弱简并玻色气体和费米气体
把 ln l ln( 1 e l )代入上式，得
l
熵与微观状态数的关系 ６
S k ln
玻耳兹曼关系
以T，V，为自然变量的特性函数是巨热力学化学势
J U TS N
ln T [k (ln ln ln )] （ ln ）
根据前面求出的已知量，可求得 (拉氏乘法原理，加上一个为０的项)
(dU Ydy ln 1 ln ln d N ) [d ( ) ( )dy d ( )] y
(dU Ydy
ln ln ln d N ) d ( ) dy d ( ) y
内
能 U ln
重要特例 P 1 ln V
kT
S k (ln
ln ln )
1 kT
熵与微观状态数的关系
巨热力势
S k ln
玻耳兹曼关系
J kT ln
§ 8.2
弱简并玻色气体和费米气体
根据偏导公式：
(dU Ydy
d(uv)=vdu+udv
dN ) d (ln ln ln )
d N 的积分因子。
上式指出是
dU Ydy
1 与dS (dU Ydy dN )比较 T
令
1 kT
e l l
l
1 e
l
上下同乘e
l ln l e 1 l
系统的平均总粒子数 N
a
l
l
l
e l 1
l
比较, 得
2 系统的平均总粒子数
N ln
U l al
４
系统的内能
U al l
l
代入
l
3/ 2 l l 2V d 3/ 2 g 3 (2m) 0 e 1 h e 1
l
下面要确定式子中的拉氏乘子．
系统的总分子数 系统的内能 3/ 2 1/ 2 2 V d 2V d 3/ 2 3/ 2 U g 3 (2m) N g 3 (2m) 0 0 h e 1 h e 1 引入变量x= ，
一
分类
一般气体满足经典极限条件e1，可用玻耳兹曼分布处理
（１）满足经典极限条件的气体称为非简并性气体 （２）需要用玻色分布或费米分布讨论的气体称为简并性气体 其中又分为完全简并气体和弱简并气体．
二 １
弱简并气体 分子的能量 （不考虑分子内部结构，只有平动自由度）
1 2 2 2 ( px py pz ) 2m
重要特例
证明
1 P ln V
5 系统的熵统计表达式 由开系方程
dU TdS Ydy dN
1/T 是dS的积分因子
1 dS (dU Ydy dN ) T
配分函数＝ （， ， y ）的全微分为
ln ln ln d ln d d dy y
]
取对数为
ln l ln(1 e l )
l
对取偏导为
l
l
l (1 e
l
l
) (1) [(e l )]
l
1
２
在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能的 微观状态数
2V D( )d g 3 (2m) 3 / 2 1 / 2 d h
其中： g由粒子可能具有自旋而引入的简并度． ３ 系统的总分子数
N al
l
代入
l
e l
l
1/ 2 2V d 3/ 2 g 3 (2m) 0 1 h e 1
l
1 1 al e l b
l
b=1
玻
色
分布
e
l
l
b=-1
下面推导一下玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式.
一 首先考虑玻色系统
把, 和y看作由实验确定的参量. 1 引入 巨配分函数
l [1 e
l l
l l
kT
1 1 (dU Ydy dN ) (dU Ydy dN ) dS kT k
dS k (dU Ydy
dN )
dS kd (ln ln ln )
积分得 系统的熵统计表达式
S k (ln ln ln )
巨热力势J与巨配分函数的关系：
J kT ln
（二）费米系统
巨配分函数
l [1 e l ]l
l l
其对数为
ln l ln(1 e l )
l
平均总粒子数 N ln
广义作用力 熵
Y 1 ln y
第八章 玻色统计和费米统计
§8. 1 热力学量的统计表达式 §8. 2 弱简并玻色气体和费米气体 §8. 3 光子气体 §8. 4 玻色----爱因斯坦凝聚 §8. 5 金属中的自由电子气体
§ 8.1 热力学量的统计表达式
回忆一下玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布.
费
米
分布
al al
e
l
l l
分布总要满足的另一个条件是
e l 1
ll
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.
3 系统的内能
U ln
证明
l l l 4 外界对系统的广义作用力 Y y al e l 1 y l l
1 Y ln y
费米系统与费米气体的性质
姓名：学号：班级：费米系统与费米气体的性质一、费米系统：1.费米子与费米系统相关的简单介绍自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。
在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。
在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。
由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。
2. 从微观上看费米系统设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。
以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。
N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：能 级 1ε，2ε，…， l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。
为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。
显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：N all=∑， E a ll l =∑ε才有可能实现。
对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数 B..M Ω： （1）则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2）ωlB M allllN a ∏∏=!!..Ω∏-=ll l l a )!1(!!F.D.ωωΩ3.费米系统的最概然分布：对（2）式取对数，得（其中∑l对粒子的所有量子状态求和）（3）假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为（4）根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为（5） （5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式（6） 在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。
弱简并理想Bose气体和Fermi气体热力学
V 1 2 x ln 2 3 x ln( 1 e )dx 3 c 0
x 3dx 4 6 (C.14) x e 1 90 0
2V 1 ln 45c 3 3
3 1 x dx 2 x x ln( 1 e ) dx x 3 e 1 0 0
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚
1.理想Bose气体的化学势 0
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n (2.612) 2 / 3 m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 n 0 h e kT 1
V 3 / kT U ( , T )d 2 3 e d c 维恩(1896)公式
§8.4 光子气体
e 1 kT 能级间距 kT 经典理论适用
/ kT
说明： 低频极限
V U ( , T )d 2 3 2 kTd c 瑞利(1900)-金斯(1905)公式 V 3 / kT U ( , T )d 2 3 e d c 维恩(1896)公式
S k ln ln
kln U
4 k V 4 T 3 3 45 c
2 3
T 0; S 0
光子气体的熵随温度的趋于零而趋于零，符合 热力学第三定律要求（P128，4.8.1式）
§8.4 光子气体
平衡辐射的通量密度与内能密度的关系：
e 1
x
2
0
3e x 3 xex 0 3 3e x x
x / kT 2.882
统计物理第三章
l
l exp 1 kT
l
22
由于处在任意能级上的粒子数目不能为负 数。所以： l
l
从而
l 0 0
exp l 1 kT
0
理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能 级的能量。如果假设粒子的最低能级（基态） 能量＝0，则有：<0，可以由下式求出：
上式中第一项为基态的贡献；第二项为激发 态的贡献。计算中取0。
为什么在T<Tc的计算中取化学势为零？
27
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
首先计算在T<Tc时激发态对粒子数密度的贡献 n。 3/ 2 1/ 2
n 0 T 2 d 2m 3 / 2 n h3 Tc 0 exp / kT 1
统计物理
第三章 玻色统计和费米统计
南京工业大学理学院 吴高建
1
量子统计、半经典统计、经典统计的联系和区别
量子统计 半经典统计： （经典极限条件下的量子统计）
全同性，统计特性 非轨道运动，量子数描述运动状态 能量分立（能级、简并度） 玻尔兹曼、玻色、费米分布 满足准经典条件时：能量可以看作 准连续。此时，能级的简并度可以 用态密度代替，而且对能级的求和 变为积分。
ln ln S k ln
S k ln
11
对于遵从玻色、费米分布的系统，只要求 出了系统的巨配分函数的对数ln，就可 以求出系统的平均粒子数、内能、物态方 程、熵等，从而确定系统的所有的平衡性 质。 ln是以，，y（对应简单系统， 即： T，V， ）为自然变量的特征函数。 热力学中知道，这种系统的特征函数是巨 热力势J＝U－TS－ N。这样，得到巨热 力势用ln表示的形式： kT ln J
热统精要及习题解
热力学系统理论——简要和习题解答 吉林大学物理学院参加本书编写的教师和单位（按姓氏笔画排名）崔海宁吉林大学物理学院金康西北大学物理系林晓敏北华大学物理学院刘立华吉林师范大学物理学院李莉莎西北大学物理系裴松皓 吉林大学物理学院索辉吉林大学电子学院王 磊 吉林大学物理学院王荣吉林大学物理学院姚合宝 西北大学物理系张冰牡丹江师范学院物理系邹卫东 集美大学 理学院 物理系内容提要及说明本册是作者在吉林大学物理学院教授“热力学与统计物理”课程讲义——“热力学系统理论”的配套书籍．全书内容包括热力学与统计物理第一部和第二部的内容精要以及相关章节的习题详解。
由于第三部和第四部的内容特点和写作方式已经是很简练的了，所以就没有再做一个精要出来；此外，因为第11章的习题和思考题读者完全可以从讲义中找到答案，故我们也没有在此书中给出．本册的最后定稿和修改是由崔海宁、李莉莎、刘立华共同完成的．目录第1章到第9章精要 (1)第1章 热力学的基本函数习题解 (17)第2章 热力学函数关系习题解 (29)第3章 单元系的相变习题解 (40)第4章 多元系的复相平衡和化学平衡习题解 (47)第5章 系统微观状态的描述和分布习题解 (55)第6章 玻耳兹曼统计习题解 (59)第7章 玻色统计和费米统计习题解 (67)第8章 系综理论习题解 (72)第9章 涨落理论习题解 (77)第10 章 近平衡不可逆过程热力学习题解 (86)第12章 非平衡态统计理论习题解 (90)第13章到第16章 磁介质热力学与低温方法习题解 (95)附录I 有势场的粒子数分布 (103)第一章 热力学的基本函数本章是热力学与统计物理学的基础，利用在热学中接触过的内容——热力学第零定律、热力学第一定律和热力学第二定律导出热力学基本方程。
要求清楚热力学系统的平衡态及其描述、热、热量、辐射场模型、温度、状态函数特性、准静态功、物态方程、热容量和焓、理想气体的内能、绝热过程、卡诺循环、熵和熵增加原理等内容。
冷原子物理学中的费米气体和玻色气体
冷原子物理学中的费米气体和玻色气体费米气体和玻色气体是冷原子物理学中两个重要的概念。
它们是描述冷原子系统中粒子行为的理论模型，对于研究凝聚态物理和量子信息等领域具有重要意义。
本文将对费米气体和玻色气体的特点、性质以及在研究中的应用进行探讨。
首先，费米气体和玻色气体的区别在于粒子的统计特性。
费米气体中的粒子遵循费米-狄拉克统计，即每个量子态只能被一个粒子占据，而且不同粒子之间不能占据相同的量子态。
这样的性质导致费米气体中的粒子更趋于分散分布，且有一定的排斥效应，使得费米气体表现出了一些与能带结构相关的特征。
相比之下，玻色气体中的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计，不同粒子可以占据相同的量子态，且可以在低能态中集体聚集，形成玻色凝聚。
这两种不同的统计特性决定了费米气体和玻色气体在性质上的差异。
在冷原子物理学中，费米气体和玻色气体被广泛研究。
对于费米气体而言，一个重要的问题是费米子间的相互作用和凝聚性质。
由于费米气体中粒子之间的排斥效应，费米子一般不会形成玻色凝聚，但可以通过调控外界条件和相互作用来研究费米子的配对、多体效应和超流等现象。
这对于理解高温超导和凝聚态物理中的一些基本问题具有重要意义。
相比之下，玻色气体的研究重点在于玻色凝聚和量子相干性。
玻色凝聚是玻色气体中粒子在低温下集体同一量子态的现象，也被称为玻色-爱因斯坦凝聚。
这种凝聚态具有超流性质，能够产生相干的粒子流动。
对玻色凝聚的研究不仅对于理解凝聚态物理和相干性有重要意义，还有助于开发原子激光、量子计算和量子通信等领域的应用。
近年来，随着冷原子技术的发展，对费米气体和玻色气体的研究取得了许多重要成果。
科学家们利用光腔技术、强磁场和激光冷却等手段，成功地制备出了超冷原子气体，并通过精确控制粒子间的相互作用和外场条件，实现了一些新奇的量子现象。
例如，在费米气体中观察到了花式的BCS-BEC跨越，而在玻色气体中实现了有序的Bose-Einstein凝聚和超流态。
热统试题
2005—2006学年度第二学期期末考试试卷（ 卷） 系别：物理与电子信息学院 课程名称：热力学统计物理注意事项：1、教师出题时请勿超出边界线；2、学生答题前将密封线外的内容填写清楚，答题不得超出密封线；3、答题请用蓝、黑钢笔或圆珠笔。
一、填空题：（每题4分，共20分）1、热力学第二定律可表为i e ds s d ds +=其中i ds 为熵产生，它们的取值范围是： 。
2、)(KL L 为动理系数，昻萨格关系为lk kl L L =试说明其含义。
： 。
3、在弱简并理想玻色气体和费米气体中，气体的内能为]2411[233λn g NKT U ±=，（“+”代表费米气体，“-”代表玻色气体），由此认为量子统计关联使费米粒子间出现 作用，玻色粒子间出现 作用。
4、当温度T 〈c T 时，将发生玻色---爱因斯坦凝聚，其内容为在能级E=O 有 。
5、巨则分布描写的是具有确定 、 、 的系统。
二、计算、证明题（共80分）1、用巨则分布导出单原子理想气体的物态方程和内能。
（20）2、试证明，在绝对零度下，自由电子的壁数为v n 41，其中V N n =是电子的密度，v 是平均速率。
（20）3、已知kTVp T S eW2∆∆-∆∆-∝，以p S ∆∆,为自变量，证明2)(212)(21S p kC p SpV kT eW ∆-∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∝，从而求出2)(S ∆和2)(p ∆ （20）4、设有一园柱形容器，半径为 R ，高为L ，以角速度ω绕其轴线转动，容器内有一同轴的园柱体，半径为<<-δδ(R R) , 高为L ，用扭丝固定，两园柱之间充有气体，试证明，扭丝所受的力矩为δηωπL R G 32=由力矩G 可以测出气体的粘滞系数。
其中牛顿粘滞定律为dx dv P xy 0η=（10）5、设粒子的质量为m ，带有电量e 在平衡状态下遵从麦克斯韦分布，试根据玻耳兹曼方程证明在弱电场下的电导率可以表为：2τσm ne =其中0τ为驰豫时间。
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
y
y l
e l • ( ) • ( l )
1
[ y
l
l
ln(1 e l
)]
1
l
l
y 1 e l
l
l l
e l 1 y
Y 1 ln p 1 ln
y
V
N ln
U ln
Y 1 ln
y
dN d ( ln )
dU d ( ln )
Ydy 1 ln dy
U ln ln[ (1 e l )l ]
l
[
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • ( l )
1 e l
l
ll
e l 1
广义力Y是 l 的统计平均值：
y
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
Y也可通过配分函数求得：
Y 1 ln 1 ln[ (1 e l )l ]
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
d ( ln ) ln • d ln • d ln dy d ( ln ) ln • d ln • d
e l 1
在实际应用中，两种分布的区别在于将和看作已知常量（开系条件
的平均分布），还是将N和U看作已知常量（孤立系统的最概然分布）。
说明： 本节推导玻色系统和费米系统热力学量的 统计表达式时，采用平均分布观点，也就
是将、和y（粒子能量含外参量y）看作 已知参量，而将热力学量表达为、和y的
函数。
回顾：
量子统计理论
Fermion System 巨配分函数
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
配分函数
三种系统公式比较
内能的统计表达式 外界对系统广义力的统计表达式
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
配分函数的全微分
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
若将N表达为：
∫ ∫ N =
∞
dN
=
0
∞ D (ε )d ε 0 e β(ε −μ ) − 1
∫ =
2π h3
(2m)32Fra bibliotek∞ε1 2d ε
0 e β(ε −μ) − 1
此式没有计入基态能级对粒子数的贡献是不合理的。
应修正为： N = N0(T ) + N ′(T )
( ) ∫ 其中：N ' = 2 π g V
热力学量的统计表达式
Boson System 定义巨配分函数
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
内能的统计表达式 外界对系统广义力的统计表达式
BEIJING NORMAL UNIVERSITY
例 在无穷小的准静态过程中,当外参量有dy的改变
时，外界对系统所作的功为
在无穷小的准静态过程中,外界对系统所作的功 是粒子分布不变时由于能级改变而引起的内能变化.
2m kT h2
3 2 e −α ⎡⎢⎣ Γ
3 2
∓ e−α 1 Γ 22
3 2
⎤⎥⎦
( ) ( ) ∴
N = gV
2 πmkT h2
3 2 e−α
1 ∓ e−α 22
(a)
( ) ( ) U = gV
热学-统计物理12 第 1 2章 玻色统计和费米统计
取对数
(l al 1)! l al!(l 1)!
ln [ln(l al 1)! ln(l 1)! ln al!]
l
al 1,l 1
ln [ln(l al )! ln l! ln al!]
l
由斯特令公式，得：
k
所以
dU Ydy d N 1 d[k(ln ln ln )]
k
而对于经典热力学中的简单系统，
dU TdS pdV dN
（ u 是单个粒子的化学势, PdV Ydy )
即 dU Ydy d N TdS
3
U
l
ll
l
ll
e l 1
g
2V
h3
3
(2m) 2
2d
0 e 1
引入变量 x βε ，并将上两式改写为
1
N
g
2V
h3
3
(2mkT) 2
x 2dx 0 e x 1
3
U
g
2V
h3
3
(2mkT) 2 kT
0
时，需要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒 子全同原理决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
12.1.2 玻色系统
1.系统的平均总粒子数
如果把α,β 和 y 看作由实验确定的参量，系统的平均
总量子数可由下式给出：
N
l
al
l
ωl eα βεl 1
引入巨配分函数
l [1 e ] l l
第八章 玻色统计和费米统计教案详解
8.1 8.2 8.3 8.4 8.8 8.10 8.12 8.16 8.19 8.20 8.23
小论文
1、玻色-爱因斯坦凝聚如何实现，绝对零度附近费米子系统有怎样的性质？ 2、讨论白矮星简并压的形成原因？
教材与参考资料
教材：热力学与统计物理 汪志诚 高等教育出版社
第八表玻色统计和费来统计
考虑由 个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度为 、体积为 。假设粒子的自旋为零。根据玻色分布，处在能级 的粒子数为：
①
显然，处在任一能级的粒子数都不能取负值。从式①可看出，这要求对所有能级 均有 。以 表粒子的最低能级，这个要求也可表达为： ②。
这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能量的零点即 ，则式②可表为： ③。化学势 由公式
其中 是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。
系统的总分子数满足： ③
式③确定拉氏乘子 。
系统的内能为：
引入变量 ，将上述两式改写为：
两式被积函数的分母可表为： ⑤
在 小的情形下， 是一个小量，可将 展开，只取头两项得：
保留展开的第一项相当于将费米（玻色）分布近似为玻耳兹曼分布。在弱简并的情形下，保留两项。
类似地可将 通过 表为： ⑥
外界对系统的广义作用力 是 的统计平均值：
可将 通过 表为： ⑦
上式的有一个重要特例是： ⑧
由式④-⑦得：
注意上面引入 的是 函数，其全微分为：
故有：
上式指出 是 的积分因子。在热力学部分讲过， 有积分因子 ，使
比较可知 ，
所以：
积分得：
上式就是熟知的玻耳兹曼关系。它给出熵与微观状态数的关系。
⑥
计算式⑥的第二项。令 ，可得：