2019年高考数学文科分类汇编：解析几何
数 学
H 单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6．，，[2019·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x －y ＝2＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
6．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.
20．、、[2019·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1
3，
故l 的方程为y ＝－13x ＋8
3
.
又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410
5
，
故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16
5
.
21．、、、[2019·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2
2
.
(1)求该椭圆的标准方程．
(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2
＝a 2－b 2.
由
|F 1F 2|
|DF 1|
＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝2
2
c .
从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2
2，故c ＝1.
从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 2
2
，
所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22
＋y 2
＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两
个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.
由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→
＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1
⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 2
1＝0.
由椭圆方程得1－x 21
2＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．
当x 1＝－4
3
时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，
由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1
x 1＋1＝－1.
而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5
3
.
圆C 的半径|CP 1|＝????－432＋????13－532＝4 23
.
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为
x 2＋????y －532＝329
.
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 6．，，[2019·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x －y ＝2＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
6．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.
18．、、、[2019·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段
OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝4
3
.
(1)求新桥BC 的长．
(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
图1-6
18．解： 方法一：
(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .
由条件知A (0, 60), C (170，0)，
直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4
3.
又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝3
4.
设点 B 的坐标为(a ，b )，
则k BC ＝b －0a －170＝－4
3， k AB ＝b －60a －0＝34，
解得a ＝80, b ＝120，
所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－4
3
(x －170)，
即4x ＋3y －680＝0.
由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，
即r ＝|3d － 680|42＋32
＝680－3d 5.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以?
????r －d ≥80，
r －（60－d ）≥80，
即???680－3d
5
－d ≥80，680 － 3d
5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5最大， 即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：
(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .
因为 tan ∠FCO ＝4
3
，
所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝3
5.
因为OA ＝60，OC ＝170，
所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝500
3.
因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4
5
.
又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400
3
， 从而BC ＝CF －BF ＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．
因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .
故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝3
5， 所以r ＝680－3d 5
.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，
所以?
????r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，
即???680－3d
5
－d ≥80，680－3d
5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5
最大，即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 22．、、[2019·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与 y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5
4
|PQ |.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．
22．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8
p ，
所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p
.
由题设得p 2＋8p ＝54×8
p
，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，
所以C 的方程为y 2＝4x .
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故线段AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．
又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1
m y ＋2m 2＋3.
将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4
m y －4(2m 2＋3)＝0.
设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4
m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．
故线段MN 的中点为E ????2m 2＋2m 2
＋3，－2m ， |MN |＝
1＋1
m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2
. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1
2|MN |，
从而
14|AB |2＋|DE |2＝1
4|MN |2，即 4(m 2
＋1)2
＋????2m ＋2m 2
＋???
?2
m 2＋22
＝
4（m 2＋1）2（2m 2＋1）
m 4
，
化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.
所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.
21．、、、[2019·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2
2
.
(1)求该椭圆的标准方程．
(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2
＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22
c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2
2，故c ＝1.
从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 2
2
，
所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22
＋y 2
＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两
个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.
由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→
＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1
⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 2
1＝0.
由椭圆方程得1－x 21
2＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．
当x 1＝－4
3
时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，
由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1
x 1＋1
＝－1.
而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5
3
.
圆C 的半径|CP 1|＝????－432＋????13－532＝4 23
.
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为
x 2＋????y －532＝329
.
H3 圆的方程 6．，，[2019·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x －y ＝2＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
6．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.
17．[2019·湖北卷] 已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2，0)，若定点B (b ，0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则
(1)b ＝________； (2)λ＝________．
17．(1)－12 (2)1
2
[解析] 设点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |得(cos θ－b )2＋
sin 2θ＝λ2[]（cos θ＋2）2＋sin 2
θ，即－2b cos θ＋b 2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都
成立，所以?????－2b ＝4λ2
，
b 2＋1＝5λ2.
又由|MB |＝λ|MA |，得λ>0，且b ≠－2，解得?
??b ＝－12，λ＝12
. 18．、、、[2019·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan
∠BCO ＝4
3
.
(1)求新桥BC 的长．
(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
图1-6
18．解： 方法一：
(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .
由条件知A (0, 60), C (170，0)，
直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4
3.
又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝3
4.
设点 B 的坐标为(a ，b )，
则k BC ＝b －0a －170＝－4
3， k AB ＝b －60a －0＝34，
解得a ＝80, b ＝120，
所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－4
3
(x －170)，
即4x ＋3y －680＝0.
由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，
即r ＝|3d － 680|42＋32
＝680－3d 5.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以?
????r －d ≥80，
r －（60－d ）≥80，
即???680－3d
5
－d ≥80，680 － 3d
5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5最大， 即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：
(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .
因为 tan ∠FCO ＝4
3
，
所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝3
5.
因为OA ＝60，OC ＝170，
所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝500
3.
因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4
5
.
又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400
3
， 从而BC ＝CF －BF ＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．
因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .
故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝3
5， 所以r ＝680－3d 5
.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，
所以?
????r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，
即???680－3d
5
－d ≥80，680－3d
5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5
最大，即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 20．、、[2019·辽宁卷] 圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图1-5所示)．
(1)求点P 的坐标；
(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ，B 两点，若△P AB 的面积为2，求C 的标准方程．
20．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为－x 0
y 0
，切线方程为y －y 0
＝－x 0y 0
(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为????4x 0，0，????0，4y 0，其围成的三角形的面积S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0
.由x 20＋y 20
＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．
(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2
a
2
＋2
b
2＝1，并由?????x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x ＋3，
得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0. 又x 1，x 2是方程的根，所以?
??x 1＋x 2＝－43
b
2，
x 1x 2＝6－2b 2
b
2.
由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3，得
|AB |＝4 6
3|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b 4b 2
.
由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB ＝12×32
|AB |＝2，得|AB |＝4 6
3，即b 4－9b 2＋18
＝0，
解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2
＝6，从而所求C 的方程为x 26＋y 23
＝
1.
20．、、[2019·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1
3
，
故l 的方程为y ＝－13x ＋8
3
.
又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410
5，
故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16
5
.
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 5．[2019·浙江卷] 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8
5．B [解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直
线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|
2
＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4, 故选B.
6．[2019·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )
A.????0，π6
B.????0，π3
C.????0，π6
D.?
???0，π
3
6．D [解析] 易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2
－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是?
???0，π3.
7．[2019·北京卷] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若
圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
7．B [解析] 由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.
11．，[2019·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：????
?x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆
心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )
A ．5
B ．29
C ．37
D ．49
11．C [解析] 作出不等式组????
?x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，
含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得
b ＝1.解方程组?????x ＋y －7＝0，y ＝1，得?
????x ＝6，
y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，
设此点为P .
又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值， 所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37，故选C.
21．[2019·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.
(1)求曲线Γ的方程．
(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．
21．解：方法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点．
依题意，点S 到点F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .
(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：
由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝1
4x 2.
设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝1
4x 20
，
由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1
2
x 0，
所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.
由?????y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ???
?1
2x 0，0. 由?????y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ????12
x 0＋6
x 0，3. 又N (0，3)，所以圆心C ???
?14x 0＋3
x 0
，3， 半径r ＝1
2|MN |＝????14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2 ＝
????12
x 0－????14x 0＋3x 02＋32－????14x 0＋3x 02
＝ 6.
所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，
则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2.
依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，
所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一． 6．[2019·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.
9．[2019·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2
＝4截得的弦长为________．
9.2
5 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝3
5
5，所以弦长为2r 2－d 2＝2 4－95＝2
5
55 .
18．、、、[2019·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝4
3
.
(1)求新桥BC 的长．
(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
图1-6
18．解： 方法一：
(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .
由条件知A (0, 60), C (170，0)，
直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4
3.
又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝3
4.
设点 B 的坐标为(a ，b )，
则k BC ＝b －0a －170＝－4
3， k AB ＝b －60a －0＝34，
解得a ＝80, b ＝120，
所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－4
3
(x －170)，
即4x ＋3y －680＝0.
由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，
即r ＝|3d － 680|42＋32
＝680－3d 5.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以?
????r －d ≥80，
r －（60－d ）≥80，
即??5
680 － 3d
5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5最大， 即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：
(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .
因为 tan ∠FCO ＝4
3
，
所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝3
5.
因为OA ＝60，OC ＝170，
所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝500
3.
因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4
5
.
又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400
3
， 从而BC ＝CF －BF ＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．
因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .
故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝3
5， 所以r ＝680－3d 5
.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，
所以?
????r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，
即??5
680－3d
5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5
最大，即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 16．、[2019·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．
16.4
3 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝1
2，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，
即l 1与l 2的夹角的正切值等于4
3
.
12．[2019·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )
A. [－1，1]
B. ????－12，12
C. [－2，2]
D. ?
??
?
－
22，
22 12．A [解析] 点M (x 0，1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N (0，1)，如图，则只需∠OMN ≥45°即可，此时有tan ∠OMN ＝|ON |
|MN |≥tan 45°，
得0<|MN |≤|ON |＝1，即0<|x 0|≤1，当M 位于点(0，1)时，显然在圆上存在点N 满足要求，综上可知－1≤x 0≤1.
20．、、[2019·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线
l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1
3，
故l 的方程为y ＝－13x ＋8
3
.
又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410
5，
故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16
5
.
14．[2019·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．
14．(x －2)2＋(y －1)2＝4 [解析] 因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以可设圆心坐标为(2b ，b )．又圆C 与y 轴的正半轴相切，所以b >0，圆的半径是2b .由勾股定理可得b 2＋(3)2＝4b 2，解得b ＝±1.又因为b >0，所以b ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(2，1)，半径是2，所以圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4.
14．[2019·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．
14．0或6 [解析] ∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，∴圆心为C (－1，2)，半
径为 3.∵AC ⊥BC ，∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|
2
，∴|AB |＝
2r 2－d 2
＝29－? ??
?
?|a －3|22＝3 2，即(a －3)2＝9，∴a ＝0或a ＝6. 9．、[2019·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )
A ．[5，2 5 ]
B ．[10，2 5 ]
C ．[10，4 5 ]
D ．[25，4 5 ]
9．B [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直， 则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，
所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，即|P A |＋|PB |≥|AB |＝10. 又|P A |＋|PB |＝（|P A |＋|PB |）2＝ |P A |2＋2|P A ||PB |＋|PB |2≤ 2（|P A |2＋|PB |2）＝2 5，
所以|P A |＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.
21．、、、[2019·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2
2
.
(1)求该椭圆的标准方程．
(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2
＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22
c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2
2，故c ＝1.
从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 2
2
，
所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22
＋y 2
＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两
个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.
由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→
＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1
⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 2
1＝0.
由椭圆方程得1－x 21
2＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．
当x 1＝－4
3
时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，
由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1
x 1＋1＝－1.
而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5
3
.
圆C 的半径|CP 1|＝????－432＋????13－532＝4 23
.
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为
x 2
＋????y －532
＝329
.
H5 椭圆及其几何性质
21．、、、[2019·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2
2
.
(1)求该椭圆的标准方程．
(2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2
＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝2 2得|DF 1|＝|F 1F 2|2 2＝22
c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝2
2，故c ＝1.
从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝3 2
2
，
所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝2 2，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22
＋y 2
＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两
个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2.
由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2→
＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1
⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 2
1＝0.
由椭圆方程得1－x 21
2＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0. 当x 1＝0时，P 1，P 2重合，题设要求的圆不存在．
当x 1＝－4
3
时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .设C (0，y 0)，
由CP 1⊥F 1P 1，得y 1－y 0x 1·y 1
x 1＋1
＝－1.
而y 1＝|x 1＋1|＝13，故y 0＝5
3
.
圆C 的半径|CP 1|＝????－432＋????13－532＝4 23
.
综上，存在满足题设条件的圆，其方程为
x 2＋????y －532＝329
.
20．、[2019·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；
(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.
令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a
3，
x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x 故f (x )在? ????－∞，－1－4＋3a 3和 ? ???? －1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减， 在? ?? ??－1－4＋3a 3， －1＋4＋3a 3内单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0， ①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．