法的整体误差小,对研究激光焊接形成小孔的机理具有十分重要的意义.【期刊名称】《激光技术》【年(卷),期】2008(032)002【总页数】3页(P137-139)【关键词】激光技术;温度分布;阿贝尔逆变换;焊接小孔【作者】陈根余;张均;张屹;赵智【作者单位】湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082;湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082;湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082;湖南大学,汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082【正文语种】中文【中图分类】TG456.7引言小孔效应是激光深熔焊接的本质特征[1]，也是激光深熔焊接研究的热点和难点。
由于小孔内部机理复杂，温度高且变化快，应用普通的方法很难进行观测，目前针对小孔的温度研究主要还是集中在孔外，主要的探测方法包括光谱分析法、干涉衍射法、直接成像法等[2]；而对于小孔内部的研究相对甚少，主要采用光谱分析法。
本课题组采用“三明治”原理的光谱测量方法，利用单通道光谱仪对激光焊接小孔等离子体进行了测量，获得了单点的温度和电子密度[3]。
由于激光焊接所产生的小孔内部密布着等离子体，小孔内部等离子体的温度分布可以反映焊接过程中孔内的温度情况，所以测量小孔内部等离子体的温度分布对于研究激光焊接形成小孔的机理具有十分重要的意义。
1 测量原理1.1 温度测量原理激光焊接小孔孔内等离子体温度的分布情况很难直接获得。
椭圆截面的Abel逆变换方法
为了方便描述随圆截面 Abel 逆变换方法, 我们 先回顾一个圆形截面的情况。圆形截面对称分布的 Abel 逆变换已有多种方法, 其中 W Barr 的算法[2] 、 等值同心圆算法[ 3] 和幂级数算法[ 4] 得到了广泛的应 用。其基本原理如图 1 所示。
收稿日期: 2003- 05- 09; 修订日期: 2004- 01- 12 作者简介: 董云波( 1979- ) , 女, 云 南保山人, 硕士研究生, 主要从事托卡马克装置的磁流体不稳定性研究。
第 3期
董云波等: 椭圆截面的 Abel 逆变换方法
173
参数, u = 0 时为磁轴, u = 1 则表 示等离子体边界, 如图 2 所示。
图 1 探测弦与圆形截面间的几何关系
假设对于 z 轴对称的等辐 射面上的分布 函数
n( r ) , 在垂直 y 轴, 穿过 y = y0 点的探测弦上所获得
n( r ) dl 被探测到后, 借助于 Abel 逆变换 数学方
L
法, 通过积分 I ( ) 值可以求出该物理量的径向分布 n ( r ) 。目前这种方 法在软 X 射线测 量、可见 光辐 射测量、热辐射测量、电子回旋辐射测量以及激光干 涉测量中都得到了广泛应用。以前大多数托卡马克 装置由于孔栏限制, 等离子体截面多为圆形, 因而圆 截面 Abel 逆变换算法在等离子体实验数据 处理中 得到了广泛的应用。近十几年来, 为了改善等离子 体边缘杂质条件和约束性能, 许多装置都先后采用 了偏滤器技术, 导致了等离子体截面的变化, 由原来 的圆形截面演变成具有椭圆形 变加三角形变 的位 形。在此情况下, 以圆对称为基本假定条件的圆截 面 Abel 逆变换技术需要作相应的修正。
数学物理方法_第6章 行波法和积分变换法
___
___
令 r 0 利用L’Hospital（洛必塔）法则 得到
___ ___ ___
___ ___ 1 u (0, t ) 0 (at ) at 0 (at ) t 1 (at ) (at ) 0 (at ) t 1 (at ) a t 1 0 ( x sin cos , y sin sin , z cos , t ) 2 ( at ) sin d d 4 a t Sat at M 1 ( x sin cos , y sin sin , z cos , t ) t 2 ( at ) sin d d 2 4 Sat (at ) M __
.
把确定出来的 f1 ( x) 与 f2 ( x) 代回到式 （6.1.6）中，即得到方程（6.1.1）在 条件（6.1.7）下的解
u( x, t ) 1 1 xat [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a xat
（6.1.11)
式（6.1.11）称为无限长弦自由振动的 D’Alembert（达朗贝尔）公式。 现在来说明D’Alembert解的物理意义。 先讨论初始条件只有初始位移情况下
__
1 u (r , t ) 4 r 2
1 u( , , , t )dS 4 SrM
S1M
u( ,, , t )d
M S 其中 r 表示 以点 M ( x, y, z ) 为中心、以 M 为半径的球面 S1 表示 r 1 的单位球面
r
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
所以得到方程
阿贝尔变换
从阿贝尔变换看定积分分部积分公式刘鹏飞 数学与应用数学专业 05级基地班指导老师 尹小玲2006年9月摘要:通过深入了解阿贝尔变换的几何意义,分析它与定积分存在某种联系;经过进一步探讨,得到由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式.关键词：阿贝尔变换，定积分，分部积分。
阿贝尔变换：设有两组数k k b a ,),,3,2,1(m k =为了求和数m m mk kk b a b a b a ba ++=∑=22111引入 m m b b b B b b b B b b B b B ++=++=+==21321321211,,,, 这样， 112211,,,--=-==m m m B B b B B b B b 把它代入和式中得)()()(1233122111-=-+-+-+=∑m m m mk kk B B a B B a B B a B a bam m m m m B a B a a B a a B a a +-+-+-=--11232121)()()( ∑-=++-=111)(m k m m k k kB a B a a这个变换式：∑∑-=+=+-=1111)(m k m m k k k mk kk B a B a a ba (1)就称为阿贝尔变换或和差变换。
上述阿贝尔变换，有一个简单的几何解释。
为了简单起见，以6=m 为例，设0≥k a ，且)6,5,4,3,2,1(0=≥k b k ，且k a 单调下降。
这时，∑=61k k k b a 在上图中就表示以k b 为底，ka 为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。
它显然等于以6543216b b b b b b B +++++=为底，以6a 为高的矩形面积，以及以kk b b b B +++= 21为底，1+-k k a a ),5,4,3,2,1(=k 为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。
应用阿贝尔变换解竞赛题
令 yk =
1 k
( x1
+
x2
+
…+
xk )
, k = 1 , 2 , …,
2 000
∑ 2 001. 求 | yk - yk + 1 | 的最大可能值. k =1 (2001 ,上海市高中数学竞赛)
讲解 :由于不知 xk 和 xk + 1 的大小关系 ,
2 000
∑ 可将差 xk - xk + 1 视为整体 ,将条件 | xk k=1
n
m
∑ ∑ 将取定的这组正数代入 ak ≤M ak
k=1
k=1
中 ,有
m+ (n-
m) ·( n -
m (2 cn - m - 1) m) ( n + m + 1 - 2 cn)
≤mM .
则
M
≥1
+
2 cn - m - 1 n + m + 1 - 2 cn
=n+
n m +1-
≥n 2 cn n + 1 -
xi ,
i= k i i= k+1 i
∑n
若令 yi =
xj , i = 1 ,2 , …, n ,则诸 yi ≥0.
j= i j
逆用阿 贝 尔 变 换 的 证 明 方 法 可 将 条 件 化 为
∑ ∑ n
n
y2i = 1. 再由 yi =
xj , i = 1 ,2 , …, n ,有
i =1
j= i j
xn = nyn , xi = i ( yi - yi + 1 ) , i = 1 ,2 ,
…, n - 1.
Laplace变换和逆变换
2) 含有共轭复数极点的情况
a3 an a1 s a 2 M ( s) F ( s) N ( s) ( s j )( s j ) s p 3 s pn
将上式两端同乘(s+2s 5 3 a3 ( s 2) 5 3 ( s 2) s 2
d s 2 2s 5 3 a2 ( s 2) 2 3 ds ( s 2) s 2
d 2 s 2 2s 5 3 a1 ( s 2) 1 2 3 2!ds ( s 2) s 2
pn t
)
s3 例2-19 求 F ( s) 2 的Laplace逆变换 s 3s 2
解 F ( s)
a1 a2 s3 s3 2 s 3s 2 ( s 1)( s 2) s 1 s 2
其中
s3 a1 ( s 1) 2 ( s 1)( s 2) s 1
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (n m) n 1 N (s) s a1s an1s an
m
m 1
使分母为零的s值称为极点，
使分子为零的点称为零点。
根据实系数多项式分解定理，分母有n 次多项式，则必然有 n个根，因此F(s)可分解为
1 a j st f (t ) F ( s)e ds 2j a j
简写
f (t ) L [ F (s)]
直接通过积分求 Laplace 逆变换通常很繁锁，对于一般问 题都可以避免这样的积分，利用Laplace 变换表，查表求 原函数。
1
对于一般的控制系统，可以用通用有理分式表示
第二章 Laplace变换
第二章 Laplace变换
本章介绍Laplace变换的概念、性质 以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子.
第二章 Laplace变换
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间 t 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制.
由Laplace变换的定义及积分的线性性质可证.
函数的Laplace变换
例 6 求 f (t ) et (t ) etu(t ) ( 0)
的Laplace变换(其中 u(t)为单位阶跃函数).
解 运由行L下ap面la的ce变MA换T的LA定B义语，句当. Re s 时，
L
>>
[f
>>
0
sa
所以
L [eat ] 1 (Re s a).
sa
常见函数的Laplace变换
例 2 求单位阶跃函数
1, u(t) 0, 的Laplace变换.
t0 t0
解 运根行据下L面ap的laMceA变TL换A的B语定句义.，当 Re s 0 时，
>> syLm[sut(ts)] estdt 1 est 1 .
f (t ) Mect ,
则在半平面 Re s c上，L [ f (t)] 存在, 且
F (s) L [ f (t)]
是s的解析函数, 其中 c 称为 f (t)的增长指数.
第七章 第3节 Laplace逆变换
1
=2ℒ 2 s +ℒ 3
s 9 s2 9
2cos 3t sin 3t
1 例3 求Laplace逆变换： F ( s) 2 s 1 解： 由 F ( s) 1 1 / 2 s 1 s 1 1 及 1 s 1 1 t t 得e ,e s 1 s 1 1 1 1 -ℒ 1 1 ℒ 2 1 =ℒ 2( s 1) 2( s 1) s 1
m级极点:
m>1:
m=1:
P ( z0 ) Q ( z 0 )
1 例求F ( s ) 的逆变换. 2 s( s 1)
s 0为一阶极点, s 1为二阶极点,
f (t ) Re s[F ( s)e ,0] Re s[F ( s)e ,1]
二.性质
2s 3 例2 求Laplace逆变换：F ( s ) 2 s 9 解：由 sin kt 2 k 2 , cos kt 2 s
s k
1
s k2
得
2 s 3 =ℒ ℒ s2 9
1
1
2 s +ℒ 3 s2 9 s2 9
第七章
Laplace变换
§3 Lapalce逆变换
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如何求Laplace逆变换?
1 F ( s) 2 例1 求Laplace逆变换： s 4
一.查表法
解： 由 sin kt
k 2 2 s k
，得
2 sin 2t 2 2 s 2 1 1 sin 2t 2 2 2 s 2