北京市西城区2016-2017学年高二(下)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．复数等于（ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
2．已知函数f（x）=e﹣x，则f'（﹣1）=（ ）
A．B．C．e D．﹣e
3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）
A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a
5．直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个B．12个C．9个 D．8个
7．函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（ ）
A．π，0 B． C．D．
8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ）
A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．曲线y=在x=2处的切线的斜率为 ．
10．展开式中的常数项是 ．
11．离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ123
p p1p2
且Eξ=2，则p1=；p2=．
12．某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 种．
13．若函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是 ．
14．已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．
①若a=e，则b的最大值为 ；
②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．在数列{a n}中，a1=1，，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；
（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，
且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．
17．已知函数f（x）=x3+3ax2．
（Ⅰ）若a=﹣1，求f（x）的极值点和极值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．
18．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．
（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值．（直接写出n的值）
（Ⅱ）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．
19．已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx．
（Ⅰ）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；
（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．
20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．。
2016-2017学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
5． （5 分） “a，b，c，d 成等差数列”是“a+d＝b+c”的（ A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 6． （5 分）关于函数 A．值域为（0，+∞） B．图象关于 x 轴对称 C．定义域为 R D．在区间（﹣∞，0）上单调递增 7． （5 分）已知 x0 是函数 则（ ）
）
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ，下列结论正确的是（ ）
的一个零点，且 x1∈（﹣∞，x0） ，x2∈（x0，0） ，
A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 C．f（x1）＜0，f（x2）＞0
B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 D．f（x1）＞0，f（x2）＜0
8． （5 分）在股票买卖过程中，经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势，其中一种 曲线是即时价格曲线 y＝f（x） ，一种是平均价格曲线 y＝g（x） ．例如：f（2）＝3 表示开 始交易后 2 小时的即时价格为 3 元，g（2）＝4 表示开始交易后 2 小时内所有成交股票的
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平均价格为 4 元．下列给出的四个图象中，实线表示 y＝f（x） ，虚线表示 y＝g（x） ．其 中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9． （5 分）已知命题 p：∃x∈R，e ＜0，则¬ p是 10． （5 分）曲线 y＝ 在 x＝2 处的切线的斜率为 11． （5 分）当 x＞0 时，函数
3 2
） D．{1，2}
2． （5 分）下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是（ A．y＝e
x
B．y＝lnx
C．y＝
3． （5 分）若等比数列{an}满足 a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比 q 等于（ A．2 B． C．3 ） D．
(全优试卷)北京市西城区度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0>a时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ， 则11(),()22P A P A ==. …………… 2分 故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. (5)分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， (7)分解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，1ln 1ln 0F =+-=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x ='与在区间上的情况如下：令3ln 02≥，得 312ea ≥-. 此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分综上，所求a 的取值范围为31[,)2e -+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e xx xf x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e(e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e0x x a --=， ……………11分所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0xx a --=，得001e x a x -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。
北京市西城区高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．已知函数f（x）=e﹣x，则f'（﹣1）=（）A．B．C．e D．﹣e3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a5．直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．6．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个7．函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0 B． C．D．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．曲线y=在x=2处的切线的斜率为．10．展开式中的常数项是．11．离散型随机变量ξ的分布列为：且Eξ=2，则p1= ；p2= ．12．某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有种．13．若函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是．14．已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a=e，则b的最大值为；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在数列{a n}中，a1=1，，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．17．已知函数f（x）=x3+3ax2．（Ⅰ）若a=﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．18．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx．（Ⅰ）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数为a+bi（a、b∈R）的形式即可．【解答】解：复数=．故选A．2．已知函数f（x）=e﹣x，则f'（﹣1）=（）A．B．C．e D．﹣e【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式可得其导数f′（x），将x=﹣1代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e﹣x，则f′（x）=﹣e﹣x，则f′（﹣1）=﹣e﹣（﹣1）=﹣e；故选：D．3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为．现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（）A．B．C．D．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，由此利用对立事件概率计算公式能求出目标被击中的概率．【解答】解：设事件A表示“甲射击命中目标”，事件B表示“乙射击命中目标”，则P（A）=，P（B）=，目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，∴目标被击中的概率：p=1﹣[1﹣P（A）][1﹣P（B）]=1﹣=．∴目标被击中的概率是．故选：C．4．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．a＜f'（1）＜f'（2）B．f'（1）＜a＜f'（2）C．f'（2）＜f'（1）＜a D．f'（1）＜f'（2）＜a【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据图象和导数的几何意义即可判断．【解答】解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越开越大，∵，∴f′（1）＜a＜f′（2），故选：B．5．直线y=x与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先求曲线的交点的坐标，确定积分区间，再用定积分表示面积即可得到结论．【解答】解：由，可得交点的坐标为（0，0），A（1，1），∴所求的封闭图形的面积为S=（x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=﹣=，故选：C6．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）A．16个B．12个C．9个D．8个【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得要求四位数的首位数字必须是2、3、4中一个，据此按首位数字的不同分3种情况讨论，求出每一种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求的四位数比2000大，则其首位数字必须是2、3、4中一个，则分3种情况讨论：①、首位数字为2时，其个位数字必须为4，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，②、首位数字为3时，其个位数字必须为2或4，有2种情况，将剩下的2个数字全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2×2=4个比2000大的偶数，③、首位数字为4时，其个位数字必须为2，将1、3全排列，安排在中间两个数位，有A22=2种情况，即此时有2个比2000大的偶数，则一共有2+4+2=8个比2000大的偶数，故选：D．7．函数在区间[0，π]上的最大、最小值分别为（）A．π，0 B． C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】对函数f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性，并求f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值．【解答】解：函数，∴f′（x）=1﹣cosx；令f′（x）=0，解得cosx=，又x∈[0，π]，∴x=；∴x∈[0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；且f（）=﹣sin=﹣1，f（0）=0，f（π）=π；∴函数f（x）在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π和﹣1．故选：C．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．曲线y=在x=2处的切线的斜率为﹣．【考点】62：导数的几何意义．【分析】要求函数在x=2处切线的斜率，即求在x=2处的导数值．【解答】解：∵y=∴y′=﹣则y′=﹣∴曲线y=在x=2处的切线的斜率为﹣．故答案为：﹣10．展开式中的常数项是24 ．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：展开式的通项公式为 T r+1=•24﹣r•（﹣1）r•x4﹣2r，令4﹣2r=0，求得r=2，可得常数项是24，故答案为：24．11．离散型随机变量ξ的分布列为：且Eξ=2，则p1= ；p2= ．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】由Eξ=2，利用离散型随机变量ξ的分布列，列出方程组，由此能求出解得p1，P2．【解答】解：∵Eξ=2，∴由离散型随机变量ξ的分布列，得：，解得，P2=．故答案为：，．12．某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有42 种．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分析可得甲必须排在第二、三、四、五的位置，对甲的位置分种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，②、若甲排在第五的位置，分别求出每一种情况下的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，节目甲不能排在第一个，则甲必须排在第二、三、四、五的位置，分2种情况讨论：①、若甲排在第二、三、四的位置，甲的排法有3种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙可以排在甲之前或之后，有2种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在剩余的3个空位中，有A33=6种情况，则此时有3×2×6=36种编排方案；②、若甲排在第五的位置，甲的排法只有1种，由于节目甲必须和节目乙相邻，乙只能排在甲之前，即第四个位置，有1种情况，对于剩下的3个节目，进行全排列，安排在前面3个空位中，有A33=6种情况，则此时有1×1×6=6种编排方案；则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有36+6=42种；故答案为：42．13．若函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）或﹣1 ．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由于函数f（x）=ax3﹣ax2+x在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（0）＜0，进而验证a=﹣1与a=0时是否符合题意，即可求答案．【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣2ax+1，a≠0时，当f′（﹣1）f′（0）＜0即5a+1＜0时，函数f（x）在区间（﹣1，0）上恰有一个极值点，解得：a＜﹣，当a=﹣1时，f′（x）=﹣3x2+2x+1=0，在（﹣1，0）上恰有一根x=﹣，当a=0时，f′（x）＞0，函数无极值点，综上，a∈（﹣∞，﹣）或a=﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣）或﹣1．14．已知，对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立．①若a=e，则b的最大值为0 ；②在所有符合题意的a，b中，a﹣b的最小值为﹣．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】①若a=e，可得b≤e x﹣ex恒成立，由y=e x﹣ex求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到b的最大值；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y=e x﹣ax求出导数和单调区间，可得b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）=alna求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到a﹣b的最小值．【解答】解：①若a=e，则对于任意x∈R，e x≥ex+b均成立，即为b≤e x﹣ex恒成立，由y=e x﹣ex的导数为y′=e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，函数y递增；当x＜1时，y′＜0，函数y递减．可得x=1处，函数y取得最小值，且为0，则b≤0，即b的最大值为0；②对于任意x∈R，e x≥ax+b均成立，即有b≤e x﹣ax恒成立，由y=e x﹣ax的导数为y′=e x﹣a，当a≤0时，y′＞0恒成立，函数y递增，无最小值；当a＞0时，当x＞lna时，y′＞0，函数y递增；当x＜lna时，y′＜0，函数y递减．可得x=lna处，函数y取得最小值，且为a﹣alna，则b≤a﹣alna，即a﹣b≥alna，由f（a）=alna的导数为f′（a）=lna+1，可得a＞时，f′（a）＞0，f（a）递增；0＜a＜时，f′（a）＜0，f（a）递减．可得a=时，f（a）取得最小值﹣．则a﹣b的最小值为﹣．故答案为：0，﹣．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在数列{a n}中，a1=1，，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式依次计算可得答案；（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n=n2，利用数学归纳法证明可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}中，a1=1，，则a2=×a1+1=4，a3=×a2+1=9，a4=×a3+1=16，a5=×a4+1=25，（Ⅱ）有（Ⅰ）可以猜测：a n=n2，用数学归纳法证明：①、当n=1时，a1=12=1，即n=1时，a n=n2成立，②、假设n=k（k≥1）时，结论成立，即a k=k2，n=k+1时，a k+1=×a k+1=（k+1）2，即n=1时，结论也成立，根据①②可得：a n=n2成立．16．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）求出甲投球2次都没有命中的概率，再用1减去此概率，即为所求．（Ⅱ）求出甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率，再求出乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率，把这两个概率相加，即为所求．【解答】解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为•=，故甲至少命中1次的概率为1﹣=．（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1﹣p）•（1﹣p）=，∴p=．若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为••（1﹣）•=，而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为••=，故两人共命中3次的概率为+=．17．已知函数f（x）=x3+3ax2．（Ⅰ）若a=﹣1，求f（x）的极值点和极值；（Ⅱ）求f（x）在[0，2]上的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）a=﹣1时，f（x）=x3﹣3x2，f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；故x=0是极大值点，极大值是f（0）=0，x=2是极小值点，极小值是f（2）=﹣4；（Ⅱ）f′（x）=3x2+6ax=3x（x+2a），a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增，故f（x）max=f（2）=12a+8；﹣1＜a＜0时，﹣2＜2a＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣2a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣2a，故f（x）在[0，﹣2a）递减，在（﹣2a，2]递增，故f（x）max=f（0）=0或f（2）=12a+8；a≤﹣1时，2a≤﹣2，f（x）在[0，2]递减，故f（x）max=f（0）=0．18．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（Ⅰ）用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）（Ⅱ）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，利用排列组合知识求出P（A）=，从而求出P（A）最小时n=5．（Ⅱ）依题意有=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，由对立事件概率计算公式求出袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意有个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，则P（A）===∴P（A）最小时n=5．（Ⅱ）依题意有=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，则P（B）=1﹣=，整理，得：x2﹣29x+120=0，解得x=5或x=24（舍），∴袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，∴X的分布列为：EX=．19．已知函数f（x）=ax2+bx和g（x）=lnx．（Ⅰ）若a=b=1，求证：f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）若f（x）和g（x）的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值，判断最小值大于0，即可得证；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，即有2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得a=（m＞0），令u（m）=（m＞0），求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：若a=b=1，即有f（x）=x2+x，令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+x﹣lnx，h′（x）=2x+1﹣==，x＞0，当x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得h（x）在x=处取得极小值，且为最小值，且h（）=+﹣ln＞0，即有h（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）图象的上方；（Ⅱ）设P的坐标为（m，n），f（x）=ax2+bx的导数为f′（x）=2ax+b，g（x）=lnx的导数为g′（x）=，可得2am+b=，且n=am2+bm=lnm，消去b，可得am2+1﹣2am2=lnm，可得a=（m＞0），令u（m）=（m＞0），则u′（m）=，当m＞e时，u′（m）＞0，u（m）递增；当0＜m＜e时，u′（m）＜0，u（m）递减．可得u（m）在m=e处取得极小值，且为最小值，且u（e）==﹣，则a≥﹣，故a的取值范围是[﹣，+∞）．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当a＞0时，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有一个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性，得到函数g（x）在（1，+∞）的零点个数，求出方程在（1，+∞）的解的个数即可；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，根据函数的单调性求出函数的最小值，h（x0）=（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0=a﹣alna≥0，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知f′（x）=e x+（x﹣1）e x=xe x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣a=（x﹣1）e x﹣a，a＞0，g′（x）=xe x，由（Ⅰ）知，函数g（x）在区间（0，+∞）递增，且g（1）=﹣a＜0，g（a+1）=ae a+1﹣a=a（e a+1﹣1）＞0，故g（x）在（1，+∞）上只有1个零点，方程f（x）=a在区间（1，+∞）上只有1个解；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣aln（x﹣1）﹣ax，a＞0，h（x）的定义域是{x|x＞1}，h′（x）=xe x﹣﹣a= [（x﹣1）e x﹣a]，令h′（x）=0，则（x﹣1）e x﹣a=0，由（Ⅱ）得g（x）=（x﹣1）e x﹣a在区间（1，+∞）上只有1个零点，是增函数，不妨设g（x）的零点是x0，则（x0﹣1）﹣a=0，故h′（x），h（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：∴函数h（x）的最小值是h（x0），h（x0）=（x0﹣1）﹣aln（x0﹣1）﹣ax0，由（x0﹣1）﹣a=0，得x0﹣1=，故h（x0）=•﹣aln=a﹣alna，由题意h（x0）≥0，即a﹣alna≥0，解得：0＜a≤e，故a的范围是（0，e]．。
2016西城区(南片)普通中学高二(下)期末数学(理科)
2016西城区（南片）普通中学高二（下）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设函数f（x）=（sinx﹣cosx）的导函数为f′（x），则下列结论正确的是（）A．f′（x）+f（x）=﹣sinx B．f′（x）+f（x）=﹣cosx C．f′（x）﹣f（x）=sinx D．f′（x）﹣f（x）=cosx3．（5分）据天气预报，春节期间甲地的降雪概率是0.4，乙地的降雪概率是0.3．这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响，那么春节期间两地都不降雪的概率是（）A．0.7 B．0.42 C．0.12 D．0.14．（5分）甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（）A．36种B．24种C．18种D．12种5．（5分）若（2x+1）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，则﹣a0+a1﹣a2+a3的值为（）A．﹣27 B．27 C．﹣1 D．16．（5分）函数f（x）=x2•e﹣x的单调递增区间是（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2），（0，+∞）C．（0，2） D．（﹣∞，0），（2，+∞）7．（5分）口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=x n，其中n∈Z，n≥2．曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））（x0＞0）处的切线为l，l与x轴交于点Q，与y轴交于点R，则=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）（2x+）6的展开式的常数项是．10．（5分）直线y=2x与曲线y=x2所围成封闭图形的面积为．11．（5分）已知随机变量X的分布列如下表所示：若E（X）=0，D（X）=1，则abc=．12．（5分）在解析几何里，圆心在点（x0，y0），半径是r（r＞0）的圆的标准方程是（x﹣x0）2+（y ﹣y0）2=r2．类比圆的标准方程，研究对称轴平行于坐标轴的椭圆的标准方程，可以得出的正确结论是：“设椭圆的中心在点（x0，y0），焦点在直线y=y0上，长半轴长为a，短半轴长为b（a＞b＞0），其标准方程为．13．（5分）某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是0.1，把次品误判为正品的概率是0.05．如果一箱产品中含有8件正品，2件次品，现从中任取1件让该质检员检验，那么出现误判的概率为．14．（5分）设R上的可导函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+4xy（x，y∈R），且f'（1）=2，则方程f'（x）=0的根为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）在数列{a n}中，a1=4，a n+1=4a n﹣9n，n=1，2，3，…．计算a2，a3，a4的值，根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．（13分）经销某品牌的汽车，顾客通常采用分期付款的方式购车．根据以往资料统计，付款期数X的分布列为：经销该品牌的汽车，若采用1期付款，其利润为104元；分2期或3期付款，其利润为1.5×104元；分4期或5期付款，其利润为2×104元．（Ⅰ）求购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款的概率；（Ⅱ）记Y为经销一辆该品牌汽车的利润，求Y的分布列及期望E（Y）．17．（13分）已知函数f（x）=x3﹣6ax2，其中a≥0．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．18．（13分）学校文娱队中的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中随机选出3人．记X为选出的3人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（X≥1）=．（Ⅰ）求学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数；（Ⅱ）求选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞的概率．19．（14分）若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y靠近m．（Ⅰ）若x+1比﹣x靠近﹣1，求实数x的取值范围；（Ⅱ）①对任意x＞0，证明：ln（1+x）比x靠近0；②已知数列{a n}的通项公式为，证明：a1a2a3…a n＜2e．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx不是单调函数，且无最小值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）设x0是函数f（x）的极值点，证明：﹣＜f（x0）＜0．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】∵复数==+i，它在复平面内对应点的坐标为（，），在第一象限，故选A．2．【解答】∵函数f（x）=（sinx﹣cosx），∴它的导函数为f'（x）=（cosx+sinx），∴f'（x）﹣f（x）=cosx，故选D．3．【解答】由题意可得甲地不下雪的概率为1﹣0.4=0.6，乙地不下雪的概率为1﹣0.3=0.7，故地都不降雪的概率是0.6×0.7=0.42，故选B．4．【解答】由题意，甲、乙捆绑，安排中间位置，共有=4种排法，其余3人排其它3个位置，共有=6种排法利用乘法原理，可得不同的排法有4×6=24种排法故选C．5．【解答】∵（2x+1）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，令x=﹣1，可得﹣1=a0﹣a1+a2﹣a3．两边同时乘以﹣1可得﹣a0+a1﹣a2+a3 =1，故选D．6．【解答】函数的定义域为R．原函数为，则函数的导数为，由f'（x）＞0得2x﹣x2＞0，解得0＜x＜2，即函数的单调增区间为（0，2）．故选C．7．【解答】所有的摸球方法共有=36种，其中，中奖的摸球方法有•=45 种，故每次摸球中奖的概率为=．则3次摸球恰有1次中奖的概率为••=，故选A．8．【解答】由题可得f′（x）=nx n﹣1．所以曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程是：y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0）．即y﹣x0n=nx0n﹣1（x﹣x0）．令y=0，得﹣x0n=nx0n﹣1（x﹣x0）．x0＞0，∴x=x0﹣，得l与x轴交点Q（x0﹣，0），如图．则===．故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．【解答】（2x+）6的展开式的通项为T r+1=26﹣r C6r x6﹣2r，令r=3得到展开式中常数项为23C63=160故答案为：160．10．【解答】由，解得或∴曲线y=x2及直线y=2x的交点为O（0，0）和A（2，4）因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是S=（2x﹣x2）dx=（x2﹣x3）=故答案为：．11．【解答】由分布列得a+b+c=1 ①由期望E（ξ）=0得﹣a+2c=0，②由D（X）=1得a×（﹣1﹣0）2+b×（0﹣0）2+c×（2﹣0）2=1，即a+4c=1，③由①②③得a=，b=，c=，∴abc=．故答案为：．12．【解答】在由圆的性质类比圆的性质时，一般地，由圆的标准方程，类比推理椭圆的标准方程；由圆的几何性质，故由：“圆心在点（x0，y0），半径是r（r＞0）的圆的标准方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2”，类比到椭圆可得的结论是：设椭圆的中心在点（x0，y0），焦点在直线y=y0上，长半轴长为a，短半轴长为b（a＞b＞0），其标准方程为=1．故答案为：=1．13．【解答】取得正品的概率为=0.8，则取得正品且误判的概率为0.1×0.8=0.08，取得次品的概率为=0.2，则取得次品且误判的概率为0.05×0.2=0.01，则出现误判的概率为0.08+0.01=0.09，故答案为0.09．14．【解答】由于R上的可导函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+4xy（x，y∈R），故两边对x求导，f'（x+y）=f'（x）+4yx=1带入，f'（1+y）=f'（1）+4y=2+4y令1+y=t，则y=t﹣1；带入上式，f'（t）=2+4（t﹣1）=4t﹣2令f'（t）=4t﹣2=0解得t=1/2故答案为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【解答】根据已知，a2=7，a3=10，a4=13．…（3分）猜想a n=3n+1．…（5分）证明：①当n=1时，由已知，左边=4，右边=3×1+1=4，猜想成立．…（6分）②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即a k=3k+1，…（7分）=4a k﹣9k=4（3k+1）﹣9k=3k+4=3（k+1）+1，则n=k+1时，a k+1所以当n=k+1时，猜想也成立．…（12分）根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）记“购买该品牌汽车的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”为事件A．则表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．…（2分）故，…（4分）所以．…（6分）（Ⅱ）Y的可能取值为104元，1.5×104元，2×104元．…（7分）P（Y=104）=P（X=1）=0.4，P（Y=1.5×104）=P（X=2）+P（X=3）=0.2+0.2=0.4，P（Y=2×104）=P（X=4）+P（X=5）=0.1+0.1=0.2．…（10分）Y的分布列为：…（11分）∴E（Y）=104×0.4+1.5×104×0.4+2×104×0.2=1.4×104（元）．…（13分）17．【解答】（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣12ax．…（2分）令f'（x）=0，得x1=0，x2=4a．…（3分）①当a=0时，f'（x）=3x2≥0，故f（x）在R上为增函数．…（4分）②当4a＞0，即a＞0时，列表分析如下：所以函数f（x）在（﹣∞，0）和（4a，+∞）内单调递增，在（0，4a）内单调递减．…（7分）综上，当a=0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，0）和（4a，+∞）内单调递增，在（0，4a）内单调递减．（Ⅱ）①当a=0时，f（x）在区间（0，1）内为增函数，所以f（x）min=f（0）=0．…（9分）②当0＜4a＜1时，即时，f（x）在区间（0，4a）内为减函数，在（4a，1）内为增函数，所以．…（11分）③当4a≥1时，即时，f（x）在区间（0，1）内为减函数，所以f（x）min=f（1）=1﹣6a．…（13分）综上，当时，；当时，f（x）min=1﹣6a．18．【解答】（Ⅰ）设学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数为n，则文娱队共有12﹣n个人，其中只会唱歌或只会跳舞一项的人数为12﹣2n人．…（2分）由，得，所以．…（4分）所以，…（6分）即．注意到12﹣2n≥3，且n是整数，从而n=0，1，2，3，4．将n的这5个值代入上式检验，得n=2符合题意，所以学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的有2人．…（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知学校文娱队的人数为10人，其中只会唱歌的有3人，只会跳舞的有5人，既会唱歌又会跳舞的有2人．…（9分）设“选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞”为事件A，…（10分）所以，．…（13分）19．【解答】（Ⅰ）依题意，|x+1﹣（﹣1）|＜|﹣x﹣（﹣1）|，即|x+2|＜|x﹣1|．…（2分）此不等式同解于（x+2）2＜（x﹣1）2，解得．…（4分）（Ⅱ）①因为x＞0，所以ln（1+x）＞0，所以|ln（1+x）﹣0|﹣|x﹣0|=ln（1+x）﹣x．…（6分）记f（x）=ln（1+x）﹣x，则f（0）=0．因为，所以f（x）在（0，+∞）内单调递减．所以f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．所以ln（1+x）比x靠近0．…（9分）②显然21﹣n＞0．由①的结论，得，所以a2a3…a n＜e．又a1=2，所以a1a2a3…a n＜2e．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．…（1分）对f（x）导数，得．…（3分）显然，方程f'（x）=0⇔2x2﹣2x+a=0（x＞0）．若f（x）不是单调函数，且无最小值，则方程2x2﹣2x+a=0必有2个不相等的正根．…（5分）所以解得．…（6分）（Ⅱ）设方程2x2﹣2x+a=0的2个不相等的正根是x1，x2，其中x1＜x2．所以，列表分析如下：所以，x1是极大值点，x2是极小值点，f（x1）＞f（x2）．故只需证明．…（8分）由0＜x1＜x2，且x1+x2=1，得．…（9分）因为，，所以f（x1）=x1（x1﹣2）+alnx1＜0．…（10分）由，得，所以．…（12分）对x2求导数，得f'（x2）=﹣2（2x2﹣1）lnx2．因为，所以f'（x2）＞0，所以f（x2）是上的增函数，故．…（14分）综上．。
2016-2017年北京市西城高二理科数学试题及答案
12.一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为 ．
15.（1）求证：平面．
（2）证明：．
如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点．
P −ABCD P A ⊥ABCD E P A P C //BDE BD ⊥CE 16.（1）求证：平面．
（2）求二面角的余弦值．
如图，平面，，，为的中点．
P A ⊥ABC AB ⊥BC AB =P A =2BC =2M P B AM ⊥P BC A −P C −B
（1）求证：平面．
（2）求和平面所成角的正弦值．
（3）在线段上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由．
BD ⊥ADE BE CDE CE F BDF ⊥CDE 20.（1）求抛物线，准线间的距离．
（2）证明：．
（3）若，求梯形面积的最小值．
如图，过原点引两条直线，与抛物线：和：和（其中为常数，）分别交于四个点，
，，．
O l 1l 2W 1=2px y 2W 2=4px y 2p p >0A 1B 1A 2B 2W 1W 2//A 1B 1A 2B 2⊥l 1l 2A 1A 2B 1B 2。
2017年北京市西城区高二上学期期末数学试卷与解析答案(理科)
2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0） D．（0，2）2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0 5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B． C．3 D．48．（5分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为．13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E 是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．16．（13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．17．（13分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．18．（13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q．（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x 轴的对称点为Q′，P′Q′所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．19．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px （其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0） D．（0，2）【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，∴椭圆的离心率e==，椭圆的离心率，故选D．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m 没有实根，则m＜0”，故选：D5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选A．7．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B． C．3 D．4【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．8．（5分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解答】解：因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于1．【解答】解：∵点M（0，﹣1），N（2，3），∴k MN==2，∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，∴2×=﹣1，解得a=1．故答案为1．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，﹣1，1），设异面直线AD，BD1所成角为θ，则cosθ==．∴异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．故答案为：．12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为8．【解答】解：由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，∴由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为：=2，底面边长为：4，∴侧视图三角形的高为：4，该三棱柱的侧视图的面积为S=2×4=8．故答案为：8．13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=﹣1，焦点F（1，0），又P为C上一点，|PF|=3，∴x P=2，代入抛物线方程得：|y P|=2，∴S=×|OF|×2=．△POF故答案为：．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为y2=x．【解答】解：碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E 是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…（10分）又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…（13分）16．（13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．…（2分）所以AM⊥BC．…（3分）因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．…（4分）所以AM⊥平面PBC．…（5分）解：（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）．…（8分）设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（0，1，﹣2）．…（10分）由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面BPC的法向量，设二面角A﹣PC﹣B的平面角为α，则cosα===．…（12分）所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（13分）17．（13分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为，…（3分）所以，圆心到直线l的距离为=．…（5分）所以，所求弦长为2=2．…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1），因为A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．…（8分）又A，B在圆C上，所以x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．…（10分）解得y1=1，x1=±1，…（11分）即A（1，1）或A（﹣1，1）．…（12分）所以，直线l的方程为y=x或y=﹣x．…（13分）18．（13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q．（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x 轴的对称点为Q′，P′Q′所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，椭圆的左焦点F1（﹣1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），又直线l的倾斜角为45°，∴直线l的方程为y=x+1，…（1分）由，整理得：7x2+8x﹣8=0，…（3分）则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣．…（4分）丨PQ丨=•=•=，∴|PQ|=；…（5分）（Ⅱ）由，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（6分）则x1+x2=﹣，x1•x2=，…（8分）依题意P′（﹣x1，﹣y1），Q′（x2，﹣y2），且y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），∴丨k′丨=丨丨=丨丨，…（10分）其中丨x1﹣x2丨==，…（11分）∴丨k′丨=丨丨=2．…（12分）解得：7k2=9，k=±，k的值±．．…（13分）19．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．【解答】（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（5分）（II）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，，．设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．…（10分）（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．则．设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则令x'=1，则=（1，0，﹣）．若平面BDF⊥平面CDE，则•=0，即，．所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px （其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，抛物线W1，W2的准线分别为x=﹣和x=﹣p，所以，抛物线W1，W2准线间的距离为（Ⅱ）设l1：y=k1x，代入抛物线方程，得A1，A2的横坐标分别是和．∴==，同理=，所以△OA1B1∽△OA2B2，所以A1B1∥A2B2．（Ⅲ）设A（x1，y1）B（x2，y2），直线A1B1方程为x=ty+m1，代入曲线y2=2px，得y2﹣2pty﹣2pm1=0，所以y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm1．由l1⊥l2，得x1x2+y1y2=0，又y12=2px1，y22=2px2，所以+y1y2=0，由y1y2=﹣2pm1，得m1=2p．所以直线A1B1方程为x=ty+2p，同理可求出直线A2B2方程为x=ty+4p，所以|A1B1|=|y1﹣y2|=2p•，|A2B2|=4p•，平行线A1B1与A2B2之间的距离为d=，所以梯形A1A2B2B1的面积≥12p2当t=0时，梯形A1A2B2B1的面积达最小，最小值为12p2．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
【配套K12】[学习]北京市西城八中2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
北京市西城八中2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）考试时间：120分，满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上）1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B ð等于（）． A ．{}1,2,3,4 B ．{}3,4 C ．{}3 D ．{}4【答案】{}1,2,3A B =∴{}()4U AB =ð． 选D ．2．命题“若一个正数，则它的平方是正数”的逆命题是（）．A ．“若一个数是正数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是正数”C ．“若一个数不是正数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是正数”【答案】B【解析】逆命题为条件、结论互换，选B ．3．设函数21,()2,1,x x f x x x⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤1,，则((3))f f =（）． A ．15 B ．3 C ．139 D ．23【答案】C 【解析】2(3)3f = 2413((3))1399f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+． 选C ．4．设0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）．A ．11a b >B ．11a b a >-C ．a b >- D【答案】不妨令2a =-，1b =-，B ：111212=->--+不成立， 选B ．5．已知函数11,1()2,1x f x x x a x ⎧->⎪⎨⎪-+⎩≤在R 上满足：对任意12x x ≠，都有12()()f x f x ≠，则实数a 的取值范围是（）．A ．(],2-∞B ．(],2-∞-C ．[)2,+∞D ．[)2,-+∞【答案】C 、【解析】按题意()f x 在R 上单调，而11x -在1x >时为减函数， ∴()f x 为减函数，1x =时，121x a x--≥+，2a -≥0+， ∴2a ≥．选C ．6．复数2i 12i+-的共轭复数是（）． A ．3i 5- B ．3i 5 C ．i - D ．i【答案】C 【解析】2i (2i)(12i)i 12i (12i)(12i)==--++++， ∴共轭复数为i -．选C ．7．由直线π3x =-，π3x =，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（）． AB ．1C ．12 D【答案】A【解析】π3π3π3cos d sin π3S x x x -⎛=⋅=== ⎝⎭-⎰ 选A ．8．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()f x f x x <-+的解集为（）．A ．|0x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩1x ⎫⎪<⎬⎪⎭≤ B ．|1x x ⎧⎪-<<⎨⎪⎩1x ⎫⎪<⎬⎪⎭≤ C ．|1x x ⎧⎪-<<⎨⎪⎩0x <⎪⎭D．|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩且}0x ≠ 【答案】A【解析】显然()f x 为奇数，∴可等价转换为1()2f x x <， 当1x =时，1()02f x =<．当01x <<时，()f x∴22114x x -<， 1x <<．当10x -<≤时，12x ，∴0x <，综上：|0x x ⎧⎪<<⎨⎪⎩1x ⎫⎪<⎬⎪⎭≤．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在答题卡的横线上）9．已知等差数列{}n a ，3510a a +=，2621a a =，则n a =__________．【答案】1n a n =+【解析】设1(1)n a a n d =-+，∴1111(2)(4)10()(5)21a d a d a d a d =⎧⎨=⎩++++， 解得：12a =1a =，∴1n a n =+．10．已知二次函数2()4f x x ax =-+，若(1)f x +是偶函数，则实数a 的值为__________．【答案】2a =【解析】2(1)(1)(1)4f x x a x =-++++2(2)5x a x a =--++为偶函数，有22()(2)5(2)5x a x a x a x a ----=--+++，2a =．11．若“1x m <-或1x m >+”是“2230x x -->”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为__________．【答案】【解析】（1）2230x x -->，得：3x >或1x <-，若1x m <-或1x m >+为2230x x -->的必要不充分条件．则1311m m ⎧⎨--⎩≤≥+，即20m m ⎧⎨⎩≤≥， ∴02m ≤≤．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，2()32f x x x =-+，则(6)f = __________；12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 【答案】【解析】(2)()f x f x -=可知周期为2，(6)(2)0f f ==，()f x 为奇函数，113122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴答案为0，14． 13．直线11x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）与曲线2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的位置关系是__________． 【答案】【解析】121x t x y y t =⎧⇒-=⎨=-⎩++， 222cos 42sin x x y y αα=⎧⇒=⎨=⎩+，2x =．∴2d ． 14．已知数列{}n a 中，n a =4S =__________． 【答案】 【解析】n a 12⎡⎤=⋅⎣⎦12n =⋅12⎡=⋅⎣ 12⎡=⋅⎣，∴1234110112a a a a ⎡+=-⎣+++1(32=．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和是n S ，1220a a +=，4218S S -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）求满足116n a ≥的n 的值． 【答案】【解析】（1）设11n n a a q -=1220a a =+，2112a q a ==-， 4218S S -=， 41111211112812a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦--= ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 11a =， ∴112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）116n a ≥， 111216n -⎛⎫- ⎪⎝⎭≥． 当n 为偶数不成立，当n 为奇数，141122n -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥ ∴5n ≤．又∵*n ∈N ，∴{}1,3,5n =．16．（本小题满分13分）已知数列32()(,)f x ax x bx a b =++∈R ，g()()()x f x f x '=+是奇函数．（Ⅰ）求()f x 的表达式．（Ⅱ）讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[]1,2上的最大值与最小值．【答案】【解析】（1）2()32f x ax x b '=++32()()()(31)(2)g x f x f x ax a x b x b '==++++++．∵()()g x g x -=-，∴对x ∀有3232()(31)()(2)()(31)(2)a x a x b x b ax a x b x b ---=-++++++++++． 解得：13a =-，0b =．17．（本小题满分13分）设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ．（Ⅰ）若{}|12P x x =-<<，求m 的值．（Ⅱ）当0m >时，求集合P ．【答案】，【解析】（1）{}12P x x =-<<，∴1-，2为2(31)2(1)0mx m x m -=+++两根，∴1x =-代入2(1)(31)2(1)0m m m -=++++，12m =-． （2）[](2)(1)0x mx m -->+，两根为2，1m m +， ①12m m =+，1m =时，2x ≠． ②12m m >+，01m <<时2x <或1m x m >+． ③12m m <+，1m >时，1m x m<+或2x >．综上：01m <<时，{|2P x x =<或1}m x m>+， 1m =时，{},2P x x x =∈≠R ， 1m >时，1{|m P x x m=<+或2}m >．18．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =-，74S a =．（Ⅰ）1a =__________，d =__________，n a =__________，当n =__________时，n S 取得取小值，最小值为__________．（Ⅱ）若数列{}n a 中相异．．的三项6a ，6m a +，6n a +成等比数列，求n 的最小值． 【答案】【解析】（1）1(1)n a a n d =-+，3122a a d -==+，1711(6)772132a a d S a d a d ===++++， ∴11122618030a d a d a d =-⎧⎨=⇒=⎩+++， 解得2d =，16a =-，∴6(1)228n a n n =--⋅=-+．1(628)2n S n n =⋅--+ 27,*n n n =-∈N ，∴min 92112S =-=．（2）[][]22(6)842(6)8m n -=-++ 2(24)24m n =++，21(2)22n m =-+，6060m n +>⎧⎨+>⎩ 2m =-，2n =-，13m -=-，n =分数， 04m =，0n =， 15m =-，n =分数，26m --，6n =． 4 4- 46a 8a 12a4 816 综上，2m =时，n 的最小值6．19．（本小题满分13分）若实数x ，y ，m 满足x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ．（Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由．（ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232e n a a a a <．【答案】【解析】（1）|1(1)||(1)|x x --<---+ 22|2||1|(2)(1)x x x x <-⇔<-++， ∴12x <-． （2）①∵0x >，∴ln(1)0x >+，∴|ln(1)0||0|ln(1)x x x x ---=-++，记()ln(1)f x x x =-+，(0)0f =．1()1011x f x x x-'=-=<++， ∴()f x 在(0,)∞+单减．∴()2(0)0f x f =，即ln(1)x x <+，∴ln(1)x +比x 靠近0．②120n ->，由①得：2323ln()ln ln ln n n a a a a a a =+++12111ln(12)ln(12)ln(12)22n n -----=+++<+++++111112(12)211212n ------=<=--， ∴23e n a a a <．又∵12a =，∴1232e n a a a a <．20．（本小题满分14分）已知函数()f x 的图象在[],a b 上连续不断，定义： {}1()min ()|f x f t a t x =≤≤[](,)x a b ∈，{}2()max ()|f x f t a t x =≤≤[](,)x a b ∈，其中，{}min ()|f x x ∈D 表示函数()f x 在D 上的最小值，{}max ()|f x x ∈D 表示函数()f x 在D 上最大值．若存在最小正整数k ，使21()()()f x f x k x a =-≤对任意的[],x a b ∈成立，则称函数()f x 为[],a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[]0,πx ∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式．（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[]1,4x ∈-，试判断()f x 是否为[]1,4-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由．（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[]0,b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．【答案】【解析】（1）1()cos f x x =，[]0,πx ∈，2()1f x =，[]0,πx ∈．（2）21,[1,0]()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩， 221,[1,1)(),[1,4]x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩， 22121,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩， 当[1,0)x ∈-，21(1)x k x -≤+，∴12k x -≥≥，(0,1]x ∈，1(1)k x ≤+， ∴11k x ≥+， ∴1k ≥，[1,4]x ∈，2(1)x k x ≤+，21x k x ≥+ 综上，165k ≥． 即存在4k =，使()f x 是[1,4]-上4阶收缩函数．精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料 （3）2()363(2)f x x x x x '=-=--+，10x =，22x =，令()0f x =，3x =或0．（ⅰ）2b ≤时，()f x 在单调，∴2()()3f x f x x x ==-+， 1()(0)0f x f ==，因32()3f x x x =-+是[]0,b 上2阶收缩函数．①∴21()()2(0)f x f x x --≤对[]0,x b ∈恒成立． ②[]0,x b ∈，使21()()f x f x x ->成立． ①即3232x x x -≤+对[]0,b 恒成立． 解得01x ≤≤或2x ≥，∴有01b <≤．②即[]0,x b ∃∈使2(31)0x x x -<+ ∴0x <x <<， 只需b ， 1b <≤． （ⅱ）2b >时，显然[]30,2b ∈ ∴()f x 在[]0,2上单调递增，232728f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2133273232282f f ⎛⎫⎛⎫-=>⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时21()()2(0)f x f x x --≤不成立． 综（ⅰ）1b <≤．。
精品解析：北京西城北师大附中2016-2017高二下期末【理】数学真题卷(解析版)
北京师大附中2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题纸上．1. 设是虚数单位，则复数（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】．故选．2. 在的展开式中，含的项的系数是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】二项式的通项公式为，令，所以含的项的系数是，故选D3. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，，一条切线的斜率，∴，解得．故选．4. 将一枚均匀的硬币投掷次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】满足题意的事件有①正面次②正面次，反面次，所以概率．故选．5. 已知随机变量服从正态分布，且，（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，由随机变量服从正态分布知，正态曲线关于对称，∴，．学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...故选．6. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】，，圆心到直线的距离，∴两曲线相交，有个交点．故选．7. 某大学的名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐名同学（乘同一辆车的名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名同学中恰有名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有（）．A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】试题分析：由题意，第一类，一年级的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的年级，从三个年级中选两个为，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为，故有3×4=12种．第二类，一年级的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为，这时共有3×4=12种根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式考点：计数原理的应用8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】,当时，,作出图形，由图可知直线过点时有六个交点，过点时有八个交点，过点时有六个交点，过点时有八个交点，因此要使函数有7个零点，需，选A.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题纸上．9. 以原点为极点，以轴正半轴为极轴且与直角坐标系取相同的长度单位建立极坐标系．若圆的极坐标方程为，则其直角坐标方程为__________．【答案】【解析】极坐标方程，两边同乘以，∴，∴，∴．故答案为：.10. 在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为__________．（结果用数值表示）．【答案】120【解析】①男女，种；②男女，种；③男女，种；∴一共有种．故答案为：120.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．11. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为__________．【答案】【解析】两曲线相交：，解出交点横坐标为，所求面积，．故答案为：.12. 如图，是以为圆心，半径为的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）__________；（）__________．【答案】(1). (2).【解析】圆面积，正方形面积，∴，∵表示事件“已知豆子落在正方形中，则豆子落在扇形”的概率，∴．故答案为：(1). ；(2) .点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．13. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∵存在，使得，∴，∴，设，∴，，令，解得，令，则，函数单调递增，令，则，函数单调递减，∴当时，取最大值，，∴．故答案为：.点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
北京市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
A北京市 2016-2017 学年高二下学期期末试卷（理科数学）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目 要求的.1．在复平面内，复数 z=对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．在（x+2）4 的展开式中，x 2 的系数为（ ） A ．24 B ．12 C ．6 D ．43．已知函数 f （x ）=ln2x ，则 f′（x ）=（ ）A ．B ．C ．D ．4．将一枚均匀硬币随机投掷 4 次，恰好出现 2 次正面向上的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数 f （x ）=﹣ x 2+lnx 的极值点是（）A ．x=﹣1B ．x=﹣C ．x=1D ．x=6．5 名大学生被分配到 4 个地区支教，每个地区至少分配 1 人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配 在同一地区，则不同的分配方法的种数为（ ） A ．120 B ．144 C ．216 D ．2407．设 a ，b ，c 是正整数，且 a ∈[70，80），b ∈[80，90），c ∈[90，100]，当数据 a ，b ，c 的方差最小时， a+b+c 的值为（ ） A ．252 或 253 B ．253 或 254 C ．254 或 255 D ．267 或 2688．已知函数 f （x ）=e x +ax ﹣2，其中 a ∈R ，若对于任意的 x ，x ∈[1，+∞），且 x ＜x ，都有 x •f（x ）﹣ 1 2 1 2 2 1x •f（x ）＜a （x ﹣x ）成立，则 a 的取值范围是（ ） 1 2 1 2 A ．[1，+∞） B ．[2，+∞） C ．（﹣∞，1]D ．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分.、共 30 分.9．函数 f （x ）=cosx ，则 f′（）= ．10．定积分dx 的值为 ．11．设（2x+1）3=a x 3+a x 2+a x+a ，则 a +a +a +a = ．3 2 1 0 0 1 2 312．由数字 1，2 组成的三位数的个数是 （用数字作答）．13．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边 AB ，AC 互相垂直，则 AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比 平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥 ﹣BCD 的三个侧面 ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ．”14．研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为；②函数g（x）=（x＞0）的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在数列{a}中，a=1，a=n•a，n=2，3，4，…．n1n n﹣1（Ⅰ）计算a，a，a，a的值；2345（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．n16．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x；（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值为﹣5，求c的取值范围．17．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．科目A科目B科目C甲（Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．18．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．19．已知函数f（x）=x2e x﹣b，其中b∈R．（Ⅰ）证明：对于任意x，x∈（﹣∞，0]，都有f（x）﹣f（x）≤；1212（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．20．设L为曲线C：y=e x在点（0，1）处的切线．（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）设h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．北京市2016-2017学年高二下学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内，复数z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==则在复平面内，复数z对应的点的坐标为：（，，），位于第一象限．故选：A．2．在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（）A．24B．12C．6D．4【考点】二项式系数的性质．【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式即可求出．【解答】解：（x+2）4的展开式的通项公式为T=C r•24﹣r•x r，r+14令r=2，故展开式中x2的系数为C2•22=24，4故选：A．3．已知函数f（x）=ln2x，则f′（x）=（）A．B．C．D．【考点】导数的运算．【分析】根据复合函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ln2x，∴f′（x）===，故选：D4．将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】将一枚均匀硬币随机投掷4次，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为：p==．故选：B．5．函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点是（）A．x=﹣1B．x=﹣C．x=1D．x=【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点．【解答】解：由f（x）=﹣x2+lnx，得f′（x）=（x＞0），当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点为x=1．故选：C．6．5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（）A．120B．144C．216D．240【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出没有限制要求的5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人的种数，再排除甲乙两名同学分配在同一地区的种数，问题得以解决．【解答】解：5个人分成满足题意的4组只有1，1，1，2，即只有一个单位有2人，其余都是1人，故有C2A4=240种，54其中甲乙两名同学分配在同一地区的方法为C1A3=24种，43故甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为240﹣24=216种，故选：C．7．设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c的值为（）A．252或253B．253或254C．254或255D．267或268【考点】极差、方差与标准差．【分析】设=，则数据a，b，c的方差s2=≥[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，设a=b+m，c=b+n，则s2≥[m2+n2+（m+n）2]，应该使得b=85，而当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值．【解答】解：设=，1 s s 1 s s则数据 a ，b ，c 的方差s 2=[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2]， 设 a=b+m ，c=b+n ，则 s 2≥[m 2+n 2+（m+n ）2]，= ≥取 b=85，当 m+n=0，﹣1， 时， 2 有可能取得最小值，m=﹣16，n=15 时， 2 取得最小值取 b=84，当 m+n=0，﹣1， 时， 2 有可能取得最小值，m=﹣15，n=16 时， 2 取得最小值== ．．∴a+b+c=79+85+90=254，或 a+b+c=79+84+90=253． 故选：B ．8．已知函数 f （x ）=e x +ax ﹣2，其中 a ∈R ，若对于任意的 x ，x ∈[1，+∞），且 x ＜x ，都有 x •f（x ）﹣ 1 2 1 2 2 1x •f（x ）＜a （x ﹣x ）成立，则 a 的取值范围是（ ） 1 2 1 2 A ．[1，+∞） B ．[2，+∞） C ．（﹣∞，1] D ．（﹣∞，2]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】将不等式变形为：＜ 恒成立，构造函数 h （x ）= ，转会为当 x ＜x12时，h （x ）＜h （x ）恒成立，为了求 a 的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的1 2范围．【解答】解：∵对于任意的 x ，x ∈[1，+∞），且 x ＜x ，都有 x •f（x ）﹣x •f（x ）＜a （x ﹣x ）成立，1212211212∴不等式等价为＜ 成立，令 h （x ）=，则不等式等价为当 x ＜x 时，h （x ）＜h （x ）恒成立，1212即函数 h （x ）在（0，+∞）上为增函数；h （x ）=，则 h′（x ）=≥0 在（0，+∞）上恒成立；∴xe x ﹣e x +2﹣a ≥0；即 a ﹣2≤xe x ﹣e x 恒成立， 令 g （x ）=xe x ﹣e x ，∴g′（x ）=xe x ＞0； ∴g （x ）在（0，+∞）上为增函数； ∴g （x ）＞g （0）=﹣1； ∴2﹣a ≥1； ∴a ≤1．∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．A故选：C二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分.、共 30 分.9．函数 f （x ）=cosx ，则 f′（）= ﹣ ．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，根据函数的导数公式代入直接进行计算即可． 【解答】解：∵f （x ）=cosx ，∴f′（x ）=﹣sinx ，f′（）=﹣sin =﹣ ，故答案为：﹣10．定积分dx 的值为 ．【考点】定积分．【分析】根据定积分的性质，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．【解答】解：dx=2 x 2dx=2× x 3 = ．故答案为： ．11．设（2x+1）3=a x 3+a x 2+a x+a ，则 a +a +a +a = 27 ． 321123【考点】二项式系数的性质．【分析】令 x=1 可得 a +a +a +a 的值．123【解答】解：令 x=1，a +a +a +a =33=27，0 1 2 3故答案为：2712．由数字 1，2 组成的三位数的个数是 8 （用数字作答）． 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【分析】直接根据分步计数原理可得．【解答】解：每一位置都有 2 种排法，故有 23=8 种， 故答案为：813．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边 AB ，AC 互相垂直，则 AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比 平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥﹣BCD 的三个侧面 ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 △S A BC2 △+S ACD △+S ADB 22=S△BCD2 ．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：△S ABC 故答案为：2+S22=S2．△S ABC△ACD△+S ADB△BCD 2+S△ACD△+SADB22=S△BCD2．14．研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为f（5）＜f（2）＜f（3）；；②函数g（x）=（x＞0）的最大值为e．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】①利用导数判断在（0，e）递增，（e，+∞）递减得出f（3）＞f（5），运用作差判断f（2）﹣f （5），f（2）﹣f（3）即可得出大小．②构造函数ln（g（x））=lnx（x＞0），令h（x）=lnx（x＞0），运用导数求解极大值，得出h（x）的极大值为h（e）=lne=，结合对数求解即可．【解答】解：①∵函数f（x）=，∴f′（x）=，f′（x）==0，x=e，f′（x）=，＞0，x∈（0，e）f′（x）=＜0，x∈（e，+∞）∴在（0，e）递增，（e，+∞）递减∴f（3）＞f（5），∵f（2）﹣f（5）===＞0∴f（2）＞f（5）∵f（2）﹣f（3）==＜0∴f（3）＞f（2）故答案：f（5）＜f（2）＜f（3）；②∵函数g（x）=（x＞0），∴ln（g（x））=lnx（x＞0）（令 h （x ）= lnx （x ＞0），h′（x ）=h′（x ）=h′（x ）=（1﹣lnx ）=0，x=e（1﹣lnx ）＜0，x ＞e（1﹣lnx ）＞0，0＜x ＜e∴h （x ）= lnx （x ＞0），在（0，e ）递增，在（e ，+∞）递减，h （x ）的极大值为 h （e ）= lne= ，∴函数 g （x ）=（x ＞0）的最大值为 e ，故答案为：e三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在数列{a }中，a =1，a =n•a ，n=2，3，4，…．n1nn ﹣1（Ⅰ）计算 a ，a ，a ，a 的值；2 3 4 5（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．n【考点】数学归纳法；归纳推理． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件通过 n=2，3，4，5 直接计算 a ，a ，a ，a 的值，2345（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a }项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．n【解答】解：（Ⅰ）a =1，a =n•a ，1 n n ﹣1可得 n=2 时，a =2；n=3 时，a =6；2 3a =24，a =120 4 5（Ⅱ）猜想 a =n!．n证明：①当 n=1 时，由已知，a =1!=1，猜想成立．1②假设当 n=k （k ∈N *）时猜想成立，即 a =k!．k则 n=k+1 时，a =（k+1）a =（k+1）k!=（k+1）!．k+1 k所以 当 n=k+1 时，猜想也成立．根据 ①和 ②，可知猜想对于任何 n ∈N *都成立16．已知函数 f （x ）=x 3+3x 2﹣9x ； （1）求 f （x ）的单调区间；（2）若函数 f （x ）在区间[﹣4，c]上的最小值为﹣5，求 c 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 2）通过讨论 c 的范 围，求出函数的最小值，从而求出 c 的具体范围． 【解答】解：（1）函数 f （x ）的定义域是 R ， f′（x ）=3x 2+6x ﹣9，令 f′（x ）＞0，解得：x ＞1 或 x ＜﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜1，∴f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）由f（﹣4）=20结合（1）得：c≥1时，函数f（x）在[﹣4，c]上的最小值是f（1）=﹣5，﹣4＜c＜1时，函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值大于﹣5，故c的范围是[1，+∞）．17．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．科目A科目B科目C甲（Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，利用对立事件概率计算公式能求出甲至少有一个科目考试成绩合格的概率．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，则P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，∴甲至少有一个科目考试成绩合格的概率：P（M）=1﹣P（）=1﹣．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=++（1﹣）×，P（X=3）=，，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）=∴X的分布列为：123X0PEX==．18．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率．（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，由此能求出3次摸球中，恰有1次中奖的概率．（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=3p3﹣6p2+3p，（0＜p ＜1），由此利用导数性质能求出当f（p）取得最大值时，n的值．【解答】解：（Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，∴3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P（1）=3（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为：f（p）==3p3﹣6p2+3p，（0＜p＜1），∵f′（p）=9p2﹣12p+3=3（p﹣1）（3p﹣1），∴当p∈（0，）时，f（p）取得最大值，令=，解得n=2或n=1（舍），∴当f（p）取得最大值时，n的值为2．19．已知函数f（x）=x2e x﹣b，其中b∈R．=3×=．（Ⅰ）证明：对于任意x，x∈（﹣∞，0]，都有f（x）﹣f（x）≤1212（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用导数转化为求解最大值，最小值的差证明．；（Ⅱ）根据最大值为；f（﹣2）=分类当b＜0时，当b=0时，当b=﹣b，f（x）的最小值为：﹣b，时，当0＜b＜时，当b＞时，判断即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域R，且f′（x）=x（x+2）e x，令f′（x）=0则x=0，或x=﹣2，12f′（x）=x（x+2）e x，x（﹣∞，﹣2）﹣2 f′（x）+0（﹣2，0）﹣f（x）增函数极大值减函数﹣b，∴f（x）在区间（﹣∞，0]上的最大值为；f（﹣2）=∵x∈（﹣∞，0]，∴f（x）=x2e x﹣b≥﹣b，∴f（x）的最小值为：﹣b，∴对于任意x，x∈（﹣∞，0]，都有f（x）﹣f（x）≤f（x）﹣f（x）≤；1212最大值（Ⅱ）f′（x）=x（x+2）e x，函数f（x）=x2e x﹣b，当b＜0时，函数f（x）=x2e x﹣b＞0恒成立，函数f（x）的零点个数为：0当b=0时，函数f（x）=x2e x，函数f（x）的零点个数为：1当b=时，函数f（x）的零点个数为；2，当0＜b＜时，函数f（x）的零点个数为：3，当b＞时，函数f（x）的零点个数为：1，20．设L为曲线C：y=e x在点（0，1）处的切线．（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）设h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（0），从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，单调函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）=e x，则f′（x）=e x，∴f′（0）=1，L的方程是y=x+1，令g（x）=f（x）﹣（x+1），则除切点之外，曲线C在直线L的上方等价于g（x）＞0，（x∈R，x≠0），g（x）满足g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣1=e x﹣1，当x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）递减，当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；﹣a，（Ⅱ）h（x）的定义域是{x|x＞﹣1}，且h′（x）=e x+①a≤2时，由（Ⅰ）得：e x≥x+1，∴h′（x）=e x+﹣a≥x+1+﹣a≥2﹣a≥0，∴h（x）在[0，+∞）递增，∴h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意；②a＞2时，由x∈[0，+∞），且h′（x）的导数h″（x）=≥0，∴h′（x）在区间[0，+∞）递增，∵h′（0）=2﹣a＜0，h′（lna）=＞0，于是存在x∈（0，+∞），使得h′（x）=0，00∴h（x）在区间（0，x）上递减，在区间（x，+∞）递增，00∴h（x）＜h（0）=1，此时，h（x）≥1不会恒成立，不合题意，综上，a的范围是（﹣∞，2]．。
2016西城区普通中学高二(下)期末数学(理科)
则不同的涂色方法共有（
）
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A．4 种 B．6 种 C． 8 种 D．12 种
10．（ 4 分）已知
，当 P（ X=k）（ k∈N， 0≤ k≤ 8）取得最大值时， k 的值是（ ）
A．7 B．6 C． 5 D．4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上 .
至多有 1 件是二等品 ”，且 P（ A） =0.91．则从该批产品中任取 1 件是二等品的概率为
．
15．（ 4 分）随机变量 X 的分布列如下：若
，则 DX 的值是 ．
X
﹣1
0
1
P
a
c
16．（ 4 分）若对于任意的实数 x，有 a0+a1（x﹣ 1） +a2（x﹣ 1） 2+a3（x﹣1）3=x3，则 a0 的值为
5．（4 分） 5 个人站成一排，甲、乙 2 人中间恰有 1 人的排法共有（
）
A．72 种 B．36 种 C）在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时，通过收集数据，整理、分析数据，得出
“吸烟
与患慢性支气管炎有关 ”的结论，并且有 99%以上的把握认为这个结论是正确的．则下列说法正确的
；
a2 的值为 ． 三、解答题：本大题共 3 小题，共 36 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
17．（ 12 分）甲、乙两名魔方爱好者在 30 秒内复原魔方的概率分别是 0.8 和 0.6．如果在 30 秒内将魔
方复原称为 “复原成功 ”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求： （1）甲复原三次，第三次才成
功的概率；
（ 2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．