横截面上的正应力分布
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横截面上切应力分布规律
F Fsmax 2
F
max
3 2
Fs A
32 2 bh
3 F 4 bh
h
Mmax
FL 4
FL
b
max
M max WZ
4 1 bh
2
6
max max
d z
t
b
工字形截面梁由腹板和翼缘组成（中间的矩形部分称 为腹板；上下两矩形称为翼缘）。翼缘和腹板上均存在 着竖向切应力，而翼缘上还存在着与翼缘长边平行的 水平切应力。 经理论分析和计算表明：横截面上剪力的（95～97） ％由腹板分担，而翼缘仅承担了剪力的（3～5）％， 并且翼缘上的切应力情况又比较复杂。为了满足实际 工程计算和设计的需要，仅分析腹板上的切应力。
Iz1 Iz a2A
例1 长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知
b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b
、c各点的正应力。
A
F
h6
a
B
z
C
b
h
l2
l2
h2
FL
c
b
a
M B ya IZ
1 FL h
2 bh
3
3
1.65MP（a拉 ）
b 0
简易的矩形竹结构桥
钢管混凝土拱桥中的混凝土小横梁
建筑阳台挑梁受力分析与破坏问题
1.挑梁属于悬臂结构。 2.挑梁工作环境：常常处于室外，面对雨水、二氧化碳等的 直接侵蚀，荷载存在不确定性。 3. 破坏形式：出现裂缝后极有可能进一步扩大，严重的将危 及建筑物的安全。
建筑阳台挑梁受力分析与破坏问题
杆件横截面上的应力
* N1
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
5-3拉伸(压缩)时横截面上的应力-正应力
AB杆的受力为压力，大 小等于 F2 最后可以计算的应力：
B
F1
F2
Q
N F 20 KN 1 1 200 MPa BC杆： 1 2 A A mm 1 1 100
N F 17 . 32 KN 2 2 86 . 6 MPa 2 2 AB杆： A A 200 mm 2 2
2 p cos cos
为横截面正应力
p sin sin cos sin 2
2
第三节 拉伸（压缩）时横截面 上的应力——正应力
第三 节 拉伸或压缩杆横截面上的应力
1、应力的概念
为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力 称为应力。 在某个截面上，
与该截面垂直的应力称为正应力。 记为：
与该截面平行的应力称为剪应力。 记为：
应力的单位：Pa
2 1Pa 1N/ m
2 6 1 MPa 1 N /mm 10 Pa
P P cos 这是斜截面上与 p cos A A 轴线平行的应力
P
n pα
τα
t 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力
斜截面的外法线仍然为 n， 斜截面的切线设为 t 。
根据定义，沿法线方向的应力为正应力
利用投影关系，
沿切线方向的应力为剪应力
（2）、计算机各段的正应力
AB段：
3 F 50 10 1 MPa 125 MPa AB A 400 1
3 F 30 10 2 MPa 100 MPa BC段： BC A 300 2
3 F 10 10 3 MPa 33 . 3 MPa CD段： CD A 300 2
B
F1
F2
Q
N F 20 KN 1 1 200 MPa BC杆： 1 2 A A mm 1 1 100
N F 17 . 32 KN 2 2 86 . 6 MPa 2 2 AB杆： A A 200 mm 2 2
2 p cos cos
为横截面正应力
p sin sin cos sin 2
2
第三节 拉伸（压缩）时横截面 上的应力——正应力
第三 节 拉伸或压缩杆横截面上的应力
1、应力的概念
为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力 称为应力。 在某个截面上，
与该截面垂直的应力称为正应力。 记为：
与该截面平行的应力称为剪应力。 记为：
应力的单位：Pa
2 1Pa 1N/ m
2 6 1 MPa 1 N /mm 10 Pa
P P cos 这是斜截面上与 p cos A A 轴线平行的应力
P
n pα
τα
t 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力
斜截面的外法线仍然为 n， 斜截面的切线设为 t 。
根据定义，沿法线方向的应力为正应力
利用投影关系，
沿切线方向的应力为剪应力
（2）、计算机各段的正应力
AB段：
3 F 50 10 1 MPa 125 MPa AB A 400 1
3 F 30 10 2 MPa 100 MPa BC段： BC A 300 2
3 F 10 10 3 MPa 33 . 3 MPa CD段： CD A 300 2
材料力学第四章平面弯曲
得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0
A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
梁横截面上的应力
可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。
• 二、梁的正应力强度条件（课本第三节）
设σmax是发生在梁最大处的工作应力，则:
m a x 工 作
最大工作 应力
材料的 许用应力
上式即为梁弯曲时的正应力强度条件。
对于等截面直梁，若材料的拉、压强 度相等( 塑性材料)，则最大弯矩的所在面 称为危险面，危险面上距中性轴最远的点 称为危险点。此时强度条件可表达为:
m'
b
m n
h z
y
τ
τo
FQ
τ
x
m'
dx
y
m
n
一、矩形截面梁的剪应力
FQ S bI z
z
IZ : 整个截面对中性轴z轴的惯性矩；
b : 横截面在所求应力点处的宽度； SZ*: 横截面上距中性轴为 y 的横线以外部 分的面积 A*对中性轴的静矩。
max
τmax
FQ
FS
Q z,max
例5：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，
许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试
校核此梁的强度。
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
CL8TU12
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
25 . kN M (k Nm ) 25 .
105 . kN
20
3 2 0 1 0 M 15 max t 2 W 0 . 1 0 . 2 z 1 12 .5 6 3 0 M P a <[]
• 二、梁的正应力强度条件（课本第三节）
设σmax是发生在梁最大处的工作应力，则:
m a x 工 作
最大工作 应力
材料的 许用应力
上式即为梁弯曲时的正应力强度条件。
对于等截面直梁，若材料的拉、压强 度相等( 塑性材料)，则最大弯矩的所在面 称为危险面，危险面上距中性轴最远的点 称为危险点。此时强度条件可表达为:
m'
b
m n
h z
y
τ
τo
FQ
τ
x
m'
dx
y
m
n
一、矩形截面梁的剪应力
FQ S bI z
z
IZ : 整个截面对中性轴z轴的惯性矩；
b : 横截面在所求应力点处的宽度； SZ*: 横截面上距中性轴为 y 的横线以外部 分的面积 A*对中性轴的静矩。
max
τmax
FQ
FS
Q z,max
例5：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，
许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试
校核此梁的强度。
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
CL8TU12
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
25 . kN M (k Nm ) 25 .
105 . kN
20
3 2 0 1 0 M 15 max t 2 W 0 . 1 0 . 2 z 1 12 .5 6 3 0 M P a <[]
(完整版)材料力学课后习题答案
8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。
(2) 取1-1(3) 取2-2(4) 轴力最大值： (b)(1) 求固定端的约束反力； (2) 取1-1(3) 取2-2(4) (c)(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；(2) 取1-1(3) 取2-2 (4) 取3-3截面的右段；(5) 轴力最大值： (d)(1) 用截面法求内力，取1-1、(2) 取1-1(2) 取2-2(5) 轴力最大值： 8-2 试画出8-1解：(a) (b) (c) (d) 8-5与BC 段的直径分别为(c) (d)F RN 2F N 3 F N 1F F Fd 1=20 mm 和d 2=30 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求载荷F 2之值。
解：(1) 用截面法求出(2) 求1-1、2-28-6 题8-5段的直径d 1=40 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求BC 段的直径。
解：(1)用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；8-7 图示木杆，承受轴向载荷F =10 kN 作用，杆的横截面面积A =1000 mm 2，粘接面的方位角θ= 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。
解：(1) (2) 8-14 2=20 mm ，两杆F =80 kN 作用，试校核桁架的强度。
解：(1) 对节点A(2) 列平衡方程 解得： (2) 8-15 图示桁架，杆1A 处承受铅直方向的载荷F 作用，F =50 kN ，钢的许用应力[σS ] =160 MPa ，木的许用应力[σW ] =10 MPa 。
解：(1) 对节点A (2) 84 mm 。
8-16 题8-14解：(1) 由8-14得到的关系；(2) 取[F ]=97.1 kN 。
8-18 图示阶梯形杆A 2=100 mm 2，E =200GPa ，试计算杆AC 的轴向变形 解：(1) (2) AC 8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A 处承受载荷F 作用。
纯弯曲梁横截面上的正应力课件
正应力的定义
正应力指的是在受力物体的单位面积 上所承受的垂直作用力，也称为法向 应力。
正应力的计算
正应力的大小可以通过公式σ=F/A来 计算，其中σ为正应力，F为作用力， A为受力物体的横截面积。
横截面上的正应力分布
均匀分布
在纯弯曲梁的横截面上，正应力呈现出均匀分布的特点。即在整个析法
通过数学公式推导，求解梁横截面上的应力分布和最大应力 值。
有限元法
利用有限元分析软件，建立梁的有限元模型，通过计算求解 梁横截面上的应力分布和最大应力值。
05
纯弯曲梁的实例分析
实例一：简单梁的弯曲分析
简单梁是指长度远大于高度和宽 度的梁，其弯曲变形可以简化为
纯弯曲变形。
纯弯曲梁的受力分析
01
02
03
受力特点
纯弯曲梁在弯曲过程中， 只受到弯矩的作用，没有 剪力和扭矩。
弯矩分析
弯矩是使梁产生弯曲变形 的力矩，其大小取决于外 力的大小和作用点位置。
应力分布
由于弯矩的作用，梁的横 截面上会产生正应力和剪 应力，其中正应力是本节 重点讨论的内容。
纯弯曲梁的位移分析
位移特点
横截面上的正应力分布不再呈现对称性，需要采用更精确的分析方法进行计算。
实例三：实际工程中的纯弯曲梁分析
在实际工程中，纯弯曲梁的应 用非常广泛，如桥梁、建筑结 构等。
对于实际工程中的纯弯曲梁， 需要考虑材料特性、载荷大小 和分布、支撑条件等因素对正 应力的影响。
实际工程中的纯弯曲梁分析需 要采用有限元分析、实验测试 等方法进行验证和优化。
脆性断裂失效
当梁受到的应力超过材料的强度极限 时，会发生脆性断裂失效，导致梁断 裂。
强度条件的建立
正应力指的是在受力物体的单位面积 上所承受的垂直作用力，也称为法向 应力。
正应力的计算
正应力的大小可以通过公式σ=F/A来 计算，其中σ为正应力，F为作用力， A为受力物体的横截面积。
横截面上的正应力分布
均匀分布
在纯弯曲梁的横截面上，正应力呈现出均匀分布的特点。即在整个析法
通过数学公式推导，求解梁横截面上的应力分布和最大应力 值。
有限元法
利用有限元分析软件，建立梁的有限元模型，通过计算求解 梁横截面上的应力分布和最大应力值。
05
纯弯曲梁的实例分析
实例一：简单梁的弯曲分析
简单梁是指长度远大于高度和宽 度的梁，其弯曲变形可以简化为
纯弯曲变形。
纯弯曲梁的受力分析
01
02
03
受力特点
纯弯曲梁在弯曲过程中， 只受到弯矩的作用，没有 剪力和扭矩。
弯矩分析
弯矩是使梁产生弯曲变形 的力矩，其大小取决于外 力的大小和作用点位置。
应力分布
由于弯矩的作用，梁的横 截面上会产生正应力和剪 应力，其中正应力是本节 重点讨论的内容。
纯弯曲梁的位移分析
位移特点
横截面上的正应力分布不再呈现对称性，需要采用更精确的分析方法进行计算。
实例三：实际工程中的纯弯曲梁分析
在实际工程中，纯弯曲梁的应 用非常广泛，如桥梁、建筑结 构等。
对于实际工程中的纯弯曲梁， 需要考虑材料特性、载荷大小 和分布、支撑条件等因素对正 应力的影响。
实际工程中的纯弯曲梁分析需 要采用有限元分析、实验测试 等方法进行验证和优化。
脆性断裂失效
当梁受到的应力超过材料的强度极限 时，会发生脆性断裂失效，导致梁断 裂。
强度条件的建立