基于灰色与线性回归组合模型在变形预测中的研究

２ １ 年 ８月 ０１ 第 ４期 文 章编 号 ：６２ ８６ （ ０ １ ０ — ５ — １７ — ２ ２ ２ １ ）４ １ １ ０ ４
城
市
勘
测
Ａｕ ２ １ ｇ． ０１ Ｎｏ． ４
Ｕｒ ｎ Ｇｅ ｔｃｈ ｉ ａ ｎ ｅ ｔｇ ｔｏ ＆ Ｓ ｒ ｅ ｉ ｇ ｂａ ｏ ｅ ｎ ｃ ｌＩ ｖ ｓｉａｉ ｎ ｕｖ ｙｎ
Ｉ样 有 ： 吲
ｙ（ １＝ ・ ｐ（ １ ［ｘ （ ） １ ｌ ｐ Ｖ 一 ］ ｔ ） Ｃｅ ｖｔ ）ｅ 一 Ｉｅ （ ） １ ＋ ｘ ＋ ｐ ｘ （７ １）
则 上 面两式 相 比为 ：
Ｙ （＋ ） ｙ ＝ ｘ （ １ ／ ｅｐ ） 因此 得到 的解 为 ：
Ｃ：（ ） ＝（ ９ ． ２ 一 ６ ２ ， ３ ５ ５ ） Ａ ３３ ７ ，２ ．３ 一 ９．４
原 始 系列 ：
ｘ ＝（ ０ ３ ， ６ ９ ， ９ Ｏ ７ ． ， ０ ． ８ １６ ８ ｏ １． ８ ２ ． ２ ４ ． ５， ３ ７ １４ ６ ，３ ． ，
１ ２ ４ ，３ ． ５ ８． ３２ １ １ ）
Ｙ（） ｔ＝ｚ（＋ 一 ｔ ｔ ｍ） ｚ（）
＝
则有 ： ＝ Ｉ ／ ｃ
（ ２ ２）
Ｃｅｐ 优） ｅｐ ） １ ［ｘ （ 一 ］ １ ） ．ｘ （ ［ｘ （ 一 ］ ｅｐ ） １ （６
从而 ： Ａ Ａ ＡＸ Ｃ：（ ） Ｔ
得到 生成 序列 的预 测值 为 ：
（ ３ ２）
误差 如 表 ６所 示 ， 测值 的平 均 相对 误 差 为 １．２ ， 预 ２４ ％ 预测 １８ ９ ８年沉 降量 的 相对 误差 为 １．９ ， 测 １８ ２ ３％ 预 ９９
ｘ ＝｛ｏ １ ，ｏ２ ， ｏ ｘ （ ）ｘ （ ） …… ，ｏｎ ｝ ｘ （ ）
（） １
Ｘ （） ３
根据灰色系统理论对原始序列做 １次累加生成 后， 得到生成序列 （ ） 即： １， Ｘ ＝｛ （ ）Ｘ （ ） ……， ｎ ｝ １ ， ２ ， Ｘ（ ）
式 中 （） ｔ可用 下式 进行计算 ：
一
÷ ｌ （］ １ ［（ ２ １ ） ）
［ （ ） （ ） ２ ３ ］ １
Ｂ＝
以很 好 的运用 于变 形监 测 。
一
１
（ ｆ
一
２ Ｇ １ １ 模 型 原 理 Ｍ（ ， ）
记原 始序 列 为 引：
Ｘ （） ２
１ ＋ （） ） ｆ］ １
对数 据进行 平 滑 ， 用最 近 的 Ｍ 个 数 据 的平 均 值 使 作 为平 滑值 ， 期简单 滑 动平 均计算 公式 如 下 ： Ｍ一
Ａ ＝ Ａ ＋ １ …＋ Ｊ／ （ 一＋ 一＋） Ｍ
１７ ９７ １７ ９８
２９ ５ ２８ ７
１８ ９６ ｌ８ ９７
８８ ８ ９８ ６
例 如 ：一 简单滑 动平 均平 滑 ： ５期
Ａ ＝（ ４一 Ａ一＋ ＋ ） ５ Ａ ＋ １ Ａ一 ４一 ／ ＋ ２ ３ ４
利 用上 式 计 算 出 各 期 模 拟 和 预 测 值 后 ， 过 式 通
（０ 一次累减生成 ， １） 求得 各期 的预测值 、 残差 和相 对
中图 分 类 号 ： ２ １６ Ｔ １６２ ０ ４ ． ，Ｕ ９．
文 献 标 识 码 ： Ｂ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基 于灰 色与线性 回归组合模型在 变形预测 中的研究
刘燕 芳 ， 陈天伟 ， 陈凯华 ， 张洁 洁
（ 桂林理 工大 学土木建筑工程学 院 ， 广西 桂林 摘 ５ １０ ） ４０ ４ 要 ： Ｇ １ １ 模 型原理和 Ｇ １ １ 与 线性 回归组合模 型原理 的不 同之 处开始讨论 ， 从 Ｍ（ ， ） Ｍ（ ， ） 并且 用组合模 型进 行 了样
形 的机理 ， 验证 有 关 工程 设 计 的理论 和地 壳 运 动 的 假
说 以及建 立正 确 的预报 变形 的理论 和方 法 。
＝
式 （） 式（） ４在 ５ 条件下 的特解 为 ： ’ ＋ ） （ ） 旦 ］ｘ （ ） 旦 （ １ ＝［ １ 一 ｅｐ 一 ＋
¨ ¨
（） ７
预测 公式 为 ：
对微分方程求解 ， 得到其离散的通解为
（＋ ） 旦 ｅｐ ０） ｔ １ ＝一 ｘ （ ＋
¨ ¨
（） ５
式 中， Ｃ为积分 常数 ， 需要 通 过一 个 边 界 条 件来 确
ｘ （＋ ） 一 ） ｘ （ ）Ｉ ａ ｅｐ 一 ｔ ｏｔ１ ＝（ 口 ［ ｏ１ －／ ］ｘ （ ａ） ｘ
沉降 累积量 Ｘ ／ ｍ 。ｍ
３２ ２ ３４ ３ ３４ ９
４４ ４ ５ ４ ２ ６ ４ ２ ７８ ２
析 法有三种模型 ， 这里我们用简单滑动平均计算方 法。当数据个数不多时 ， 建立复杂的模型不太可能 ， 这
时简 单滑 动平 均可 以发挥 作 用 。
１７ ９２
１７ ９ ３ １７ ９４ ｌ７ ９ ５ １７ ９６
第 ４期
刘燕芳等 ．基于灰 色与线性回归组合模型在变形预测中的研 究
１３ ５
出由组 合模 型能取 得较 高精 度 的结果 。
４ ２ 时 间序 列分 析方 法的应 用 ．
４ ３ 大数 据样 本 时组合 模型 的应 用 ．
某 城 市 从 １７ ９ ０年 一１８ ９ ７年 沉 降 累积 量 表５
ｌ２ ５
城
市
勘
测
（＋ ） ｘ （ｔ＋ ｔ１ ＝Ｃｅｐ ｖ） ｃ
（ ３ １）
得 出 ， Ｌ ） ｘ （ ） 则式 （４ 可 写 为 ： 令 （ｔ：ｅｐ ， １）
（） （） Ｃ ｔ Ｃ ｔ ＝Ｃ ｆｔ ＋ ２＋ ３ （ １ ２）
用线性 回归方程 Ｙ ａ ＋ ＝ Ｘ ｂ及指数方程 Ｙ ａ・ ｘ （ ） ＝ ｅ ｐ ｐ
ｄ ｄ＋ Ｘ ＝ｘ Ｘ ／ ｔａ Ｉ （） ４
３ 组合模型
由（ ） ４ 可以将微分方程解为ｌ ： ４ Ｊ
Ｘ （＋ ） ｘ （ ）Ｉ ａ ｅｐ 一 ｔ＋ ／ １ ＝［ ｏ１ － ／ ］ｘ （ ａ）ｉ ａ ｘ ｘ （１ １）
对 Ｘ （＋ ） 导 或 做 累减 还 原 ， 到原 始 系列 的 １求 得
对数据进行预测 ， 用平滑值作 为未来一个时刻的
预测 ：
Ｆ＋＝ ｔ Ａ＋ ＋ ＋ ＋） Ｍ Ａ ＝（ ｔＡ一 … ４一 １ ／ ｌ ｌ ｍ
用式（ ） 式 （ ） 式 （ ） 式 （ ） ３ ， ７ ， ８ ， ９ 可以得到生成 系
列 的时 问相应 函数 为 ：
（＋ ） ０ ． ７ ７ ｅｐ 一 ． ４ １ ｔ 一 ８ ． ７ ７ ｔ １ ＝６ ６ １ ２ ６ ｘ （ ０ １７ ４ ） ５ １ １ ２ ６
的和来拟合累加生成 （）因此可将生成序列写成 ： ｔ， （） ｌｘ （ｔ＋ ２＋ ３ ｔ＝Ｃｅｐ Ｖ） ｃｔＣ （４ １）
利用最 小 二乘法 求得 Ｃ ， ：Ｃ Ｃ ， 的估 计值 。 ｒ （ ） １］
ｚ （ Ｃ觥 （ “；ｃＩ （ ］ （， （ ３ 。５ 一， Ａｎ ： 积 ＩＪ ： ：；Ｊ ）＋ ） ＝１ ） ｆ 一 ｊ 一） Ｉ １ ） 一 ２Ｉ Ｉ ｌ 并： 设 凡 ）
式中，＝ ， ， ｔ １ ２ …。式 （ ） ７ 即为式 （ ） ４ 的定解。记 （ ，） ， ａ 辨识值 可 由式（ ） ８ 计算 ：
：
（ ，） ｏ ｕ ＝（
） ＢＹ
（） ８
式中， 曰以及 Ｙ用 式 （ ） ９ 计算 ：
一
灰 色理论 在变 形 监 测 方 面做 出了 较 大 贡献 ， 本 而 文用 了几 种方 法 的 对 比， 明灰 色 与 线性 回 归模 型 可 说
我们 仍然 用 表 １的数 据来 建立 模 型 。时 间系列 分
时间／ 年 沉 降累积量 Ｘ ／ ｍ 。ｒ ａ
１７ ９０ １７ ９１ ２ ５ ５ ３ ８ ３
１１ ６ １２ ５ １０ ９ ２９ ２
时间／ 年
１ ９ ９７ １８ ９０ １ １ ９８
１８ ９ ２ １８ ９ ３ １８ ９ ４ １８ ９ ５
４ 灰 色与 回归组合模型的应用
４
．
１ 小 样本 数据 时模 型 的应用 表 １ 对某 教 学 楼 进 行 沉 降观 测 ， １期 一８期 是 从
的沉 降观测 值 。
在这里用灰色 Ｃ １ １ 与线性 回归组合模型来 Ｍ（ ， ）
处理¨。
根据不 同的 ， 利用 式 （３ 和式 （０ 计 算 Ｖ的估 １） ２） 计值 ， ０ ０４ ＝ ．９ 。 用式 （４ 得 到 Ｃ的估计 值 ： ２）
一
得到一次累加生成系列 的组合模型为 ，
（） ９ ． ２ ｘ （ ． ９ ｔ 一 ６ ２ － ９ ． ４ ｔ＝３ ３ ７ ｅｐ ０ ０ ４） ２ ． ３ ３ ５ ５
次 累加 ：
Ｘ’ ：（１ ． ８ ２ ． ２， ９ ０ ， ３ ７， ０ ． ８， ３ ， ０ ３ ， ６ ９ ４ ． ５ ７ ． １ ４ ６ １ ６ ８，
＝
’ｔ：ｃｅｐ ） ｃ ｔＣ （） ｘ （ｔ＋ ， ＋
（４ ２）
将上式的计算结果用一次累减生成 即可得到原序
列 的预测值 。从 上式 可 以看 出 ， 如果 ｃ ＝ ， 一次 ． Ｏ则
累加 生 成为线 性 回归 模 型 ， 如果 Ｃ ＝ ， 累加 生 成 序 ０则 列 为 Ｇ １ １ 模 型 。新 模 型使 原 线 性 回 归模 型 中不 Ｍ（ ， ） 含指 数增 长趋 势 ， Ｇ １ １ 模 型 中不含 线 性 因 素 的 即 Ｍ（ ， ） 情形 得到 改善 。
本 实例计算 ， 与单一的灰 色模 型和简单的滑动平均作 出对比 ， 出组合模 型计 算较 准确 ， 得 精度较 高。 关键词 ： 变形分析 ； 色系统理论 ； 色与回归组合模 型 ； 灰 灰 简单 滑动 平均