用几何性质优化解析几何计算
高考解析几何中线段比值问题
高考解析几何中线段比值问题
在高考解析几何中，线段比值问题是比较常见的一类问题。
这类问题通常涉及到直线、圆、椭圆、双曲线等几何图形，以及点、线段之间的位置关系和长度计算。
以下是一些解决线段比值问题的方法和思路：
1. 利用坐标表示线段长度：在解析几何中，可以通过坐标来表示点的位置，进而计算线段的长度。
对于线段比值问题，可以将线段的两个端点坐标求出，然后利用两点间距离公式计算出线段长度，再进行比值计算。
2. 利用几何性质：解析几何中的几何图形具有一些特殊的性质，例如圆的性质、椭圆的性质、双曲线的性质等。
在解决线段比值问题时，可以利用这些性质来简化计算，例如利用圆的切线性质、椭圆的定义等。
3. 建立函数关系式：对于一些复杂的线段比值问题，可以通过建立函数关系式来解决。
例如，可以设出线段长度的变量，然后根据题目条件列出方程，进而求出线段比值。
4. 利用三角形相似或全等：在一些情况下，可以通过判断线段所在的三角形是否相似或全等来解决线段比值问题。
如果两个三角形相似或全等，则它们对应边的比值相等。
5. 数形结合：在解决线段比值问题时，要注重数形结合，将几何图形与代数计算相结合，通过画图、观察等方法帮助理解和解决问题。
需要注意的是，具体的解题方法会因题目不同而有所差异，需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，在解题过程中要注意对题目的条件和要求进行仔细分析，避免出现错误。
解析几何大题的解题步骤和策略
解析几何大题的解题步骤和策略
当涉及解析几何大题时，下面是一般的解题步骤和策略：
1.阅读理解：仔细阅读题目，理解问题陈述、已知条件和要求，
确保对问题的要求和约束有清晰的理解。
2.建立坐标系：根据题目描述和已知条件，确定合适的坐标系。
选择适当的坐标可以简化问题的计算和分析。
3.列出方程：根据题目的几何关系，用已知条件建立方程。
可
以利用距离公式、斜率公式、点斜式等几何关系公式来列出方程。
4.解方程组：利用求解方程组的方法来找到未知变量的值。
可
以使用代入法、消元法、梯度下降法等方法来求解方程组。
5.分析图形特征：通过计算、分析和绘制图形，找出图形的性
质和特征。
可以利用角度、长度等几何性质来推断和解答问题。
6.检查和回答：在得出计算结果之后，进行合理性检查，确保
计算的准确性。
最后，回答问题，给出相应的解释和结论。
在解析几何大题时，要善于运用几何知识和创造性思维，注意问题的合理性和准确性。
同时，从不同的角度分析和解决问题，灵活运用几何性质和解题策略，可以更好地应对解析几何大题。
根据具体的题目和难度，可能需要使用不同的方法和技巧，因此灵活性和实践经验也是很重要的因素。
空间解析几何解密立体形与空间曲线的解题技巧
空间解析几何解密立体形与空间曲线的解题技巧在空间解析几何中，立体形和空间曲线是我们经常遇到的问题。
解题的过程中，掌握准确的解题技巧可以帮助我们更好地理解和解析这些几何问题。
本文将介绍一些解密立体形和空间曲线的解题技巧，帮助读者更好地应对这些问题。
一、立体形立体形是三维空间中的物体，如立方体、圆锥、圆柱等等。
在解析几何中，我们常常需要求解这些立体形的体积、表面积等问题。
下面将介绍解题时的一些技巧：1. 确定坐标系：首先，我们需要确定一个适合的坐标系来描述立体形的位置和形状。
通常我们可以选择直角坐标系或者柱坐标系、球坐标系等。
在选择坐标系时，要考虑到问题的简化和计算的方便性。
2. 分析几何性质：在确定了坐标系后，我们需要分析立体形的几何性质，比如边长、半径、高度等。
通过对这些几何性质的了解，我们可以建立数学模型，从而求解问题。
3. 利用解析几何公式：解析几何中有一系列的公式和定理，比如体积、表面积的计算公式，以及平面与立体形的交点等。
在解题过程中，我们可以灵活运用这些公式，将几何问题转化为代数问题，从而求解。
二、空间曲线空间曲线是三维空间中的曲线，如直线、圆锥曲线、椭球曲线等。
解题时，我们需要掌握一些技巧来解密这些曲线的性质和方程。
下面将介绍解题时的一些技巧：1. 参数方程与一般方程的转换：空间曲线常常可以使用参数方程进行描述，通过引入参数，我们可以更好地理解和分析空间曲线的性质。
同时，我们也需要掌握将参数方程转换为一般方程的技巧，以便求解问题。
2. 对称性与轴线方程：空间曲线通常具有对称性，比如与坐标轴相交的点对称，或者轴对称。
利用对称性的特点，我们可以推导出曲线的轴线方程，从而更好地解析曲线的性质和特点。
3. 切线和法线的计算：对于空间曲线上的一点，求解切线和法线是我们经常需要做的问题。
通过计算曲线方程的导数，我们可以求得该点处的切线和法线方程。
这样，我们可以更好地分析曲线的变化趋势和轨迹。
结语通过掌握解密立体形与空间曲线的解题技巧，我们可以更好地理解和解析这些几何问题。
利用几何法解解析几何问题
点， 过 点Ａ做抛 物线 准线 的垂 线 ， 垂 足为点Ａ ， 由抛
物 线 的定 义 知 Ｉ 尸 Ｑ Ｉ ＝ Ｉ Ｐ Ｆ Ｉ ， 所 以Ｉ ｌ ＋ Ｉ ｌ ＝ Ｉ ｌ ＋ Ｉ ｌ ≥
最大值为— — 。 解： 设 圆 ０ ， ｏ￣ ｔ ｌ 弦ＡＣ ， 肋 的距 离为ｄ 。 ， ｄ ： ， 垂足分
别 为Ｅ、 Ｆ ， 则 四边 形 Ｏ Ｅ ＭＦ ￣ 矩形 ， ， 可以起 到事半功倍 的效果 ， 本文结合实
例 来 见 证 利 用 几 何 法 解 决 解 析 几 何 问 题 的 美 妙 之
，
例３ 已知点Ｐ 是抛 物线ｙ ２ ＝ ８ 上 的动 点 ， Ｆ 为 抛
物线 的焦点 ， Ａ（ ３ ， ２ ） ， 求Ｉ Ｐ Ｆ ｉ ＋ Ｉ Ｐ ＡＩ 的最小值 。
解： 过点 尸 作 抛 物 线Ｙ ＝ ８ 准线 的垂线 ， 垂 足为Ｑ
为 Ｐ 的 中点 ， Ｊ ￣ ． Ｏ Ｅｊ ＿ Ｐ， 在△ Ｐ 中为 中位线 ， 由
— —
解： 延 长 Ｑ 交 Ｐ 的延 长 线 于 点 日， 连接Ｏ Ｑ。
取值 范围为
由平面几何 知识 知ｌ 日ｌ ＝ ｌ Ｐ ｌ ＋ Ｉ Ｉ ＝ １ ０ ， Ｊ ￣ ． Ｏ Ｑ 为
解 ：由定 义 和 ｌ 啊 Ｉ ＝ ２ ｌ Ｉ 易知， Ｉ Ｐ Ｆ Ｉ Ｉ ＝ ４ ｎＩ ＰＦ ￣ Ｉ ＝
三、 利 用 几何 性 质 求解 离心 率 的有 关 问题
＋ 例 ５ 椭 圆 ａ２
、Ｐ ／１ ｎ
＼ Ｆ ｉ ０
—
，
吾 ＝ １ （ ｒ ｚ ＞ ６ ＞ ０ ） 的 两 个 焦 点 为 ，
高中数学第二章解析几何初步优化总结北师大版必修2
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，
3为半径的圆．
(1)设xy＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得
最大值和最小值，
此时有 |2k－0| ＝ k2＋1
3，解得 k＝± 3，
故xy的最大值是 3，最小值是－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相切时 b 取
得最大值和最小值，此时|2－0＋b|＝ 3， 2
解得 b＝－2± 6，
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何的知 识知，其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最 大值和最小值，又知圆心到原点的距离为 2，故 x2＋y2 的最大 值为(2＋ 3)2＝7＋4 3，最小值为(2－ 3)2＝7－4 3.
2．求过圆外一点的圆的切线过程 求过圆外一点的圆的切线方程，一般设为点斜式，运用待定
系数法或判别式法求出斜率k，但用点斜式表示直线方程的前
提是斜率必须存在．过圆外一点可以作圆的两条切线，如果 只有一解，那么一定有一条切线斜率不存在，这时可用数形 结合的方法把“丢掉”的切线方程找回来． 3．已知斜率求圆的切线
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x ＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直线 l 过点 A(4，0)， 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直
的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满 足条件的点 P 的坐标．
例谈平面几何法解决解析几何问题的几种途径
例谈平面几何法解决解析几何问题的几种途径周华【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2016(000)013【总页数】4页(P78-81)【作者】周华【作者单位】江苏省启东市吕四中学【正文语种】中文众所周知，解析几何是高中数学的主要内容，也是历年高考的首选题型.解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，数形结合是其主要特征.因此，灵活运用代数知识的同时，充分利用问题中的“几何性质”，往往是解决解析几何问题的关键.在解决高中解析几何问题时，若能够巧妙地运用平面几何知识，不仅能够有效解决问题，而且会使问题变得简洁明了.特别是在高三复习过程中，能将相关知识点联系起来，将平面几何与解析几何融为一体，在提高解题的技能和速度的同时，也使学生解题中感受到数学的无限魅力.下面笔者就从平面几何的一些性质出发，探讨几类解析几何问题的巧妙解法.中位线定理是平面几何中较容易掌握和理解的结论，在解析几何题中经常含有中点一类的信息，若能在解析几何中巧妙地加以运用，则会使有关问题变得更加简单容易，利于解题.例1设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足解析：如图1，设F′为椭圆的右焦点，连接PF′.因为所以M是线段PF的中点，从而OM为△PFF′的中位线，则.又点P到椭圆左准线的距离为10，椭圆离心率e=，所以|PF|=10×=6，从而|PF′|=10-6= 4，故评注：本解法是从几何角度入手，巧妙地利用了三角形的中位线的性质，充分发挥了数形结合的作用，揭示了题目的本质.解析几何经常是点、线之间的关系，经常会涉及点、线的对称问题，若能巧妙用好直线与点的对称问题，就能轻松求解.例2如图2，使抛物线y=ax2-1（a≠0）上总有关于直线l：x+y=0对称的两点，试求实数a的取值范围.解析：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上关于直线l对称的两点，直线P1P2的方程为y=x+b.因为直线与抛物线有两个相异的交点，所以联立方程组得方程ax2-x-（1+ b）=0，Δ>0，即1+4a（1+b）>0.由韦达定理知x1+x2=由对称性质知，线段P1P2的中点既在直线P1P2上，又在直线l上，故有解得b=-代入1+4a（1+b）>0，解得a>在解析几何题中，常常会有过已知曲线内某一个定点，作互相垂直的直线一类题，从几何图形看，构造了矩形，就可以用矩形里的性质解题，取得意想不到的效果. 例3已知AC、BD为圆：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为______.解法一：如图3，S四边形ABCD=当且仅当AC=BD时取“=”号，且Smax=此时圆心O到AC、BD的距离OE、OF相等，在正方形OEMF中，由OM=，得到OE=在Rt△AOE中，由勾股定理得到AE=故当AC=BD=时，S四边形ABCD取到最大值Smax=5.解法二：如图4，设E、F分别为AC、BD的中点，则在矩形OEMF中，OE2+OF2=OM2=3.又AC2+BD2=4（4-OE）2+4（4-OF）2=20，则S四边形ABCD=当且仅当AC=BD时，取“=”号. 评注：在解题时，需要灵活思考，解法一巧用基本不等式及特殊的纯几何图形直接求解，解法二是在解法一的基础上优化了解题过程，变正方形为矩形.可见，在解决解析几何题时，我们不妨考虑得细致一点儿，方法多样一点儿，则能灵活解决相关问题.垂直平分线定理是平面几何中常见并且运用较为广泛的定理，也是我们熟知的定理，若能在解析几何中巧妙运用，则可避开复杂运算，使解答直观容易.例4如图5，A、B是两个定点，且|AB|=2，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线k垂直于直线AB，且点B到直线k的距离为3.求证：点P到点B的距离与到直线k的距离之比为定值.证明：以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）.因为直线l为线段MB的垂直平分线，所以|PM|=|PB|，所以|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=|MA|=4.所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长轴为4的椭圆，易求其方程为=1，直线k是椭圆的准线.根据定义知，点P到点B的距离与到直线k的距离之比为e=评注：本题巧妙地运用垂直平分线定理及椭圆定义很快使问题获解.圆和三角形是平面几何中的基本图形，也是解析几何问题中常见的“构造”元素，所以圆和三角形的有关性质的应用，在解析几何问题中是十分重要的.例如，解析几何中曲线上的两动点连线过定点问题是高考考查的重点内容之一，是近年来高考、竞赛的常见题.此类问题定中有动，动中有定，常与轨迹问题、曲线系问题相结合，深入考查直线与圆、圆锥曲线的关系等相关知识，若利用图形中的几何特征来解题能起到事半功倍的作用.例5如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a （其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1、A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1、MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.分析：此题解法很多，若按照解析几何的基本思路循规蹈矩，即用代数方法解决几何问题，设出点的坐标，找出题目中的关系，转化为代数关系式，解得结果.思路简单、清晰，学生易上手，但由于题中涉及的未知量较多，因此运算过程复杂，计算量大，需要学生有足够的耐心和细心，一般学生很难解到最终结果（具体解法略），若能关注到图形的几何特征即可很快得到结果.证明：运用圆直径所对的圆周角是直角，建立代数关系，列出动点P、Q满足的曲线系方程，求出动直线PQ的方程，得出定点.由题设可知，A1（-r，0），A2（r，0），设M点的坐标为（a，t），直线MA1的斜率为k1，MA2的斜率为k2，则MA1的方程为y=k1（x+r），过点M（a，t），则t=k1（a+r），得到k1=MA2的方程为y=k2（x-r），过点M（a，t），则t=k2（a-r），得到k2=.连接AQ并延长交直线x=a与N，如图6所示，由于A1A2是圆C的直径，A1Q⊥MQ，所以直线A1Q的方程为y=-（x+r），将k2代入，即y=-x+r），得N点坐标为同理，连接PA2并延长交直线x=a于点N′，得直线PA2的方程为y=-可知N′的坐标为⊥，所以N和N′实际为同一点.根据几何特征，P、Q、N、M四点共圆，P、Q在以MN为直径的圆上，即（x-a）2+（y-t）所以PQ为两圆的交线，求得PQ的方程为（x-a）2+（y-令 y=0，得x=，故直线PQ恒过定点评注：在解析几何题设中均隐藏着一些特定的几何特征.利用图形中的几何特征，寻找代数关系，真正体现了数形结合的思想.避开烦琐复杂的整理、转化的过程，而借助于几何特征建立曲线系，设而不解，运算的量小，不易出错.这种方法在很多题目中都可应用，在解析几何繁杂的运算中利用图形的几何特征解题将起到事半功倍的作用.平行线分线段成比例是初中几何的一个重点内容，而在解析几何中若能巧用此定理，则可减少计算量，降低解题难度.例6已知直线x-2y+2=0经过椭圆C=1（a＞ b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，S为椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l：x=分别交于M、N两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数；若不存在，说明理由.解析：（Ⅰ）过程略）（Ⅱ）如图8，过点S作SE垂直于x轴，设S（x0，y0），显然SE∥l，则有所以又由，得，所以由基本不等式得MI+NI≥当且仅当MI= NI=时取等号，即线段MN的长度的最小值为（Ⅲ）由（Ⅱ）可得N⊥，此时BS的方程为x+y-2=0，S⊥，所以|BS|=，要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于只需T到直线BS的距离等于，所以T 在平行于BS且与BS距离等于的直线l′上.设直线l′：x+y+t=0，则由，解得t=-或t=-.经检验t=-不符合，故只有二个.评注：第（Ⅱ）问巧妙运用平行线分线段成比例，找出线段与线段的相等关系，从而得到结论，大大减小运算量，使解题速度大大提高.此解法体现的另一思路是圆锥曲线中与顶点相关的线段可以考虑将圆锥曲线的方程变形，然后用平方差公式得到相关比例，使解题的运算量大大减小.角平分线定理在初中虽然仅出现在习题中，但它在高中内容中时常出现，若作为结论加以介绍，并学会应用，将使解决有关问题变得简单易行.例7已知椭圆=1，F1、F2分别为其左、右焦点，P为椭圆上一动点，I为△F1F2P 的内心，延长PI交F1F2于点M，求的值.解析：如图9，因为I为△F1F2P的内心，连接F1I，F2I，则F1I、F2I、PI分别是三角形F1F2P的角平分线，由角平分线的性质定理可得，即所以评注：本题结合角平分线定理，使问题简单明了，角平分线定理可以用正弦定理证明，便于理解和记忆.总之，解析几何中，“解析”只是方法，“几何”才是本质.平面几何在教学目标上侧重于培养学生的作图识图能力和逻辑推理能力.只有利用平面几何相关知识，正确把握问题中各个对象的位置关系，并转化出其内在的数量关系，才能用解析的方法顺利解决问题.教学中若利用平面几何知识可避免烦琐计算，收到意想不到的解题效果；这样不仅能起到变难为易、化繁为简的作用，还有助于打破学生学习过程中易于形成的一种思维定势，有益于学生的发散性思维的培养.F。
“设而不求”在解析几何中的应用
“设而不求”在解析几何中的应用“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．一、巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求[典例1] 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．[解析] 法一：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y A ＋y B ＝2pb 2a 2＝p ，解得a ＝2b ，故该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .法二：(点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . [答案] y ＝±22x 二、中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，此法实质上是“设而不求”的一种方法 [典例2] (1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2,2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________．(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________． [解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知G ⎝⎛⎭⎫12，0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋23＝12，y 1＋y 2＋23＝0，从而⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y22＝－1，即M ⎝⎛⎭⎫－14，－1， 又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14，即4x ＋4y ＋5＝0. (2)当k ＝0时，显然成立．当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k，点M 在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2)．[答案] (1)x ＋y ＋54＝0 (2)(－2，2)三、中点弦或对称问题的“点差法”求解 [典例3]已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[解] 假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，由⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1， 所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点．(说明最后验证Δ＞0是十分必要的)四、求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，此法实质上也是设而不求[典例4] 已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．[解析] 法一：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2， 同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝2⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二：由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，F ()12，0，不妨设l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k ()x －12，l 2：y ＝－1k()x －12由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8. [答案] 8。
解析几何解题策略
用三角函数求最值要有主
元变换思想，把三角函数 化为单一三角函数是难点。
三．几何策略
若题目中的条件与结论能蕴涵特定的几何特征
及几何意义，那么不妨借助图形，利用几何性质或 定义来处理最值问题。
1． 赋予特定的几何意义
有些最值问题具有相应的几何意义，如求分数最值联想到斜率公式，求平 方和最值联想到距离公式，由
ห้องสมุดไป่ตู้
3．线性规划 当实数对x、y所应的点
在一个区域或一条线段上
时 ， 求 最 值题 可 以 从 线性 规划的角度去处理。如若x、
y满足 ，则–2 x + y 的最大
值是 （略解）
4．利用平面几何知识 解析几何与平面几何是
密切相关的，灵活运用平面
几何知识亦会使一些最值问 题易于解决。
设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的 解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什 么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不 求的若干实施途径，供大家参考。 一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求
二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而 不求
三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不 求
四、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求
3．判别式
利用判别式求最值要有主元变换的思想，而且原方程必须存在实数解， 即原问题中的最值是存在的。
4．均值不等式
用均值不等式求最值要积累“配凑”技巧与方法，同时三条件“一正二定三 相等”缺一不可。
二．三角策略
圆、椭圆、双曲线的
参数方程，为我们将某些 最值问题转化为三角问题 且利用三角函数的有界性 来研究提供了可能性。利
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用几何性质优化解析几何计算
教学设计
海口市第一中学数学组
李哲慧
2012年12月
《用几何性质优化解析几何计算》教学设计
引言：我们在解决解析几何问题时，常常会遇到计算，而有些题目繁琐的计算影响了我们学习解析几何的感情。
同时我们又发现一些题目涉及到平面图形的几何性质，如果利用这些性质，可以优化解析几何计算，但我们的学生常常忽略这些重要的性质，本节课意在遇到可以用几何性质优化计算的问题时，不要忽略几何性质，步入繁琐的计算，甚至解不出题目。
一、教学任务分析
1．学情分析：学生已学完高中数学的全部内容，初步掌握解析几何的基本概念、基本题型、基本方法，但灵活应用基础知识解决综合题的能力较弱，计算能力有
待提高，优化计算意识不强。
2．高考中的解析几何：解析几何属高考必考内容，考题涉及图形的几何性质及计算，主要考察数形结合思想，方程思想，对应和运动变化思想等数学思想，既要
求学生的理解能力、分析问题的能力，同时对计算能力要求很高。
3．展示“优化”计算：通过一些题目的几何性质，得出对题目优化计算的解法，同时与代
数法对比，展示用几何性质优化解析几何计算，提高学生数形结合的
解题能力，提高运算速度。
4．学生参与体验：整个过程师生互动，学生观察、体验，在题目的变式中提高发散思维
能力，在题目的由浅入深变换中感受举一反三。
二、教学目标
1．知识层面：由中点（分点）、中垂线，联系三角形中位线、平行线分线段成比例、圆的几何性质、圆锥曲线定义等，要求学生熟悉掌握图形的几何性质，并能灵
活应用。
2．技能方面：①通过对比加强用几何性质优化解析几何计算的能力；
②通过题目的层层深入，提高学生举一反三的能力；
③通过改变题目部分条件，培养学生的发散思维能力，进而提高探究能力。
3．情感方面：在师生互动与学生的交流中，探究问题的发现，分享成功解决问题的喜悦，开阔视野，提升思维的品质，感受几何性质对解析几何计算的优化．
三、重点、难点
重点：用几何性质优化计算．
难点：1．将代数语言转化为几何语言；
2．用几何性质得出简洁的结论．
答案：2
2
(9)1x y -+=
为 。
连2PF ，OT ，因为PT TF ⋅22PF a +=，所2PF PQ =
DP DQ
=，五、板书设计。