中心极限定理例题
大数定律及中心极限定理应用题
大数定律与中心极限定理 应用题1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差为 0.1kg, 问（ 1）5000 只零件的总质量超过 2510kg 的概率是多少？ (2)如果用一辆载重汽车运输这 5000 只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于 0.975？解 设第 i 只零件重为 X i ， i1,2,...,500 ，则 EX i 0.5 ， DX i 0.125 0 0设XX i ，则 X 是这些零件的总重量i1EX0.5 50002500 ， DX0.125000 50a由中心极限定理X 2500~ N (0, 1)50（1） P(X2510) = P( X 2500 2510 2500 )50501 0 (1 0.9213=0.0787 2 ) =(2) 设 汽车载重量为 a 吨P( Xa) = P(X2500 a 2500 )0 (a 2500) 0.95505050查表得a2500 1.6450计算得 a 2511.59因此汽车载重量不能低于 2512 公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m ，先从这批木柱中随机的取 100 根，求其中至少有 30 根短于 3m 的概率？ 解设 X 是长度小于 3m 的木柱根数，则 X ~ b(100, 0.2)a由中心极限定理X ~ N (20, 16)P( X30) =P(X20 30 20)161610 (2.5) =1 0.9938 =0.00623． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取 1 元， 1.2 元， 1.5 元的概率分别为 0.3， 0.2，0.5.若售出 300 只蛋糕，（1）求收入至少 400 元的概率 （2）售价为 1.2 元蛋糕售出多于 60 只的概率。
解 设第 i 只蛋糕的价格为 X i ， i 1,2,...,300 ，则 X i 有分布律：X i1 1.2 1.5P0.30.20．5由此得E( X i ) 1.29E( X i 2 ) 1.713故 D( X i )EX i 2( EX i )20.0489300（ 1） 设 X 是这一天的总收入，则 XX ii 1300EXEX i300 1.29i 1300DXDX i300 0.0489i 1a由中心极限定理X ~ N(300 1.29, 300 0.0489)P( X400) = P(X300 1.29 400 300 1.29)300 0.0489300 0.04891 0 (3.39) =1 0.9997 =0.0003（ 2） 以 Y 记 300 只蛋糕中售价为 1.2 元的蛋糕只数，于是 Y ~ b(300,0.2)Y 300 0.2 a~ N ( 0,1)300 0.2 0.8P(Y 60) = PY 300 0.2 60 6010 (0) 0.53000.2 0.8484.设某种商品第 n 天的价格为 Yn ，令 Xn=Yn+1-Yn ，Xn 独立同分布， 且 Xn 期望是 0，方差是 2，若该商品第一天价格是 100，则第 19 天价格在 96 到 104 之间的概率是多少？解：X 1 Y 2 Y 1， X 2 Y 3 Y 2，X 3 Y 4 Y 3，X n Y n 1 Yn18所以X n Y19Y1Y19100n1181818E X n0 ， D X n DX n36n 1n 1n 1由中心极限定理，P 96Y19104P Y19100418181818X n E X n4= P X n E X n4P n1n 166n 1n 1221=0.497235.（ 10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率与概率之间的差的绝对值不小于 0.05 的概率不超过 0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2）中心极限定理给出估计。
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
4-3 中心极限定理
p
1 3
,
5 2 5 2 2 2
P {2 9 5 0 0 3 0 5 0 0}
0 . 9995 .
例3 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每 人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家 属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在 一年内的这项保险中亏本的概率.
np
30500 np
np ( 1 p ) 29500 np np ( 1 p )
1 2
t
2
e
2
dt
30500 np 29500 np np ( 1 p ) np ( 1 p )
n 90000 ,
100 12
( k 1 , 2 , , 20 ).
由定理4.4.1, 随机变量Z近似服从正态分布 N(0,1),
其中
Vk
Z
k 1
20
20 5
20
V 20 5 100 12
105 20 5 100 12 20 }
100 12
P {V 105 } P {
30500
k 1 , , 90000 .
k 29501
90000 1 2 k 3 3
k
90000 k
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P {2 9 5 0 0 3 0 5 0 0}
29500 np P n p (1 p ) 30500 np n p (1 p ) n p (1 p )
中心极限定理例题讲解
中心极限定理的例题一、定义与前提中心极限定理是概率论中的一类重要定理，它指出当样本量足够大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。
二、例题例题1：车间里有200台同型号的车床，每台车床开动需用电力10千瓦。
由于工艺关系，每台车床开停可理解为处于随机状态且相互独立，开的概率为0.7。
问至少应供应这批车床多少电力，才能保证有95%的可能性这批车床都能正常工作？解答：1. 记为第i台车床使用电力情况的随机变量，取值为0或10（0表示车床未开动，10表示车床开动）。
2. 令表示这批车床用电总和的随机变量，则。
3. 根据中心极限定理，当n（即车床数量）足够大时，近似服从正态分布。
4. 计算期望和方差：期望：每台车床开动的概率为0.7，所以=200×10×0.7=1400（千瓦）。
方差：由于车床开停是相互独立的，所以方差可以相加，即=200×(10^2)×(0.7×(1-0.7))=4200（千瓦^2）。
5. 标准化随机变量：令，则近似服从标准正态分布。
6. 根据95%的置信水平，查找标准正态分布表，得到临界值z=1.96（或根据对称性，使用-1.96也可）。
7. 解不等式：，得到。
8. 将z值代入上述不等式，得到，即。
9. 计算所需电力：=1400+1.96×√4200≈1483.72（千瓦）。
所以，为了保证这批车床有95%的可能性正常开动，应供应至少1483.72千瓦电力。
例题2：一个一百万人口的城市，统计每人因急病需用救护车的概率为二万分之一。
问这个城市急救中心需配备多少救护车，才能保证有99%的可能性能及时叫到救护车？解答（简化过程，主要展示中心极限定理的应用）：1. 记第i个人需使用救护车为事件Ai，不需使用为。
2. 根据题意，每个人需使用救护车的概率为p=1/20000。
3. 令X表示这个城市在同一时刻需使用救护车的人数，则X服从二项分布B(1000000,1/20000)。
第五章中心极限定理
第五章 中心极限定理2007.721．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为___________.（附：Φ（2）=0.9772）2007.1023．设随机变量序列X 1，X 2，…，X n ，…独立同分布，且E(X i )=μ,D(X i )=σ2>0,i=1,2,…, 则对任意实数x ，=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim ____________. 2008.19. 设),10000,2,1(,1,0 =⎩⎨⎧=i A A X i 发生事件不发生事件且P(A)=0.8,1000021X ,,X ,X 相互独立,令Y=,100001∑=i i X 则由中心极限定理知Y 近似服从的分布是（ ）A. N(0,1)B. N(8000,40)C. N(1600,8000)D. N(8000,1600)22. 设随机变量X 的E(X)=2)(,σμ=X D ,用切比雪夫不等式估计P(|23|)(σ≤-X E X )≥ ___________。
2008.79．设X 1，X 2，……，X n 是来自总体N （μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（ ）A ．P{}ε<μ-n X ≥22n εσ B ．P{}ε<μ-X ≥1-22n εσ C ．P {}ε≥μ-X ≤1-22n εσD ．P {}ε≥μ-n X ≤22n εσ20．设随机变量X ～U （0，1），用切比雪夫不等式估计P （|X －21|≥31）≤________________． 2008.1022．设随机变量)8.0,100(~B X ，由中心极限定量可知，{}≈≤<8674X P _______.(Φ(1.5)=0.9332)2009.19.设随机变量X 的E （X ）=μ,D(X)=2σ，用切比雪夫不等式估计≥σ≤-)3|)X (E X (|P （ ） A.91 B.31C.98D.12009.422．设随机变量X ~ B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16≤X ≤24}=__________. （附：Φ（1）=0.8413）2009.79．设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，P 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的0>ε，均有}|{|lim εμ>-∞→p nP nn （ ）A ．=0B ．=1C ．> 0D ．不存在2010.120.设n μ为n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对任意的}|p n{|P lim ,0nn ε<-μ>ε∞→=___________. 2010.420．设随机变量X ～B (100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40<X <60}≈______．(附：Φ(2)=0.9772)2010.79．设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P (|X -2|≥3)≤( ) A.91 B.31 C.21D.1 20.设n X X X ,,,21 是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E (X i )=0，D (X i )=1，则当n 充分大的时候，随机变量∑==ni in X nZ 11的概率分布近似服从________(标明参数).2010.109.设随机变量Z n ～B （n ，p ），n =1，2，…，其中0<p <1，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞→x p np np Z P n n )1(lim =( )A.22e21t x-⎰πd t B.22e21t x-∞-⎰πd tC.22e21t -∞-⎰πd t D.22e21t -∞+∞-⎰πd t23. 设X 1，X 2，…，X n ，…是独立同分布的随机变量序列，E （X n ）=μ，D （X n ）=σ2，n =1,2，…, 则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤σμ-∑=∞→0lim 1n n X P n i i n =_________. 2011.19. 设n X 为n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对任意的0ε>，lim {}nn X P p nε→∞-≥=（ ） A. 0 B.ε C. p D. 122. 设随机变量(2,4)X N ，利用切比雪夫不等式估计概率{23}P X -≥≤__________.2011.419.设随机变量X 1，X 2，…，X n , …相互独立同分布，且E （X i ）=则=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→0lim 1σμn n X P n i i n __________. 2011.721. 设随机变量X 的数学期望()E X 与方差()D X 都存在，且有()10E X =，2()109E X =，试由切比雪夫不等式估计{106}P X -≥≤ 。
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
解：设 µA 为在 1000 次试验中 A 发生的次数，同时其频率与概率的绝对偏差 为 ε ，则
P
⎧ ⎨ ⎩
µA 1000
−
1 4
<
ε
⎫ ⎬
=
0.9997
。
⎭
由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得
⎛
P
⎧ ⎨ ⎩
µA 1000
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
第四章 大数定律与中心极限定理
例 1．设随机变量 X 和Y 的数学期望分别为－2 和 2，方差分别为 1 和 4，而
相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有 P{ X + Y ≥ 6} ≤
。
分析：切比雪夫不等式： P{ X − EX
≥ ε}≤
DX ε2
或 P{ X − EX
<
ε}
≥
1−
DX ε2
，
注：这是切比雪夫不等式的推广。 当 g(x) = x2 时，即为切比雪夫不等式。
例 3．设随机变量序列 X 1, X 2 , ", X n 相互独立，且都服从参数为 2 的指数分
∑ 布，则当 n
→
∞ 时，Yn
=
利用中心极限定理解决实际问题练习题
利用中心极限定理解决实际问题练习题中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布都近似服从正态分布。
这个定理是许多统计推断和抽样方法的基础，在实际问题中具有广泛的应用。
本文将通过一些实际问题的练习题来展示如何利用中心极限定理解决这些问题。
问题一：一家公司有1000名雇员，他们的月薪服从均值为5000元，标准差为1000元的正态分布。
现在想要估计这家公司所有雇员月薪的平均水平，应该如何操作？解答一：根据中心极限定理，当样本容量大于30时，样本均值的分布近似服从正态分布。
由于公司有1000名雇员，我们可以随机抽取一部分雇员的月薪进行调查，然后根据样本均值来估计总体均值。
为了保证估计的准确性，我们可以选择抽取多个样本，并计算每个样本的样本均值。
最后，将所有样本的均值求平均，即可得到对总体均值的估计。
问题二：某手机游戏的每日活跃用户数服从均值为50000，标准差为5000的正态分布。
现在想要估计该游戏某一特定日的活跃用户数，应该如何操作？解答二：首先，我们可以利用过去一段时间内的数据来近似估计该游戏的平均每日活跃用户数。
然后，根据中心极限定理，我们可以通过抽取该特定日的样本来估计该日的活跃用户数。
为了准确性，我们可以抽取多个样本，并计算每个样本的样本均值。
最后，将所有样本的均值求平均，即可得到对该特定日活跃用户数的估计。
问题三：某电商平台的商品销售额服从均值为100万元，标准差为20万元的正态分布。
现在想要估计该平台在今年的全年销售额，应该如何操作？解答三：由于电商平台的商品销售额可能受到季节性和其他影响因素的影响，我们可以选择抽取跨不同季度的样本来估计全年销售额。
根据中心极限定理，我们可以通过多次抽样，计算每个样本的样本均值，并将所有样本的均值求平均，得到对全年销售额的估计。
另外，可以计算样本均值的置信区间，以评估估计结果的准确性。
通过上述三个实际问题的练习题，我们可以看到中心极限定理在解决实际问题时的应用。
中心极限定理考试题及答案
中心极限定理考试题及答案# 中心极限定理考试题及答案## 一、选择题1. 中心极限定理描述的是：- A. 样本均值的分布- B. 样本方差的分布- C. 总体均值的分布- D. 总体方差的分布答案：A2. 在中心极限定理中，随着样本容量的增加，样本均值的分布将趋近于：- A. 正态分布- B. 均匀分布- C. 指数分布- D. 二项分布答案：A3. 中心极限定理适用于：- A. 任何总体分布- B. 正态分布的总体- C. 均匀分布的总体- D. 仅指数分布的总体答案：A## 二、简答题1. 简述中心极限定理的主要内容。
答案：中心极限定理是统计学中的一个重要定理，它指出，如果从总体中抽取足够大的随机样本，无论总体分布如何，样本均值的分布都将趋近于正态分布。
这一定理在实际应用中非常重要，因为它允许我们使用正态分布的性质来估计样本均值的分布，即使我们对总体的分布知之甚少。
2. 中心极限定理为什么在实际应用中非常有用？答案：中心极限定理在实际应用中非常有用，因为它允许我们对样本统计量进行推断，即使我们对总体的分布一无所知。
这在很多情况下是非常有用的，比如在质量控制、经济数据分析等领域，我们往往只能获得有限的样本数据，而无法获得总体数据。
通过中心极限定理，我们可以对样本均值进行估计，并计算其置信区间。
## 三、计算题1. 假设一个总体的均值为μ，标准差为σ，从这个总体中随机抽取了容量为n的样本。
如果样本均值的样本量足够大，样本均值的分布将趋近于什么分布？请给出其均值和标准差。
答案：如果样本容量足够大，样本均值的分布将趋近于正态分布。
其均值等于总体均值μ，标准差等于总体标准差σ除以样本容量n的平方根，即σ/√n。
2. 给定一个总体，其均值为100，标准差为15。
从这个总体中随机抽取了100个样本，计算样本均值的标准误差。
答案：样本均值的标准误差是总体标准差除以样本容量的平方根。
在这个例子中，样本均值的标准误差为15/√100 = 1.5。
大数定律与中心极限定理 定义与例题
三、典型例题
一加法器同时收到 例1 20 个噪声电压 Vk ( k 1 , 2 , 20 ), 设它们是相互独立的随 且都在区间 ( 0 ,10 ) 上服从均匀分布 机变量 , ,记 V
k 1
20
Vk ,
求 P { V 105 } 的近似值 .
解 E (V k ) 5 ,
解：对每台车床的观察作为一次试验，
每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 设应供应N千瓦电力,现在的问题是：求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np np(1 p)
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
切比雪夫不等式
如 果 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 EX 和 方 差 DX 存 在 , 则 对于任一正数, 都有 P
X EX
DX
2
证 明 ： 对 于 任 给 正 数 , 由 切 比 雪 夫 不 等 式 ,有 1 D n
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
辛钦大数定律
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 分 布 , 且 数 学 期 望 存 在 ,则 对 于 任 意 0, 有 1 li m P n n
i1
n
X i 0.
例1 判 断 下 列 说 法 的 对 错 , 并 简 述 理 由 : (1 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 具 有 密 度 f ( x ), 则 序 列 X 1 , X 2 , , X n , 满 足 辛 钦 大 数 定 律 . ( 2 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 , 则 X 1 , 2 X 2 , , n X n , 满 足 切 比 雪 夫 大 数 定 律 .
中心极限定理例子
中心极限定理例子
以下是 6 条关于中心极限定理的例子：
1. 你想想看啊，比如说我们学校的每次考试成绩。
一个班有那么多同学，每个人的学习情况都不一样吧，那最终的班级平均分是不是就会呈现出一种比较稳定的状态呀？这就像中心极限定理在起作用呀，那么多各不相同的成绩加在一起，就会趋近于一个固定的趋势呢！
2. 嘿，你再想想彩票的中奖号码！每次开奖那可都是随机的呀，但如果我们观察很多很多期的开奖结果，好像也会有某种规律出现呢，难道这不是中心极限定理在冥冥之中发挥作用吗？
3. 咱就说面包店每天卖出去的面包种类和数量吧。
每天顾客的偏好都不一样呀，有时这种面包卖得多，有时那种卖得多，但是时间一长，整体的销售情况就会比较稳定呢，这不就很神奇嘛，这不就是中心极限定理的体现嘛！
4. 你看那农贸市场里的各种蔬菜水果价格，每天都有波动呢，但长期来看它不会一直疯狂涨或疯狂跌呀，总会在一个范围内波动，这不就像是中心极限定理在掌控着嘛，多有意思啊！
5. 咱家里每个月的水电费也很能说明问题呀！有时候用得多些，有时候用得少些，但长年累月下来，不就有个大概的平均值嘛，这不就是中心极限定理在悄悄发挥作用嘛，你说对不对呀？
6. 想想城市里每天的车流量，那真是变化多端啊！但总体上看，还是能发现一些规律的呢。
难道不是中心极限定理在背后让这些看似杂乱无章的车流量变得有迹可循吗？
结论：中心极限定理真的是无处不在啊，它让我们在看似混乱的世界中找到了一些稳定和规律。
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中心极限定理例题
引言
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，大量独立同分布随机变量的和的分布会趋近于高斯分布，即正态分布。
这个定理在统计学中有着广泛的应用。
本文将通过几个例题来说明中心极限定理的应用和推导过程。
例题1
假设有一个质量为1 kg的物体，在连续3次抛掷中，每次都以同样的力量抛出，求这3次抛掷的总共落地位置与平均落地位置之间的差距。
解：设第一次、第二次和第三次抛掷的落地位置分别为X1, X2和X3，平均落地位置为X。
由题意可知，X1, X2和X3是独立同分布的随机变量，且服从均值为0，方差为1的标准正态分布。
根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他们的和呈现出正态分布的特点。
因此，3次抛掷的总共落地位置可以表示为：
Sum = X1 + X2 + X3
根据中心极限定理，我们可以得到：
Sum ～ N(0, 3)
所以，总共落地位置与平均落地位置之间的差距可以表示为：
Difference = Sum - 3 * X
根据正态分布的性质，我们知道均值为0的正态分布减去均值为μ的正态分布的期望值为0，即：
E[Difference] = E[Sum - 3 * X] = E[Sum] - E[3 * X] = 0 - 0 = 0
所以，总共落地位置与平均落地位置之间的差距的期望值为0。
这意味着平均而言，总共落地位置与平均落地位置没有偏移。
例题2
某超市每天出售的可乐数量服从均值为1000，标准差为10的正态分布。
今天超市售出的可乐数量为2000瓶，求今天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距。
解：设今天超市售出的可乐数量为X，平均值为X。
由题意可知，X服从均值为1000，标准差为10的正态分布。
根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他们的和呈现出正态分布的特点。
我们知道，每天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距可以表示为：
Difference = X - X
根据正态分布的性质，我们知道均值为μ的正态分布减去均值为μ的正态分布的期望值为0，即：
E[Difference] = E[X - X] = 0
所以，今天超市售出的可乐数量与平均值之间的差距的期望值为0。
这意味着平均而言，今天超市售出的可乐数量与平均值没有偏移。
例题3
某批电池的寿命服从均值为200小时，标准差为20小时的正态分布。
从这批电池中随机抽取n个电池，求这n个电池的寿命总和与理论总和之间的差距。
解：设n个电池的寿命分别为X1, X2, …, Xn，理论总和为n * μ，平均寿命为μ。
由题意可知，X1, X2, …, Xn是独立同分布的随机变量，且服从均值为200，标准差为20的正态分布。
根据中心极限定理，当独立随机变量的数量足够大时，他们的和呈现出正态分布的特点。
所以，n个电池的寿命总和可以表示为：
Sum = X1 + X2 + … + Xn
根据中心极限定理，我们可以得到：
Sum ～N(n * μ, n * σ^2)
我们知道理论总和为n * μ，所以这n个电池的寿命总和与理论总和之间的差距可以表示为：
Difference = Sum - n * μ
根据正态分布的性质，我们知道均值为μ的正态分布减去均值为μ的正态分布的期望值为0，即：
E[Difference] = E[Sum - n * μ] = E[Sum] - E[n * μ] = 0 - n * μ = -n * μ
所以，这n个电池的寿命总和与理论总和之间的差距的期望值为-n * μ。
这意味着平均而言，这n个电池的寿命总和与理论总和之间有一个负向偏移。