五校联考高三数学试卷
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷含解析
江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．233．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+ B ．836πC 323163π D ．16833π5．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件6．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-8．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．50010．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．5C ．52D ．511．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,212．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省五校协作体2025届高三第三次测评数学试卷含解析
广东省五校协作体2025届高三第三次测评数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-2．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．323．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件4．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．236．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④7．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆8．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月9．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]411．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．53412．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届浙江省杭州市五校联盟高三第二次联考数学试卷含解析
2025届浙江省杭州市五校联盟高三第二次联考数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?2．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=() A ．12 B ．10 C ．8 D ．32log 5+5．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-，B ．[2]-，C ．(2]-，D ．2,2⎡-⎣6．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( )A ．3πB ．23πC ．2πD ．π8．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ）A ．函数()f x 在()0,3上单调递增B ．函数()f x 在()0,3上单调递减C ．函数()f x 图像关于32x =对称D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 9．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(1,2] C ．(,0][2,)-∞+∞ D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞10．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ）A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a11．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C ．23D ．16312．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷
江苏省镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x =<+<，则A B =I （ ） A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}2,3 D ．{}1,2,3 2．将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则π2g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．1CD ．－13．已知函数()2121x f x =-+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()2f x f x -+=D ．()()2f x f x --=4．“11a -<<”是“函数()()2lg 21f x x ax =-+的值域为R ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，求cos β=（ ） A ．12 B ．3998 C ．5998 D ．71986．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）()3.14π≈A ．1895秒B ．1896秒C ．1985秒D ．2528秒7．在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ）A ．0.515B ．0.05C ．0.0495D ．0.0485 8．已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多选题9．一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ）A ．两组数据的极差相同B ．两组数据的中位数相同C ．两组数据的平均数相同D ．两组数据的标准差相同10．已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+u u u r u u u r u u u u r ，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A ．当1//B P 平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CDB ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C ．当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为D ．当λμ=时，1||||DP A P +u u u r u u u r三、填空题12．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，若()()()312,,533P B P A B P A B ===U ∣，则()P A =．13．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：][2.13,3.13⎡⎤-=-=⎣⎦，若函数()2521x x f x +=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为. 14．已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是四、解答题15．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且()2sin 2A B C +=． (1)求角A 的大小；(2)若3b =，BC 边上的高为7ABC 的周长． 16．如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；(2)设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望.17．设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y f x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期； （2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 18．如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .(1)求证：CD EF ∥；(2)若CD EF =，求二面角A BC F --的余弦值.19．已知函数()1ln f x x a x x=--. (1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫> ⎪+⎝⎭∑.。
福建省泉州五校高中联考2025届高三上学期11月期中数学试题含答案
2025届高中毕业班五校联考模拟检测高三数学（答案在最后）2024.11本试卷共19题满分150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数2()cos f x x x =-，则(0.6),(0),(0.5)f f f -的大小关系是A.(0)(0.6)(0.5)f f f <<- B.(0)(0.5)(0.6)f f f <-<C.(0.6)(0.5)(0)f f f <-< D.(0.5)(0)(0.6)f f f -<<【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】由2,()cos ()x R f x x x f x ∈-=-=得函数()2cos f x x x =-为偶函数，当(0,2x π∈时，()2sin 0f x x x '=+>，所以()2cos f x x x =-在(0,2π上单调递增，即(0)(0.5)(0.5)(0.6)f f f f <=-<.故选：B ．2.已知函数()()2224x x f x x x a ee --+=--+有唯一零点，则a =（）A.12-B.-2C.12D.2【答案】B【解析】【分析】由已知可得()4()f x f x -=，所以()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.【详解】因为函数()()2222224(2)()4x x x x f x x x a ee x a e e --+--+=--+=--+-，所以()242424(42)()4()x x f x x a ee f x ---+-=---+-=，所以()f x 的图象直线关于2x =对称，函数()f x 有唯一零点，则必有(2)0f =，即420a --=，解得2a =-.故选：B【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于难题.3.正项等比数列{}n a 中，28,a a 是方程210160x x -+=的两根，则25log a 的值是（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】由韦达定理、等比数列性质以及对数运算即可得解.【详解】由题意得2816a a =，所以()2425252282211111log log log log 16log 24222222a a a a =====⨯=.故选：A.4.设全集是R ，集合1|01A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{|B x y ==，则R A B = ð（）A.[-2,1]B.(2,)+∞C.(1,2]D.(,2)-∞-【答案】B 【解析】【分析】化简集合,A B ，按补集和交集定义，即可求解.【详解】1|0(1,)1A x x ⎧⎫=>=+∞⎨⎬-⎩⎭，{|[2,2]B x y ===-，(,2)(2,)R C B =-∞-+∞ ，R (2,)A B =+∞ ð.故选:B.【点睛】本题考查函数的定义域、集合间的运算，属于基础题.5.下列关系中，正确的有（）A.∅{}0 B.{}(){}0,10,1= C.∈Q ZD.{}{}00,1,2∈【答案】A 【解析】【分析】利用集合与集合的基本关系判断.【详解】A.空集是任何非空集合的真子集，故正确；B.{}0,1的元素为0,1，(){}0,1的元素为()0,1，故错误；C.因为Z Q ⊆，故错误；D.因为{}0{}0,1,2，故错误故选：A6.设,x y ∈R ，则“1xy x y +=+”是“1x =”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由1xy x y +=+得到1x =或1y =，再利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】由1xy x y +=+可得()11x y y -=-，所以1x =，或1y =，所以“1xy x y +=+”等价于“1x =，或1y =”，所以“1xy x y +=+”是“1x =”的必要不充分条件，故选：C.7.若函数()af x x =的图象经过点()8,2，则()1f -的值为（）A.1B.1- C.0D.2【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义解出函数()f x 的解析式，进而求出(1)f -即可.【详解】由题意知，函数()f x 图象过点(8)，2，所以28a =，即322a =，则13a =，得13a =，所以13()f x x =，有13(1)(1)1f -=-=-.故选：B8.设()f x 是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1)f x x x =+，则当(,0)x ∈-∞时，()f x 等于A.(1)x x +B.(1)x x -+ C.(1)x x - D.(1)x x --【答案】C 【解析】【详解】试题分析：当0x <时0x ->()()1f x x x ∴-=--，由函数为奇函数可得()()f x f x -=-()()()()11f x x x f x x x ∴-=--∴=-故选：C考点：奇偶性求函数解析式二、多选题9.已知0x >，0y >，且1x y +=，则（）A.122x y->B.22log log 2x y +≤- C.D.2212x y +≥【答案】ABD 【解析】【分析】利用已知1x y +=，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如211x y x -=->-，()22222112212x y x x x x +=+-=-+≥，当然也可以用均值不等式求最值，如()222log log 2x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，2x y x y x y =+++++.【详解】选项A ：因为0x >，0y >，1x y +=，所以211x y x -=->-，所以122x y->，故A 正确．选项B ：()2222221log log log log log 224x y x y xy +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B 正确．选项C ：22x y x y x y =+++++=≤，当且仅当12x y ==时取等号，故C 错误．选项D ：()22222211112212222x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，（另解：()2221122x y x y +≥+=，当且仅当12x y ==时取等号）,故D 正确．故选:ABD.10.如图，平面四边形ABCD 是由正方形AECD 和直角三角形BCE 组成的直角梯形，AD ＝1，π6CBE ∠=，现将Rt ACD △沿斜边AC 翻折成1ACD △（1D 不在平面ABC 内），若P 为BC 的中点，则在Rt ACD △翻折过程中，下列结论正确的是（）A.1AD 与BC 可能垂直B.三棱锥1C BD E -体积的最大值为4C.若A ，C ，E ，1D 都在同一球面上，则该球的表面积是2πD.直线1AD 与EP 所成角的取值范围为ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 选项：根据线面垂直的判断定理，由11AD CD ⊥，当11AD D B ⊥时，1AD ⊥平面1BCD ，则1AD BC ⊥；对于B 选项：取AC 的中点O ，连接1,OE OD ，根据11C BD E D BCE V V --=，则平面1ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥1C BD E -体积的最大值，从而可判断；对于C ，根据1OE OD OA OC ===，可得1,,,A C E D 都在同一球面上，且球的半径为OC ，从而可判断；对于D 选项：由1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线，即可求得1AD 与EP 所成角的取值范围.【详解】对于A 选项：由AD CD ⊥，则11AD CD ⊥，当11AD D B ⊥时，且1D B AB <，此时满足1AD ⊥平面1BCD ，因此1AD BC ⊥，故A 正确；对于B ，取AC 的中点O ，连接1,OE OD ，则12OE OD OA OC ====，且1OD AC ⊥，因为11C BD E D BCE V V --=，当平面1ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥1C BD E -体积的最大值，在Rt BCE 中，π,16CBE CE ∠==，则BE =，此时111126132212C BDE D BCE V V --==⨯⨯=，所以三棱锥1C BD E -体积的最大值为612，故B 错误；对于C ，因为12OE OD OA OC ====，所以1,,,A C E D 都在同一球面上，且球的半径为2，所以该球的表面积是24π2π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，作AM EP ∥，因为P 为BC 的中点，所有1EP =，EP BE BPAM AB BM ==，所以33AM BM +==，所以30BAM ABC ∠=∠=︒，所以15MAC ∠=︒，1AD 可以看成以AC 为轴线，以45︒为平面角的圆锥的母线，所以AC 与1AD 夹角为45︒，AC 与AM 夹角为15︒，又1D 不在平面ABC 内，604515︒=︒+︒，304515︒=︒-︒，所以1AD 与DM 所成角的取值范围ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD .11.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝0，D (X )＝1，则（）X－112P a b c112A.a ＝512B.b ＝14C.c ＝14D.P (X ＜1)＝23【答案】ABCD 【解析】【分析】利用分布列的性质、方差与期望关系求参数a 、b 、c ，即可判断各选项的正误.【详解】由21()3E X a c =++，而E (X )＝0，则221()()[()]3D XE X E X a c =-=++，由题设有1112106113a b c c a a c ⎧+++=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪++=⎪⎩，可得5121414a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故A 、B 、C 正确；而2(1)(1)(0)3P X P X P X <==-+==，D 正确.故选：ABCD三、填空题12.已知:42p x -<<-，:q x a £，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______【答案】2a ≥-【解析】【分析】根据p 是q 的充分不必要条件，可得{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，从而可得出答案.【详解】解：因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，所以2a ≥-.故答案为：2a ≥-.13.某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：0C ）满足函数关系664,0{2,0kx x t x +≤=>，且该食品在04C 的保鲜时间是16小时.①食品在08C 的保鲜时间是小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间__________.（填“是”或“否”）【答案】①4②是【解析】【详解】试题分析：①∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：0C ）满足函数关系664,0{2,0kx x t x +≤=>且该食品在04C 的保鲜时间是16小时.∴46216k +=，即464k +=，解得12k =-，∴16264,0{2,0x x t x -+≤=>，当8x =时，4t =，故①该食品在08C 的保鲜时间是4小时；②到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故答案为是.考点：1、函数模型的选择与应用；2、分段函数的解析式.14.已知方程22224230x y m x y m m ++++-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是______．半径R 的最大值为______．【答案】①.()1,4-②.52【解析】【分析】先对方程配方形成圆的标准式，进而求出实数m 的取值范围即可；再由2223252534244R m m m ⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭≤，进而求出半径R 的最大值即可.【详解】由题意知：()()222234x m y m m +++=-++，所以2340,14m m m -+->-<<，所以m 的取值范围为()1,4-；由因为2223252534244R m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭≤，当且仅当32m =时，max 52R ==.故答案为：()1,4-；52.四、解答题15.化简，求值：（1）3228sin cos cos i 3228s n + ；（2）已知3tan 4α=，求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（3）sin 20sin 40cos 20cos 40- .【答案】（1）2；（2）7；（3）12-.【解析】【分析】（1）逆用两角和的正弦公式即可求解；（2）利用两角和的正切公式即可求解；（3）逆用两角和的余弦公式即可求解.【详解】（1）()332283228sin 3s 228sin 60in cos cos s 2in +=+==（2）π3tan tan1π44tan 7π341tan tan 1144ααα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅-⨯，（3）sin 20sin 40cos 20cos 40-()cos 20cos 40sin 20sin 40=--()1cos 2040cos 602=-+=-=-16.（1）已知4cos 5α=-，α在第二象限，求sin α，tan α的值；（2）已知tan 2α=-，求sin cos sin 3cos αααα+-的值；【答案】（1）3sin 5α=，3tan 4α=-；（2）15【解析】【分析】（1）根据三角函数的基本关系式即得；（2）弦化切即可.【详解】（1）∵4cos 5α=-，α在第二象限，∴3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==-；（2）由sin tan 2cos ααα==-，所以sin cos tan 1211sin 3cos tan 3235αααααα++-+===----.17.已知()()()25π3πsin cos tan π22πcos sin π2f αααααα⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若()2f α=，求2sin 3sin cos ααα-的值．【答案】（1）()tan f αα=（2）25-【解析】【分析】（1）直接通过诱导公式化简即可；（2）通过二次齐次式的化简即可得结果.【小问1详解】()()()()()22cos sin tan cos sin tan tan πsin sin cos sin π2f αααααααααααα--===-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【小问2详解】由（1）易得tan 2α=，所以22222sin 3sin cos tan 3tan 462sin cos tan 1415αααααααα---===-+++18.（1）设0,0,m n x >>=化简A =；（2）求值：1log log m m b a a b ⋅；（3）设2()2log (19),f x x x =+≤≤求()22()()g x f x f x=+的最大值与最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）1；（3）最大值222log 36log 36++（），最小值6.【解析】【分析】（1）先求24x -，对m ，n 讨论，求出A ；（2）利用log =m a a m ，分别对1log log m m b a a b 、化简、求值；（3）把()g x 化简为222()=log 6log 6g x x x ++，换元后利用()233y t =+-在()20log 3，2上的单调性求出最大值和最小值.【详解】（1）因为22244x ⎛-=-= ⎝，所以2,m n A m n m n -=+--故，当0m n ≥>时，m n A n -=，当0m n <<时，n m A m -=(2）()g log log log lo log log =,m m m m m m b b b a aa a m m a m ∙==∴ ，同理()l l og og m m b a b m -∙=∴()()log lo log l g g o log lo l g g 01log o log log ===1=a a m m m b b m m m m m m m b a b b a a m a m m m b -∙∙⎡⎤-∙∙⎢⎥⎣⎦⋅⨯即1log log mm b a a b ⋅=1(3)()()2222222()2log 2log =log 6log 6g x x x x x =+++++由21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩解得13x ≤≤令2log t x =，213,0log 3x t ≤≤∴≤≤ ∴()233y t =+-在()20log 3，上单增，∴当t =0时，min 6,y =当2log 3t =时，2max 22log 36log 36y ++=（）∴()g x 的最大值222log 36log 36++（），最小值6.【点睛】指对数混合运算技巧：(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质；(2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质.19.已知圆221:(1)9C x y ++=，圆222:(1)1C x y -+=，动圆P 与圆1C 内切，与圆2C 外切，动圆圆心P 的运动轨迹记为C ；（1）求C 方程；（2）若(1,0)M ，直线l 过圆1C 的圆心且与曲线C 交于A ，B 两点，求MAB △面积的最大值．【答案】（1）()221243x y x +=≠（2）3【解析】【分析】（1）由圆与圆的位置关系得出P 点轨迹是椭圆，求出,,a b c 后可得轨迹方程；（2）设1,1，2,2，设直线l 方程为1x my =-，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由12122MAB S y y =⨯⨯- 求出面积化为m 的函数，用换元法求得最大值．【小问1详解】设动圆P 的半径为r ，∵动圆P 与圆内切，与圆2F 外切，∴13MC r =-，且21MC r =+.于是121242MC MC C C +=>=，所以动圆圆心M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆.圆1C 与2C 内切于点(2,0)，因此P 点与点(2,0)不重合，12(1,0),(1,0)C C -，从而2,1a c ==，所以23b =.故动圆圆心M 的轨迹1C 的方程为()221243x y x +=≠．【小问2详解】设1,1，2,2，设直线l 方程为1x my =-，联立方程组221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得()2234690m y my +--=，则()()()222Δ6363414410m m m =-++=+>，122634m y y m +=+，122934y y m =-+．因为:1l x my =-过点()1,0-，所以12122MAB S y y =⨯⨯-=212134m ==+．令t =，1t ≥，()13f t t t =+，设121t t ≤<，则121212121212()(31)11()()330t t t t f t f t t t t t t t ---=+--=<，即12()()f t f t <，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，则当1t =时，()()min 14f t f ==，则M AB S 的最大值为3．故MAB △面积的最大值为3．【点睛】方法点睛：椭圆中最值问题，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设出直线方程为y kx b =+（或x my t =+），代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +）然后用两交点坐标表示出要求最值的量，如本题中三角形面积，转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得最值．。
上海市五校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题(含答案)
五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。
2025届上海市五校联考高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
2025届上海市五校联考高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=2．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π5．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．212+ B ．21+C ．312+ D ．31+7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．228．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)10．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．211．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．5B ．3C ．32D ．212．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024吉林省长春市五校联考高三数学试卷(含答案)
2024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y −==−==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞− 2.已知复数iz 1i=−，则z 的虚部为（ ） A.12−B.1i 2− C.12 D.1i 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B −−和Q BC A −−的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A.303B.203 9932D.4843+ 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知π3cos sin 6αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A.3 B.14− C.14 37.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A.22B.4C.322+D.6 8.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.b c a << D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a −的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M 2C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M 满足23MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤−'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln ex g a x g x x −+≤−恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+−=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且3BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的正方形，且6PB BC =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q −−的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F −，且椭圆C 过33,P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k −=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S −的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =−（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， （2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.211414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 1 2P1320 720()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+−=+−=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+−=+−=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +−==∴+−=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+−−==∴−−=.2321321330,0c c c c c ±+∴−−=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，22,2DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P −−−−所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =−=−=−， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=−+=⎪∴=⎨⋅=−=⎪⎩ 设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=−++=⎪∴=−⎨⋅=−=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q −−范围为()0,π，所以二面角P AD Q −−的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪−=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B −，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++−=，所以()22Δ48340t m=+−>，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−， 则12324BM k k k =−=，即238BM k k −⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=−−()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+−+−+−++−()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t −−++====−−−−−−+−++ 所以23m =−，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫−⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=−=⎪++⎪⎨−⎪==−++⎪⎩，所以12S S −=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()22212121222833243342283399433334t t y y y y y y t ++−=−=+−==+()2228314334934t t =−++令2122118340,,34439x S S x x t ⎛⎤=∈−=−+ ⎥+⎝⎦ 当211344t =+即0t =时，12S S −86212834860,399S S x x ⎛∴−=−+ ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x x f x xe f x x e =−=+'−.()14.f e =−∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =−−−=−+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =−，定义域为(),∞∞−+ ()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=−+=−−令()e 22xF x x =−−，则()2xF x e '=−，当()(),ln2,0x F x ∞∈−'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞−递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==−−=−< ()()2110,260F F e e−=>=−> 存在()11,ln2x ∈−使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈−时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=−+=−−，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =−−，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=−−>−−，则()()1110g a a a ∴−>−−−=又()110g ae −−=<，()01,1x a ∃∈−−使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =−−=且当()0,x x ∞∈−时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞−递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==−，由()000001e 10,exx x g x a x a +=−−==， 由max 1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +−+≤+即()()00011101x x x −++≤+， 由010x +<得20011,21x x −≤∴−<−，001,e x x a +=∴设()1(21)e x x h x x +=−≤<−，则()0xxh x e −=>'， 可知()h x 在)2,1⎡−⎣上递增，()((()()221221210h x h e h x h e −−≥−==<−=实数a 的取值范围是()212e ⎡⎣.。
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2015届高三第四次模拟考试试卷
数学(I)
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
锥体的体积V ＝1
3
Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为高．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ▲ ．
2. 复数z ＝a ＋i 1－i
为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．
3. 某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有
40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ▲ ．
4. 执行如图所示流程图，得到的结果是 ▲ ．
5. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝4
3
x ，那
么该双曲线的离心率为 ▲ ．
6. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概
率为 ▲ ．
7. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 ▲ ．
8. 直线l 过点(－1,0)，且与直线3x ＋y －1＝0垂直，直线l 与圆C ：(x －2)2
＋y 2
＝1交于M 、
N 两点，则MN ＝ ▲ ．
9. 已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为 ▲ ． 10. 函数sin (sin cos )([,0])2
y π
αααα=-∈-
的最大值为 ▲ ．
11. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足AB u u u r ＋12
AC u u u r ＝AD u u u
r ，且|CD uuu r |＝3，那么
DA DC ⋅u u u r u u u r
＝ ▲ ．
12. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2
＋ax (x ≤1)
2ax －5
(x ＞1)
，若∃x 1,x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
13. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[1
3
,3]内，函数g (x )
＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
14. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的
数列至多有 ▲ 项．
二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分）
已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，12，且与x 轴
两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；
（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝5
13，求△ABC 的面积．
16. （本小题满分14分）
在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点．
1
A 1
B 1
C
（1）求证：A1C∥平面AB1D；
（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．
17. （本小题满分15分）
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为5
5
，短轴长为4，F 1、F 2为椭圆左、右焦点，
点B 为下顶点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P (x 0,y 0)是椭圆C 上第一象限的点．
①若M 为线段BF 1上一点，且满足→PO ＝6·→
OM ， 求直线OP 的斜率；
②设点O 到直线PF 1、PF 2的距离分别为d 1、d 2， 求证：y 0d 1＋y 0
d 2
为定值，并求出该定值．
18. （本小题满分15分）
如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB 内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ，其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切，且与OA 、OB 相切． （1）求⊙P 的半径（用θ表示）； （2）求⊙Q 的半径的最大值．
A
19. （本小题满分16分）
已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2
－4x ．
（1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； （2）若函数f (x )在[2,3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； （3）设g (x )＝212ln 5a
a x x x x
++--，若存在x 0∈[1,e ]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．
20. （本小题满分16分）
已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足12n n a a +-=，22
14n n b b +=，且111,1a b ==-．
（1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数()
r r N *∈，使得1r r c c +<，称数列{}n c 为“梦
r 数列”；设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，
①若数列{}n a 为“梦5数列”，求n S ；
②若{}n a 为“梦1r 数列”，{}n b 为“梦2r 数列”，是否存在正整数m ，使得1m m S T +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由．。