(专选) 第一讲 问题解决与数学建模 (周五3,4)

温州大学城市学院:: 3-312温州大学城市学院“”手机资费问题一直是人们关心的热点问 多少年来资费方案始终没有实质性变化. 题, 多少年来资费方案始终没有实质性变化 但是2007年1月以来上海、北京、广东等地的 月以来上海、 但是 年 月以来上海 北京、 移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单 移动和联通两大运营商都相继推出了 手机单 向收费方案”---各种品牌的 套餐 手机 套餐 各种品牌的“套餐 套餐” 向收费方案 各种品牌的 套餐”, 手机“套餐 的花样琳琅满目, 让人眼花缭乱. 的花样琳琅满目 让人眼花缭乱 人们不禁要 问: 手机“套餐 究竟优惠几何? 手机 套餐”究竟优惠几何 套餐 究竟优惠几何 请参照中国移动公司现行的资费标准和 北京的全球通“畅听 套餐”、上海的“全球 畅听99套餐 北京的全球通 畅听 套餐 、上海的 全球 套餐”方案 分析研究. 通68套餐 方案 建立 套餐 方案, 分析研究温州大学城市学院可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐 可口可乐、雪碧、 (易拉罐 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少 易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少 易拉罐 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的? 为什么 它们的形状为什么是这样的试用分析研究. 分析研究温州大学城市学院你所在的年级有5个班 你所在的年级有 个班, 每班一支球队在同一块场 个班 地上进行单循环赛, 共要进行10场比赛 场比赛. 地上进行单循环赛 共要进行 场比赛 如何安排赛程 使对各队来说都尽量公平呢. 使对各队来说都尽量公平呢温州大学城市学院下面是随便安排的一个赛程: 支球队为A, 下面是随便安排的一个赛程 记5支球队为 B, C, D, E，在下 支球队为 ， 表左半部分的右上三角的10个空格中 随手填上1,2,… 个空格中, 表左半部分的右上三角的 个空格中 随手填上 …10, 就得到 一个赛程, 即第1场 对 一个赛程 即第 场A对B, 第2场B对C, …, 第10场C对E. 为方便起 场 对 场 对 见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角. 见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角 A BC A X 1 9 B 1 X2 C 9 2 X D 3 5 7 E 6 8 10 D E 3 6 5 8 7 10 X 4 4 X 每两场比赛间 相隔场次数 1, 2, 2 0, 2, 2 4, 1, 0 0, 0, 1 1, 1, 1显然这个赛程对A, 有利 有利, 则不公平. 显然这个赛程对 E有利 对D则不公平 则不公平试建立讨论相关问题. 讨论相关问题温州大学城市学院SARSSARS (Severe Acute Respiratory Syndrome, 严重急 性呼吸道综合症, 俗称: 性呼吸道综合症 俗称 非典型 肺炎) 肺炎 是21世纪第一个在世界 世纪第一个在世界 范围内传播的传染病. 的 范围内传播的传染病 SARS的 爆发和蔓延给我国的经济发展 和人民生活带来了很大影响, 和人民生活带来了很大影响 我们从中得到了许多重要的经 验和教训, 验和教训 认识到定量地研究 传染病的传播规律、 传染病的传播规律、为预测和 控制传染病蔓延创造条件的重 要性. 请你们对SARS 的传播 要性 请你们对 建立美丽但邪恶的SARS(非典 病毒 非典)病毒 美丽但邪恶的 非典SARS(非典 的胃肠道感染 非典)的胃肠道感染 非典温州大学城市学院某战略轰炸机队指挥官得到了摧毁敌方坦克生产能力的命令. 某战略轰炸机队指挥官得到了摧毁敌方坦克生产能力的命令 根据情报, 敌方有四个生产坦克部件的工厂, 位于不同的地方. 根据情报 敌方有四个生产坦克部件的工厂 位于不同的地方 只要 破坏其中任一工厂的生产设施就可以有效地停止敌方坦克的生产. 破坏其中任一工厂的生产设施就可以有效地停止敌方坦克的生产 根据分析, 执行该任务的最大因素是汽油短缺, 根据分析 执行该任务的最大因素是汽油短缺 为此项任务只能提供 48000加仑汽油 而对于任何一种轰炸机来说 不论去轰炸哪一个工 加仑汽油. 加仑汽油 而对于任何一种轰炸机来说, 厂都必须有足够往返的燃料和100加仑备余燃料 加仑备余燃料. 厂都必须有足够往返的燃料和 加仑备余燃料指挥官应向四个工厂派遣每种类型的飞机各多少架去执行任务 才能使成功的概率最大? 才能使成功的概率最大温州大学城市学院 20102010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会 从1851年伦敦 年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会. 年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会 年伦敦 万国工业博览会”开始 的“万国工业博览会 开始 世博会正日益成为各国人民交流历史文化、 万国工业博览会 开始, 世博会正日益成为各国人民交流历史文化、 展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台. 展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台 请你们选 择感兴趣的某个侧面, 建立数学模型, 利用互联网数据, 定量评估2010年 择感兴趣的某个侧面 建立数学模型 利用互联网数据 定量评估 年 上海世博会的影响力. 上海世博会的影响力温州大学城市学院建立的;数 学 ; 的 建 建立 模 的 ; 建立 的 应 用 ; 的 如 建立 此 广 . 建立 的 泛 啊 …… …… ……!温州大学城市学院问 题 ? ?温州大学城市学院1 将一张方桌放在不平的地面上 不允许将 将一张方桌放在不平的地面上,不允许将 桌子移到别处, 但允许其绕中心旋转,能放稳吗 能放稳吗? 桌子移到别处 但允许其绕中心旋转 能放稳吗1 将一张四条腿的方桌放在不平的地面 不允许将桌子移到别处, 上, 不允许将桌子移到别处 但允许其绕中 心旋转, 是否总能设法使其四条腿同时着地? 心旋转 是否总能设法使其四条腿同时着地温州大学城市学院1 将一张四条腿的方桌放在不平的地面上 将一张四条腿的方桌放在不平的地面上, 不允许将桌子移到别处, 不允许将桌子移到别处 但允许其绕中心旋 是否总能设法使其四条腿同时着地? 转, 是否总能设法使其四条腿同时着地: (1) 地面高度是连续变化的 地面高度是连续变化的; (2) 方桌的四条腿长度相同 方桌的四条腿长度相同; (3) 方桌至少有三条腿同时着地 方桌至少有三条腿同时着地.温州大学城市学院用数学语言把方桌位置和四条腿着地的关系表示出来. 用数学语言把方桌位置和四条腿着地的关系表示出来 方桌位置 的关系表示出来方桌位置• 利用正方形 桌腿连线 的对称性 利用正方形(桌腿连线 桌腿连线)的对称性 • 用θ (对角线与 x 轴的夹角 对角线与 轴的夹角) 表示方桌位置 y B’ B A’ C C’ D’ D oθ四条腿着地• 桌腿与地面距离为零 • 距离是θ 的函数Ax温州大学城市学院方桌位置• 利用正方形 桌腿连线 的对称性 利用正方形(桌腿连线 桌腿连线)的对称性• 用θ (对角线与 x 轴的夹角 表示方桌位置 对角线与 轴的夹角)表示方桌位置四条腿着地 • 桌腿与地面距离为零• 距离是θ 的函数 两个 距离 C A,C 两腿与地面距离之和 f (θ) C’ 与地面距离之和: B,D 两腿与地面距离之和 g (θ) 与地面距离之和: D o y B’ B A’ 四个距离 (四条腿 四条腿) 四条腿简化问题θA D’x温州大学城市学院地面为连续曲面 方桌在任意位置 至少三条腿着地f (θ ), g (θ )是连续函数 是 对任意θ, f (θ ), g (θ ) 至少一个为0 至少一个为数学 问题已知: 连续函数; 已知 f (θ ) , g (θ )是非负连续函数 是非负连续函数 对任意θ, f (θ ) • g (θ )=0; 且 g (0)=0, f (0) > 0. 证明: 证明 存在θ0, 使 f (θ0) = g (θ0) = 0.温州大学城市学院将方桌旋转 0, 对角线AC和BD互换 将方桌旋转90 对角线 和 互换. 旋转 互换 由 g(0)=0, f(0)>0, 知 f(π/2)=0, g(π/2)>0. π π 令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则 h(0)>0和h(π/2)<0. 和 π 为连续函数, 由 f, g的连续性知 h为连续函数 的连续性知 为连续函数 (B) C 据连续函数的基本性质, 据连续函数的基本性质 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) . 因为 f(θ0) • g(θ0)=0, 所以 f(θ0) = g(θ0) = 0. y B (A)oA (D) xD (C)温州大学城市学院的一般步骤温州大学城市学院表述 方桌“放稳 方桌 放稳”? 放稳 (归 纳) 归 求证: 函数存在零点? 求证 函数存在零点表示方桌的位置, θ 表示方桌的位置 θ 的函数表示四腿与 四条腿“同时着地 四条腿 同时着地”? 同时着地 地面的距离. 地面的距离温州大学城市学院表述 方桌“放稳 放稳”. 方桌 放稳”? 放稳 求证: 函数存在零点? 求证 函数存在零点 (归 纳) 归 演 求 解 (演 绎) 验证 解释 四条腿能“同时着地 四条腿能 同时着地”. 同时着地 命题得证温州大学城市学院的全过程表述 (归 纳) 归 演绎) 演绎 求解 (演绎 验证 解释温州大学城市学院在每一次人数不少于6人的聚会中必可找 在每一次人数不少于 人的聚会中必可找 出这样的3人 出这样的 人, 他们或者彼此均认识或者彼此 均不认识. 均不认识温州大学城市学院 在每一次人数不少于6人的聚会中必可找出这样 在每一次人数不少于 人的聚会中必可找出这样 的3人, 他们或者彼此均认识或者彼此均不认识 人 他们或者彼此均认识或者彼此均不认识. : 将人看成顶点 两人彼此都认识用实线连, 否则虚线 将人看成顶点, 两人彼此都认识 实线连 否则虚线 认识用 虚线. : 下图中必存在实线三角形或虚线三角形. 下图中必存在实线三角形或虚线三角形 实线三角形 v2 v1 任取一点v 相连的边必然有: 任取一点 1 , 与 v1 相连的边必然有 实线条数不小于 或虚线条数不小于 实线条数不小于3或虚线条数不小于3 不小于 不小于 v3 v6v4v5温州大学城市学院 : 将人看成顶点 两人彼此都认识用实线连, 否则虚线 将人看成顶点, 两人彼此都认识 实线连 否则虚线 认识用 虚线. : 下图中必存在实线三角形或虚线三角形. 下图中必存在实线三角形或虚线三角形 实线三角形 任取一点v1 , 与 v1 相连的边必然有: 任取一点 相连的边必然有 实线条数不小于 或虚线条数不小于 不小于3 实线条数不小于3或虚线条数不小于 不小于 v2 v1 不妨取 v1v2 , v1v3 , v1v4 实线 考察 v2v3, v2v4 和 v3v4 v3 v6 v v , v v 和v v 只能是虚线 否则得证 2 3 2 4 3 4只能是虚线, 否则得证. 但这样三角形v 的三边均为虚线. 但这样三角形 2v3v4的三边均为虚线 v4 v5温州大学城市学院 2 一个旅游者, 某日早上 早上7点钟 一个旅游者 某日早上 点钟 离开安徽黄山脚下的旅馆, 离开安徽黄山脚下的旅馆 沿着 一条上山的路, 在当天下午 下午7点 一条上山的路 在当天下午 点 走到黄山顶上的旅馆. 钟走到黄山顶上的旅馆 第二天 早上7点钟 点钟, 早上 点钟 他从山顶沿原路下 在当天下午 点钟回到黄山 下午7点钟 山, 在当天下午 点钟回到黄山 脚下的旅馆. 脚下的旅馆 试证明在这条路上 存在这样一个点, 存在这样一个点 旅游者在两天 的同一时刻都经过此点. 的同一时刻都经过此点温州大学城市学院基本作业题某人早上8:00时从山下旅馆出发沿一条路径上 某人早上 时从山下旅馆出发沿一条路径上 下午18:00时到达山顶并留宿 次日早上 时到达山顶并留宿, 山, 下午 时到达山顶并留宿 次日早上8:00时 时 沿同一路径下山, 下午18:00时回到旅馆 试证该人 时回到旅馆, 沿同一路径下山 下午 时回到旅馆 必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点. 必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点温州大学城市学院思考提高题y B A一张四条腿一样 长的长方形椅子放在 长的长方形椅子放在 长方形 不平的地面上, 不平的地面上 证明存 在一种放法使该椅子 四只脚能同时着地. 的四只脚能同时着地C o C DθA x。