几何第三讲 曲面与空间曲线

当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.
椭球面 x2 y 2 z 2 1的图形： a2 b2 c2
类似地,
椭球面
平面 xk (|k|<a) 与椭球面的交线也是椭圆；
平面 yk (|k|<b) 与椭球面的交线也是椭圆；
椭球面
椭球面 x2 y 2 z 2 1的图形： a2 b2 c2
椭球面的画法：
z
1．选择坐标系；
2．画坐标面与曲面的交线；
c
3．画出轮廓线。
O a x
b y
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2

z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 a2
y2

z2 c2

1
旋转椭球面与椭球面的区别：
对于球面上任一点 M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2. 即: (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2
称上述方程为球面的标准方程.
特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2
M R
M0
曲面方程的概念
定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系:
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
y
o
a
x
单叶旋转双曲面
上题双曲线 绕 y 轴一周
x2 y2

a
2

b2
1
z 0
得单叶旋转双曲面 . .
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x
.
y2
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 x2 z2 a2 c2 1
与平面 z z1 ( | z1 |
. 截面上圆的方程

x
2

c)

y
的交线为圆
2

a2 c2
(c2

z12
).
z z1
(2) a b c,
x2 a2

y2 a2

z2 a2

1
球面
(2) 椭圆抛物面: x 2 y 2 2z （p 与q 同号） z p2 q2
截痕法
(1) S上任一点的坐标满 足方程F (x, y, z) =0;
(2) 不在S上点的坐标都 不满足方程F (x, y, z) =0;
z F (x, y, z) = 0
S
o
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲 面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
例2 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲 面?
z = ay
z a( x 2 y2 )
x
平方得:
y
z2 = a2 ( x2 + y2 )
该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x2
（1）双曲线 a 2

y2 b2
1 分别绕 x轴和 y 轴；
绕 x 轴旋转 x 2 y 2 z 2 1
S
将 z z1 , y1 x2 y2
代入
f ( y1, z1 ) 0
得S的方程：f ( x2 y2 , z) 0
P
M (x, y, z)
M1 (0, y1 , z1 )
z
z1 C
.
o
y1
y
x
方程 f x2 y2 , z 0
是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z轴
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
.
x
双曲抛物面
（马鞍面）

x2 2p
y2 2q
z（p
与q
同号）
z
截痕法
p 0, q 0
用z = a截曲面
用x = 0截曲面
0
用y = b截曲面
x
y
.
(3)双曲面:
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
.
o
x
.
y
小结：
方程 f x2 y2 , z 0
是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
a2
b2
旋 转
双
绕 y 轴旋转 x 2 z 2 y 2 1
曲 面
a2
b2
双叶旋转双曲面
双
曲
线

x a

y b

z
绕 x 轴一周
x
0
y
双叶旋转双曲面
双
曲
线

x a

y b

z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
双叶旋转双曲面
双
曲
线

x a
例2
（讨论柱面、二次曲面）
3.2 旋转曲面
ห้องสมุดไป่ตู้
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
双曲柱面
x2 y2 1 a2 b2
z
x
0
L
平面 x+y=1 z
y
0
y
x
L
抛物柱面
z
y 2 2 px
o
y x
3.4 二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
解: 原方程可改写为
(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为5 的球面.
例 3 已知 A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段 AB的
垂直平分面的方程. 解 设M ( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
3.3 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
播放
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
例5: 求直线 z = ay，x=0 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.
解: 将 y 用 x2 y2 代入直
z
线方程, 得
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C叫柱 面的准线，动直 线L叫柱面的母线.
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柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱