2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期期中数学试题解析
第6讲 正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版
第6讲 正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知： （1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ（6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期3月月考数学试卷含详解
2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．2.若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为______.3.已知函数()1f x x =，则0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-=∆__________．4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为6.已知a 、b 为实数，函数ln ay x x =+在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y +的最小值为______.8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅的最大值是___________.9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n -=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e x x x f axf ax ax->-恒成立，则a 的取值范围是______.12.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++= ，且FA FB FC ≤≤ ，则FC的取值范围是___．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A.若a >b ，则11a b< B.若a >b ，则22ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD.若a >b ，c >d ，则ac >bd14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（）A.[]1,3-为函数()f x 的单调增区间B.[]3,5为函数()f x 的单调减区间C.函数()f x 在0x =处取得极大值D.函数()f x 在5x =处取得极小值15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是A.1a b +> B.1a b +< C.221a b +< D.221a b +>16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()11*211,N ,n n n n n n n nn a a a a a n a a aa +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②也是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.18.已知函数()22sin 3sin cos f x x x x ωωω=+的最小正周期为π，其中0ω>．（1）求ω的值与函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且3,sin 2sin c B A ==，()3f C =，求ABC 的面积．19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．21.已知函数()ln h x x xλ=+，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求()()g p g q -的取值范围.2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．【答案】[]22-,【解析】【分析】根据补集的定义直接进行运算即可.【详解】因为{}2M x x =>，所以{}{}2|22M x x x x =≤=-≤≤，故答案为：[2,2]-.2.若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为______.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】利用复数的除法运算得z ，即可求解.【详解】()()()()2+i 1i 2+i 31i,1+i 1+i 1i 22z -===--则z 的虚部为12-.故答案为：12-.3.已知函数()1f x x =，则0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-=∆__________．【答案】14-【解析】【分析】首先计算()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆，当0x ∆→时，即可求值.【详解】()()()11222222xf x f x x -∆+∆-=-=+∆+∆，()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆，()()()002211limlim 224x x f x f x x ∆→∆→⎛⎫+∆-=-=- ⎪ ⎪∆+∆⎝⎭.故答案为：14-4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________【答案】8【解析】【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案.【详解】由等差数列的性质可得：1164131a a a a +=+=，所以()1161616116822a a S +⨯⨯===，故答案为：8.5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为【答案】23【解析】【详解】试卷分析：设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r ，由题意圆锥的侧面展开图得弧长（即圆锥得底面圆周长）为43π，由得圆锥母线与底面所成角的余弦值为23r l =.考点：圆锥的侧面展开图.6.已知a 、b 为实数，函数ln ay x x=+在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.【答案】21【解析】【分析】求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得ab .【详解】由()ln af x x x =+，得21()a f x x x'=-，则()11f a '=-，又()1f a =，则切线方程为()()11y a a x -=--，即()112y a x a=--+14,12a a b ∴-=-+=，得3,7a b =-=-21ab ∴=故答案为：21.7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为______.【答案】3+##3+【解析】【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )33lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==-时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+.8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅的最大值是___________.【答案】45【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M 的坐标，计算AB AM ⋅的最大值．【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：(0,0)A ，(5,0)B ，(0,12)C ，ABC 外接圆225169()(6)24x y -+-=，设M 513(cos 22θ+，136sin )2θ+，则513(cos 22AM θ=+ ，136sin )2θ+，(5,0)AB =，2565cos 4522AB AM θ⋅=+≤ ，当且仅当cos 1θ=时取等号．所以AB AM ⋅的最大值是45．故答案为：45．9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．【答案】1)-【解析】【分析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案．【详解】如图正六边形中，,OA AB c BD ===，直线OB 即双曲线的渐近线方程为y =，由椭圆的定义可得)21a AB BD c =+=，所以椭圆的离心率1c e a ===，双曲线的渐近线方程为n y x m =，则=n m ，双曲线的离心率2e ==，所以椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为1)-【点睛】本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题．10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.【答案】【解析】【分析】先根据线面垂直确定点P 的轨迹，再解三角形得周长.【详解】设底面的中心为O ，则SO ⊥面ABCD SO AC ∴⊥,由正方形ABCD 得,AC BD SO BD O AC ⊥=∴⊥I 面SBD取SC ，CD 的中点为G ，F ，易得面//SBD 面GEF ，所以AC ⊥面GEF ，因此动点P 的轨迹为GEF ∆，因为1,SO BD BO SB ====2GE GF ==，EF =P+【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e eexxxf axf ax ax ->-恒成立，则a 的取值范围是______.【答案】[)0,e 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为e x ax >恒成立,分离参数求最值即可求解.【详解】定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，∴函数()f x 为R 上的偶函数．令()()g x xf x x =-，则()()g x g x -=-,()g x 为奇函数．()()()1g x xf x f x ''=+-．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．()0g x '∴>，()g x 在[)0,∞+单调递增．∴函数()g x 在R 上单调递增．对x ∀∈R ，不等式()()e eexxxf axf ax ax ->-恒成立，()()e e e x x x f axf ax ax ⇒->-,即()()exg g ax >e x ax ∴>．当0x >时，e ()xa h x x <=，则2(1)()x e x h x x'-=，则()01,0x h x <<'<；()1,0x h x '>>；故()h x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增；可得1x =时，函数()h x 取得极小值即最小值，()1eh =e a ∴<．当0x <时，e xa x>，则()0h x <，则0a ≥则a 的取值范围是[)0,e .故答案为：[)0,e .12.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++=，且FA FB FC ≤≤ ，则FC的取值范围是___．【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据焦半径公式表示出FA ，FB，FC，依题意可得1233x x x ++=，即可求出3x 的取值范围，即可得解.【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0F ，准线方程为=1x -，所以11FA x =+ ，21F x B =+ ，31FC x =+，0FA FB FC ++=，又A 、B 、C 为抛物线上三点，显然三点不完全重合，∴()()()()1122331,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=，即1233x x x ++=，1230y y y ++=，所以123222123012y y y y y y ++=⎧⎨++=⎩，因为FA FB FC ≤≤，所以123111x x x ≤≤+++，等价于123y y y ≤≤，由对称性，不妨设312210y y y y y =--≤≤≤，所以()222222123121212y y y y y y y ++=++--=，即2212126y y y y ++=，所以()()222212*********y y y y y y y y +≤++=≤+，所以2233364y y ≤≤，所以33364x x ≤≤，3322x ≤≤，351,32FC x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，当()330,0,,,22A B C ⎛⎛ ⎝⎝时，即52FC = ；当(11,,2,22A B C ⎛⎛- ⎝⎝时，即3FC = ;所以5,32FC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A.若a >b ，则11a b < B.若a >b ，则22ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD.若a >b ，c >d ，则ac >bd 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（）A.[]1,3-为函数()f x 的单调增区间B.[]3,5为函数()f x 的单调减区间C.函数()f x 在0x =处取得极大值D.函数()f x 在5x =处取得极小值【答案】C【解析】【分析】[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，A 正确，[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，B 正确，[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，C 错误，根据单调性判断D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，正确；对选项B ：[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，正确；对选项C ：[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，错误；对选项D ：[]3,5x ∈时，()f x 单调递减，当()5,x ∈+∞时，()f x 单调递增，函数()f x 在5x =处取得极小值，正确；故选：C ．15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是A.1a b +> B.1a b +< C.221a b +< D.221a b +>【答案】C【解析】【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②也是假命题【答案】A【解析】【分析】对①，直接令2a =判断即可；对②，利用反证法，先设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，再推导21,k k a a --的大小推出矛盾即可；【详解】对①，当2a =时，易得12a =，22a =，31a =，42a =，52a =，61a =…故数列{}n a 为2，2，1循环.所以对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=成立，故①正确；对②，对于任意[)2,a ∈+∞，有12a =，2a a =，32a a =，42a =，设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，则4k >，此时易得21,k k a a a --≤，又()11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩，且由题意，0n a >恒成立，故21n a +≥，即数列{}n a 中所有项都满足1n a ≥，故211,k k a a a --≤≤，因为[]2112max ,1,k k k k k a a a a a a ----⎧⎫=∈⎨⎩⎭，与k a a >矛盾，故对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.故选：A三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）1arcsin3【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.分别求出直线PC 的方向向量与平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.在正方形ABCD 中，AC BD ⊥.而PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC .【小问2详解】以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.设1AB =，则()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，从而()()()1,0,1,0,1,1,1,1,1PB PD PC =-=-=- .设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =r，0000PB n x z x z y z y z PD n ⎧⎧⋅=-==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎩⎪⎩⎩ ，令1z =，则()1,1,1n = .设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，则1 sin|cos,3PC nPC nPC nθ⋅===⋅∣，故PC与夹面PBD的所成角大小为1 arcsin3.18.已知函数()22sin cosf x x x xωωω=+的最小正周期为π，其中0ω>．（1）求ω的值与函数()f x的单调增区间；（2）设ABC的内角、、A B C的对边分别为a b c、、，且2sinc B A==，()3f C=，求ABC的面积．【答案】（1）1ω=，πππ,π,63k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）32【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到()π2sin216f x xω⎛⎫=-+⎪⎝⎭，根据最小正周期得到ω，进而得到函数解析式，得到单调递增区间；（2）根据()3f C=求出π3C=，由正弦定理得到2b a=，由余弦定理得到1a=，求出三角形面积.【小问1详解】()π1cos22sin216f x x x xωωω⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，2ππ2Tω==，()π1,2sin216f x xω⎛⎫∴==-+⎪⎝⎭，令πππ22π,2π,622x k k k⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z，解得πππ,π,63x k k k⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z，故()f x的单调增区间为πππ,π,63k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z．【小问2详解】()π2sin 2136f C C ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ，即sin 216πC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，ππ11π2,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故ππ262C -=，解得π3C =，sin 2sin B A =，2b a ∴=，2222cos c a b ab C =+- ，222342a a a ∴=+-，解得1a =，1322,sin 22ABC b a S ab C ∴====△．19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．【答案】（1）2400cm ；（2）16x =.【解析】【分析】（1）连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ，利用底面积与侧面积的和求解表面积；（2）由AB x =，可得2x OE =，)(200202x PE x =-<<，先利用勾股定理求出棱锥的高，然后表示出体积，再利用导数求最大值时x 的的值.【详解】在正四棱锥P ABCD -中，连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ．（1）∵10AB =，∴5OE =，15PE =，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为141010410154002ABCD PBC S S S =+=⨯+⨯⨯⨯=表△，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为2400cm ．（2）∵AB x =，∴2x OE =，)(200202x PE x =-<<，∴)222052002022x x PO x x ⎛⎛⎫⎫=---<<⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝，∴正四棱锥P ABCD -的体积为)()()241252525202020020333V x x x x x x x x =⨯-=⨯-=-<<．令)()()(420020t x x x x =-<<，则)()(3516t x x x '=-，当016x <<时，)(0t x '>，)(t x 单调递增；当1620x <<时，)(0t x '<，)(t x 单调递减，∴)()(max 16t x t =，∴)()(max 16V x V =，∴当16x =时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．【点睛】方法点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何法，特别是平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、导数法以及均值不等式法求解.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．【答案】（1）22143x y +=；（2）4；（3）8【解析】【分析】（1）直接利用四边形面积可知=ab 2a =即可求出b 值，即可求得椭圆方程；（2）设出点M 坐标，由两点间距离公式构造二次函数求最值即可；（3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及1230kk kk ++=可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形FPQ △的周长.【小问1详解】由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为1222a b ⨯⨯⨯=，即=ab∵2a =，∴b =，∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】椭圆的右顶点为(),0a ，以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =，设动点()00,M xy ，则()()()22222200000010201004102100102MH x y x x ax x a a =-+=-++=--+--⎡⎤⎣⎦当1020a ->时，即05a <<，最小值在对称轴处取得，即()(22100102a --=，解得4a =或6a =（舍去），当1020a -≤，即05a <≤，最小值在00x =处取得，此时MH 最小值为10，不符合题意，故4a =；【小问3详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则1112y k x =+，2222y k x =+，故12121212122222y y kx m kx m k k x x x x +++=+=+++++，则()()()()()()()12211212122233322kx m x kx m x kk kk k k k x x +++++++=++=+++()()()12121212224324kx x k m x x mk x x x x ++++=++++，当2a =时椭圆的方程为22143x y +=，将椭圆方程与直线方程联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()2223484120k x kmx m +++-=，()()22222264434412144481920k m k m m k ∆=-+-=-+>，即22340m k -+>，122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，即()()2221222241282243434334128243434m km k k m m k k k k k k m km k k --⨯++⨯+++++=--+⨯+++()()222041616m k m k m km k --==-+，故m k =或2m k =，此时均满足0∆>，若m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，此时直线恒过()1,0-，若2m k =，则直线l 的方程为2y kx k =+，此时直线恒过()2,0-，与题意矛盾，点()1,0-为椭圆的左焦点1F ，故FPQ △的周长为1148PF FQ PQ PF FQ PF QF a ++=+++==.21.已知函数()ln h x x xλ=+，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求()()g p g q -的取值范围.【答案】（1）(,0∞⎤-⎦（2）10eλ<<（3）6302ln 2,4ln 2517⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）直接由导数求出参数的范围即可.（2）由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题，再求最小值小于零得出结果.（3）根据驻点得出导函数为零的的两根，用韦达定理将双变量换成单变量带入()()g p g q -，写出表达式再求导即可.【小问1详解】易得定义域为()0,∞+，()221x h x x x xλλ-'=-=，当且仅当0λ≤时，()0h x '>恒成立，()y h x =是定义域上的单调递增函数，符合题意；而当0λ>时，()h x '既不恒正，也不恒负，即()y h x =不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；所以，由题意得实数λ的取值范围为(],0-∞；【小问2详解】函数()y h x =有两个不同的零点，所以()y h x =不是定义域上的单调函数，即0λ>；∴()y h x =在()0,λ上为单调递减函数，在[),λ+∞上为单调递增函数，且当x 趋近于0和+∞时，()y h x =趋近于+∞，∴函数()y h x =有两个不同的零点()()min 1ln 100eh x h l l l ==+<Þ<<.【小问3详解】(),p q p q < 为()()ln x x g x x x xh λλλ=-=+-的两个驻点，(),0p q p q ∴<<为()210g x x x l l =--=¢的两根，即一元二次方程20x x λλ-+=有两个不同的正根，即11p q pq λ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则1142,11751p q p p p q p λ⎧⎡⎤==∈⎪⎢⎥+⎣⎦+⎪⎪⎨⎪<=⎪⎪⎩，解得1142p ≤≤，()()()2111122ln ln 2ln p g p g q g p g p p p p p p p p p l l l 骣骣骣骣-琪琪琪琪\-=-=+----=+琪琪琪琪桫桫桫桫2212242ln 2ln 211⎛⎫-=+⋅=+- ⎪+⎝⎭+p p p p p p p ，令()24112ln 2,,142⎡⎤=+-∈⎢⎥+⎣⎦m p p p p ，()()()()2222222128011p p m p p p p p -=-=++¢³ ()m p \在11,42p 轾Î犏犏臌上为单调递增函数，则()3064ln 2,2ln 2175m p 轾Î-+-+犏犏臌，()()()6302ln 2,4ln 2517g p g q m p 轾\-=Î--犏犏臌.【点睛】关键点睛：第二问是零点问题，转化为方程根的个数问题；第三问较难，首先将双变量转化为单变量需用驻点这一条件，再用韦达定理表示出来，注意新变量的取值范围，最后再构造函数求单调性得出结果.。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n }中.已知a 2=4.a 6=16.则a 4=___ ．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ．4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ．7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n13.（单选题.3分）设S k =1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k.则S k+1为（ ）A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k +12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+114.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 9015.（问答题.0分）已知关于x 的方程sin 2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）． （1）当m=1时.解此方程（2）试确定m 的取值范围.使此方程有解．16.（问答题.0分）在公差为d 的等差数列{a n }中.已知a 1=10.且a 1.2a 2+2.5a 3成等比数列． （Ⅰ）求d.a n ；（Ⅱ）若d ＜0.求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金； （2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n}中.已知a2=4.a6=16.则a4=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由等比数列通项公式得a2a6=a42 .由此能求出a4．【解答】：解：∵在等比数列{a n}中.a2=4.a6=16.∴ a2a6=a42 =4×16=64.且a4＞0.解得a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等比数列的第4项的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．【正确答案】：[1]π+arcsin 13【解析】：先将x∈[π. 32π ].化为π-x∈[- π2，0 ].再利用诱导公式sin（π-x）=sinx.求出π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.然后计算得解．【解答】：解：因为x∈[π. 32π ].所以π-x∈[- π2，0 ].由sinx=- 13.sin（π-x）=sinx.所以sin（π-x）=- 13.即π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.所以x=π+arcsin 13.故答案为：π+arcsin 13 ．【点评】：本题考查了解三角方程.及正弦的主值区间.属简单题3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ． 【正确答案】：[1] {4，n =14n −1，n ≥2【解析】：根据数列的递推公式即可求出通项公式．【解答】：解：当n=1时.a 1=S 1=2×12+1+1=4.当n≥2时.a n =S n -S n-1=2n 2+n+1-[2（n-1）2+n-1+1]=4n-1. 当n=1时.a 1=3≠4. 故a n = {4，n =14n −1，n ≥2 .故答案为： {4，n =14n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查了数列的递推公式.属于基础题4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．【正确答案】：[1] 2661【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= S17T 17.代值计算可得．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= 2a 92b 9 = a 1+a 17b 1+b 17 = S 17T 17 = 3×17+17×17+3 = 2661. 故答案为： 2661【点评】：本题考查等差数列的性质和求和公式.属基础题． 5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出数列通项公式的表达式.求出数列的和.然后求解数列的极限即可．【解答】：解： 11+2+3+⋯+n = 2n (n+1) =2（ 1n −1n+1 ）.∴ lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）= lim n→∞2（1- 12+12−13+13−14 +… +1n −1n+1 ）=lim n→∞（2- 2n+1 ）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列的和.数列的极限的求法.考查计算能力．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ． 【正确答案】：[1]√5+12【解析】：根据题意.这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.结合等比数列的性质可得a 2q 2=a （a-aq ）.即q 2+q-1=0.解可得q 的值.又由aq 为正整数且aq 2＜1.设aq 这个正整数为m.则有a= mq =m× √5+12且m （√5+12 ）×（ √5−12）2＜1.解可得m 的值.变形可得a 的值.即可得答案．【解答】：解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列. 不妨设这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.则q ＞0. 则有a 2q 2=a （a-aq ）. 即q 2+q-1=0. 解得q=√5−12 .q= −1−√52（舍去）. 又由aq 为正整数.设aq 这个正整数为m.则a= mq =m× √5+12. 又由aq 2＜1.即m （ √5+12 ）×（ √5−12）2＜1. 解可得m ＜√5+12.又由m 为整数.则m=1.则a= mq=m× √5+12 = m q = √5+12. 故答案为： √5+12．【点评】：本题考查等比数列的性质.涉及等比中项的计算.注意分析q 的范围.属于基础题． 7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ． 【正确答案】：[1] 1955【解析】：由0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+….可得等号右边的数从0.045起为公比为0.01的无穷等比数列.运用无穷递缩等比数列的求和公式.计算可得所求值．【解答】：解：0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+… =0.3+ 0.0451−0.01 =0.3+ 45990 = 342990 = 1955 ． 故答案为： 1955．【点评】：本题考查循环小数化为分数的方法.考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0. 18 ]【解析】：由题意 a 11−q =12 .|q|＜1.从而q=1-2a 1.进而a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+18.利用-1＜q ＜1.能求出a 2的取值范围．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n }的各项和为 12 .∴ a 11−q =12 .|q|＜1.∴q=1-2a 1.a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+ 18 . ∵-1＜q ＜1.a 2的取值范围是（-1.0）∪（0. 18]． 故答案为：（-1.0）∪（0. 18 ]．【点评】：本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：先将两方程变形为：-θ- π4 =sinθ.-θ- π4 =arcsinθ.由y=sinθ.y=arcsinθ互为反函数.其图象关于直线y=x 对称.则方程组 {y =xy =−x −π4.由对称性及中点坐标公式可得.解的横坐标为θ1+θ22.得解．【解答】：解：由x-cosx= π4 .可化为： π4 -x=sin （x- π2 ）. x+arcsin （x- π2 ）= π4 .可化为： π4 -x=arcsin （x- π2 ）. 设θ=x - π2.则有：-θ- π4=sinθ.-θ- π4=arcsinθ. 由y=sinθ.y=arcsinθ.互为反函数. 其图象关于直线y=x 对称. 联立 {y =x y =−x −π4 .得：x=- π8 .即θ1+θ2=- π4 . 所以x 1- π2 +x 2- π2 =- π4 . 则x 1+x 2= 3π4 . 故答案为： 3π4 ．【点评】：本题考查了函数与其反函数图象关于直线y=x 对称的性质.属中档题 10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ． 【正确答案】：[1]若sp+tm=kn.s+t=k.则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*） 【解析】：利用类比推理可得【解答】：解：利用类比推理可得.对于等比数列{b n }.若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）. 故答案为：若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）【点评】：本题考查了类比推理的问题.属于基础题．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：C【解析】：由举例1.-1.1可得“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “.由等比中项概念可得：当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac “.可推出“a 、b 、c 成等比数列”.故“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac “的必要不充分条件．【解答】：解：当“a 、b 、c 成等比数列”时.不妨取“1.-1.1“.则不满足“b= √ac “. 即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “. 当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac ”.由等比中项概念可得：“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的必要不充分条件. 故选：C ．【点评】：本题考查了等比数列的性质及充分.必要条件.属简单但易错题． 12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n【正确答案】：C【解析】：此题可采用排除法法.可取a n =（-1）n .排除A ；取a n = 1n.排除B ；取a n =b n =n.排除D 得到答案．【解答】：解：取a n =（-1）n .排除A ； 取a n = 1n .排除B ； 取a n =b n =n.排除D ． 故选：C ．【点评】：考查学生认识极限及运算的能力.以及学会采用排除法做选择题． 13.（单选题.3分）设S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .则S k+1为（ ） A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k + 12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+1【正确答案】：C【解析】：先利用S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .表示出S k+1.再进行整理即可得到结论．【解答】：解：因为S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .所以s k+1= 1(k+1)+1 + 1(k+1)+2 +…+ 12(k+1)−2 + 12(k+1)−1 + 12(k+1) =1k+1 +1k+2 +…+ 12k + 12k+1 + 12k+2 - 1k+1=s k +12k+1 - 12k+2． 故选：C ．【点评】：本题主要考查数列递推关系式.属于易错题.易错点在与整理过程中.不能清楚哪些项有.哪些项没有．14.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 90 【正确答案】：B【解析】：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ].考虑数列{a n }的周期为360.一个周期内的和.即可得到所求最小值和最大值．【解答】：解：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ]. 当n 取1到90的自然数可得： S 90=π180 + 2π180 +…+ 90π180； 当n 取91到180的自然数可得： a 91+a 92+…+a 180= 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0； 当n 取181到270的自然数可得：a 181+a 182+…+a 270=-（ π180 + 2π180 +…+ 90π180 ）； 当n 取271到360的自然数可得：a 271+a 272+…+a 360=-（ 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0）． 由{a n }的周期为360.可得S 360=0.且S180＞0.且为最大值；而S1800=S360×5=0.S2016=S216＞0.S1980=S180＞0.则故排除A.C.D．故选：B．【点评】：本题考查反正弦函数值的求法.以及数列的求和.考查分类讨论思想方法.以及运算能力和推理能力.属于中档题．15.（问答题.0分）已知关于x的方程sin2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）．（1）当m=1时.解此方程（2）试确定m的取值范围.使此方程有解．【正确答案】：【解析】：（1）由sin2x+cos2x=1.则sin2x+cosx+m=0可化为：cos2x-cosx-1-m=0.将m=1代入解一元二次方程可得解.（2）分离m与cosx.用值域法可得解.即1+m=cos2x-cosx.再用配方法求cos2x-cosx的值域即可得解．【解答】：解：（1）sin2x+cosx+m=0.所以cos2x-cosx-1-m=0.当m=1时.方程为：cos2x-cosx-2=0.所以cosx=-1或cosx=2.又cosx∈[-1.1].所以cosx=-1.又x∈[0.2π）．所以x=π.故方程的解集为：{π}（2）由（1）得.cos2x-cosx-1-m=0有解.即1+m=cos2x-cosx有解.又1+m=cos2x-cosx=（cosx- 12）2- 14.又cosx∈[-1.1].所以（cosx- 12）2- 14∈[- 14，2 ].即1+m∈[- 14，2 ].即m∈[ −54，1 ].故答案为：[ −54，1 ]【点评】：本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域.与方程有解问题.属中档题16.（问答题.0分）在公差为d的等差数列{a n}中.已知a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列．（Ⅰ）求d.a n；（Ⅱ）若d＜0.求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列列式求出公差.则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论.得到等差数列{a n}的前11项大于等于0.后面的项小于0.所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】：解：（Ⅰ）由题意得5a3•a1=(2a2+2)2 .即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2 .整理得d2-3d-4=0．解得d=-1或d=4．当d=-1时.a n=a1+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．当d=4时.a n=a1+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．所以a n=-n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n.因为d＜0.由（Ⅰ）得d=-1.a n=-n+11．则当n≤11时. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|=S n=−12n2+212n．当n≥12时.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11= 12n2−21n2+110．综上所述.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|= {−12n2+212n，n≤1112n2−212n+110，n≥12．【点评】：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念.考查了等差数列的通项公式.求和公式.考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力.是中档题．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【正确答案】：【解析】：（1）计算n=1.2.3.4.5.6.7即可得到所求结论；（2）考虑1到5年不符题意；n ＞5时.可得1500+2000[n-5-0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.结合n的特殊值.计算可得结论．【解答】：解：（1）新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5 （万元）. 可得a 1=0.a 2=150.a 3=300.a 4=450.a 5=600.a 6=2000×（1-0.6）=800.a 7=2000×（1-0.36）=1280＞1000.则第7年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由n=5时.a 1+a 2+…+a 5=1500＜5000.可得所求n 超过5.可得1500+2000[n-5- 0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.化简可得n+3•0.6n-5＞11.5.由于3•0.6n-5随着n 的增大而减小.当n=11时.11+3•0.66＜11.5.当n=12时.12+3•0.67＞11.5.则第12年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【点评】：本题考查数列在实际问题中的运用.考查化简运算能力和推理能力.属于中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得数列为等差数列.即可得到所求通项公式；（2）由条件可得a n+1+1=2（a n+1）.由等比数列的定义和通项公式、求和公式.计算可得所求；（3）由条件可得a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.结合首项成立.以及二次函数的最值.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）λ=0.μ=1.a1=3.可得a n+1=a n+1.即有a n=3+n-1=n+2；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.可得a n+1=2a n+1.即有a n+1+1=2（a n+1）.可得a n+1=2n.即a n=2n-1.前n项和为S n=（2+4+…+2n）-n= 2(1−2n)1−2-n=2n+1-2-n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立. 可得a n+1=a n2+μa n+1.即有a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.由a1=-1.可得1-（1+μ）+1＞0.即有μ＜1；又（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24≥1- (1+μ)24.可得1- (1+μ)24＞0.可得-3＜μ＜1.综上可得μ的范围是（-3.1）．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。
上海市华师大二附中高一数学下学期期中试卷(含解析)
上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．3．（3分）已知，则sin2α=．4．（3分）已知α是锐角，则=．5．（3分）化简：=．6．（3分）若α是第三象限角，且，则=．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．18．（8分）设△AB C的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=解答：解：由，得sin=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力．7．（3分）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC=．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出A的值，再由S△ABC=，运算求得结果．解答：解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得 B=＜A，∴A=π﹣B﹣C=．∴则S△ABC==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，利用正弦定理可求得AD，BD，再利用余弦定理即可求得AB．解答：解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD，BD是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为．考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：新定义；三角函数的图像与性质．分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解答：解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈．故答案为：．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．10．（3分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．考点：余弦函数的图象；正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．解答：解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．点评：考查三角函数的图象、数形结合思想．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用条件化简可得2（sinφ+cosφ）=a，利用辅助角公式及角的范围，即可求实数a的取值范围．解答：解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a（sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin（）∈（2，2）故答案为：点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（3分）设函数（x∈）的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化简，构造新函数g（x）=（x∈），判断其为奇函数，可得g （x）max+g（x）min=0，从而可得结论．解答：解：=2+令g（x）=（x∈），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．解答：解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（2k+1）π表示π的奇数倍，（4k±1）π也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k±1）π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．解答：解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C为钝角．15．（4分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx考点：指数函数与对数函数的关系．分析：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式解答：解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C． f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由f（2﹣x）=f（x）和偶函数的定义得f（x）=f（x+2），求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据α和β的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数f（x）的单调性进行判断．解答：解：∵偶函数f（x）在上是减函数，∴f（x）在上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用，可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论．解答：解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（8分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（Ⅰ）求△ABC的周长；（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A 为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f（x）=2sinxcosx+2cos2x ﹣1化为：f（x）=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+）=，可求得sin（2x0+）=，继而可求得cos （2x0+）=﹣，而2x0=（2x0+）﹣，利用两角差的余弦即可求得cos2x0．解答：解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈，f（x）=2sin（2x+）在上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈，得2x0+∈．从而cos（2x0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题．20．（10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用．专题：综合题．分析：（1）作出图形，结合图形由，能求出．（2）由，r=1，得=．由此能求出点B（x B，y B）的坐标；（3）法一：，由此能求出x B﹣y B的最小值．法二：由α为钝角，知x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，由此能求出x B﹣y B的最小值．解答：解：（1）如图，∵，∴．（2）由，又r=1，得=．由钝角α，知，∴．（3）法一：，又，，∴x B﹣y B的最小值为．法二：α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是2015届高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．21．（14分）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=于是，当0＜a＜1时，函数上是单调增函数．（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）∴0＜a＜1，a＜b≤1．∴由（2）知，函数上是增函数，即，解得．若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，∴必有b=1．因此，所求实数a、b的值是．点评：本题从恒等式出发得到m，另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数，属于中档题．。
2020学年上海师大二附中高一(下)期中数学试卷学生版(Word版含解析)
高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分42分）1．（3分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为．2．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=75°，B=60°，b=，则c=．3．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若a2=b2+c2﹣bc，则角A=．4．（3分）若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=．5．（3分）函数y=sinx﹣cosx的最小值为．6．（3分）若tan（α﹣）=，则tanα=．7．（3分）函数y=tan（x﹣）的单调递增区间是．8．（3分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．9．（3分）已知角α的顶点在坐标原点上，角α的始边与x轴的正半轴重合，并且角α的终边在射线y=﹣2x（x≤0）上，则cosα=10．（3分）函数的反函数为．11．（3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，则y=f（x）的解析式是f（x）=．12．（3分）已知函数f（x）=cos（2x+），若函数g（x）的最小正周期是π，且当x∈[﹣，]时g（x）=f（），则关于x的方程g（x）=的解集为．13．（3分）设函数f（x）=，则函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积是．14．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．二、选择题（本大题满分12分）15．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（3分）已知，，则x等于（）A．B．C．D．17．（3分）“φ=π”是“函数f（x）=sin（x+φ）为奇函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件18．（3分）要得到函数y=2sin2x的图象，只需将函数y=2sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位三、解答题（本大题满分46分）本大题共有6题19．（5分）求方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解．20．（8分）（1）设，请运用任意角的三角比定义证明：tanα﹣cotα=（sinα+cosα）（secα﹣cscα）．（2）设α≠kπ（k∈Z），求证：．21．（6分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A 向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1°）？22．（8分）已知，求的值．23．（9分）已知函数f（x）=2x，x∈R．（1）求函数f（x）单调递增区间和f（x）在区间上的值域（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面积S△ABC的值．24．（10分）如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．。
2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期数学期中考试试卷 带详解
【解析】
【分析】
通过换元，令 则 ，将函数零点转化为函数 的图象与直线 有三个交点，利用数形结合求得 的范围.
【详解】函数 ， ，令 则 ，函数 恰有三个零点，可转化为函数 的图象与直线 有三个交点，如图： 根据三角函数图象的性质可得 ， ，所以 ， 即 ，由 ，可得 ，所以 的取值范围是 .
④ 图像关于 中心对称;
⑤ 的最小正周期为 .
【答案】②③⑤
【解析】
分析：①根据 可判断；②由 、 可判断；③ 时， ，进而可得结论；④ 是奇函数图象关于 对称，结合周期性可判断；⑤由
，利用周期公式可得结论.
详解：① ,
,
, 不是 对称轴，①错误；
② ， ，
， 是 的最小正周期，②正确；
③ 时， ，
（1）求 值；
（2）将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，若函数 在区间 上存在零点，求实数k的取值范围.
18.已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到 函数为奇函数．
（1）求 的解析式；
（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求 的取值范围．
【详解】 的递减区间是 ，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
14.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（3）将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍后所得到的图象对应的函数记作 ，已知常数 ， ，且函数 在 内恰有 个零点，求常数 与 的值．
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷(1)及解析
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题M P -为集合M 与P 的差集，现定义如下：{}|M P x x M x P -=∈∉且，则()M M P --（ ）A.PB.MP C.M D.M P ⋃2.有四个命题： ① 若0a b >>，则11a b<；②若0a b <<，则22a b >； ③ 若11a>，则1a >；④若12a <<且03b <<，则22a b -<-<； 其中真命题的数量是（ ）. A.1个B.2个C.3个D.4个3.对三个正实数a 、b 、c ，下列说法正确的是（） A.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a +均小于2 B.存在（a 、b 、c ）的一组值，使得1a b +、1b c +、1c a+中恰有两个小于2 C.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a+都不小于2 D.对（a 、b 、c ）任意值，1a b +、1b c +、1c a+中至多有两个不小于2 4.已知a>0,b >0，则“2018a +2019b +12018a+12019b=4”是“(2018a +2019b)(12018a+12019b)=4”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）5.若{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7}A =，{5,7,8}B =，则()UA B 为________.6.不等式11x>的解集是 7.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.8.命题A ：|x －1|＜3，命题B ：(x ＋2)(x ＋a)＜0；若A 是B 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是 .9.不等式|||1|3x x +->的解集为________.10.已知2()f x x ax b =++，集合{|()}{4}x f x x ==，将集合{|()4}M x f x ==用列举法表示________. 11.已知正实数x 、y 满足211x y+=，则2x y +的最小值为________. 12.232(1)(1)(3)(5)0(2)(4)x x x x x x x -+---≤--的解集为________. 13.已知集合2{(,)|20}A x y x mx y =+-+=，{(,)|10,02}B x y x y x =-+=≤≤，若集合AB 的子集个数为2，则实数m 的取值范围为________.14.若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是三、解答题（题型注释）15.已知,a b R +∈，求证：11223332()()a b a b +≥+.16.已知集合2{|60,}A x x x x R =--≤∈，22{|320,}B x x ax a x R =-+<∈，若AB R =RR，求实数a 的取值范围.17.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18.已知集合22{31,,}S m m n m n Z =+-=∈. （1）证明：若a S ∈，则1Sa ∈S ； （2）证明：若1p q <≤，则112p q p q<+≤+，并由此证明S 中的元素b 若满足12b <≤，则2b =（3）设c S ∈，试求满足22(2c <≤的所有c 的可能值.参考答案1.B【解析】1.利用Venn 图表示即可求解.根据题意集合M P -如图所示的阴影部分，,则 ()M M P M P --=⋂. 故选：B 2.D【解析】2.对于①、②、③、④利用不等式的基本性质证明命题成立. ①0a b >>,0ab ∴>,10ab ∴> ,a b ab ab ∴> ,11b a∴> ,即11a b < ，是真命题.②0a b << ，∴ 0a b ->-> ，∴()()220a b ->-> ，即22a b >，是真命题.③11a > ，10aa-∴>，10a ∴>> ，1a ∴> ，是真命题. ④03b <<，∴30b -<-<，又12a <<， ∴22a b -<-<，是真命题.故选：D . 3.B【解析】3. 假设12a b +<，12b c +<，可根据正实数的条件确定122b <<，根据不等关系可得11212bc a b b +>+--，利用函数思想可求得1132122b b b +≥--，即12c a+>恒成立，从而排除A ；通过特殊值可验证出B 正确，,C D 错误. 若1a b +、1b c +、1c a +均小于2，则1a b +11++6b c c a++<，但由基本不等式可得1a b +11++6b c c a++≥ ∴1a b +、1b c +、1c a+不能均小于2，则A 错误当12a =，1b =，2c =时 1131222a b +=+=<，1131222b c +=+=<，12242c a+=+=> ∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b+、1b c+、1c a+中恰有两个小于2，则B 正确当1a b ==，12c =时 1112a b +=+=，11232b c +=+=>，1131222c a +=+=< ∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b+、1b c+、1c a+中有小于2的值，则C 错误当2a b c ===时，11115222a b c b c a +=+=+=+= ∴存在(),,a b c 的一组值，使得1a b+、1b c+、1c a+均不小于2，则D 错误本题正确选项：B 4.A【解析】4.本道题反复运用基本不等式a +b ≥2√ab ,即可. 结合题意可知,2018a +12018a ≥2√2018a ⋅12018a=2,2019b +12019b≥2而2018a+2019b +12018a+12019b=4,得到2018a =12018a,2019b =12019b解得2018a=12018a=2019b =12019b=1,故可以推出结论,而当(2018a +2019b )(12018a +12019b)=4得到2018a +2019b +12018a+12019b≥2√(2018a +2019b )⋅(12018a+12019b)=4,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.5.{2,4,6}【解析】5. 先计算AB ，再求()UA B 即可.{1,3,5,7}A =,{5,7,8}B =，{}1,3,5,7,8A B ∴=，因此()UAB ={2,4,6}.故答案为：{2,4,6}. 6.(0,1)【解析】6.将分式不等式转化为一元二次不等式来求解. 依题意110x ->，()1010x x x x->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1. 7.14【解析】7.先求出参加数学与化学竞赛的人数和，再加上两种竞赛都不参加的人数，这样就比全班总人数多算了一次数学与化学都参加的人数，因此减去总人数，就得出结果.因为参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人3620864++= ，全班有50人，因此两种竞赛都参加的有645014-=（人） 故答案为：14 . 8.(－∞,－4)【解析】8.对于命题A ：∵|x －1|＜3，∴-2<x<4,要使A 是B 的充分而不必要条件,则a<2,-a>4,即实数a 的取值范围是(－∞,－4) 9.(,1)(2,)-∞-+∞【解析】9.先找到使两个绝对值等于零的点，然后分类讨论，再求得解集的并集. 当1x ≥ 时，不等式|||1|3x x +->等价于213x ->，解的2x >，当01x << 时，不等式|||1|3x x +->等价于13>，不等式无解， 当0x ≤ 时，不等式|||1|3x x +->等价于123x ->，解得1x <-， 所以不等式的解集是(,1)(2,)-∞-+∞.故答案为：(,1)(2,)-∞-+∞.10.{3,4}【解析】10.根据集合{|()}{4}x f x x ==求出,a b ，再解方程()4f x =，即可得到集合M . 集合{|()}{4}x f x x ==,即方程2(1)0x a x b +-+=，有两个相等的实数根为4 ,()2140a b ∴∆=--=,即22(1)(4)x a x b x +-+=-， 16,18,7b a a ∴=-=-=-，2()716f x x x ∴=-+，()4f x =即27120x x -+=，解得123,4x x ==，所以{}{|()4}3,4M x f x ===. 故答案为：{3,4}. 11.9【解析】11.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 正实数x 、y 满足211x y+=,则()212222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=，即3x y ==时取等号， 2x y ∴+的最小值为9.故答案为：9. 12.[1,2){3}(4,5]【解析】12.将分式不等式转化为高次不等式，再利用穿根法（奇穿偶不穿）求解高次不等式即可.原不等式等价于232(1)(1)(3)(5)(2)(4)0x x x x x x x -+-----≤且20x -≠，40x -≠，又22131()024x x x -+=-+> 可得，32(1)(3)(5)(2)(4)0x x x x x -----≤，且20x -≠，40x -≠，利用穿根法得原不等式的解集为[1,2){3}(4,5]. 故答案为：[1,2){3}(4,5]. 13.3(,){1}2-∞--【解析】13. 集合AB 的子集个数为2，判断出A B 只有一个元素，即()2110x m x +-+=在[]0,2上只有一解，即可求得实数m 的取值范围.由()2200210x mx y x x y ⎧+-+=≤≤⎨-+=⎩ ， 得()2110x m x +-+= ①因为A B 的子集个数为2， 所以AB 只有一个元素，所以等价于方程①在区间[]0,2 上只有一个实数根， 令()()2110f x x m x =+-+= ，又()01f = ，()20f < 得32m <- ，或()()2140201022m f m ⎧⎪--=⎪≥⎨⎪-⎪≤≤⎩，得1m =- . 或()()214012220m mf ⎧-->⎪-⎪>⎨⎪=⎪⎩，无解∴ 实数m 的取值范围为3(,){1}2-∞--.故答案为：3(,){1}2-∞--. 14.(]5,3,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】14.试题设2t x y =+则0t >，44t xy +=，t ≥2442txy t ≥=+∴4t ≥，不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立可化为223202t ta a ++-≥恒成立，即232212a t a -≥+恒成立，故2322412aa -≤+∴(]5,3,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 15.证明见解析【解析】15.利用分析法进行证明，同时利用222a b ab +≥，即可证得.证明：由于a ，b ∈R +，要证11223332()()a b a b +≥+，即证（a 2+b 2）3≥（a 3+b 3）2，即证3a 2b 4+3a 4b 2≥2a 3b 3，即证3b 2+3a 2≥2ab ，由于3b 2+3a 2≥6ab ＞2ab ，故11223332()()a b a b +≥+．16.（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）【解析】16.先求出集合A ,B ，根据AB R =RR,得出关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围.解：A ＝{x |x 2﹣x ﹣6≤0，x ∈R}＝{x |﹣2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣3ax +2a 2＜0，x ∈R}＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0}， 则∁R A ＝{x |x ＞3或x ＜﹣2}，∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}， 若a ＝0，则∁R B ＝R ，满足条件．∁R A ∪∁R B ＝R ， 若a ＞0，则∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}＝{x |x ≥2a 或x ≤a }，若∁R A ∪∁R B ＝R ，则03a a ⎧⎨≥⎩＞得a ≥3，若a ＜0，则∁R B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣2a ）≥0}＝{x |x ≥a 或x ≤2a }，若∁R A ∪∁R B ＝R ，则02a a ⎧⎨≤-⎩＜得a ≤﹣2，综上a ＝0或a ≥3或a ≤﹣2，即实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）． 17.（1）16281y m m =--+ ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大【解析】17.（1）先求出k ，利用题设中给出的计算公式可得故16281y m m =--+. （2）利用基本不等式可求函数的最大值.（1）由题意可知，当0m =时，1x = （万件）， 所以13-k =，所以2k =，所以231x m =-+， 每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯ （万元）， 所以年利润816161.581648281x y x x m x m m x m +=⨯⨯---=+-=--+ 所以16281y m m =--+，其中0m ≥. （2）因为0m ≥时，11681m m ++≥+，即7116m m +≥+ 所以28721y ≤-=，当且仅当1611m m =++，即3m = （万元）时，max 21y = （万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 18.（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）c ＝【解析】18.（1）若a A ∈，则a m =+2231m n -=，m ,n Z ∈ ,得到1a均满足集合A 的性质，进而得到结论.（2）构造函数()()11f x x x x=+≥，分析其单调性，进而得到A中元素若满足12b <≤，则2b =（3）设c A ，结合（1）（2）中的结论，可得c 值.证明：（1）若a ∈A ，则a ＝m +m 2﹣3n 2＝1，m ，n ∈Z ，则1m a ===-=m +（﹣nm 2﹣3（﹣n ）2＝1，m ，﹣n ∈Z ， 故1a ∈A ，(2=（m +2m ﹣3n ）+（2n ﹣m此时（2m ﹣3n ）2﹣3（2n ﹣m ）2＝m 2﹣3n 2＝1，∈A ； （2）令f （x ）＝x 1x +（x ≥1），则()f x 在(1,)+∞上的单调递增， 证明：设121x x ≤<， 则2121212112111()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=+-+=-- ∵ 121x x ≤<，∴21x x -0>，1211x x -0>， 故21()()f x f x -0>，即21()()f x f x >，()f x 在(1,)+∞上的单调递增 ∵1＜p ≤q ，f （1）＝2∴211p q p q+≤+＜； 令b ＝m +m 2﹣3n 2＝1，m ，n ∈Z ，∵12b ≤＜，∴2＜b 12b +≤， ∴2＜2m ≤4，则m ＝2，n ＝1，则b ＝2（3）∵c∈A，且2c≤（22，∈A，且1≤2=2由（2∴c＝（22＝。
2019-2020学年上海市复大附中高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年上海市复大附中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知命题p 、q ，则“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 函数的最小正周期是( ) A. B. C. D.3. 已知定义在R 上的函数y =f(x)对任意的x 都满足f(x +2)=f(x)，当−1≤x <1时，f(x)=x 2.若函数g(x)=f(x)−a|x|有5个不同零点，则a 的取值范围是( )A. (0,13)B. (13,1)C. [13,1]D. (12,1) 4. 已知函数f(x)=sinx+cosx+|sinx−cosx|2，则下列结论正确的是( )A. f(x)是奇函数B. f(x)在[0,π2]上递增 C. f(x)是周期函数D. f(x)的值域为[−1,1] 二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 2019°是第______象限．6. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω=______．7. 设扇形的半径长为8cm ，面积为32cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是______ ．8. 已知点P(1,√2)是角α终边上的一点，则cos(π6+α)的值为______ ．9. 若sin(π−α)=3√1010，且α是锐角，则tan2α= ______ ． 10. 若sin(α+π12)=√23，则sin(2α−π3)的值为______．11.(15)设函数(是常数，)，若在区间上具有单调性，且，则下列有关的命题正确的有.(请填上所有正确命题的序号)①的最小正周期为；②是的对称轴；③在上具有单调性；④为奇函数．12.设||=1，||=2，2+与−3垂直，=4−，=7+2，则cos<，>=.13.在△ABC中，若AB=3，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则BC等于______ ．14.已知函数f(x)=x12，给出下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)>x2−x1；③若0<x1<x2，则x2f(x1)<x1f(x2)；④若0<x1<x2，则f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)．其中，所有正确命题的序号是______．15.一艘船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若次轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿______ 方向行驶______ 海里至海岛C．16.若x，y满足x2+y2−4x−5=0，则y−x的最大值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知中的内角、、所对的边分别为、、，若，，且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)求函数的取值范围．18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．(1)求角A的大小；(2)若sinB⋅sinC=sin2A，判断△ABC的形状．19.如图所示函数图象，(1)求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的表达式；(2)求函数的单调递减区间．20.已知一次函数f(x)满足f(2)=1，f(3)=−5，求f(x)的解析式．21.已知0≤x≤2，求函数f(x)=4x−3⋅2x+1+3的最大值和最小值，并求y取最值时的x的值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：“p且q为假”，p、q都可为假，故充分性不成立；“p或q为真”，p、q都可为真，故必要性不成立；故选D．根据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系，得出判断．本题考查充分、必要与充要条件的判断，属于基础题，要掌握判断充要条件的方法．2.答案：C解析：试题分析：，则其周期。
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2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期期
中数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．函数()sin f x x x =在[],2t t 上是减函数，则t 的取值范围是（）
A ．7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．7,612ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ D ．,6ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
答案：B
首先求得()f x 的单调减区间，根据()f x 在[],2t t 上是减函数，求得
[]7,2,
6
6t t ππ⎡⎤
⊆⎢
⎥⎣⎦
，由此求得t 的取值范围.
解：
()
sin 2sin 3f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭的递减区间是
()72,262k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦，又0t >，2t t π-<，所以0t π<<，所以[]7,2,66t t ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦
，所以7612t ππ≤≤.
故选：B ． 点评：
本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
2．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为
4
π米，肩宽约为8π
米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，
你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（参考数据：
2 1.414,
3 1.732≈≈）
A ．1.012米
B ．1.768米
C ．2.043米
D ．2.945米
答案：B
由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长. 解：
由题：“弓”所在弧长54488
l ππππ=++=，其所对圆心角58524
π
πα=
=，
两手之间距离2 1.25 1.768d =≈.
故选：B 点评：
此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.
3．已知A 是函数()sin 2020cos 202063f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有
()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x ?的最小值为（）
A ．
2020
π
B ．
1010π C ．
505
π D ．
4040
π 答案：B
利用正弦的和角公式以及辅助角公式化简()f x 至标准型正弦函数，解得,A T ，即可容易求得结果. 解：
因为()sin 2020cos 202063f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
11
2020cos 2020cos 202022x x x =
++
20202020cos 2020x x x =+ 2sin 20206x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴max ()2A f x ==，周期220201010
T ππ
=
=， 又存在实数12,x x ，对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立， ∴()2max ()2f x f x ==，()1min ()2f x f x ==-，
12A x x ?的最小值为21010
T A π⋅
=， 故选：B. 点评：
本题考查利用三角恒等变换求函数解析式，正弦型三角函数的周期和最值，属综合基础题.
4．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤
=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（） A ．
503
π B ．21π
C ．
1003
π
D ．42π
答案：C 令()26
2x k k Z π
π
π-
=
+∈，求出在130,3⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366
n n x x x x x x -πππ+=
⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.
解： 令()26
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，得()123
x k k Z π
=
π+∈，即对称轴为
()123
x k k Z π
=
π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤
∈π⎢⎥⎣⎦
上有8条对称轴.
根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366
n n x x x x x x -πππ
+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：
12312582322...2 (2)
6666n n x x x x x -πππ
π⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭
()2238100323
+⨯ππ
=
⨯=
故选:C. 点评：
本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式. 二、填空题
5．函数tan y x =的对称中心是________. 答案：(
,0),2
k k Z π
∈ 由正切函数的性质即可得到答案. 解：
由正切函数的图象可知，tan y x =的对称中心是(,0),2
k k Z π
∈. 故答案为：(,0),2
k k Z π
∈ 点评：
本题考查正切函数的对称中心，考查学生对正切函数性质的理解与掌握，是一道基础题. 6．函数[]cos(),0,223
x y x π
π=-∈上的值域是________. 答案：1[,1]2
-
当[]0,2x π∈时，2[,]2333
x πππ
-∈-，结合cos x 的性质即可得到答案. 解：
当[]0,2x π∈时，
2[,]2333
x πππ-∈-，则1cos(),1232x π⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦，函数
[]cos(),0,223x y x π
π=-∈上的值域是1[,1]2
-.
故答案为：1
[,1]2
- 点评：
本题考查余弦型函数的值域问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
7．函数sin y x x =+在[0,2]π的递减区间是__________ 答案：7[
,]66
ππ
利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质得出结论． 解：
1
sin 2(sin )2sin()23
y x x x x x π=+==+，
由322232k x k π
π
π
ππ+
≤+
≤+
得72266
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，
0k =时，766x ππ
≤≤
．即所求减区间为7[,]66ππ． 故答案为7[,]66
ππ
． 点评：
本题考查三角函数的单调性，解题时需把函数化为一个角一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解．
8．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53
x π
=
，若()sin cos g x a x x =+=sin()(0,0,0)A x A ωθωθπ+>><<表示一个简谐运动，则其
初相是________. 答案：
23
π
由对称性先求出a ，再利用辅助角公式即可得到答案. 解：
由题意，10(0)(
)3f f π=，所以1()2
a a =+⨯-，解得a =，
所以12()cos sin ))23
g x x x x x x π
=+=-=+，。