一次函数的图象和性质(1)

注： 两条直线的位置关系：y =
k1 k 2 k1 = k 2 b1 b2
k 2 b1=
b2
k1 x+ b1
y= k 2 x+ b2
1)
相交 平行 重合
2)
3）k1 =
例如：直线y=2x+3 、y=2x、 y=2x-3
互相平行
y
y=kx(k≠0) o
b
y kx b(k 0)
x
b叫做直线y=kx+b(k≠0)在y轴上的截距。
若图象与x轴、y轴分别交于点A和点B， 试求△AOB的面积S.
Y
y=
－6
A 2B
O
1 3 x＋2
X
解：在函数解析式中令y=0,则x=－6; 令x＝0，则y=2 故与x轴的交点为A （－6，0），B（0，2） . 于是S＝ 1 OA·OB= 6
2
例2、拖拉机油箱中有油48kg，如果工作 时，每小时耗油6kg， 求出油箱中的余油量Q(kg)与它工作 的时间t(时)之间的关系式，写出自变量 的取值范围，并且画出它的图象（假定 拖拉机能工作至余油量为零）。
1、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点 (0,b)且平行于直线y=kx (k≠0)的一条直线。
k 0时, y 随x的增大而增大 2、 k 0时, y 随x的增大而减小
b 0, 直线交 y轴正半轴与点 (0, b) 3、 b 0, 直线交 y轴负半轴与点 (0, b)
直线y=2x+3可由直线y=2x向上平移 3 个单 位得到。 3 下 直线y=2x-3可由直线y=2x向 平移 个单位得到。
练习 作出一次函数y= －2x+4的图象 Y
O
X
y=－2x＋4
y=－2x
y=－2x＋4的图象与x轴的交点为 ， （2，0） 与y轴的交点是 。 （0，4）
y
你能够描述两个一次函数 （K<0时）的图象特征吗？
（4，b），则a与b的大小关系为_________ a<b
增大 4、一次函数y=(m2+3)x-2,y随x的增大而_______
做一做
已知一次函数y=kx + （k＋1）
(1) k为何值时，它的图象经过点（0， – 2）；
(2)k为何值时，它的图象经过原点；并 求出函数解析式。
(3) k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴 上方.
1 （2）直线 y 3 x 2 过点（___，0）、（0，__）
6
2
2、判断下列哪些点在一次函数 y=2x－3的图象上？ A(2,3), B (2,1), C (0, 3) , D(3,3) , E(0, －3) , F (1,1) 解：∵ 在y=2x-3中，当x=2时，y=2×2-3=1, ∴ A(2,3)不在其图象上。 同理可以判断：只有点B (2,1), D(3,3) , E(0, －3) 在其图象上。
作业
•P188：2题 •练习册 ：P63全部
三、一次函数的性质
y
• 观察与归纳
y
y=－2x＋3
y=2x+3
y=2x (0, 3)
o
x o
y=－2x－3
x
(0, －3)
y=2x-3
y=－2x
你能够从中归纳一般的结论吗？ 直线y=Kx+b在坐标系中的位置特征怎样确定？
y
y kx b （k>0）
1、K的符号决
定了什么？？
o x
y=kx+b（k<0） 当k>0时，直线y=kx+b要经过一、三象限 y随着x的增大而增大 当 k< 0时，直线y=kx+b要经过二、四象限 y随着x的增大而减小
2、b的符号决
定了什么？？
y
y kx b b0
(0,b)
o
x
(0,b) y kx b
b0
分析： 解略。
注意：这里是实际问题，t 的范围是
0≤t≤8,故图象不是直线，而是线段. Q
48 Q＝48－6t 8
o
t
数形结合训练：
1、已知一次函数y=kx+b(k≠0)的 图象平 行于直线y=3x，且过点(1,4)，求函数解 析式。 函数解析式为：y=3x+1
2、已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过 点（0，－2），且过点(1,3)，求函数解析式。 函数解析式为：y=5x-2
用线段】 连接起来）
作y=2x和 y=2x+3的图象
解：列出一次函数 y=2x+3与正比例函数y=2x 的x与y的对应值表：
x
……
-2
-1
0
1
2
……
y=2x
……
-4
-2
0
2
4
……
……
y=2x+3 ……
-4+3-2+3 0+3 2+3 4+3
y=2x＋3
y=2x
y=2x-3
Y
(0,3) 1 2 3 O (0,-3)
例1 ① 作出一次函数y=2x+1的图象（小黑板） ② 作出y=2x和y=2x+3的图象。 （K＝2 >0） 【说明】作函数图象的一般步骤为：
1、列表 （在表格中填写x、y的对应值，注意
x的范围和代表性）
2、描点 （以表格中各组值作为点的坐标，在
直角坐标系中描出相应的点）
3、连线 （把这些点依次用平滑的曲线【包括
b 0, 直线交y轴正半轴与点 b) (0, 直线交y轴负半轴与点 b) (0, b 0,
关于平行
y
y kx b(k 0)
y kx(k 0)
o x
(0,b)
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点 (0,b)且平行于直线y=kx (k≠0)的一条直 线。
4、选取适当两点作图：
(0, b)
b ( ,0) k

（1，k+b)
o
x
1、图象名称：直线
2、图象位置：两直线（K<0时）都经过坐 标系的第二和 第四象限， 从左至右看，这 些直线都走“下坡路”
3、两直线之间的位置关系：互相平行
思考 在 y=
－2x+4的图象上取几个点，验证它 们的横、纵坐标是否都满足解析式y=－2x+4
Y
2
O
A 2 4
X
B y=－2x＋4
一般地，①满足解析式y=－2x＋4的x,y所对应的 点（x,y）都在它的图象上； ②函数y=－2x＋4 图象上的点的坐标x,y都满足解析式y=－2x＋4 。
3、求直线与坐标轴的交点
直线
与X轴交点
与Y轴交点
y=x+1 y= －x－2
(－1, 0)
(0, 1) (0, - 2 )
(0 ,－1)
(－2, 0) (½, 0)
y= 2x－1
请利用这些交点在坐标系中作出这 三条直线。（两点法）问这些直线 经过坐标系的哪些象限？？
小结：
• 1、理解函数图象的概念，函数解析式与 图象之间的对应关系 ； • 2、掌握作函数图象的一般方法和步骤； • 3、掌握一次函数的图象特征，会用两点 法熟练地作一次函数的图象。
3、看图象，确定一次函数y=kx+b(k≠0) 中k,b的符号。
y y y
o
x
o
x
o
x
k<0 b<0
k>0 b>0
k<0 b=0
考考大家：
1、有下列函数：① y= 6x-5 , ③ y=x+4 , ④ y=－4x+3 ② y=2x ,
。其中过原点的直
② ①、②、③ 线是___ ,函数y随x的增大而增大的是___________； 函数y随x的增大而减小的是______；图象在第一、二、 ③ ④ 三象限的是_____。 2、函数y=(m – 1)x+1是一次函数，且y随自变 量x增大而减小，那么m的取值为__________ m<1 3、已知一次函数y=2x+4的图象上有两点A（3,a），B
它可以为任何实数。
直线y=kx+b可能在坐标系中的 哪些位置？
一次函数的性质
y
• 观察与归纳
y
y=kx+b
b
o
x
o
x
b
K>0 ,b>0 直线过一、二、三 象限
K>0 ,b<0 直线过一、三、四 象限
一次函数的性质
y
• 观察与归纳
y
y=kx+b
b
o
x
o
x
b
K<0 ,b>0 直线过一、二、四 象限
二、一次函数的图象 • 一次函数y=kx+b的图象是过点（0， b）的一条直线，我们称为直线y=kx+b;
• 作一次函数的图象时，只需确定直线上 的两个点，再过这两点作直线即可
－－－两点法
例如取（0，b）,（1, k+b）;或
b （0，b）,（－ k , 0）
1、填空： -3 1 （1）直线y＝3x－3过点（___，0）、（0，___）
§6.3一次函数的 图象和性质(1)
回顾1：什么叫一次函数？
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成
y=kx+b (k、b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x 的一次函数。
当b=0时，则y=kx 是正比例函数， 正比例函数是特殊的一次函数（常数 项为0的一次函数）
练： 在函数解析式y=2x－5中，若自变 量x的值为4,则函数值为 3 。当 X＝0时y＝ －5 ； 当x= 2.5 时， y=0。