减少解析几何计算量的十种方法(精华)
2020高三数学一轮复习(人教版文)：解析几何减少运算量的常见技巧
①。
S△ABF＝12×|AF|×|OB|＝12(a－c)b＝1－
3 2
②。
将①代入②，得12(2b－ 3b)b＝1－ 23，解得 b＝1，故 a＝2，c＝ 3。 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1。
(2)圆 O 的圆心为坐标原点(0,0)，半径 r＝1，由直线 l：y＝kx＋m 与圆 O： x2＋y2＝1 相切，得 1|m＋| k2＝1，故有 m2＝1＋k2 ③。
又 kAB＝03＋ －11＝12，所以ba22＝12。 又 9＝c2＝a2－b2，解得 b2＝9，a2＝18， 所以椭圆 E 的方程为1x82 ＋y92＝1。 【答案】 D
本题设出 A，B 两点的坐标，却不求出 A，B 两点的坐标，巧妙地表达 出直线 AB 的斜率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关 系，从而快速解决问题。
【变式训练 2】 过点 M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆 C：ax22＋by22＝ 1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等 于________。
解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
ax212＋by212＝1 则ax222＋by222＝1
【变式训练 1】 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公 共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点。若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )
A． 2 C．3 由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，设双曲线 C2 的实半轴长
故△OMN 的面积 S＝12|MN|×1＝12×4 34kk22＋k2＋ 1 1×1＝2 34kk22＋k21＋1。
令 t＝4k2＋1，则 t≥1，k2＝t－4 1，代入上式，得
降低解析几何运算量的十种常用策略
降低解析几何运算量的十种常用策略在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。
那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。
（1）设而不求【题1】已知直线l 交椭圆805422=+y x 于N M ,两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 。
【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边MN 的中点坐标，那么求直线l 的方程，关键在求该直线的斜率。
若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的。
更好的方法是： 【解析】由2222458012016x y x y +=⇒+=。
故椭圆上顶点B （0，4），右焦点F （2,0）为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C （3，-2）。
设直线l 的斜率为k.，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，∴2211222245804580x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩0))(())((421212121=+-++-y y y y x x x x 5646545421212121=-⋅-=++⋅-=--⇒y y x x x x y y所求直线方程为：02856)3(562=--⇒-=+y x x y 。
【评注】我们用参数设置了M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.（2）使用特值【题2】已知在离心率为65的双曲线)0(12222>>=-b a by a x 中，F 为右焦点，过F 点倾斜角为60的直线与双曲线右支相交于B A ,两点，且点A 在第一象限，若满足→=→FB m AF 1则=m 。
高考数学复习点拨 解析几何中减少计算量的常用方法
解析几何中减少计算量的常用方法在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。
事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。
下面举例说明。
一. 充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
例1. 求它们所围成的三角形的外接圆方程。
解：由直线与的斜率分别为和可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为A（2，2）和B（8，8）为直径端点的圆，评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。
例2. 已知点P（5，0）和圆O P O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。
M是弦AB M是在以OP为直径的圆周上，M评注：点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。
例 3. 求与轴相切，圆心在直线上，且被直线计算很有帮助。
）评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。
例4. P、Q两点，O为坐标原点，若解：PQ是圆二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
例5. 已知中心在原点O交于P、Q解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于（1）又P、Q把（1化简后，得（4）艳荡芦花湾/s2460/ 奀莒咾把（2代入（4评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。
例6. AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM解：设A，B M、B评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算。
三. 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
解析几何中减少运算量的常用方法
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∵ A B
= 2 5, 5 ) 2,
= 2
5 和 kOM =
又
∴ ( 4 - 2x 0 ) 2 + ( x 0 + 2) 2 = ( 2 ∴ x 0 = 0 或 x 0 = 4. 故 A ( 0, 2) 、 B ( 4, 0) 或 A ( 4, 0) 、 B ( 0, 2).
上已经解决 . 解法 1 设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B (x 2 , y 2 ) ,
一试! )
ab a 2 + 4b2 -
16 = a 2 + 4b2
②
得到椭圆方程是第四 “模块” . 显然 “模块” 三 与复杂的 “模块” 二没有关系, 因此我们可以
1 及 ① 式得到 ③ 式, 再将 ③ 式 2 代回 ① 式, 将 ① 式化简为: x 1 + x 2 = 4, x 1 x 2
又 M 为 A B 中点, ∴ M ( 即 M (
1+ Κ 1+ Κ x3 + Κ x1 y3 + Κ y1 ( )、 ( ). , , 1+ Κ 1+ Κ 1+ Κ 1+ Κ 设 △D E F 的重心 G 为 ( x , y ) , 则
,
)、
x =
x2 x2 + Κ x3 x3 + Κ x1 1 x1 + Κ ( ) + + 3 1+ Κ 1+ Κ 1+ Κ 1 (x 1 + x 2 + x 3 ) , = 3 1 ( y 1 + y 2 + y 3 ). 同理得 y = 3 所以 △D E F 的重心 G 与 △A B C 的重心
减少解析几何运算量的若干方法
减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。
那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。
一、回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。
解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。
例1、在面积为1的ΔPMN 中，tg ∠PMN =21,tg ∠2-=MNP ,建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程(93年高考题)分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN 的两内角的大小及它的面积。
因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。
解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为12222=+by a x ，则由椭圆定义有PN PM a +=2，MN c =2，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，tg ∠2-=MNP ，tg ∴∠2=PNA 。
由平面几何知识有:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅==.,121,2,21MN AN AM PA MN AN PA MA PA⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====⇒.33,334,3,332AN AM MN PA ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒.315,3152PN PM 152=+=∴PN PM a ,,215=a 4152=a ，32==MN c ，23=c ， 3222=-=∴c a b 。
∴所求的椭圆方程为1315422=+y x 说明：在上述解题过程中，PM PN +是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。
例2、长度为a 的线段AB 的两端点在抛物线2x =2py(a ≥2p >0)上运动，以AB 的中点C 为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。
分析:这里其实就是要求定长弦AB 的中点C 到准线的最小距离。
减少解析几何运算量的常用策略
减少解析几何运算量的常用策略解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量1． 回到定义 定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”．例1 一直线被两直线1l ：032=++y x 和2l ：0632=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．简析略解：此题的一般求解思路是：先求出l 分别与1l 、2l 的交点（用l k 表示），然后利用中点坐标公式求出l k ，进而得到l 的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法． 设l 分别与1l 、2l 交于点M 、N ，又设M 的坐标为（11,y x ），则有03211=++y x ① 又因为M 、N 关于O 对称，所以点N 的坐标为（11,y x --），则有0632=-+-y x ② ①×２＋②，得05211=+y x ．可见M 11,(y x ）在l ：052=+y x 上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为052=+y x ．例2 已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是该椭圆上的一动点，MN 是12F MF ∠的外角平分线，2F Q MN ⊥于Q ，求动点Q 的轨迹方程．略解：设(,)Q x y ，延长2F Q 和直线1F M 相 交于P ，则(2,2)P x c y -，且MPQ ∆≌2MF Q ∆．所以2MP MF =，2PQ F Q =，由椭圆的定义得：111F P MF MP MF =+=+所以 222(2)(2)(2)x c c y a -++=， 即222x y a +=所以，动点Q 的轨迹方程为222x y a +=．２．设而不求例３ 已知ABC ∆的三个顶点都在椭圆224580x y +=上，若(4,0)A ，ABC ∆重心是椭圆的右焦点，求直线BC 的方程．简析略解：因(4,0)A 为椭圆的短轴的顶点，右焦点(2,0)F 为ABC ∆重心，所以F 的坐标与三顶点,,A B C 的坐标有关，故设1122(,),(,)B x y C x y ，则又因为,B C 在椭圆上，故由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线BC 的方程．对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由③－④得：121212124()()5()()0x x x x y y yy +-++-=． 由题意知：120x x -≠，将①、②整体代入得121265y y x x -=-，这个正好是直线BC 的斜率 121265BC y y k x x -==-，而BC 的中点坐标1212(,)22x x y y M ++，即(3,2)M -， 所以直线BC 的方程为：62(3)5y x +=-．问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略． ３．用好对称数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运用，可化繁为简，化难为易．例４ 如图2，在直线:90l x y -+=上任取一点M ，经过M 点且以椭圆221123x y +=的焦点为焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．简析略解： 椭圆两焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F 作1F 关于直线l 的对称点'1F ，要使所作椭圆的长轴12023x x ++= 12003y y ++=126x x += ①124y y +=- ②⇒22114580x y += ③22224580x y += ④最短，即12MF MF +最短，也就是'12MF MF + 最短，故M 点应是直线'12F F 与已知直线l 的交点， 如图2．直线'11F F 的方程为:30x y ++=，由方程组得点(6,3)P -，由中点坐标公式得'1(9,6)F -，故直线'12F F 的方程为:230x y +-=．解方程组 得所求M 点的坐标为（－５，４）．由于'122F F a ==，此时椭圆的方程为2214536x y +=． 注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义．最小――折线段的和最短――三点一直线――寻找对称点――对称变换．简明的解法找到了．对称，能提供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系．４．活用平几由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，所以平面几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了．例5（2001年全国高考试题）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O ．简析略证：如图３，记 x 轴与准线l 交点Ｅ，过Ａ作AD l ⊥，垂足为Ｄ，则AD ∥FE ∥BC ．连结AC ，与EF 相交于点N ，则由平几知识得：EN CN BF AD AC AB ==，NF AFBC AB=， 根据抛物线的几何性质，AF AD =，BF BC =， 所以 AD BF AF BCEN NF AB AB∙∙===，即N 是EF 的中点，与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线AC 经过原点O ．５．巧用向量向量是高中教材的新增内容，由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，使数形结合思想体现的更深刻、更完善.30x y ++=90x y ++=30x y ++=90x y ++=E例６ （1999年全国高中数学联赛试题）已知点(1,2)A ，过点(5,2)D -的直线与抛物线24y x =交于Ｂ，Ｃ两点，试判断ABC ∆的形状．解：设211(,2)B t t ，222(,2)C t t ，12t t ≠，11t ≠，21t ≠，则有211(5,22)DB t t =-+，222(5,22)DC t t =-+．∵ Ｂ，Ｃ，Ｄ三点共线， ∴ DB ∥DC ．所以 212(5)(22)t t -+-221(5)(22)t t -+＝０⇒121250t t t t +++=⇒ 12(1)(1)4t t ++=-．又AB AC ∙=211(1,22)t t --∙222(1,22)t t --＝21(1)t -22(1)t -＋1(22)t -2(22)t -＝1(1)t -2(1)t -［1(1)t +2(1)t +＋４］＝０，所以 AB AC ⊥，故ABC ∆为直角三角形．例７ 已知圆22:4C x y +=和两个定点(1,0),(1,0)A B -，点Ｐ为圆Ｃ上的动点，过点Ｐ的圆Ｃ的切线为l ，点Ａ关于l 的对称点为/A ，求/AB 的最大值．分析：本题的常规解法是：首先求出点/A 的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求/AB 的表达式（要运用点/A 的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值），进而求出/AB 的最大值．这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点/A 的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐．而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算，使问题的解决变得简洁．解：如图1，设/AA 与直线l 交于点Q ，连接OP 由,O Q 分别为',AB AA 的中点， 得OQ ∥'A B ，且/2A B OQ =．又',AA l OP l ⊥⊥，故OP ∥'AA ．设(0)AQ mOP m =>，2OP =，则OQ OA AQ OA mOP =+=+，(1)PQ OQ OP OA m OP =-=+-，由题意得OP PQ ⊥，则OP PQ ∙＝０，即OP ∙[(1)]OA m OP +-＝０， 即OP ∙2(1)OA m OP +-＝０，得 OP ∙4(1)OA m =-．又 22OQ OA mOP =+＝2222OA mOA OP m OP +∙+∙＝＝１＋224(1)4m m m ⨯-+＝－224814(1)5m m m ++=--+,∵ 0m >， ∴ 当1m =时，2max5OQ =，∴ maxOQ=．所以 /maxA B=max2OQ=，此时 AQ OP =，点P 的坐标为（０，±２），切线方程为y =±２，点'A 的坐标为（－１，±４）．６．利用极坐标例８ 已知椭圆1162422=+y x ，直线l ：1812=+yx ． Ｐ是l 上一点，射线OP 交椭圆于Ｒ，又点Ｑ在OP 上且满足 OQ 上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考压轴题)解题的策略分析：本题是求动点Ｑ),(y x 的轨迹方程，即找到关于y x ,的等式，可以用一般法来解，即设点Ｑ),(y x ，Ｑ),(Q Q y x ，Ｒ),(R R y x ，再布立方程组来解．但必须看到这里有y x ,，Q Q y x ,，R R y x ,六个末知量，这样，所立的方程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别的方法？从条件2OR OP OQ =⋅知，这是一个与长度与角度有关的问题，故可用参数法求解比较简单．但不要就此停步，再看是否还有别的方法？的确，用极坐标法来解将会显得更简捷．在分辩了方法间的优劣之后，策略层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题，它关系到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题，这是一个学生用极坐标法来解时常常难以选择．这里考虑到OR OP OQ ,,都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即不用统一式而用互化式．这样，分辩清了，简捷的方法、合理的运算和要运用的知识也就自然择优而定了． ７．用好焦半径公式例９ 如图已知梯形ABCD 中AB =2CD , 点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点,且以A ,B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线的离心率e 的取值范围.(2000年全国高考试题)解题的策略分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e 的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：32≤λ≤43中的λ，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E 分有向线段AC 所成的比”．这时，一些有思维策略的学生就有了用武之地：他们首先从审题后看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图以AB 的垂直平分线为y 轴, 以AB 所在的直线为x 轴,建立 直角坐标系xoy ,则CD ⊥y 轴. 因为双曲线过C 、D ,且以A ,B 为焦点,由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称，并设双曲线方程为22a x —22b y =1 (a ＞0,b＞0), 则离心率e =a c． 在做好这一基础性工作的前题下，如何由λ的范围来求e 的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到在本题这个双参数问题中，λ和e 既互相制约，又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里)，这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维的绝妙押轴题．这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭．因此，他们根据λ的范围已知这一条件，进而确立：先视λ为主元，再视e 为主元，找出两个参数之间的关系λ=)(e f ，将问题转化归为已知范围，再解不等式，由此求出参数e 的范围这样一个整体的思路和思维策略．于是，他们先视λ为主元，找λ的关系式： 依题意，记 A (c -,0 ) , C (2c ,h )，E (0x ,0y )，其中c =AB 21为双曲线的半焦距，h 是梯形的高.由定比分点公式得：0x =λλ++-12c =)1(2)2(λλ+-c ， 0y =λλ+1h ．但在如何再视e 为主元，找出两个参数之间的关系λ=)(e f 上，是又一次体现思维水平的层次性和思维策略的重要性．视角一：视点C 、E 为直线ＡＣ与双曲线的交点，这时，虽能把方程2()3hy x c c=+代入22a x —22by =1得：22222222222(94)8(49)0b c a h x a h cx a h a b ---+=．这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径．思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了．视角二：视点C 、E 在双曲线上，将C 、E 的坐标和e =ac代入双曲线的方程,得 42e —22b h =1 ① 42e ·2)12(λλ+-—2)1(λλ+22b h =1 ②由①得：22b h =42e — 1 ③将③式代入②式整理得: 42e (4λ4-)=1+2λ, 故得λ=1232+-e .由题设32≤λ≤43 , 得 32≤1232+-e ≤43 ,故得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率e 的取值范围是[7.10]．视角三：视AC 、AE 为点C 、E 到焦点Ａ的距离，由焦半径公式得：2c eaAC a ex a =+=+， (2)2(1)E e c AE a ex a λλ-=--=--+．而AC 、AE 同号，从而11AC AC AEAE λ==+． 所以 ()121(2)21ca ec a e λλλ++=---+ ⇒ 2213211e λλλ+==-+--． 由题设32≤λ≤43 , 得 32≤1232+-e ≤43 ,故得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率e的取值范围是[7.10]．这里同是C、E二点，但由于解题思维策略的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法和也不同．，其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”．简化解答虽不是突破性的进展和创造，却也是对已经取得成果的改造和推进. 对学生来说, 则是一种对所学知识的灵活运用和高超驾驭基础上的创新, 是一种精神的升华和对数学美的追求. 从中体现出思维的批判性、深刻性、广阔性、敏捷性和解题的艺术性. 因此, 培养学生的求简精神, 不仅是正确、迅速解题的需要和保证，而且是优化思维品质、领悟数学精神、提高创新能力的有效途径.。
概谈解析几何的减少计算量问题Word版(齐市一中董洁)2019.3.22
概谈解析几何的减少计算量问题齐市一中 董洁一、会用定义法简化运算：1、 利用定义可以判断曲线形状，方便快捷的写出曲线方程。
（求动点轨迹）例1、Rt ABC ∆中，90,4,ABC AB BC ABD ∠===∆中，120ADB ∠=，求CD 的取值范围。
答案：[2,2]（要点分析：点D 的轨迹在两个圆弧上）2、 利用定义可以实现线段间的转化（椭圆、双曲线、抛物线、圆的切线等问题中与定义有关的最值问题）例2、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(F ，点(0,2)A ，点P 为双曲线右支上的动点，且APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ D ）A B C 、2 D（要点分析：将|AF |转化为点A 到另一个焦点的距离）二、善用几何法简化运算（在抛物线中应用较多）1、利用曲线的几何性质简化运算。
例3、（2018全国2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为k （k >0）的直线l 与C 交于A 、B 两点，|AB |=8.（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程。
答案：（1）1y x =-（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)114x y -++=（要点分析：不可只用“以AB 为直径的圆与准线相切”得出一个圆的方程，而丢了另一个，因为过A 、B ，且与准线相切的圆不是一定以AB 为直径。
法一：可设圆心坐标，借助圆的几何性质列方程组求出。
法二：可知圆心在线段AB 的垂直平分线上且在以B 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线上，联立即得圆心及半径。
）2、利用相似将线段长度比转化为横（纵）坐标之比或反之。
例4、（2018全国1）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为（2,0）.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.答案：（1）2y x =-2y x = （要点提示：第（2）问解法一：可证MA 与MB 斜率之和为零。
减少解析几何运算量的几种方法
减少解析几何运算量的几种方法湖北省大冶市第一中学黄俊峰袁方程435100摘要:解析几何问题是历年高考经久不衰的热点和难点，学生经常会遇到思路正确，但因运算过程繁杂，而半途而废的现象.在解答解析几何问题的过程中如何减少计算则成为能否迅速、正确解题的关键.学生对处理此类问题都颇感棘手，就此介绍几种方法.关键词:解析几何;运算量;方法解析几何问题是历年高考经久不衰的热点和难点，学生经常会遇到思路正确，但因运算过程繁杂而半途而废的现象•因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题•熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧.下面介绍一下求解高考解析几何问题的几种方法.1巧用点差，简捷易行例1（2015年高考全国卷II理科20题节选）已知椭圆C：9/+y2=m2（m>0），直线Z不过原点0且不平行于坐标轴,2与C有两个交点A,线段佔的中点为M.证明:直线OM的斜率与Z的斜率的乘积为定值.解析:设宜线l:y=kx+b（Jc#0,b*0）,4（%”丫1）,<8（%2』2），•由于A,B在椭圆C上，所以9xf+7i=m2,9x2•W式相减得9（%1-%2）（xj+x2）+（7i-%）（/1+y2）=0.又衍+ %2=如』1+%=2畑，故半=,即k0M-k=-9.所以宜线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值.评注:如果两个点都在圆锥曲线上或者中点弦问题或者对称问题,可用点差法.2应用平几，一目了然例2（2016新课标皿理科11题）已知0为坐标原点,F是椭圆C：4+4=l（«>^>0）a b的左焦点分别为C的左、右顶点.P为C 上一点，且PF丄x轴.过点A的宜线2与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若宜线经过OE的中点，则C的离心率为（）.A.寺B•寺。
•考D°#解析:设OE的中点为N.因为MF//OE,所以有如=_5_MF_=a-c又因为勿以方MF a+c'OE aOE=2ON,贝！］£=」一•竺工.解得e=£=£,2a+c a a5选A.评注:此题也可用解析法解决,但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化修3设而不求，整体代换例3（2012高考辽宁理科20题）如图221,椭圆C o^+^=l（a>b>O,a,b为常数），a b・13・动圆G：x,+y2=t^,b<t<a.点虫”血分别为Co的左右顶点，C]与C°相交于A,B,C,D四点.（1）求宜线AA t与直线A2B交点M的轨迹方程;（2）设动y圆C2：/+/=£4三二与叔于才,歹，不C',D'四点，其中从J°b<t2<a,勾H —he若矩形ABCD与图1矩形A',B',C',D的面积相等，证明：肾+£为定值.22解析：⑴易求得M的轨迹方程每-翁=a bl（x<-a,y<0）.（2）设/（叫仍）,A'（x2,y2）.由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，得4|%1||勿=4卜202|品：=%；分•因为点d乂均在椭圆上，所以6M1-4|=62x^I a丿（1----\.由t^t2.知X]*%2‘所以x i+«2=a2.I a丿从而昇+y；=沪.因而g+玖=沪为定值.4椭圆变圆，问题变简例4（2015年高考山东卷理科20题）平面宜角坐标系xOy中，已知椭圆C:弓+令■=l（a>6>0）的离心率为爭，左、右焦点分别是片,尸2.以片为圆心3为半径的圆与以尸2为圆心1为半径的圆相交，且交点在C上.（I）求椭圆C的方程.（n）设椭圆E:$+看=1,P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点，射线P0交椭圆E于点Q.（i）求慌的值;（ii）求AABQ面积的最大值.解析：（I）易求得椭圆C的方程为普+犷=1.（11）在伸缩变换"「号下，椭圆C:普+/=1变为单位圆C'/+y'2=i,椭圆E:£+£=l变为圆E：x，2+y2=4，相应的点0分别为O,A,B,P',Q,（i）H为点P',Q'分别在以0'为圆心，以1和2为半径|00|的圆C'和E'上，所以算=2，从而\0P\徭=2.（ii）由椭圆伸缩变换的性质得|o'q'||q'P|S现=2S/Q.因为网=2,所以网=3，从而尹瞠=3,S边0=65仙0，.要求AABOMBQ面积最大，只需要AABO面积最大.因为在圆E:x2+y'2=4内且|OP|=1，所以当A b丄op时弦ab的长度最短，a A o'b 最小且AAOB=120°.此时AABO面积最大，最大值为寺・2・2sinl20°=再，所以MBQ面积最大为6再.点评:本题利用伸缩变换将椭圆变为圆,充分利用变换过程中不变的性质,化难为易，从而达到了简化运算,准确快速解题的目的，提高解题能力.5应用曲线系，事半功倍例5（2011高考全国（大纲）理科21题）已知0为坐标原点，F为椭圆2C:/+壬=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-返的直线/与C交于两点，点P满足刃+面+丽=0.（I）证明：点P在C•14•上；(H)设点P关于点0的对称点为Q,证明tA,P,B,Q四点在同一圆上.证明：(I)略.(U)由l+|e=4(l-|e)和题设知e=§.所以直线PQ的方程为y=^2x.又宜线佔的方程为y=-s!2x+l,故经过四点的曲线为(2『+犷-2) +A(-j2x_y)(-j2x+y—1)=0，即(2+2A)x2+(1—A)y2-2)-^2Ax+Ay-2=0.2+2A=1-A因此A,P,B,Q四点在同一圆上，且圆的方评注:二次曲线系的思想方法是处理圆锥曲线上四点共圆的有力手段，减少了运算•要证明四点共圆，若用常规方法，，则运算量较大，而利用曲线系可又快又准地解决问题.6引入参数，简捷明快6.1利用直线的参数方程例6(2011年卓越联盟自主招生试题)已知椭圆的两个焦点片(-1,0)屮2(1,0)，且椭圆与直线y=x-^3相切.(1)求椭圆的方程;(2)过片作两条互相垂直的直线Z P Z2与椭圆分别交于及M,N,求四边形PM0V面积的最大值和最小值.解析:⑴易得椭圆的方程为f+y2=l.⑵设宜线L的参数方程为｛其隘曲代入椭圆的方程普+犷=1并整理得(cos2a+2sin2ay2一2/cosa-1=0,EP(2-cos2a)* r2-2^cosa-1=0.则有如+% 二"os第,《2 -cos a 认"士7则=b弋卜2茫.设直线的参数方程为2-cos a-1+tcos/3isin/3同理可得|MN|=2返£.2-cos0由于屮2互相垂直，则有0号或0N -号*故cos2/3=sin2a\MN\=-^-2-sin a S=^\PQ\\MN\=^-^-也z2-cos a.2返2 一sin2a16e聽讣因此四边形PMQN面积的8+sin2a L9」最大值是2,最小值是乎.评注:在涉及线段的比例、乘积等关系时,采用直线的参数方程,然后利用参数的几何意义，往往可以大大简化运算.6.2利用椭圆的参数方程例7(2009年高考江西文科22题)如图2.已知圆G:(x-2)2+/=r2是椭圆令+护=1的内接A4BC的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点.(1)求圆G的半径r;(2)过点M(0,l)作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点，证明:直线EF与圆G相切.解析：(1)r=|，过程略•⑵设图2・15・E(4cosa,sina),F(4co沮sii^8),又M(0,1),则直线ME的方程为x(l-sina)+4ycosa-4cosa =0.因直线ME与圆G相切，故|2(l-S ina)-4cosa|化简得见_ J(1-sina)2+16cos2asina)2-36(1-sina)cosa+36cos2a=(1-sina)2 +16cos2a,即8(1-sina)2-36(1-sina)cosa+ 20(1-sina)2=0.注意到1-sina*0,从而得9・4cosa-12sina-28=0.同理，由直线MF 与圆G相切得9・4co^-12sinB-28=0.由以上两式可知，在直线9x-12y-28=0上，即直线EF的方程为9x-12y-28=0.圆心G(2,0)到直线EF的距离d=[9x2_28|=寻=「，故直线ef与圆G j92+(-12)23相切.6.3利用双曲线的参数方程例8(2011年华约自主招生试题)双曲线呂-着=l(a>0』>0),Fi,F2是左右焦a b点,P是右支上一点，且纠肿2=号,$迪严2=3>/3a2.(1)求离心率e;⑵若4为双曲线左顶点，Q为双曲线右支上任一点，是否存在常数久使AQAF2=XAQF2A恒成立？解析：(1)易得e=2.(2)由(1)可设双曲22线方程为与-角a5a二1.若QF2-L x轴，此时Q(2偽3a),c=2a,AQAF2为等腰宜角三角形,Z-QAF2=^/_QF2A.下证入二*.令Q(asec0,yl3atan0).tan/_QF2A=asec0-2a\l3\.an0亠V3atan05/3tan0sec0+192血t anOtan2Z^2==2叫警c=)]z>/3tan^k2(sec0+1)-3tan2^—(sec0+l丿2y/3tan0(sec0+1)_2>/3tan0(secO+1) -2sec20+2sec0+4-2(sec0+l)(sec0-2) =fl鶉=tanQF2A•所以存在常数A=|使AQAF2=^AQF2A恒成立.评注:这两道题目涉及的动点比较多，若采用宜角坐标设坐标,则运算量很大，并且变量之间的关系还很难找到,而采用这种三角形式的参数方程，则大大简化了计算.7利用极坐标方程例9(2009全国n理11题)已知双曲线C：弓諾=l(a>0,6>0)的右焦点为F,a b过F且斜率为-J3的直线交C于虫，B两点.若丽=4丽，则C的离心率为().A.£B.JC.JD.|55o5解析：斜率为a/3的宜线的倾斜角为60。
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有关的 3 条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.
5 / 16
正确的解题途径是： （1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有 3 个相等的角 度，应不失时机地引入三角知识.
【解析】椭圆的半焦距 c=3，右准线 x = 12
a2 12,a2 12 3 36,b2 a2 c2 27 . c
b2
1a 0,b 0 的左，右两个焦
点，若双曲线右支上存在一点 P，使 OP OF2 F2P 0. （O 为坐标原点），且 PF1 3 PF2 ，则双曲
线的离心率是（
）
32 A.
2
B. 3 2
3 1 C.
2
D. 3 1
y
【分析】根据向量加法的平行四边形法则， OP OF2 =OQ,
l
使 P1FP2 P2 FP3 P3 FP1 ，证明
1 1 1 为定值，并求此定值. | FP1 | | FP 2 | | FP 3 |
【分析】本题选自 07.重庆卷.22 题，是压轴题.
难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，
P2
P1
OF
x
P3
否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.
图 8-1
（９）命题转换
【题 10】（湖北重点学校 4 月考，19 题）椭圆的两焦点坐标分别为 F1 3, 0 , F2 3, 0 ,且椭圆过点
x2 y2
1
故椭圆方程为： 1 ，其离心率 e .
36 27
2
y
l
P2(x2,y2) P1(x1,y1) H1
120° θ
OF
x
P3(x3,y3)
图 8-2
如图 8-2 设 P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 , P3 x3, y3 为椭圆上符合条件的三点，令 FP1 r1, FP2 r2 , FP3 r3 .
2 直角三角形的射影性质有： OQ ON OP R2
∴ OM OQ OQ OM cos OQ ON R2
Nα
O
x
P
即 OM OQ R2 .
图3
（４）减少参数
【题 4】（北京西城元月考.13 题）双曲线 C : x2 y2 1 的渐近线方程为
若双曲线 C 的右顶点为 A ，过 A 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线交于 P,Q 两点，且 PA 2 AQ ，则直线
25 11
116 t 2 25 3t2 2511 64t2 132t 121 0
11
11
16t 114t 11 0.于是 t1
4
, t2
,m 16
t1 t2
4 ，故选 C.
y A
B1
O
F A1
x
B
图2
（３）平几给力
【题 3】（.武汉四月调考.15 题） 过圆 C： x2 y2 R2内一定点M ( x0 , y0 ) 作一动直线交圆 C 于
P Q
OQ F2P 且OQ必过F2P的中点 .可知 PF1F2 为直角三角形.
M
这就为用定义法求离心率创造了条件.
F1
O
F2
x
【解析】不妨设双曲线的半焦距 c=1,.令
PF2 =r,则 PF1 3r,2a 3 1 r ， 但是F1PF2 90,
2 2 2
2
PF1 PF2 F1F2 ,即 3r r2 4，得r 1.
B1, B2，FB1B2中，FB1 - FB2 B1B2 ,故必 a1 a2 b1 b2
这就是说，结论④也是正确的.既然结论①③④正确，故选 B. 图6
请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢？
（７）数形结合
【题 7】（北京西城.5 月考，5 题）双曲线 x2 y2 1的渐近线与圆 x2 ( y 2)2 1相 a2 b2
y1 2 y2 0 .设直线 PQ : y k x 1 .令 x=y,得
k
k
y k y 1 , y1 k 1 令 x=-y,得 y k y 1 , y2 k 1
k 2k
12
于是： 0k 0, 0
k 1 k 1
k 1 k 1
x
O
A( 1, 0)
Q
图4
k 1 2k 1 0 得 k=3.
4x12 4x22
5y12 5y22
80 80
4 x1 x2 x1 x2 5 y1 y2 y1 y2 0 k
y1 y2
4 x1 x2
4
6
6
x1 x2 5 y1 y2 5 4 5
6
所求直线方程为 y 2 x 3 6x 5 y 28 0 ，选 A.
)
A.6x－5y－28=0 B.6x+5y－28=0 C.5x+6y－28=0 D.5x－6y－28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边 MN 的中点 坐标，那么求直线 l 的方程，关键在求该直线的斜率. 若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是：
② a1 b1 ； a2 b2
③ a12 a2 2 b12 b2 2 ；
④ a1 a2 b1 b2 .其中，所有正确结论的序号是（
）
A．②③④
B. ①③④
C．①②④
D. ①②③
【分析】各选项都需鉴别 3 个命题，太繁了. 此外，正面论证哪 3 个命题正确，太费事了.于是将原命
题转换为：…其中不正确结论的序号是：
5
【评注】我们用参数设置了 M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据
它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.
（２）使用特值
6
x2 y2
【题 2】（湖北重点中学 4 月联考，理科 8 题）在离心率为 的双曲线
5
a2
b2
1a b 0 中，F 为
作 P1H1⊥ l 于 H1，令 P1H1 d1 ，
设 ∠ P1Fx= θ 则 ∠ P2Fx= θ +120 ° ∠ P3Fx=
9 x1 3 r1 cos ,2r1 9 r1 cos r1 2 cos .
1
120 ° - θ . 于 是 r1 ed1 12 x ， 而
2
9
9
同理： r2 2 cos(120 ) , r3 2 cos(120 ) .于是
两点 P、R，过坐标原点 O 作直线 ON⊥PM 于点 N，过点 P 的切线交直线 ON 于点 Q，则 OM OQ = 。
【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件 中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积 容易想到直角三角形中成比例的线段.
y
R Q
【解析】如图 4,连 OP,则 OP⊥PQ.但是 OQ⊥PR 于 N,根据
A. ①
B. ②
C.③
D.④
此外，4 个选项中，最容易用特值否定的是②，故有
【解析】构造椭圆 C1
:
x2 25
y2 16
1及C2
:
x2 10
y2
1.显然C1与C2焦点相同.
但是 a1 5 10 2, b1 4.这里 a1 b1 ，故结论②不成立，选 B.
a2 10 2
b2
a2 b2
【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理.
结论①：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的方程组无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
x2 y2
a12
x2
b12 y2
1
1
x
2
1 a12
1 a22
y
2
1 b12
1
b22
0
x2 a22 a12 a12 a2 2
y2 b22 b12 b12b2 2
0
a22 b22
既然结论③正确，且已知 a1
a2 ， a22
减少解几试题计算量的十种方法
在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是：
（１）设而不求．
【题 1】（湖北黄冈，元月考，10 题） 已知直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、N 两点，椭圆与 y 轴的正半
轴交于 B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线 l 的方程是 (
注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形
状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果.
所以我们可以通过取特值，让方程具体化.
【解析】 e c 6 .不妨设 a 5, c 6,c2 =a2 +b2 ,b 11，双曲线 a5
x2 y2
方程为： 1 ,其右焦点 F 6, 0 ，设 A 6 t, 3t ，代入双曲线方程：
y
B(0,4)
N F(2,0) x O
C(3,-2)
M
【解析】由 4x2 5y2 80 x2 y2 1.∴椭圆上顶点 20 16
图1
B（0，4）,右焦点 F（2,0）.为△BMN 的重心，故线段 MN 的中点为 C（3，-2）.
设直线
l
的斜率为
k.，点 M
x1,
y1 ,
N
x2,
y2
在椭圆上，∴
【别解】（巧用中点公式）如图设 P（a,a）,则 P 关于 A（1,0）的对称点为 R（2-a,-a）, AR 的中点
3
0
3a
Q
2
,
a 2
符合所设条件且在直线
y=-x
3a 上，